(10-11)高数(高)B

高数b常用公式手册 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】常用高数公式1、乘法与因式分解公式2、三角不等式3、一元二次方程的解4、某些数列的前n项和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8、一些初等函数两个重要极限9、三角函数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向量代数13、多元函数微分法及应用14、多元函数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式1.11.21.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数）2、三角不等式2.12.22.32.42.63、一元二次方程 的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：4、某些数列的前n 项和4.24.34.75、二项式展开公式6、基本求导公式：7、基本积分公式：8、一些初等函数： 两个重要极限：9、三角函数公式：xx x x x x x xx ax x e e a a a x x C C a xx x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(=='-='='='='='='='='-为实数）为常数）αααα22222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x xx x x x x xx x +-='+='--='-='⋅-='⋅='-=-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⋅+=⋅+-==+==+=-+=++-=++=Cx xdx x C x dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx Cx x dxCx x dxCx x xdx Cx x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+=+=+=+=-≠++==+Cx xdx C x xdx Ca a dx a C e dx e Cx dx x C x dx x Cdx xxx x cos sin sin cos ln ln 1)1(101αααα·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：x arc x x x cot 2arctan arccos 2arcsin -=-=ππ10、高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：11、中值定理与导数应用：12、空间解析几何和向量代数：13、多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：14、多元函数的极值及其求法：15、级数常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或： 16、微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数非齐次线性微分方程：。

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三、计算题（本大题 10 分）
11.计算 n 阶行列式
a1 − m a2 "
Dn =
a1 "
a2 − m " ""
a1
a2 "
an an 的值. " an − m
得分
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答 题勿超装 订 线
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通过正交变换 X = QY 化成标准形 f ( y1, y2 , y3 ) = 3y12 + 3y22 + by32 . （1）求参数 a, b 的值; （2）求正交矩阵 Q .
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14.（本小题 10 分）甲、乙二人之间经常用 e-mail 联系，他们约定在收到对方邮件的当天即 给回复（即回一个 e-mail），由于线路问题，每 n 份 e-mail 中会有1份不能在当天送达收件人. 甲在某日发了1份 e-mail 给乙， （1）试求甲在当天收到乙的回复的概率； （2）如果已知甲在当天未收到乙的回复，试求乙在当天收到甲发出的 e-mail 的概率.

2010—2011学年第一学期《高等数学（工）1》期（中）试卷参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．D ；2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．B ； 9．D ； 10．A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．0； 12； 13．()2{()[()]}f x e f x f x '''+； 14．12； 15．1-； 16．2y =．三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）17．xx x x sin 11lim 20-++→． 解：x x x x sin 11lim 20-++→)11(sin )1(lim 20++++=→x x x x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） 21=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） 18．12lim(12)tan x x x π→-⋅． 解：12lim(12)tan x x x π→-⋅1212limcot x x x π→-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 2122limcsc x x ππ→-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） 21222limsin x x πππ→==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）19．3lim 1x x x x →∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭．解：3lim 1x x x x →∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭333(1)lim (1)x x xx x →∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4分) 32e e e== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） 20．设()ln(x f x xe x =+，求)0(f '．解：()ln(x f x xe x ''⎡⎤'⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）1x x e xe ⎛⎫=++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）(1)x e x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）1(0)1f e'=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） 21．求曲线02=-+x e xy y 在点)0,1(处的切线方程．解：方程02=-+x e xy y 两端分别求导数得到 0122=-'+'+y e y y y x y解出 221y ye x yy +-='．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(3分)令1=x ，0=y ，得到1)0,1(='y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4分)于是曲线)(x y y =在点)0,1(的切线方程为1-=x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）22．设2cos2(4)x y x =+，求y '．解： 2ln cos2ln(4)y x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）22122sin 2ln(4)cos 24x y x x x y x '=-++⋅+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）2cos2222cos 2(4)2sin 2ln(4)4x x x y x x x x ⋅⎡⎤'=+-++⎢⎥+⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） 23．设参数方程3arctan 162x t t y t t =++⎧⎨=+-⎩ 确定了函数)(x y y =，求212x d y dx =． 解：222363(1)111dy t t dx t +==+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 2222266(1)1211d y t t t dx t t +==+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） 1x =对应0t =，2120x d y dx =∴=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）24．设函数⎩⎨⎧>≤+=00sin )(2x x axb e x f x ，为了使函数在0=x 处可导，a 、b 应取什么值？ 解：因为)0(f '存在，所以函数)(x f 在0=x 处必连续，b f +=1)0(=-)0(f b b e x f x x x +=+=--→→1)(lim )(lim 200 =+)0(f 0sin lim )(lim 00==++→→ax x f x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 由)0()0()0(f f f ==+- 得1-=b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）h f h f f h )0()0(lim )0(0-+='-→-21lim 20=-=-→he h h a hah h f h f f h h =-=-+='++→→+0sin lim )0()0(lim )0(00．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） 由)0()0(+-'='f f ，得到2=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.（6分） 四、应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．25．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？ 解：设容器的底边长为x 米，高为y 米，则容器的表面积为24x xy S +=2224321084x x x xx +=+⋅= )0(>x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） x xS 24322+-='．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） 令0='S ，得到6=x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）28643+=''x S ，0)6(>''S ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） 所以，当6=x ，3=y ，即容器的底边长6米，高3米时，所用材料最省。

1 y 1 ( x 1) 2 cos t t sin t 1 sin t t cos t
． ．
．
7. 设参数方程为
x t (1 sin t ) dy ，则 dx y t cos t
2 ln x 3
8. 若 y x 2 ln x , 则 y =
系
相应地函数增量 y 的线性主部为 0.2，则 f (1) A．0.1 B．0.5 C．-1 D. 1
( D )
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得分 阅卷人
三、计算题（每题 5 分，共 25 分） ， 请把答案写在问题的 下面。
1. 求极限 lim(
x 1
1 3 ) 1 x 1 x3
解： lim
sin 2 1 x
信 级 班级 生
专业
1 sin 2 1 2 2 e x sin …………… x x
装
考
…7 分
系
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4. 试求由方程 2 y x ( x y) ln( x y ) 所确定的函数 y y ( x) 的微分 dy 解： 2 y 1 (1 y) ln( x y ) ( x y )
f (0) b f (0 ) lim (e x 1) 2. …………
x 0
……6 分 …7 分
…………… 综上：当a 1, b 2时，f ( x)在x 0处可导。
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2．求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x etan x esin x
则dy
…7 分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得分 阅卷人