2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程学案含解析新人教B版

平面解析几何一、直线与圆1.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； < ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径r=2422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: .若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A CBb Aa d +++=.8.两圆位置关系的判定方法#设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .$二、圆锥曲线1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质&(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2=b 2+c 2，顶点为（a,0）,(0,b),焦点为（c,0）,离心率e=ac ，准线c a 2±=x (X 型). (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2+b 2=c 2，顶点为（a,0）,焦点为（c,0）,离心率e=a c （e>1）,渐近线为x ab y ±=. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)共轭双曲线： 12222=-b y ax 与1-2222=a x b y 渐近线一样. (3)等轴双曲线：若双曲线与12222=-by a x 中a=b ，（e=2,渐近线为y=x ±）. 5.抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.准线：x=2p ,离心率为e=1.（点到焦点的距离等于点到准线的距离）.。

双曲线重点难点知识点总结双曲线是几何学中的重要概念，是平面解析几何中一类具有独特性质的曲线。

以下是对双曲线重点、难点和知识点的总结：一、重点1.双曲线的定义和标准方程双曲线的定义包括焦点在x轴和y轴上的双曲线，以及等轴双曲线。

需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。

2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率等。

需要理解这些性质的含义和计算方法，以及它们在不同类型双曲线中的表现。

3.双曲线的标准方程的推导方法双曲线的标准方程可以通过代入法、点差法、平方差法等方法进行推导。

需要掌握这些方法，并理解它们在不同情况下的适用性。

二、难点1.双曲线标准方程的理解和应用双曲线标准方程的形式相对复杂，需要理解其含义和应用方法。

特别是对于焦点在y轴上的双曲线，标准方程的形式更为复杂，需要注意符号和系数的含义。

2.双曲线的几何性质的灵活运用双曲线的几何性质多样，不同情况下需要运用不同的性质进行求解。

需要具备灵活运用这些性质的能力，特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时。

3.双曲线与直线的交点坐标的求解方法求解双曲线与直线的交点坐标是双曲线学习中的一个难点。

需要掌握代入法、点差法等方法，以及了解它们在不同情况下的适用性。

同时还需要理解直线与双曲线的位置关系对交点数量的影响。

三、知识点总结1.双曲线的定义和标准方程定义包括焦点在x轴、焦点在y轴和等轴双曲线。

需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。

同时还需要了解如何根据标准方程计算双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质。

2.双曲线的几何性质的灵活运用需要了解双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质的计算方法和含义，并能够灵活运用这些性质进行求解。

特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时，需要运用相应的性质进行求解。

3.双曲线标准方程的推导方法需要掌握代入法、点差法、平方差法等方法，并理解它们在不同情况下的适用性。

课时分层作业(二十二) 双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ．2D ．2A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2． ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5．]2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( ) A ．x 252－y 2122＝1 B ．y 2122－x 252＝1 C ．x 2122－y 252＝1D ．y 252－x 2122＝1D [依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13．又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1．]3．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±24xD [根据题意，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±ab x ，若双曲线的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则c ＝3a ，则b ＝9a 2－a 2＝22a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±24x ．]4．平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB ，AD 的斜率分别为12，1，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±y ＝0D ．x ±3y ＝0A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)是中心对称的， 故平行四边形ABCD 的顶点B ，D 关于原点对称， 设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，则D (－x 1，－y 1)， 故x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，∴(x 0－x 1)(x 0＋x 1)a 2－(y 0－y 1)(y 0＋y 1)b 2＝0，整理得到：b 2a 2＝(y 0－y 1)(y 0＋y 1)(x 0－x 1)(x 0＋x 1)，即b 2a 2－k AB ·k AD ＝0，故b 2a 2＝12，即b a ＝22，∴渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0．]5．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A ． 5B ．14C ．2D ．2 5A [∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝5．]二、填空题6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．2 [根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2．再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2．]7．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为 ． y 24－x 212＝1 [椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)， ∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2， ∴4a ＝2，∴a ＝2． ∴b 2＝42－22＝12．∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1．]8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝ ．3 [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°．不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3．] 三、解答题9．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．[解] 椭圆方程为x 264＋y 216＝1， ∴椭圆的焦距为83．①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝48b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36b 2＝12．∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1．②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝48a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12b 2＝36．∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1．由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1．10．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2． (1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2． ∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2．∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x ．∴l 1的方程为y ＝33x ，l 2的方程为y ＝－33x ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|＝5×2c ＝20， ∴|AB |＝10， ∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10，即(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100． ∵y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2， x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴y ＝36(x 1－x 2)，y 1－y 2＝233x ， 代入(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100，得3×(2y )2＋13(2x )2＝100，整理得x 275＋3y 225＝1．11．(多选题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，又点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，3b 22a ．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋|MN |＞4b ，则双曲线C 的离心率可能为( )A ．3B ．4C ．32D ．65ABD [双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋|MN |＞4b ，即(|MF 2|＋|MN |)min ＞4b ，又|MF 2|＋|MN |≥2a ＋|MF 1|＋|MN |≥2a ＋|NF 1|＝2a ＋3b 22a ，当且仅当M ，N ，F 1三点共线且M 在N ，F 1之间时取“＝”，即2a ＋3b 22a ＞4b ⇒3b 2－8ab ＋4a 2＞0⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－8·b a ＋4＞0， 解得b a ＞2或b a ＜23，∴e 2＝1＋b 2a 2＞5或e 2＜139，∴e ＞5或1＜e ＜133．]12．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0B [作F 2Q ⊥PF 1于Q ，因为|F 1F 2|＝|PF 2|， 所以Q 为PF 1的中点， 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝2a ＋2c ， 故|F 1Q |＝a ＋c ， 因为cos ∠PF 1F 2＝45， 所以F 1QF 1F 2＝cos ∠PF 1F 2，即a ＋c 2c ＝45，得3c ＝5a ， 所以3a 2＋b 2＝5a ，得b a ＝43，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0．]13．(一题两空)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点，与双曲线的渐近线交于P 、Q 两点．若|PQ ||MN |＞2，记过第一、三象限的双曲线C 的渐近线为l 1，则l 1的倾斜角的取值范围为 ，离心率的取值范围为 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 (1，2) [如图，在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中，取x ＝c ，可得y ＝±b 2a ，∴|MN |＝2b 2a ．分别在双曲线的渐近线y ＝b a x 与y ＝－ba x ， 取x ＝c ，求得|PQ |＝2bca ．由|PQ| |MN|＞2，得2bca2b2a＞2，即c2＞2b2，∴a2＋b2＞2b2，∴ba＜1，∴l1的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π4e2＝b2a2＋1＜2，∴e的取值范围为(1，2)．]14．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线的离心率e 的取值范围为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5[直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0．由点到直线的距离公式，且a>1，b>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝b(a－1)a2＋b2，点(－1,0)到直线l的距离d2＝b(a＋1)a2＋b2，s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc．由s≥45c，得2abc ≥45c，即5a c2－a2≥2c2．于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0．解不等式，得54≤e2≤5，由于e>1，因此e的取值范围是52≤e≤5．]15．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．[解]切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10，因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称．所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0．当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则其渐近线方程为y ＝±b a x ，即ba ＝3， 则双曲线方程可化为x 2a 2－y 29a 2＝1， 因为双曲线过点P (3，－1)，所以9a 2－19a 2＝1，所以a 2＝809，b 2＝80， 所以所求双曲线方程为x 2809－y 280＝1．当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则渐近线方程为y ＝±a b x ，即ab ＝3， 则双曲线方程可化为y 29b 2－x 2b 2＝1， 因为双曲线过点P (3，－1)， 所以19b 2－9b 2＝1，得－809b 2＝1，无解． 综上可知所求双曲线方程为x 2809－y 280＝1．。

高三双曲线的基本知识点高中数学是一个相对抽象而又具有一定难度的学科，对于许多同学来说，数学中的各种曲线方程是难点之一。

而双曲线则是其中一种常见的曲线类型。

在高三阶段，学习双曲线的基本知识点对于数学学习的深入和成功备考非常重要。

本文将结合几个方面，介绍高三双曲线的基本知识点。

1. 双曲线的定义和特点双曲线是平面解析几何中的一种曲线类型，其定义是指平面上到两个给定点F1和F2的距离之差为常数的点的轨迹。

根据这个定义，我们可以知道，双曲线是对称于直线l的图形。

在双曲线上，各点到两个焦点的距离之差不断增大，而且双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线的距离越来越近且不断接近于0。

2. 双曲线的标准方程和性质双曲线的标准方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是正实数。

根据a和b的取值范围，双曲线可以分为四种情况：a>b，a=b，a<b以及a=0或b=0。

根据这些情况，双曲线的形状和性质也有所不同。

例如，当a>b时，双曲线的焦点在x轴上，且对称轴为y=0。

当a=b时，双曲线为特殊的双曲线x^2 - y^2 = 1，图形均为两支直线。

当a<b时，双曲线的焦点在y轴上，且对称轴为x=0。

3. 双曲线的参数方程除了标准方程外，双曲线还可以通过参数方程来表示。

双曲线的参数方程是由两个参数函数x(t)和y(t)组成。

通过适当选择参数函数，可以得到各种形态的双曲线。

例如，当选择参数函数x(t) = a·sec(t)和y(t) = b·tan(t)时，就可以得到标准方程x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1对应的双曲线。

4. 双曲线的经典问题在学习双曲线过程中，常常会遇到一些经典问题，例如焦点、顶点、渐近线等的求解问题。

焦点是指双曲线上离两个焦点F1和F2距离之差为常数的点，可以通过利用标准方程或参数方程来求解。

顶点是指双曲线的中点，可以通过求解双曲线的对称轴交点来得到。