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一、模拟产生一个窄带随机过程。
首先产生两个相互独立的随机过程Ac(t)和As(t)，用两个正交载波进行调制得到窄带过程。
绘出其波形、相关函数及功率谱（1000数据点）。
（陈超然）程序代码：clear all;clc;N=1000;X1 =0.2*randn(1,N);X2 =0.2*randn(1,N);fs=200;t =-0.5:1/N:(0.5-1/N);A=[1 -0.9];B=1;Xc=filter(B,A,X1);Xs=filter(B,A,X2);for n=1:NY(n)=Xc(n)*cos(2*pi*fs*t(n))- Xs(n)*sin(2*pi*fs*t(n));end[R,lags]= xcorr(Y,N);%计算序列的自相关NFFT=2^nextpow2(N); %求得最接近总点数的2^n，这里是1024Pxx=abs(fft(R,NFFT)/N); %对自相关函数进行fft变换f=fs*linspace(0,1,NFFT);figure(1)n=1:N;plot(t(n),Y(n));title('输出波形');figure(2)plot(lags,R);title('自相关函数');figure(3);plot(f,Pxx);%绘制功率谱曲线title('功率谱密度');运行结果输出波形相关函数功率谱密度二、如果信号X(t)的表达式为：X (t) = sin c(100t) cos(2p *200t)1、绘出信号及其幅度频谱曲线；2、当中心频率向左搬移f0＝200Hz时，求出其低通等效信号，并绘出其幅度频谱、信号的同相、正交分量及包络；3、当中心频率向左搬移f0＝100Hz时，求出其低通等效信号，并绘出其幅度频谱、信号的同相、正交分量及包络。
（郭静）程序代码：clcclearN=512;fs=N/0.5;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%信号的产生及可视化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%t=-0.25:0.5/N:(0.25-0.5/N);for n=1:NX(n)=sinc(100*t(n))*cos(2*pi*200*t(n));h_t(n)=1/(pi*t(n));endn=1:N;figure(1)plot(t(n),X(n));grid;axis([-0.15 0.15 -1 1]);title('信号曲线');Xw=abs(fft(X,N)); %fft变化，除以信号的点数看原信号的幅值f=fs*linspace(0,1,N);%频率轴的产生figure(2)plot(f,Xw)title('信号幅频曲线') axis([0 1024 0 6])运行结果-0.1-0.050.050.10.15-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81信号曲线01002003004005006007008009001000123456信号幅频特性%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%频率左移100%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for n=1:NXc_1(n)=sinc(100*t(n))*cos(2*pi*100*t(n)); %信号频率左移100Ac_1(n)=sinc(100*t(n));endAs_1=hilbert(Ac_1); %信号的hilbert变换for n=1:NXs_1(n)=As_1(n)*sin(2*pi*100*t(n));endX_hil_1=hilbert(Xc_1);X_1_hil_fft=abs(fft(X_hil_1,N)); %信号的fft变换for n=1:NX_1_enve(n)=sqrt(Ac_1(n)^2+As_1(n)^2); %求信号的包络endfigure(3)subplot(221)plot(f,X_1_hil_fft)axis([0 512 0 12]);title('信号频率左移100hilbert变换的频谱')subplot(222)plot(t,Xc_1)title('f0=100低通等效同相分量')axis([-0.15 0.15 -0.6 1]);subplot(223)plot(t,Xs_1)axis([-0.15 0.15 -0.6 1]);title('f0=100低通等效正交分量')subplot(224)plot(t,X_1_enve)axis([-0.15 0.15 0 1.5]);title('f0=100低通等效包络')运行结果：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%信号频率左移200%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for n=1:NXc_2(n)=sinc(100*t(n))*cos(2*pi*0*t(n));Ac_2(n)=sinc(100*t(n)); endAs_2=hilbert(Ac_2); for n=1:NXs_2(n)=As_2(n)*sin(2*pi*0*t(n)); endX_hil_2=hilbert(Xc_2);X_2_hil_fft=abs(fft(Xc_2,N)); for n=1:NX_2_enve(n)=sqrt(Ac_2(n)^2+As_2(n)^2); end figure(4) subplot(221) plot(f,X_2_hil_fft) axis([0 512 0 12]);title('信号频率左移200hilbert 变换的频谱') subplot(222) plot(t,Xc_2)title('f0=200低通等效同相分量') axis([-0.15 0.15 -0.6 1]); subplot(223) plot(t,Xs_2)axis([-0.15 0.15 -0.6 1]); title('f0=200低通等效正交分量') subplot(224) plot(t,X_2_enve)hilbert 变换后信号左移100的频谱f0=100低通等效同相分量f0=100低通等效正交分量f0=100低通等效包络axis([-0.15 0.15 0 1.5]); title('f0=200低通等效包络')运行结果：hilbert 变换后信号左移200的频谱f0=200低通等效同相分量f0=200低通等效正交分量f0=200低通等效包络。
实验四：窄带随机信号的仿真与分析一、 实验目的利用计算机仿真窄带随机信号，考察其数字特征，以加深对窄带随机信号的特点及分析方法的掌握，熟悉常用的信号处理仿真平台软件matlab 。
二、 实验原理如果一个随机过程的功率谱密度，在分布在高频载波0ω附近的一个窄带频率范围ω∆内，在此范围之外全为0，则称之为窄带过程。
窄带过程是在信息传输系统，特别是接收机经常遇到的随机ωω∆>>信号，当窄带系统（接收机）输入的噪声（如热噪声）的功率谱分布在足够宽的频带（相对于接收机带宽）上时，系统饿输出即为窄带过程。
窄带信号的确切定义如下：一个实平稳随机过程)(t X ，如果它的功率谱密度)(ωx S 具有下述性质：而且带宽满足ωω∆>>，则称此过程为窄带平稳随机过程。
窄带平稳随机过程的功率谱密度函数如图所示：从示波器观看窄带随机过程的一个样本函数，可看到如下图所示的波形，从这个波形可以看出，窄带随机过程可表示成具有角频率0ω以及慢变幅度与相位的正弦振荡，这就说可以写成：式中，B （t ）是随机过程的慢变幅度，)(t ϕ是过程的慢变相位，称之为准正弦振荡，这就是窄带过程的数学模型。
三、实验任务与要求用matlab编写仿真程序。
产生满足下列条件的窄带随机信号，其中A（t）包络频率为1khz，幅度为1V，载波频率为4khz，幅度为1V， 是一个固定相位，n（t）为高斯白噪声，采样频率设为16khz，实际上，这就是一个带有载波的双边带调制信号。
计算窄带随机信号的均值，均方值、方差、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数，用图示法表示。
提示：nosiy为高斯白噪声，有wgn函数生成。
a=cos(2*pi*1000*t);均值：Ex=mean（x）；方差:Dx=var(x);用fft函数可以很方便的计算出X（t）的频谱，然后用abs和angle函数求得幅度和相位；用函数xcorr 求自相关序列对自相关函数，进行fft变换，得到X（t）的功率谱密度。
计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。
3、掌握窄带随机过程的分析方法。
二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理基于随机过程的莱斯表达式00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1)实验过程框图如下：理想低通滤波器如图所示：图1 理想低通滤波器()20AH ∆ω⎧ω≤⎪ω=⎨⎪⎩其它(3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（）,则系统输出的物理谱为 220=()=20Y X N AG H G ∆ω⎧0≤ω≤⎪ωωω⎨⎪⎩（）（）其它(3.3) 输出的自相关函数为:01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰ /221cos 2N A d ωωτωπ∆=⎰ (3.4) 20sin 242N A ωτωωτπ∆∆=⋅∆ 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。
计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。
四、MATLAB 实验程序function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程%--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p;w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C;[b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a（t）y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b（t）yt=y_at-y_bt; %产生一个p个点的高斯窄带随机过程subplot(211)plot(yt)title('高斯窄带随机过程y(t)')subplot(212)pdf_ft=ksdensity(yt) ;plot(pdf_ft)title('y(t)的概率密度图')disp('均值如下')E_Xt=mean(y_at)E_at=mean(y_at)E_bt=mean(y_bt)E_ft=mean(yt)%-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2)R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt的自相关函数R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt的自相关函数R_ft=xcorr(yt);subplot(2,2,1);plot(R_Xt);title('高斯白噪声的自相关函数R_Xt'); %并绘制图形subplot(2,2,2)plot(R_at);title('限带白噪声的自相关函数R_a_bx'); %并绘制图形subplot(2,2,3)plot(R_y_bt);title('随机过程b(t)的自相关函数R_y_bt');subplot(2,2,4)plot(R_ft);title('高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R_yt');%------------------------功率谱密度代码如下---------------------------% figure(3)subplot(1,2,1)periodogram(Xt);title('高斯白噪声功率谱密度S_Xt');subplot(1,2,2)periodogram(at);title('限带白噪声功率谱密度S_a_bt');figure(4)subplot(3,1,1)periodogram(y_at);title('随机过程a(t).coswt概率密度概率密度S_y_at');subplot(3,1,2)periodogram(y_bt);title('随机过程b(t).sinwt功率谱密度S_y_bt');subplot(3,1,3);periodogram(yt);title('高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S_yt');五、实验结果将上述random 函数放在Path 中后，在Commaod Window 中输入：random(1000,10,0.001)时，输出结果如下：01002003004005006007008009001000-0.50.5高斯窄带随机过程y(t)0102030405060708090100246y(t)的概率密度图0500100015002000-50005001000高斯白噪声的自相关函数R X t 0500100015002000-101020限带白噪声的自相关函数R ab x 0500100015002000-50510随机过程b(t)的自相关函数R yb t 0500100015002000-101020高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R y t00.51-40-30-20-10010Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯白噪声功率谱密度S X t 00.51-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )限带白噪声功率谱密度S ab t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程a(t).coswt 概率密度概率密度S ya t00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程b(t).sinwt 功率谱密度S yb t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-40-30-20-10Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S y t在Commaod Window 中输出的结果如下：E_Xt = 0.0020 E_at= 0.0020 E_bt= -0.0020 E_ft = 0.0040六、实验结果分析：1、由于高斯白噪声Xt是标准正态的，所以均值趋近于零，而at，bt是由Xt通过一个线性系统（低通滤波器）得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，Xt，at，bt均值都趋近于零。
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
实验报告
实验题目：窄带随机过程的模拟
窄带随机过程的模拟
一、实验目的
（1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。
二、实验原理
（1）任意功率谱的正态随机过程的模拟
假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱
满足()X G f 。
为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。
即
0201
()()j f k k k d
X
t X e f T π∞
=-∞
==
∑
由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{}
()X
t 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。
即 2
220
()()(())k
k k X k G f g f kf g
E X δ∞
=-∞
=
- =∑
通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。
假定()X G f 是带限的，即
()0()X G f f B = >
那么，{}
2
k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。
因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。
然后据此构造时域样本函数即可，有
02()[]()M
j f k i t k k M
X i X i t X e π∆=-=∆=
∑
其中t ∆为任意小的时间间隔。
（2）窄带随机过程的模拟
对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为
0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ
其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得
00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=-
其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。
三、实验内容
1. 有色高斯随机过程的产生 假定要求模拟产生一个功率谱为 4
1
()1(/)X G f f f =
+∆
的高斯随机过程，过程的时长为5ms ，1Hz f k ∆=，画出一个样本函数。
2. 产生窄带随机过程
以(1)产生的有色高斯过程作为同相分量和正交分量，产生时长为5ms 、中心频率为
01000/f =π的窄带随机过程，画出一个样本函数。
四、 实验结果与分析
(一) 设计此实验有如下过程：
a ．根据所需过程的时长td 确定频率f0，并由此确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f0]；
b ．根据式
0()(*)
B
X
B
M
X
k M
G
f df G
k f β-=-=
⎰∑ 确定系数
c ．产生2M+1个独立的高斯随机变量，即
0(0,(*)),,1,,1,k X X N G k f k M M M M
β=--+-
d ．构建时域样本函数。
本题中td=5ms ，f0=0.2kHz ，B=6KHz ，M=30； 按照频域产生有色高斯随机过程的步骤，编程得到： clear all; clc; td=0.005; f0=200; B=6000; M=floor(B/f0); x1=-B:100:B;
y1=1./((1+(x1./1000).^4));
z1=trapz(x1,y1); sum=0; for m=-M:M;
sum=sum+1./(1+(m.*f0/1000).^4)
end a=z1/sum; for j=-M:M;
A=randn(61,1);
h(M+1+j)=sqrt(a*1./((1+(j.*f0/1000).^4)))*A(M+1+j); end m=0:0.01:5; sum=0; for n=-M:M;
sum=sum+h(M+1+n)*exp(1i*2*pi*0.2*n*m);
end
X=sum; %样本函数 plot(m,X);
axis([0 5 -200 100]); xlabel('时间 t/ms'); ylabel('样本函数 X(t)');
其中一个样本如下图所示：
00.51 1.52
2.53
3.54
4.55
时间 t/ms
样本函数 X (t )
该图形关于中间时刻对称，这与f0有关。
(二)
00.51 1.52
2.5
3 3.5
4 4.5
5
x 10
-3
-2.5
-2-1.5-1-0.500.51
1.5时间 t/s
y (t )
窄带随机过程的一个样本函数 y(t)
程序代码： clear all;clc;
t=0:0.0001:0.005; w0=1000/pi;
sita=2*pi*randn(1,51); A=randn(1,51); Ac=A.*cos(sita); As=A.*sin(sita);
y=Ac.*cos(w0*t)-As.*sin(w0*t); plot(t,y);
xlabel('时间 t/s'); ylabel('y(t)');
title('窄带随机过程的一个样本函数 y(t)');
五、 心得体会
在做第一个内容的时候，由于要对功率谱作分析，不清楚前进的方向，因此做了许多无用功，十分沮丧。
除此之外，实验内容一大量用到了矩阵的点乘点除，稍有不慎即会报错。
总而言之，还是有不小的收获。
六、实验要求
（1）个人独立完成实验，切勿抄袭； （2）用MATLAB 完成所有要求的实验内容；
（3）撰写详细的实验报告，实验报告中应该包括以下內容： ● 实验内容和原理的简单阐述，分析； ● 得到的实验结果图形及简要分析，比较； ● 自己的实验心得。
