直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲

直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆学习目标］1.直线为,OO的半径为r，圆心到直线的距离为d。

(1)直线与OO 相离无公共点；(2)直线与OO 相切，唯一公共点；(3)直线与OO 相交，两公共点。

注意：①由直线与圆的位置关系数量关系反之，数量关系位置关系；②直线与圆的位置关系，d , r数量关系，公共点个数三者互相转化。

2. 重要公式：在Rt△ ABC中，/ C= 90°,CD是AB边上的高，则:即：AC- BC= AB・CD (是求斜边上高的常用方法)3.切线的判定方法①定义法(不常用) ，即：唯一公共点；②数量关系推理法，③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

4.切线的性质：①与判定均为互逆定理； ②其中性质定理及推论要熟练掌握。

实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意 知道两个就能推出第三个。

5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。

关键找内心， （各内角平分线交点）和半径。

6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆， 这个三角形 叫圆的外切三角形。

与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

三边的距离。

三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。

典型例题】例1.已知半径为3的O0上一点P 和圆外一点Q ,如果0Q = 5, PQ = 4，贝y PQ 和圆的位置关系是（B. 相切 D. 位置不解：••• 0P=3, PQ = 4, OQ = 5 ,7. 三角形的内切圆、 圆心是角平分线交点，半径是圆心到A. 相交 C. 相离•••△ OPQI直角三角形，且/ OPQ= 90°, ••• PQ! OR即圆心O 到PQ 的距离等于圆的半径。

••• PQ和圆的位置关系相切，故选B。

点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。

本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

九年级数学直线和圆【本讲主要内容】直线和圆圆的切线定义，圆的切线的判定与性质。

切线长性质，三角形的内切圆。

【知识掌握】【知识点精析】1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。

这条直线叫圆的切线。

2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

如图所示：OA是⊙O半径，直线BC经过点A且垂直于OA，则直线BC与⊙O相切，A为切点。

B A C判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径两个条件缺一不可（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径如图：若直线AB切⊙O于A，则AB⊥OA于A。

A B注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。

例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。

求证：⊙O与PB也相切。

PB分析：这题既反映了圆的切线的性质，又应用了圆的切线的判定，是理解定理的典型题目，要加强理解，进行练后反思，对以后证题能给以启发。

解：连结OC ，过O 点作OD ⊥PB 于DPB∵直线PA 切⊙O 于C ∴PA ⊥OC 于C∵PB ⊥OD 于D ，PO 是∠APB 的平分线 ∴OC=OD∴OD 为⊙O 半径 ∴⊙O 与PB 相切 3. 切线长定理：（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。

圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。

（2）切线长性质从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。

如图：直线PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，则PA=PB ，PO 平分∠APB 。

P例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12，求圆半径。

P分析：由题目条件，联想切线长性质可知△ABP 为等边△，∴PA=AB=12，由切线的性质：连结AO 、PO 得到Rt △AOP ，并且∠APO=30°，解Rt △AOP 得出圆的半径OA 长。

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质与圆有关的位置关系1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.考点1：点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。

考点2：直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；r d=r r dd考点3：切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点4：切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA∠考点5：三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2cb a -+。

（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

九年级数学时间: 学生:第讲直线与圆的位置关系【知识点】1直线和圆的位置关系有三种：, 。

2设r为O O的半径，d为圆心O到直线l的距离， d r, 则直线l与O O相交。

d r,则直线l与O O相切d r,则直线l与O O相离。

3圆的切线的性质：圆的切线垂直于_________________ 的半径。

4圆的切线的判定定理：经过直径的一端，并且____________ 这条直径的直线是圆的切线。

5圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6.三角形的内切圆：（1）定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆。

（2）_________________________________ 内切圆的作法；______ .（3）_________________________ 内心的性质：内心是 _______ 的交点，内心到的距离相等，内心与三角形顶点的连线________ 这个内角。

【课前自测】1. （2011?成都）已知O O的面积为9n cm2,若点0到直线I的距离为n cm则直线l与。

O的位置关系是（）A、相交B、相切 C 、相离D无法确定2.如图，从O O外一点A引圆的切线AB切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC若/ A= 26°，则/ ACB的度数为▲.3.已知O O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则O O上有且只有_______________ 到直线AB的距离为3.4.如图，已知AB是O O的一条直径，延长AB至C点，使得AC= 3BQ 个占I 八、、CD与O O相切，切点为D.若CD= d，则线段BC的长度等于5.如图23, PA与O O相切，切点为A, PO交O O于点C,点B是优弧CBA上一点，若 / ABC=32，则/ P的度数为【例题讲解】例1.如图，AB是O O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O O于点C,若/ A=25°, 则/ D 等于A. 20°B.30°C.40°D.50°例2已知BD是O O的直径，OAL OB,M是劣弧AB上的一点，过M作O O的切线MP交OA的延长线于点P, MD交OA于点N。

第十四讲直线与圆的位置关系、三角形的内切圆知识点一、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线.这个公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r.知识点二、切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．常见解题方法：①有交点，连半径，证垂直②无交点，作垂直，证半径（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中,OD垂直于切线.知识点三、切线长定理（1）切线长：切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.如图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明.CABD知识点四、三角形的内切圆（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.（2）性质：1、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等.2、连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角.题型一、直线与圆的位置关系例1、若⊙O 半径是2，点A 在直线l 上，且OA=2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．相切或相交例2、已知同一平面内有⊙O 和点A 与点B ，如果O 的半径为3cm ，线段OA ＝5cm ，线段OB ＝3cm ，那么直线AB 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．相交或相切例3、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=8cm ，BC=6cm.若要以B 为圆心，r 为半径画圆B ，请根据下列条件,求半径r 的值或取值范围：（1）直线AC 与圆B 相离；（2）直线AC 与圆B 相切；（3）直线AC 与圆B 相交.BCA知识点二、切线的判定例1、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ：（1）求证：BC 是△ADC 的外接圆的切线；（2）△BDC 的外接圆的切线是哪一条？为什么？（3）若AC=5，BC=12，以C 为圆心作圆C ，使圆C 与AB 相切，则圆C 的半径是多少？例2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC,判断直线AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.例3、如图，已知：O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于D ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O. 求证：⊙O 与AC 相切。

直线与圆的位置关系（三）班级 姓名 学号学习目标1．了解三角形的内切圆、三角形的外心、圆的外切三角形的概念.2．会作已知三角形的内切圆.学习重点：作已知三角形的内切圆.学习难点：作已知三角形的内切圆.教学过程一、情境创设1、（1）如图，点P 在⊙O 上，过点P 作⊙O 的切线。

（2）你作图的依据是什么？（3）判定切线有什么方法？切线有什么性质？二、探究学习1.尝试:作三角形的内切圆：画△ABC ，作⊙O ，使它与△ABC 的3边都相切？2.总结三角形内切圆等的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

3.交流、讨论三角形外心与内心的比较1.概念：外心是指三角形外接圆的圆心； 内心是指三角形内切圆的圆心2.作法与性质：3.外心与内心的位置：外心的位置与三角形形状有关，可能在三角形的内部、外部和边上；而内心则必在三角形内部。

4.典型例题例1. 在△ABC 中,∠BCA=50°,∠ABC ＝70°，点O 是内心，求∠BOC 的度数。

• • O P作法性质三角形的外心三角形的内心O A B C例2．如图,在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∠ABC=60°,∠ACB ＝70°，求∠EDF 的度数。

例3．△ABC 中，E 是内心，连接AE 并延长和△ABC 的外接圆相交于点D. 试说明：DE=DB=DC三、练习巩固1.下列说法中，正确的是（ ）A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B.圆有且只有一个外切三角形C.三角形有且只有一个内切圆D.三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等2. 在△ABC 中，∠A=50°（1）若点O 是△ABC 的外心，则∠BOC= .（2）若点O 是△ABC 的内心，则∠BOC= .3.已知：如图，△ABC. 求作：△ABC 的内切圆。