窄带平稳随机过程

29 窄带实平稳高斯随机过程概述窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量： 窄带实平稳随机过程的二维（两个时刻）包络和相位分布两个时刻信号的表达式：两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 两个时刻同相分量和正交分量的协方差矩阵：两个时刻同相分量和正交分量的联合概率密度函数： 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数： 两个时刻包络的联合边缘分布：两个相距无穷远时刻的包络联合边缘分布： 一个时刻包络的边缘分布： 两个时刻相位的联合边缘分布：两个时刻相位和两个时刻包络的分布不是统计独立的：29.1 窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布 29.1.1 窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量tf t t f t t x t f t t f t t x c c s cc c πξπξπξπξ2cos )(ˆ2sin )()(2sin )(ˆ2cos )()(−=+=以及t f s t x t f t x t tf t x t f t x t cs c c c s c c ππξππξ2cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(−=+=因为窄带实平稳高斯随机过程的Hilbert 变换是一个高斯随机过程，它的同相分量与正交分量是它和它的Hilbert 变换的线性变换，同相分量和正交分量也是高斯过程。

上述高斯随机过程是联合高斯的。

29.1.2 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：同相分量和正交分量的一维相关矩阵，)(),(t x t x s c 的相关矩阵，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)0(00)0(ξξξξR R R 同相分量和正交分量的联合概率密度是，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+−=⋅=22222exp 21)()(),(ξξσσπy x y f x f y x f s c s c x x x x 29.1.3 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：同相分量、正交分量与包洛和相位分量的关系是，)(sin )()()(cos )()(t t V t x t t V t x s c φφ⋅=⋅=以及，)()(tan)())(())(()(122t x t x t t x t x t V c s s c −=+=φ同相分量、正交分量到包洛和相位分量的变换行列式是，)()(cos )()(sin )()(sin )(cos ),(),(t V t t V t t V t t V x x s c =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂φφφφφ 一个时刻包洛和相位分量的联合概率密度是πφσσσσπφφξξξξφ21)(2exp 1)(2exp 21),(),(222222＝f r r r f r r y x f r r f V x x V s c ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⋅= 29.1.4 一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量：)()(),(φφφφf r f r f V V ⋅=一维包洛分量的数字特征是：{}{}{}2222/12222ξξξσπσσπ⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=V D V E V E29.2 窄带实平稳随机过程的二维包络和相位分布 29.2.1 两个时刻信号的表达式：两个时刻信号的同相分量和正交分量表达式11111111112cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=22222222222cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=两个时刻信号的包络和相位表达式)](2cos[)()(1111t t f t V t c φπξ+= )](2cos[)()(2222t t f t V t c φπξ+=两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：由于ξ(t)是高斯分布的随机过程，而x c (t 1),x c (t 2),x s (t 1),x s (t 2)都是由ξ(t)经过线性变换得到的，它们是联合高斯分布的随机变量。

窄带实平稳随机过程¾ 1概述6 确定性窄带信号窄带信号的数学表达式 同相分量、正交分量 包络和相位分量6 窄带实平稳信号的Hilbert 变换Hilbert 变换（冲击响应、频率响应）和等效的线性系统窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的自相关函数和功率谱 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的互相关函数和互功率谱¾ 2线性调制过程（1）6 由两个均值为零实宽平稳过程()a t 、()b t ，常数0ω，构造线性调制过程6线性调制过程的广义平稳的条件 6 构造线性调制过程的对偶过程 6 线性调制过程的复数表示6 线性调制过程相关函数和功率谱 6 单边带调制过程 ¾ 3线性调制过程（2）6 由线性调制过程)(t ξ构造对偶过程，解析信号6等效低通信号定义、频谱、功率谱，数学表达式时域表示，等效低通信号，它的同相分量、正交分量窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的同相分量、正交分量¾ 4计算调制过程分量的相关函数和功率谱 6 自相关函数和功率谱)(t x c 、)(t x s 的自相关函数和自功率谱6互相关函数和功率谱)(),(t x t x s c ；)(),(t x t x c s 的互相关函数和互功率谱6相关函数和相关矩阵进一步讨论 定理：窄带实平稳的随机过程的功率谱、时域的同相分量和正交分量表示、同相分量和正交分量的自功率谱、同相分量和正交分量的互功率谱、 6 相关函数和功率谱密度的小结¾ 5窄带实平稳随机过程的相关函数和相关矩阵： 6 相关函数 6 相关矩阵1概述1.1 确定性窄带信号窄带信号，信号的频谱分量仅仅集中在载波频率附近。

窄带信号的数学表达式是：()()()cos 2()()cos ()cos2()sin ()sin 2()cos2()sin 2c c c c c s c x t V t f t t V t t f t V t t f t x t f t x t f tπφφπφπππ=−=+=+ 同相分量、正交分量分别是：)(sin )()()(cos )()(t t V t x t t V t x s c φφ⋅=⋅=包洛和相位分量分别是：1()()()tan ()s c V t x t t x t φ−=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1.2 窄带实平稳信号的Hilbert 变换Hilbert 变换和等效的线性系统如果把变换看作一个线性系统，Hilbert 变换的频率响应和冲击响应分别是f j jf H sgn )(⋅−= tt h π1)(=随机过程)(t ξ的Hilbert 变换记作)(ˆt ξ11ˆ()()()()t t u du u du u t u ξξξππ=−=−∫∫ 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换的自相关函数、互相关函数、功率谱和互功率谱：它们的相关函数和功率谱是)()()()(2ˆf P f P f H f P ξξξ== )()(ˆττξξR R =它们的互相关函数和互功率谱是)()()()sgn()()()()()sgn()()()(ˆˆ*ˆˆττξξξξξξξξξξξξR R f P f j f P f H f P f P f j f P f H f P −=⋅==⋅⋅−== 2线性调制过程（1）2.1构造线性调制过程线性调制过程：给定两个均值为零实宽平稳过程()a t 、()b t ，常数0ω，构造过程()x t ，[]000()()cos ()sin ()cos ()x t a t t b t tr t t t ωωωϕ=−=+其中振幅过程()r t 、相位过程()t ϕ()()()/()r t tg t b t a t ϕ==该过程是具有振幅调制()r t 和相位调制的调制过程。