广义矩估计

广义矩估计一、背景我们前面学了OLS 估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。

矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。

那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。

本章详细介绍矩估计方法。

矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS 估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。

二、知识要点1，应用背景2，矩估计存在的问题（识别）3，矩正交方程和矩条件4，矩估计的属性三、要点细纲1、应用背景其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量（在一个严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样1的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数）将依概率收敛于某个常数。

这个常数又是分布中未知参数的一个函数。

即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程（包含总体的未知参数），利用这些方程求得总体的未知参数。

基本定义统计量 11n m X i n i νν∑=为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11n B X X i n i νν∑-=为子样的ν阶中心矩。

子样矩的均值与方差()()()()2222EX Var X E X E X k k EX E X k k μμμοαμμ=-=--我们用到k k αμ或时假定它是存在的。

基本做法设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中属于参数空间Θ的(),,,12k θθθθ=是待估计的未知参数。

假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩 ()(),,,,112x dF x k k ναθθθθνν∞=≤≤⎰-∞ 是(),,,12k θθθθ=的函数。

对于子样(),,,12X X X n =X ，其ν阶子样矩是1,11n m X k i n i ννν=≤≤∑= 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()1,,,1,2,,121n m X k i k n i ναθθθννν===∑= （1）（1）式确定了包含k 个未知参数(),,,12k θθθθ=的k 个方程式。

广义矩估计stata命令一、引言在统计学中，矩估计是一种常用的参数估计方法。

它的基本思想是利用样本矩去估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。

广义矩估计是矩估计的一种扩展形式，它可以通过更多的矩条件来估计参数。

在实际应用中，广义矩估计可以更好地适应不同的数据分布和模型。

二、广义矩估计的基本原理广义矩估计的基本原理是利用样本矩和总体矩之间的关系，通过最小化样本矩与总体矩之间的差异来估计参数。

在实际应用中，广义矩估计可以通过不同的矩条件来估计参数，从而适应不同的数据分布和模型。

三、广义矩估计在Stata中的应用Stata是一种常用的统计软件，它提供了广义矩估计的命令。

在Stata中，广义矩估计的命令为gmm。

该命令可以通过指定不同的矩条件来估计参数。

例如，可以通过指定一阶矩条件来估计线性回归模型的参数，也可以通过指定高阶矩条件来估计非线性模型的参数。

四、广义矩估计在实际应用中的例子广义矩估计在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在金融领域中，广义矩估计可以用于估计股票价格的波动率。

在医学领域中，广义矩估计可以用于估计药物的剂量反应关系。

在经济学领域中，广义矩估计可以用于估计劳动力市场的供求关系。

五、总结广义矩估计是一种常用的参数估计方法，它可以通过更多的矩条件来估计参数，从而适应不同的数据分布和模型。

在Stata中，广义矩估计的命令为gmm，可以通过指定不同的矩条件来估计参数。

在实际应用中，广义矩估计有着广泛的应用，可以用于估计股票价格的波动率、药物的剂量反应关系以及劳动力市场的供求关系等。

系统广义矩估计公式一、基本概念。

1. 矩估计（Method of Moments）- 矩估计是基于样本矩来估计总体矩的一种方法。

设总体X的分布函数为F(x;θ)，其中θ = (θ_1,θ_2,·s,θ_k)是未知参数向量。

总体的r阶矩μ_r = E(X^r)，样本的r阶矩为m_r=(1)/(n)∑_i = 1^nX_i^r。

通过令μ_r=m_r（r = 1,2,·s,k）得到关于θ的方程组，解这个方程组就得到θ的矩估计量。

2. 广义矩估计（Generalized Method of Moments，GMM）- 广义矩估计是矩估计的推广。

它是基于一些矩条件来估计模型参数的方法。

假设存在q个矩条件E[g(X_i,θ)] = 0，其中g(X_i,θ)是X_i和参数θ的函数向量，g(X_i,θ)=(g_1(X_i,θ),g_2(X_i,θ),·s,g_q(X_i,θ))'。

- GMM的目标函数是Q(θ)=n[g_n(θ)]'W_n[g_n(θ)]，其中g_n(θ)=(1)/(n)∑_i =1^ng(X_i,θ)，W_n是一个正定权重矩阵。

通过最小化Q(θ)得到θ的GMM估计量θ̂。

1. 动态面板数据模型中的应用。

- 考虑动态面板数据模型y_it=α y_i,t - 1+x_it'β+μ_i+ε_it，i = 1,·s,N，t = 1,·s,T，其中y_it是被解释变量，x_it是解释变量向量，μ_i是个体固定效应，ε_it是随机误差项。

- 对于这个模型，一阶差分可以消除个体固定效应μ_i，得到Δ y_it=αΔ y_i,t - 1+Δ x_it'β+Δε_it。

- 系统广义矩估计将水平方程y_it=α y_i,t - 1+x_it'β+μ_i+ε_it和差分方程Δy_it=αΔ y_i,t - 1+Δ x_it'β+Δε_it结合起来进行估计。

广义矩估计原理(一)广义矩估计1. 引言•矩估计是一种经典的参数估计方法，广义矩估计是其一种推广形式。

•广义矩估计是在总体矩的等式约束下，使用样本矩来估计参数的一种方法。

2. 矩估计回顾•矩估计是利用样本的矩来估计总体的矩。

•给定样本X1,X2,...,X n，我们可以计算出样本的前r阶原点矩m r以及样本的前r阶中心矩c r。

•假设总体的矩为M r，则矩估计的思想是找到参数的值，使得样本的矩与总体的矩尽可能接近。

•通常，矩估计中参数的选择可以通过求解样本矩与总体矩的差的最小二乘解得到。

3. 广义矩估计的基本思想•广义矩估计是在矩估计的基础上，加入了总体矩的约束条件。

•假设我们有k个未知参数θ1,θ2,...,θk，总共有r个矩约束条件。

•广义矩估计的目标是找到参数的值，使得样本的矩与总体的矩在满足约束条件下尽可能接近。

4. 广义矩估计的步骤1.设定参数的初值θ(0)。

2.根据θ(0)计算样本的矩m r。

3.根据θ(0)计算总体的矩M r。

4.构造一个r维的约束方程组，使得样本的矩与总体的矩在约束条件下尽可能接近。

5.求解约束方程组，得到参数的估计值θ(1)。

6.如果θ(1)收敛到θ(0)，则停止；否则，继续迭代，将θ(1)作为新的初值，重复步骤2到5，直到收敛。

5. 广义矩估计的性质•广义矩估计是一种相对于矩估计更为一般的估计方法，能够在矩约束条件下更灵活地估计参数。

•广义矩估计在样本充分大时具有渐近无偏性和渐近正态性。

•广义矩估计的效率较矩估计更高，但一般需要计算更复杂的方程组。

6. 总结•广义矩估计是在总体矩的约束下，使用样本矩来估计参数的一种方法。

•广义矩估计在矩估计的基础上，加入了总体矩的约束条件，能够更灵活地估计参数。

•广义矩估计具有渐近无偏性和渐近正态性，效率一般较矩估计更高。

•在实际应用中，广义矩估计是一种重要的参数估计方法，能够解决一些特定的参数估计问题。

7. 示例应用：广义矩估计的实际应用案例在实际应用中，广义矩估计是一种重要的参数估计方法，可以解决一些特定的参数估计问题。

gmm广义矩估计GMM（广义矩估计）是一种用于参数估计的统计方法。

它是基于矩的概念发展而来的，通过对观测数据的矩估计，来估计未知参数的值。

GMM广义矩估计在统计学和经济学等领域得到了广泛应用。

在GMM中，我们首先定义一个经验矩，即从观测数据中得到的样本矩。

然后，我们根据理论模型中的矩表达式，得到理论矩。

接下来，我们通过最小化经验矩与理论矩之间的差异，来估计未知参数的值。

GMM广义矩估计的步骤如下：1. 确定理论模型：首先，我们需要确定一个理论模型，该模型描述了观测数据的分布特征。

在经济学中，通常使用概率分布函数来描述变量的分布特征。

2. 确定矩条件：接下来，我们需要确定一组矩条件，即理论模型中的矩表达式。

矩条件是基于理论模型中的变量和参数之间的关系得到的。

3. 计算经验矩：然后，我们从观测数据中计算一组经验矩。

经验矩是观测数据中的样本矩，用于估计理论矩的值。

4. 估计未知参数：通过最小化经验矩与理论矩之间的差异，我们可以得到未知参数的估计值。

这个过程可以使用最小二乘法或其他优化算法来实现。

GMM广义矩估计在经济学中得到了广泛应用。

例如，在计量经济学中，GMM广义矩估计被用于估计经济模型中的参数。

在金融学中，GMM广义矩估计被用于估计资产定价模型中的参数。

在其他领域，GMM广义矩估计也被用于估计其他类型的模型。

GMM广义矩估计具有一些优点。

首先，它是一种非参数估计方法，不需要对概率分布函数做出任何假设。

这使得GMM广义矩估计在处理复杂的数据分布时具有灵活性。

其次，GMM广义矩估计可以处理具有多个未知参数的模型，这使得它在估计复杂模型时具有优势。

此外，GMM广义矩估计还可以通过引入工具变量来解决内生性问题。

然而，GMM广义矩估计也存在一些限制。

首先，它对初始参数值敏感，可能会收敛到局部最优解。

因此，在实际应用中，选择合适的初始参数值非常重要。

其次，GMM广义矩估计对观测数据的分布特征要求较高，如果数据不符合理论模型的假设，估计结果可能不准确。

1 广义矩估计1.1 基本知识矩方法是一种古老的估计方法。

其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。

这个常数又是分布中未知参数的一个函数。

在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X =X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。

1.2 基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑为子样的ν阶中心矩。

1.3 子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-kk EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k α或k μ时假定它是存在的。

1.4 基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ=是待估计的未知参数。

假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k xdF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ=的函数。

对于子样()12,,,n X X X =X ，其ν阶子样矩是11nii m X nνν==∑，1k ν≤≤。

现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ=的k 个方程式。

求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ=的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。

因为m ν是随机变量，故解得的θ也是随机变量。

将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。

定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有[][]()221Em Var m nνννννααα==-。

广义矩估计原理广义矩估计是数理统计学中一种重要的参数估计方法，广义矩估计法的优势在于可以估计非正态分布或未知分布的参数，对于实际问题的解决具有很高的灵活性和适应性。

广义矩估计法的核心思想是通过使用样本矩来估计总体的矩。

在实际应用中，我们通常很难获取到完整的总体数据，而只能通过抽样得到有限的样本数据，因此需要通过合理的估计方法来推断出总体参数的值。

广义矩估计法的基本步骤如下：首先，我们要确定所需估计的参数个数，通常可以通过问题的数学模型或实际应用的需求来确定。

接着，我们选择一组合适的矩函数作为用于估计参数的函数。

在估计的过程中，我们将样本的矩函数与总体的矩函数进行等式的匹配，通过求解估计方程组得到参数的估计值。

由于总体的矩函数与样本的矩函数之间不一定完全匹配，因此我们需要通过最小化估计方程组的离差来寻找最优的估计值。

广义矩估计法的优势在于它可以适用于各种分布形态，包括正态分布、对数正态分布、伽马分布等等。

因此，在实际应用中，我们不需要对总体分布作出过多的假设，而是能够更好地适应实际数据的特点。

此外，广义矩估计法还可以通过引入更高阶的矩函数来提高估计的精度和稳定性。

根据需要，我们可以选择一阶矩、二阶矩甚至更高阶的矩函数，提高参数估计的准确性。

然而，广义矩估计法在实际操作中也存在一些困难。

首先，由于参数估计是通过样本数据进行的，因此需要保证样本的代表性和随机性。

其次，当参数个数较多时，估计方程组会变得复杂，求解的过程可能会比较繁琐。

在实际应用中，我们可以根据问题的具体特点和数据的分布情况选择合适的估计方法。

如果我们对数据的分布形态有明确的假设，可以选择最大似然估计法或贝叶斯估计法。

如果对数据的分布形态没有明确的假设，可以选择广义矩估计法进行参数估计。

总之，广义矩估计法是一种灵活、适应性强的参数估计方法，可以应用于不同分布形态的数据。

在实际应用中，我们根据问题的特点选择合适的估计方法，并注意保证样本的代表性和随机性，以获得准确可靠的参数估计结果。