高中数学必修二平面解析几何的教材分析和教学建议

高一数学必修2 点到直线的距离一、教材分析1、教学内容本节课是人教B 版数学必修2第二章《平面解析几何初步》第§2.2.4节，主要内容是点到直线的距离公式的推导和应用。

2、课程标准探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

3、地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，是在学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识基础上的学习，对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系等几何问题的进一步学习奠定了基础。

二、教学目标依据《普通高中数学课程标准》的要求及教材的特点，结合学生的认知水平确定教学目标如下：1、知识与技能目标：理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用，能用公式2221BA C C d +-=求两平行线间距离。

2、过程与方法目标：（1）通过对点到直线的距离公式的推导与应用，培养学生数形结合、分类讨论、转化的数学思想，进而培养学生探究性思维方法和由特殊到一般、由具体到抽象的研究能力，以及用代数方法解决几何问题的能力。

（2）通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想。

（3）通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程。

3、情感、态度与价值观目标：通过教学过程中的师生互动、生生互动，形成学生的体验性认识，提高数学学习兴趣，树立学好数学的信心，逐步形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的团队精神。

4、教学重点、难点及确立的依据教学重点：点到直线的距离公式确定依据：由本节在教材中的地位确定教学难点：点到直线的距离公式的推导确定依据：学生根据点到直线的距离定义进行推导，思路自然，但运算繁琐，在解决问题的过程中遇到困难，此时需要教师引导学生采用整体代换的思想简化推导过程。

三、教学方法发现法：本节课为了培养学生探究性思维能力，在教学过程中，使老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己动手实践，引导、启发学生分析、发现、归纳、论证等，从而形成完整的数学模型。

平面解析几何教案一、引言平面解析几何是高中数学中的一门重要课程，通过研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质，来探索空间中的几何问题。

本教案旨在系统地介绍平面解析几何的基本概念和主要内容，帮助学生全面理解和掌握该领域的知识。

二、教学目标1. 理解平面解析几何的基本概念，如坐标、向量等；2. 掌握平面几何图形的方程表示方法；3. 熟练运用平面解析几何的定理和公式解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和几何推理能力；5. 提高学生的问题分析和解决能力。

三、教学内容1. 坐标系与坐标1.1 直角坐标系的建立1.2 平面上的点的坐标表示1.3 坐标变换与平移2. 点与向量2.1 点的向量表示2.2 向量的基本运算（加法、减法、数乘）2.3 向量的数量积和向量积3. 直线的方程3.1 直线的一般方程3.2 直线的点斜式和两点式方程3.3 直线的截距式方程4. 圆的方程4.1 圆的标准方程4.2 圆的一般方程4.3 圆的切线和法线方程5. 平面几何问题的应用5.1 两条直线的性质及其应用5.2 直线与圆的性质及其应用5.3 圆与圆的性质及其应用四、教学方法1. 讲授与归纳法：通过讲解和举例，引导学生理解和记忆知识点。

2. 典型例题分析法：通过分析典型例题，培养学生解决问题的能力和思维方式。

3. 练习与拓展法：布置大量练习题和拓展问题，让学生巩固知识和拓展思维。

五、教学步骤1. 第一课时：坐标系与坐标1.1 引入课题，介绍平面解析几何的基本概念。

1.2 讲解直角坐标系的建立和平面上点的坐标表示。

1.3 练习与巩固。

2. 第二课时：点与向量2.1 讲解点的向量表示及向量的基本运算。

2.2 引入向量的数量积和向量积的概念。

2.3 练习与巩固。

3. 第三课时：直线的方程3.1 讲解直线的一般方程和点斜式、两点式方程的表示方法。

3.2 引入直线的截距式方程。

3.3 练习与巩固。

4. 第四课时：圆的方程4.1 讲解圆的标准方程和一般方程的表示方法。

高中数学必修二平面解析几何知识点梳理平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+by a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A C By Ax d +++=． 7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．（3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． （2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k x x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P 到圆心距离2200()()d a x b y =-+-】13．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA CBb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．15．圆系方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x（1）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．（2）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．（3）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．18．对称问题：（1）中心对称：① 点关于点对称：点),(11y x A 关于),(00y x M 的对称点)2,2(1010y y x x A --．② 直线关于点对称：法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法2：求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程．（2）轴对称：① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．点 A A '、关于直线l 对称⎩⎨⎧''⇔上中点在⊥l A A l A A ⎩⎨⎧'-=⇔'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1 ． ② 直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）法1：若b a ,相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点．若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等．法2：求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程．（3）点(a , b )关于x 轴对称：(a ,- b )、关于y 轴对称：(-a , b )、关于原点对称：(-a ,- b )、点(a , b )关于直线y=x 对称：(b , a )、关于y=- x 对称：(-b ,- a )、关于y = x +m 对称：(b -m 、a +m )、关于y=-x+m 对称：(-b+m 、-a+m ) ．19．若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++33321321y y y x x x ，． 20．各种角的范围：直线的倾斜角 ︒<≤︒1800α 两条相交直线的夹角 ︒≤<︒900α两条异面线所成的角︒0α︒90<≤。

高中数学解析几何教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务是基于高中数学课程中的解析几何部分，旨在让学生掌握解析几何的基本概念、原理和方法，能够运用坐标系解决几何问题，理解图形与方程之间的关系，并培养其空间想象能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

具体包括：坐标系与点、直线、圆的方程，圆锥曲线的基本性质，以及它们在实际问题中的应用。

2、教学对象教学对象为高中二年级学生，他们已经具备了一定的代数基础，包括对函数、方程等概念的理解，以及初步的几何知识。

在此基础上，学生将通过本课程的学习，进一步提升数学素养，为后续的数学学习和理工科专业的深造打下坚实的基础。

同时，考虑到学生的个体差异，教学过程中将注重因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解坐标系的基本概念，掌握直角坐标系和平面极坐标系的转换方法；（2）熟练掌握点、直线、圆的方程表示，并能运用方程解决相关的几何问题；（3）掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程及其基本性质，能够分析并解决涉及圆锥曲线的问题；（4）通过解析几何的学习，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高他们运用数学工具解决实际问题的能力；（5）运用几何画板等教学软件，辅助学生直观地理解几何图形与方程之间的关系，提高学生的动手操作能力和信息技术素养。

2、过程与方法（1）采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，发现问题、解决问题；（2）鼓励学生运用多种方法解决问题，培养他们灵活多变的解题技巧；（3）通过典型例题的讲解，使学生掌握分析问题、解决问题的方法，提高学生的举一反三能力；（4）注重培养学生的批判性思维，让他们在思考问题的过程中，敢于质疑、勇于创新；（5）利用现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学的情感；（2）引导学生树立正确的学习态度，养成勤奋刻苦、严谨治学的良好习惯；（3）通过解析几何的学习，让学生体会数学的优美和实用性，增强他们对数学价值的认识；（4）培养学生的团队协作精神，使他们学会尊重他人、倾听他人意见，形成良好的人际沟通能力；（5）通过解析几何在实际问题中的应用，让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高他们运用数学知识为社会服务的意识。

高中数学备课教案平面解析几何中的曲线与双曲线高中数学备课教案平面解析几何中的曲线与双曲线一、引言在高中数学教学中，平面解析几何是一个重要的内容，其中曲线与双曲线是学生们比较难以理解的部分。

本教案将重点介绍曲线与双曲线的基本概念、性质以及解题方法，帮助学生掌握相关知识，提高解析几何的应用能力。

二、曲线的基本概念1. 定义曲线是平面上的点按照一定规律运动形成的图形。

曲线可由函数方程表示，也可由参数方程表示。

2. 曲线的分类根据曲线在平面上的性质，可以将曲线分为封闭曲线和非封闭曲线两类。

封闭曲线包括椭圆、圆和抛物线等；非封闭曲线包括双曲线和直线等。

三、双曲线的概念1. 定义双曲线是平面上的点，到两个给定点的距离之差等于常数的轨迹。

双曲线可由参数方程表示。

2. 双曲线的性质双曲线有以下几个重要性质：- 双曲线的离心率大于1；- 双曲线的两支无交点，且与其渐近线存在交点；- 双曲线的渐近线为其两支的公共渐近线。

四、双曲线的方程双曲线的一般方程为：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中ABCDEF为常数。

1. 标准方程双曲线的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中a为横轴的半轴长，b为纵轴的半轴长。

2. 参数方程双曲线的参数方程为：$x = a\sec t$，$y = b\tan t$。

五、求解双曲线的问题1. 求双曲线的焦点和离心率根据双曲线的方程，可以通过方程中的系数求解双曲线的焦点坐标和离心率。

2. 求双曲线的渐近线双曲线的渐近线是双曲线的一种特殊直线，可通过方程中的系数求解。

3. 判断点的位置关系给定平面上的一点，可以通过其到双曲线的距离与离心率的关系判断点与双曲线的位置关系。

六、案例分析以具体的例题，对曲线与双曲线的相关知识进行案例分析和解答，帮助学生更好地理解和运用所学内容。

七、课堂练习出示一些真实生活中的问题，让学生运用所学的曲线与双曲线的知识进行解答，培养学生的应用能力和解决问题的能力。

高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之一三明九中李宇宙一、解析几何内容的设计：1. 几何的内容按三个层次设计（1）必修课程中的几何，主要包括：立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。

（2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

（3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等。

2．解析几何内容的变化突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义。

解析几何的内容也是分层次设计的：在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中。

3．必修2削弱的内容两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等。

4．必修2增删的内容(1) 解析几何增加的内容：直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系(2) 解析几何删除的内容：曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线；线性规划移至必修5(第三章)不等式部分二、数学必修2《解析几何初步》的教学建议认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。

关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。

《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。

教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。

关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。

教学中，注意适当给学生数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。

第二章平面解析几何初步示范教案整体设计教学分析本节课是对第二章根本知识与方法总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生根本知识系统化与网络化，根本方法条理化．通过小结与复习，对全章知识内容进展一次梳理，突出知识间内在联系，在综合运用知识解决问题能力上提高一步．采用分单元小结方式，让学生自己回忆与小结各单元知识．在此根底上，教师可对一些关键处予以强调．比方可重申解析几何根本思想——坐标法．并用解析几何根本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求与要注意问题．可让学生先阅读教科书中“思考与交流〞有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中特殊地位．三维目标1．通过总结与归纳直线与直线方程、圆与圆方程、空间直角坐标系知识，对全章知识内容进展一次梳理，突出知识间内在联系，在综合运用知识解决问题能力上提高一步．2．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究与思考问题能力，激发学生学习数学兴趣，培养分类讨论思想与抽象思维能力．重点难点教学重点：解析几何解题根本思路与解题方法形成．教学难点：整理形本钱章知识系统与网络．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们知道学习是一个循序渐进过程，更是一个不断积累过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上根底梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚完毕本章．引出课题．设计2.为了系统掌握第二章知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题阅读教材P111思考交流，画出本章知识构造.讨论结果：知识构造应用例如思路1例1直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成三角形面积为24，求直线l方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，那么当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m＝±24. ∴直线l 方程为3x ＋4y±24＝0.点评：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行直线方程可设为Ax ＋By ＋m＝0(m≠C)．变式训练求满足以下条件直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x ＋3y ＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直；答案：(1)2x ＋3y －1＝0.(2)2x －y ＋5＝0.例2求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A(5,2)与点B(3，－2)圆方程．分析：因为条件与圆心有关系，因此可设圆标准方程，利用圆心在直线2x －y －3＝0上，同时也在线段AB 垂直平分线上，由两直线交点得出圆心坐标，再由两点间距离公式得出圆半径，从而得到方程．解：方法一：设圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，5－a 2＋2－b 2＝r 2，3－a 2＋－2－b 2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，r ＝10.所以圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 方法二：因为圆过点A(5,2)与点B(3，－2)，所以圆心在线段AB 垂直平分线上，线段AB 垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆圆心C 坐标为(a ，b)，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，b ＝－12a －4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.所以圆心C(2,1)，r ＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.所以所求圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.点评：此题介绍了几何法求圆标准方程，利用圆心在弦垂直平分线上可得圆心满足一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，由两点间距离公式得出圆半径，从而得到圆标准方程．其实求圆标准方程，就是求圆圆心与半径，有时借助于弦心距、圆半径之间关系计算，可大大简化计算过程与难度．如果用待定系数法求圆方程，那么需要三个独立条件，“选标准，定参数〞是解题根本方法，其中选标准是根据条件选择恰当圆方程形式，进而确定其中三个参数．变式训练求经过两点A(－1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上圆标准方程．解：2＋(y －b)2＝r 2.∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋4－b 2＝r 232＋2－b 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1r 2＝10.所以圆方程是x 2＋(y －1)2＝10.方法二：线段AB 中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－1＝－12⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1.故点(0,1)为所求圆圆心．由两点间距离公式得圆半径r ＝10.所求圆方程为x 2＋(y －1)2＝10.思路2例3自点A(－3,3)发出光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线方程．解：(待定系数法)设光线l 所在直线方程为y －3＝k(x ＋3)，那么反射点坐标为(－31＋k k，0)(k 存在且k≠0)． ∵光线入射角等于反射角，∴反射线l′所在直线方程为y ＝－k[x ＋31＋k k]， 即l′：y ＋kx ＋3(1＋k)＝0.∵圆(x －2)2＋(y －2)2＝1，且l′与圆相切，∴圆心到l′距离d ＝|2＋2k ＋31＋k |1＋k2＝1. ∴k＝－34或k ＝－43. ∴光线l 所在直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.点评：此题是方程思想典例，方法较多，无论那种方法都是设出适当未知数，列出相应方程求解，对光线问题解决，一般利用对称方法解题，往往会收到意想不到结果．变式训练 点A(0,2)与圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝365，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过路程．解：设反射光线与圆相切于D 点．点A 关于x 轴对称点坐标为A 1(0，－2)，那么光线从A 点到切点所走路程为|A 1D|在，Rt△A 1CD 中，|A 1D|2＝|A 1C|2－|CD|2＝(－6)2＋(－2－4)2－365＝36×95. ∴|A 1D|＝1855，即光线从A 点到切点所经过路程是1855. 知能训练1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，那么a 等于( ) A ．0 B.16C ．0或 1D ．0或16答案：D2．直线l 过点P(5,10)，且原点到它距离为5，那么直线l 方程为__________．答案：x ＝5或3x －4y ＋25＝03．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成三角形面积不大于1，那么b 取值范围是__________．答案：[－2,0)∪(0,2]4．经过点P(0，－1)作直线l ，假设直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)线段没有公共点，那么直线l 斜率k 取值范围为__________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，那么m 值是__________．答案：m ＝0或m ＝－126．求经过点P(2,3)且被两条平行直线3x ＋4y －7＝0与3x ＋4y ＋8＝0截得线段长为32直线方程．解：因为两条平行直线间距离d ＝|－7－8|32＋42＝3， 所以所求直线与直线3x ＋4y －7＝0夹角为45°.设所求直线斜率为k ，那么tan45°＝|k －－34||1＋－34k|. 解得k ＝17或k ＝－7. 因此x －7y ＋19＝0或7x ＋y －17＝0为所求．6．直线l ：3x ＋4y －10＝0与曲线C ：x 2＋y 2－5y ＋p ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，O 为坐标原点，求实数p 值．解：直线l 与曲线C 方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －10＝0，x 2＋y 2－5y ＋p ＝0，消去x ，得25y 2－125y ＋100＋9p ＝0.∴y 1y 2＝100＋9p 25. 同理，x 1x 2＝16p －10025. ∵OA⊥OB，∴y 1y 2x 1x 2＝－1. ∴100＋9p2516p －10025＝－1， 解得p ＝0.拓展提升设有半径为3 km 圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进，A 出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人速度都一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？分析：首先建立适当坐标系，结合几何知识解题．由于是圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，于是可以以村落中心为原点，以开场时A 、B 两人前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件，然后再准确设元，列出方程．解：以开场时A 、B 两人前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3v km/h ，v km/h ，再设A 出发x 0 h 后在点P 处改变前进方向，又经y 0 h 在点Q 处与B 相遇，那么P 、Q 两点坐标为(3vx 0,0)，(0，v(x 0＋y 0))，如以下图所示．由于A 从点P 到Q 行走时间是y 0 h ，于是由勾股定理有|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，有(3vx 0)2＋[v(x 0＋y 0)]2＝(3vy 0)2.整理，得(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0.又x 0＋y 0>0，所以5x 0＝4y 0.①于是k PQ ＝0－v x 0＋y 03vx 0－0＝－x 0＋y 03x 0.② 把①代入②得k PQ ＝－34.由于切线PQ 与y 轴交点Q 对应纵坐标v(x 0＋y 0)值就是问题答案，于是转化为“当直线y ＝－34x ＋b 与圆相切时，求纵截距b 值〞．利用圆心到切线距离等于圆半径，得4|b|32＋42＝3，解得b ＝154(b>0)．因此A 、B 两人相遇位置是离村落中心正北334km 处． 课堂小结本节课学习了：1．复习本章知识，形成知识网络．2．解决与直线、圆有关问题．作业本章小结稳固与提高 6,7,9,11题．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是表达学生主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有根底知识复习、基此题型联系，又为了满足高考要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进展了归纳与总结．通过新旧知识联系，加强横向沟通，培养学生多角度思考问题，利用不同方法解决问题能力．在课堂上进展解题方法讨论有助于活泼学生思维，促进发散思维培养，提高思维灵活性，抓住数形结合数学思想，总结解题规律，充分表达解析几何研究方法．教会学生思想方法比教会学生解题重要多．数学知识将来可能会遗忘，而数学思想方法会影响一个人一生．备课资料备选习题1．假设过定点M(－1,0)且斜率为k 直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内局部有交点，那么k 取值范围是( )A ．0<k< 5B ．－5<k<0C ．0<k<13D ．0<k<5 答案：A2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动120°弧长到达Q 点，那么Q 坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)答案：A3．过坐标原点且与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切直线方程为( )A ．y ＝－3x 或y ＝13x B ．y ＝－3x 或y＝－13xC ．y ＝－3x 或y ＝－13x D ．y ＝3x 或y＝13x 解析：过坐标原点直线为y ＝kx ，与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切，那么圆心(2，－1)到直线方程距离等于半径102，那么|2k ＋1|1＋k 2＝102，解得k ＝13或k ＝－3，∴切线方程为y ＝－3x 或y ＝13x.答案：A4．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切圆方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：r ＝|3×2－4×－1＋5|32＋42＝3.答案：C5．圆：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0与圆：x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，那么AB 垂直平分线方程是________．答案：3x －y －9＝06．从点A(－4,1)出发一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，求入射光线l 所在直线方程．解：设B(1,6)关于直线l 1对称点为B′(x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴直线AB′方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0.故直线l方程为3x －7y ＋19＝0.7．直线l ：2x －y ＋1＝0与点A(－1,2)、B(0,3)，试在l 上找一点P ，使得|PA|＋|PB|值最小，并求出这个最小值．解：过点B(0,3)且与直线l 垂直直线方程为l′：y －3＝－12x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l′相交于点Q(45，135)．点B(0,3)关于点Q(45，135)对称点为B′(85，115)，连接AB′，那么依平面几何知识，知AB′与直线l 交点P 即为所求．直线AB′方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1425，y ＝5325，即P(1425，5325)，相应最小值为|AB′|＝－1－852＋2－1152＝170 5.。

高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之一三明九中李宇宙一、解析几何内容的设计：1. 几何的内容按三个层次设计（1）必修课程中的几何，主要包括：立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。

（2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

（3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等。

2．解析几何内容的变化突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义。

解析几何的内容也是分层次设计的：在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中。

3．必修2削弱的内容两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等。

4．必修2增删的内容(1) 解析几何增加的内容：直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系(2) 解析几何删除的内容：曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线；线性规划移至必修5(第三章)不等式部分二、数学必修2《解析几何初步》的教学建议认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。

关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。

《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。

教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。

关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。

教学中，注意适当给学生数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。

第15课时空间两点间的距离
教学目标：
1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式;
2．理解推导公式的方法;
3．通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难,从特殊到一般的认识过程．
教材分析及教材内容的定位:
本节是在学习了空间直角坐标系的基础上来研究空间两点间的距离问题，是空间直角坐标系的加深与拓宽，进一步让学生体会用坐标法来解决问题的思想．
教学重点：
空间两点间的距离公式．
教学难点：
空间两点间的距离公式的推导．
教学方法：。

《平面解析几何初步》教材分析与建议一、新课标有关平面解析几何的内容安排和定位1、新课标有关平面解析几何的内容安排⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩2112144必修平面解析几何初步（文理科）选修圆锥曲线与方程（文科）平面解析几何选修圆锥曲线与方程（理科）选修参数方程与极坐标（理科） 2、新课标对解析几何的定位的解读（1）构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择必修二的解析几何初步是基础，为继续学习圆锥曲线做准备，是学生继续发展的需要，要求所有学生都要学习；而后面的圆锥曲线和参数方程与极坐标，为文理学生提供选择，适应文理学生的发展需求。

与原课程相比，《标准》更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景。

《标准》改变了原来的缺乏层次，要求单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次，如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。

这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要。

（2）突出用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。

强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法。

学直线和圆的方程只是解析几何学习的初级阶段，直线和圆的学习过程就是带领学生认识和理解“什么是解析几何”的过程。

学习直线和圆，为学习“曲线与方程”概念做好了足够的感性材料的准备，直线与圆的教学要时刻记住自己在解析几何教学的过程中的这个打基础的使命。

在数学必修2中具体体现在：首先探索确定直线和圆的几何要素，再用坐标表示他们，根据确定直线和圆的几何要素探索建立直线和圆的方程的几种形式。

二、必修二《平面解析几何初步》内容解读（一）本章内容的地位与作用解析几何把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来.一方面，几何概念可以代数表示，几何目标可以代数方法达到；另一方面，又可以代数语言以几何的解释，使得代数语言更加形象地表达出来。

在初中阶段，学生已经掌握了正比例函数，一次函数，对两条直线平行以及直线倾斜程度与斜率之间的关系（一般斜率为正）可以给予一定的合情解释.在平面几何方面，熟练掌握直线与圆的位置关系，垂径定理，切线性质，直径所对的圆周角是直角；了解圆与圆的位置关系。