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4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
第二章平面解析几何初步示范教案整体设计教学分析本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．通过小结与复习，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法．并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题．可让学生先阅读教科书中“思考与交流”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标1．通过总结和归纳直线与直线的方程、圆与圆的方程、空间直角坐标系的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．2．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成．教学难点：整理形成本章的知识系统和网络．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．设计2.为了系统掌握第二章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题阅读教材P111思考交流，画出本章知识结构.讨论结果：知识结构应用示例思路1例1已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m4|＝24.∴m＝±24. ∴直线l 的方程为3x ＋4y±24＝0.点评：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m≠C)． 变式训练求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x ＋3y ＋12＝0平行； (2)经过点Q(－1,3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直； 答案：(1)2x ＋3y －1＝0.(2)2x －y ＋5＝0.例2求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．分析：因为条件与圆心有关系，因此可设圆的标准方程，利用圆心在直线2x －y －3＝0上，同时也在线段AB 的垂直平分线上，由两直线的交点得出圆心坐标，再由两点间的距离公式得出圆的半径，从而得到方程．解：方法一：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，5－a 2＋2－b 2＝r 2，3－a 2＋－2－b 2＝r 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝1，r ＝10.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.方法二：因为圆过点A(5,2)和点B(3，－2)，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆的圆心C 的坐标为(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12a －4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以圆心C(2,1)，r ＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 点评：本题介绍了几何法求圆的标准方程，利用圆心在弦的垂直平分线上可得圆心满足的一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，由两点间的距离公式得出圆的半径，从而得到圆的标准方程．其实求圆的标准方程，就是求圆的圆心和半径，有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算，可大大简化计算的过程与难度．如果用待定系数法求圆的方程，则需要三个独立的条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法，其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式，进而确定其中三个参数．变式训练求经过两点A(－1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的标准方程．解：方法一：设圆心C(a ，b)，∵圆心在y 轴上，∴a＝0.设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝r 2.∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋4－b2＝r232＋2－b 2＝r2⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10.方法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－1＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故点(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r ＝10.所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.思路2例3自点A(－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在的直线的方程．解：(待定系数法)设光线l 所在直线的方程为y －3＝k(x ＋3)，则反射点的坐标为(－31＋kk，0)(k 存在且k≠0)． ∵光线的入射角等于反射角，∴反射线l′所在直线的方程为y ＝－k[x ＋31＋kk]，即l′：y ＋kx ＋3(1＋k)＝0.∵圆(x －2)2＋(y －2)2＝1，且l′与圆相切，∴圆心到l′的距离d ＝|2＋2k ＋31＋k |1＋k 2＝1. ∴k＝－34或k ＝－43.∴光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.点评：本题是方程思想的典例，方法较多，无论那种方法都是设出适当的未知数，列出相应的方程求解，对光线问题的解决，一般利用对称的方法解题，往往会收到意想不到的结果．变式训练 已知点A(0,2)和圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝365，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过的路程．解：设反射光线与圆相切于D 点．点A 关于x 轴的对称点的坐标为A 1(0，－2)，则光线从A 点到切点所走的路程为|A 1D|在，Rt△A 1CD 中，|A 1D|2＝|A 1C|2－|CD|2＝(－6)2＋(－2－4)2－365＝36×95.∴|A 1D|＝1855，即光线从A 点到切点所经过的路程是1855.知能训练1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( ) A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或16答案：D2．已知直线l 过点P(5,10)，且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为__________． 答案：x ＝5或3x －4y ＋25＝03．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是__________．答案：[－2,0)∪(0,2]4．经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是__________．答案：m ＝0或m ＝－126．求经过点P(2,3)且被两条平行直线3x ＋4y －7＝0和3x ＋4y ＋8＝0截得线段长为32的直线方程．解：因为已知两条平行直线间的距离d ＝|－7－8|32＋42＝3， 所以所求直线与直线3x ＋4y －7＝0的夹角为45°.设所求直线的斜率为k ，则tan45°＝|k －－34||1＋－34k|.解得k ＝17或k ＝－7.因此x －7y ＋19＝0或7x ＋y －17＝0为所求．6．直线l ：3x ＋4y －10＝0与曲线C ：x 2＋y 2－5y ＋p ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB，O 为坐标原点，求实数p 的值．解：直线l 和曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10＝0，x 2＋y 2－5y ＋p ＝0，消去x ，得25y 2－125y ＋100＋9p ＝0.∴y 1y 2＝100＋9p 25.同理，x 1x 2＝16p －10025.∵OA⊥OB，∴y 1y 2x 1x 2＝－1.∴100＋9p 2516p －10025＝－1， 解得p ＝0. 拓展提升 设有半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进，A 出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？分析：首先建立适当的坐标系，结合几何知识解题．由于是圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，于是可以以村落中心为原点，以开始时A 、B 两人的前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件，然后再准确设元，列出方程．解：以开始时A 、B 两人的前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，由题意可设A 、B 两人的速度分别为3v km/h ，v km/h ，再设A 出发x 0 h 后在点P 处改变前进方向，又经y 0 h 在点Q 处与B 相遇，则P 、Q 两点的坐标为(3vx 0,0)，(0，v(x 0＋y 0))，如下图所示．由于A 从点P 到Q 行走的时间是y 0 h ，于是由勾股定理有|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，有(3vx 0)2＋[v(x 0＋y 0)]2＝(3vy 0)2.整理，得(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0.又x 0＋y 0>0，所以5x 0＝4y 0.①于是k PQ ＝0－v x 0＋y 03vx 0－0＝－x 0＋y 03x 0.②把①代入②得k PQ ＝－34.由于切线PQ 与y 轴的交点Q 对应的纵坐标v(x 0＋y 0)的值就是问题的答案，于是转化为“当直线y ＝－34x ＋b 与圆相切时，求纵截距b 的值”．利用圆心到切线的距离等于圆的半径，得4|b|32＋42＝3，解得b ＝154(b>0)．因此A 、B 两人相遇的位置是离村落中心正北334km 处．课堂小结本节课学习了：1．复习本章知识，形成知识网络． 2．解决与直线、圆有关的问题． 作业本章小结巩固与提高 6,7,9,11题．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．通过新旧知识联系，加强横向沟通，培养学生多角度思考问题，利用不同的方法解决问题的能力．在课堂上进行解题方法的讨论有助于活跃学生思维，促进发散思维的培养，提高思维灵活性，抓住数形结合的数学思想，总结解题规律，充分体现解析几何的研究方法．教会学生思想方法比教会学生解题重要的多．数学知识将来可能会遗忘，而数学思想方法会影响一个人一生．备课资料 备选习题1．若过定点M(－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )A ．0<k< 5B ．－5<k<0C ．0<k<13D ．0<k<5 答案：A2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动120°弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)答案：A3．过坐标原点且与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为( )A ．y ＝－3x 或y ＝13xB ．y ＝－3x 或y ＝－13xC ．y ＝－3x 或y ＝－13xD ．y ＝3x 或y ＝13x解析：过坐标原点的直线为y ＝kx ，与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径102，则|2k ＋1|1＋k2＝102，解得k ＝13或k ＝－3， ∴切线方程为y ＝－3x 或y ＝13x.答案：A4．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：r ＝|3×2－4×－1＋5|32＋42＝3. 答案：C5．圆：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆：x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________．答案：3x －y －9＝06．从点A(－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B(1,6)关于直线l 1的对称点为B′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴直线AB′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0.故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.7．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A(－1,2)、B(0,3)，试在l 上找一点P ，使得|PA|＋|PB|的值最小，并求出这个最小值．解：过点B(0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l′：y －3＝－12x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l′相交于点Q(45，135)．点B(0,3)关于点Q(45，135)的对称点为B′(85，115)，连接AB′，则依平面几何知识，知AB′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1425，y ＝5325，即P(1425，5325)， 相应的最小值为|AB′|＝－1－852＋2－1152＝1705.。
教材分析：平面解析几何初步解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即建立直角坐标系，通过点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，充分体现了数形结合的数学思想。
1．本章教学目标通过本章的学习，学生初步学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，体会与感悟运用代数方法研究直线和圆几何性质的思想，了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式以及直线方程的几种形式转化(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；3.掌握利用斜率判定两条直线平行或垂直的方法；能用解方程的方法求两直线的交点坐标；4.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；6.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；7.通过平面解析几何初步的学习，使学生体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”和“数”的对立和统一，渗透数学中普遍存在的动静变化、相互联系、相互转化的辩证观点，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。
2．本章设计意图本章包含了直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系三部分内容。
本章的编写强化了解析几何研究问题的思维和方法：本章在直线和圆的方程处理上，以学生熟悉的问题(生活实例、数学问题等)为背景，按照“问题情境—数学活动—意义建构—数学理论—数学应用—反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析，使学生感受用坐标、方程刻画点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。
第二章解析几何初步第3.1节空间直角坐标系的建立本节教材分析（1）三维目标①知识与技能：掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力.②过程与方法：建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示。
③情感、态度与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.（2）教学重点在空间直角坐标系中确定点的坐标.（3）教学难点通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用。
（4）教学建议学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的.但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑.本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.新课导入设计导入一思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在 1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路 2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.导入二一.提出问题：问题 1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？问题２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？问题３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题）。
必修二第二章平面解析几何初步运算能力培养的教学建议一、解析几何及特点：解析几何学科的特点是运用代数的方法来研究几何图形的性质.具体的说：过去研究两条直线是否平行，我们通常是使用平行线的判定定理：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行.在解析几何中，判断两条直线的位置关系，则是依据两条直线的斜率，当两条直线的斜率存在时，依据斜率与截距就可以判断两条直线是否平行；再例如，过去判断直线与圆是否相切，依据切线的判定定理；现在则可以通过联立直线与圆的方程，通过解方程组，得出方程组的解得个数确定直线和圆的位置关系。
二、教学中的常见问题缺少对复杂运算的处理办法，缺少对算理的推敲，缺少简约的运算习惯，缺少监控运算过程与结果的意识与方法。
学生没有掌握解析几何的思维方法，误以为用代数方法解决几何问题就是一个劲的算。
解析几何问题首先要做的就是要将几何问题代数化。
第一，从几何的背景、几何的图形中得到几何的性质。
如果一个点在某条线段的垂直平分线上，那么它必然到线段的两个端点的距离相等；如果一个点是三角形的一边上的中点，那么就可以考虑在另外的一边上取中点，用三角形的中位线的性质；如果是有关三角形的内切圆的图形，那就要分析出线段相等，角相等的有关性质,等等。
例1.已知一条直线y=kx-1和圆（已知方程，含参数k，m）相交与M,N两点，并且M,N点关于直线x+y=0对称，求k+m的值。
直线x+y=0过圆心，只需要把圆心的坐标如（-k,-m）代入，就可以得到k+m=0了。
例2.直线l:ax+y+2=0与过A(-2,3)与B（3,2）的线段相交，求a的取值范围.从几何特征的角度看，A,B两点与直线的位置关系是分析的要点，即A,B两点在直线l的两侧，而这个特征的代数化很简单。
只要把两点坐标代入到直线l方程的左侧所得到的两个数值乘积小于等于零即可。
例3.直线x yl：+=1a b过点M（cos，sin）θθ,研究a,b之间的关系。
第二章平面解析几何初步
本章概览
三维目标
1.体会从直线坐标系——平面直角坐标系——空间直角坐标系的三维变化过程中，感知由易到难，由简单到复杂，由低级到高级的认知过程.
2.理解直线的倾斜角、斜率等概念，能建立直线的方程；感受数学世界的奇异美、简洁美、和谐美,增强美学意识.通过对直线方程的分析和运用，了解形式和内容、对立和统一的辩证唯物主义思想.
3.掌握直线间的位置关系以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.理解事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想.
4.通过建立圆的方程研究圆的有关性质，并通过方程进一步研究直线与圆，圆与圆的位置关系，理解规律是现象间本质的必然的联系这一辩证思想，逐步掌握按规律办事的科学方法.通过学习平面上两条直线及两圆的几何关系可转化为其方程中系数之间的关系，发现数形结合之美；通过对比三个维度下的点到直线的距离公式体会数学中的对称美.
知识网络。
高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之一三明九中李宇宙一、解析几何内容的设计：1. 几何的内容按三个层次设计（1）必修课程中的几何，主要包括：立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。
（2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
（3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等。
2．解析几何内容的变化突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义。
解析几何的内容也是分层次设计的：在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中。
3．必修2削弱的内容两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等。
4．必修2增删的内容(1) 解析几何增加的内容：直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系(2) 解析几何删除的内容：曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线；线性规划移至必修5(第三章)不等式部分二、数学必修2《解析几何初步》的教学建议认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。
关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。
《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。
教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。
关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。
教学中，注意适当给学生数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。
第一课时 第二章 平面解析几何初步一、知识结构二、重点难点 重点：直线的斜率和倾斜角的概念，过两点的直线的斜率的计算公式；直线的方程的几种形式，会根据已知条件选择恰当的形式表示直线；两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离；根据斜率判定两直线的平行或垂直关系，会求两直线的交点坐标；圆的标准方程与一般方程的概念，会根据条件选择恰当的形式求圆的方程；能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用距离公式求空间两点间的距离． 难点：几种形式的直线方程的推导；圆的标准方程的推导；直线与圆、圆与圆的位置关系中有关问题的探索． 第1课 直线的斜率（1） 【学习导航】知识网络学习要求1．理解直线的斜率的概念；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．自学评价1．直线的斜率：已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果x 1≠ x 2那么，直线PQ 的斜率为k = ；此时，斜率也可看成是．【精典范例】例1：如图，直线123,,l l l 都经过点(3,2)P ，又123,,l l l 分别经过点12(2,1),(4,2)Q Q ---，3(3,2)Q -，试计算直线123,,l l l 的斜率． 【解】直线直线方程两直线位置关系1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+平行于坐标轴平行于x 轴y b =平行于y 轴x a =直线方程的点斜式 斜截式 两点式 截距式垂直k 1k 2= -1平行 k 1=k 2 相交 k 1≠k 2求交点点到直线的圆的方程标准方程：222()()x a y b r -+-= 一般方程：220x y Dx Ey F ++++=直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系相交、相切、相离相离、相交、外切、内切、内含空间直角坐标系空间直角坐标系中点的坐标表示空间两点间的距离公式直线的斜率 计算公式概念例2：已知直线l 经过点(,2)A m 、2(1,2)B m +，求直线l 的斜率． 【解】例3：经过点(3,2)画直线，使直线的斜率分别为：（1）34；（2）45-． 【解】思维点拔：任何直线都有倾斜角和斜率吗？ 追踪训练1.ABC ∆的三个顶点(3,2),(4,1)A B -，(0,1)C -，写出ABC ∆三边所在直线的斜率：AB k = ，BC k = ，AC k = ．2. 求证：(1,5),(0,2),(2,8)A B C 三点共线．3.已知过点(1,2)m -，(,3)m m -+的直线l 的斜率为3，则实数m 的值为 .4、设点Ａ（－１，１），Ｂ（x ，2）,C(-2,y)为直线l 上三点，已知直线的 斜率k=2,则x= . 教后感：。
高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之一三明九中李宇宙一、解析几何内容的设计：1. 几何的内容按三个层次设计（1）必修课程中的几何，主要包括：立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。
（2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
（3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等。
2．解析几何内容的变化突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义。
解析几何的内容也是分层次设计的：在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中。
3．必修2削弱的内容两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等。
4．必修2增删的内容(1) 解析几何增加的内容：直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系(2) 解析几何删除的内容：曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线；线性规划移至必修5(第三章)不等式部分二、数学必修2《解析几何初步》的教学建议认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。
关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。
《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。
教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。
关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。
教学中，注意适当给学生数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。
第二章：“解析几何初步”教材分析与教学建议房山区教师进修学校中学数学教研室张吉一、内容与要求（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
三、本章说明本章主要是较系统地学习坐标几何的基本概念和方法。
编写的基本理念是，以直线上的坐标几何为基础，一步步地把一维坐标几何推广到二维和三维坐标几何。
在讲二维和三维坐标几何时，把二维转化为一维，把三维转化为二维来处理。
通过学习，让学生体会用坐标法研究几何的优点。
解析几何的思想方法，就是代数和几何联姻，用代数方法研究几何，把对几何图形的研究代数化。
这一章实质上就是代数在几何中的应用。
解决问题的基本思路都是：在坐标系中，设动点的坐标，把图形的特征性质转化为代数表示。
设未知数列方程或方程组解几何问题。
要注意到同学们的代数基础，如果不太好，要在这一章，通过用代数方法解几何问题，复习代数学的基本方法和技能。
打好学生的代数基础。
四、地位与作用解析几何是数学的一个分支，是通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科，它是数学的两个基本对象——数与形的统一。
通过数形结合，使坐标方法成为一个双面的工具。
一方面，几何概念可用代数表示，几何目标可通过代数方法达到；另一方面，又可给代数语言以几何解释。
使代数语言更直观、更形象地表达出来。
其中蕴涵了数形结合思想。
五、解析几何内容的整体安排必修二：平面解析几何初步（约18课时）必选1-1：圆锥曲线与方程（约12课时,文科选)2-1: 圆锥曲线与方程（约16课时,理科选)任选4-4：坐标系与参数方程（理科选）六、教学内容安排1．解析几何的本质: 是用代数方法研究图形的几何性质.它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想。
2．《课程标准》要求：要求学生在解析几何初步的学习中，经历将几何问题代数化，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，解决几何问题的过程。
即,这部分内容的学习有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体会数形结合思想，形成正确的数学观；解析几何的内容强调几何，突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义；对解析几何内容采用的处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何学习的兴趣，克服几何学习可能会造成学生两极分化的弊端。
八、解析几何的基本思想1．几何→代数（1）将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系；（2）将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义；（3）解决几何问题。
2．代数→几何：强调借助几何直观理解代数关系的意义，即对代数关系的几何意义的解释，个在这过程中，让学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
九、本章重点、难点1．重点：（1）直线的点斜式方程、一般式方程；（2）圆的标准方程和一般方程的两种形式。
2．难点：（1）坐标法的应用。
十、教材的编写特色充分体现解析几何基本思想——通过建立坐标系，将几何问题代数化，进而用代数方法解决几何问题。
让学生掌握一种学习与研究的方法。
1．特色之一：突出解析法基本思想——代数方法解决几何问题重视“数形结合”思想的运用——以形助数、依数识形2．特色之二:过程彰现新理念：在直线和圆的方程的处理上，以学生熟悉的问题（生活实例、数学问题等）为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析和解决，使学生感受建立坐标系，并用坐标、方程等知识来刻划点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。
3．特色之三：《初步》内容更显丰富：两条平行直线之间的距离；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系。
由幕后跳到前台，让《初步》内容变得丰满起来。
4．特色之四：将“圆与方程”与“直线与方程”进行类比，感受同构（方法）的特点，体验解析几何的研究程序。
Ｈ.伊夫斯：“解析几何是数学家应用变换－－求解－－反演法的一个最精彩、最深入、最富有成果的例子”，“解析几何与其说是一个几何学分支，不如说是一种几何方法”。
十一、教学建议１.要让学生感受到方程形式与曲线分类的关系－－解析几何的价值之一；２.要让学生感受用解析法处理几何问题的优越性：不在乎繁简，而在于其方法论的价值－－解析几何的又一重要价值；3．让学生体验解析几何研究问题的方法和特点；4．突出数形结合的数学思想：形的直观数的一般数与形的对立统一；不能“得意忘形”；5．在知识与概念形成过程中，培养学生的合情推理能力、数学交流能力、探索能力和逻辑思维能力十二、分节分析2．1 平面直角坐标系中的基本公式（2课时）2．1．1 数轴上的基本公式（1课时）1．教学目标（1）能通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系、实数与位移的对应关系；（2）理解实数运算在娄数轴上的几何意义；（3）掌握数轴上两点距离公式；（4）掌握数轴上向量加法的坐标运算。
2．内容分析3．本节重点、难点4．教学建议（1）这一小节，在教学上往往被忽视。
但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础。
教师一定要下些功夫，让学生牢固掌握。
（2）首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系。
然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应。
以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替。
对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦。
现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导。
也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础。
（3）在初中，学习正负数时，就用正负数表示位移的大小和方向，并用位移的合成学习正负数的加法。
这里把直线上相等的位移定义为一个向量，并与实数建立一一对应关系，学生理解起来应该不会有困难。
建议教学时，进行探索。
建立起实数与直线上的位移向量间的一一对应关系，使数与形更准确地结合起来。
（4）数轴上的向量的加法运算及用向量表示点的位置，是整个解析几何的基础。
教学时，一定要给予足够的重视。
一定要让学生彻底地理解，熟练地掌握。
教材仍采用传统的习惯，把加法运算表示为公式： AB+BC=AC，由此导出解析几何中两个最基本的公式： AB=x2-x1，d(A，B)=|x2– x1|。
对这两个公式，一定要多做练习，让学生熟练掌握。
在这两个公式的基础上，最好引导学生导出中点公式。
（5）本节的练习A，B要求大多数学生都能熟练地做出。
不仅是要求学生记住上述两个公式，而且要求学生完全理解它的几何意义和代数意义，为数形结合打下牢固的基础。
练习中出现的不等式，要求学生完全由不等式表示的几何意义求解。
这里不需要补充代数解法。
5．例题分析2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式1．教学目标（1）掌握直角坐标系中两点的距离公式与线段中点的坐标公式；（2）推导直角坐标系中两点的距离公式与线段中点的坐标公式。
2．内容分析（1）直角坐标系中两点的距离公式；（2）直角坐标系中线段中点的坐标公式。
3．本节重点、难点（1）重点：利用勾股定理与数轴上位移数量的计算公式推导平面上两点的距离公式。
（2）难点：应用坐标法研讨几何问题。
4．教法分析（1）首先把数轴上的基本公式距离公式和中点公式，推广到平面直角坐标系，把二维的事物转化为一维来处理。
等学完平面向量后，可作为练习，让学生用向量方法重新证明这些基本公式和几何问题。
这样做是不是更符合学生的认识规律？（2）关于距离公式有两点提醒老师注意：第一，应向学生指出，距离公式是勾股定理的坐标形式，通过两点的坐标分量来计算两点间的距离；第二，贯彻算法思想（机械化计算）。
这一点，大家一定要注意：按步骤计算（一点都马虎不得），是学好数学的基本功。
（3）中点公式：应向学生指出，中点公式是中心对称的坐标表示。
应多做练习，让学生掌握中点公式的应用。
（4）这一节的习题后用探索与研究的方式安排了一个系列习题。
通过直线上的距离公式，求解含绝对值符号的方程。
只要学生理解了距离公式的几何意义，学生应能解出。
而且，这能进一步帮助学生更好地理解距离公式的意义。
不妨在学习椭圆方程和双曲线方程时重温此题。
如果点在坐标平面上，让学生写出点的轨迹方程。
2．2 直线的方程（6课时）2．2．1．直线方程的概念与直线的斜率（1课时）1．教学目标（1）理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围。
（2）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式（3）掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系。
（4）能由直线的斜率求出直线的倾斜角，也能由直线的倾斜角求出直线的斜率（斜率存在的条件下）。
（5）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线的斜率的变化规律。
2．内容分析（1）直线的方程与方程的直线的概念；（2）斜率的概念与斜率公式；（3）直线的倾斜角的概念与范围。
3．本节重点、难点（1）重点：（1）理解直线斜率的概念；（2）探索如何通过直线上两点求直线的斜率公式。
（2）难点：理解斜率的几何意义及与“相似比”等概念之间的内在关系。
4．教学建议（1）倾角与斜率是解析几何的一个核心概念 （2）课本通过确定直线的几何要素来引出概念的（3）教材是通过问题形式”直线的倾斜程度如何刻画呢”,揭开解析几何研究的序幕 （4）课本用学生非常熟悉的坡度作为知识的最近发现区来引出斜率概念的.（5）让学生切实理解斜率和倾角都是反映”直线倾斜程度”这一概念的本质特征 （6）倾角侧重于几何直观形象,斜率更侧重于用刻画直线的方向（7）充分利用学生已经学习了三角函数这一优势,让学生体会倾角变化时斜率的变化规律.（8）通过分析一次函数及其图象，建立直线方程的概念。
