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选修4­1 几何证明选讲第1课时 圆的进一步认识1. (2017·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB的平分线，点E 是AB ︵的中点．求证：直线PC 经过点E.证明：连结AE ，EB ，OE ，由题意知∠AOE＝∠BOE＝90°，因为∠APE 是圆周角，∠AOE 是同弧上的圆心角，所以∠APE＝12∠AOE ＝45°.同理可得，∠BPE ＝12∠BOE ＝45°，所以PE 是∠APB 的平分线， 又PC 是∠APB 的平分线，所以PC 与PE 重合，所以直线PC 经过点E.2. 如图，圆O 的两弦AB ，CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q.求证：PF ＝PQ.证明：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以ADF ＝ABC. 因为PF∥BC，所以AFP ＝ABC.所以AFP ＝FDP.又因为APF ＝FPD ， 所以△APF∽△FPD.所以PF PA ＝PD PF.所以PF 2＝PA·PD.因为PQ 与圆O 相切，所以PQ 2＝PA·PD.所以PF 2＝PQ 2.所以PF ＝PQ.3. 如图，圆O 与圆P 相交于A ，B 两点，点P 在圆O 上，圆O 的弦BC 切圆P 于点B ，CP 及其延长线交圆P 于D ，E 两点，过点E 作EF⊥CE 交CB 延长线于点F.若CD ＝2，CB ＝22，求EF 的长．解：连结PB ，∵ BC 切圆P 于点B ， ∴PB ⊥BC.又CD ＝2，CB ＝22，由切割线定理得CB 2＝CD·CE， ∴ CE ＝4，DE ＝2，BP ＝1.∵ EF ⊥CE ，∴ △CPB ∽△CFE ，∴ EF PB ＝CECB，EF ＝ 2.4. 如图，AB ，AC 是圆O 的切线，ADE 是圆O 的割线，求证：BE·CD＝BD ·CE.证明：∵ AB 是圆O 的切线， ∴ ∠ABD ＝∠AEB. ∵ ∠BAD ＝∠EAB， ∴ △BAD ∽△EAB. ∴ BD BE ＝AB AE . 同理CD CE ＝AC AE.∵ AB ，AC 是圆O 的切线，∴ AB ＝AC. ∴ BD BE ＝CDCE，即BE· CD＝BD· CE. 5. (2017·南通、泰州模拟)如图，已知△ABC 内接于圆O ，连结AO 并延长交圆O 于点D ，∠ACB ＝∠ADC.求证：AD·BC＝2AC·CD.证明：证明：连结OC.因为∠ACB＝∠ADC，∠ABC ＝∠ADC， 所以∠ACB＝∠ABC.因为OC ＝OD ，所以∠OCD＝∠ADC. 所以∠ACB＝∠OCD. 所以△ABC∽△ODC.所以AC OC ＝BCCD，即AC·CD＝OC·BC.因为OC ＝12AD ，所以AD·BC＝2AC·CD.6. (2017·苏北三市模拟)如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且点A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上．若∠ACN＝3∠ADB ，求∠ADB 的大小．解：连结AN ，DN.因为A 为弧MN 的中点， 所以∠ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝∠NDB，所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN ＋∠NDB， 即∠BCN＝∠ADB. 又∠ACN＝3∠ADB，所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°， 故∠ADB＝45°.7. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P.(1) 求证：AE·AB＝AD·AP.(2) 已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．(1)证明：连结EF ，则∠AEF＝90°.∵ ∠ACB ＝90°，∴ B ，C ，F ，E 四点共圆． 则∠AFE＝∠B.∵ ∠ADE ＝∠AFE，∴ ∠ADE ＝∠B. ∴ B ，P ，D ，E 四点共圆． 则AE·AB＝AD·AP.(2)解：∵ AE＝EB ＝4，AD ＝5，∴ AB ＝8.由(1)AE·AB＝AD·AP，得AP ＝325.8. (2017·苏锡常镇二模)如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC ⊥OB 于点C ，且DE ＝2BE ，求证：2OC ＝3BC.证明：连结OD ，设圆的半径为R ，BE ＝x ， 则OD ＝R ，DE ＝2BE ＝2x ，在Rt △ODE 中，∵ DC ⊥OB ，∴ OD 2＝OC•OE，∴ R 2＝OC(R ＋x) ①.∵ 直线DE 切圆O 于点D ，∴ DE 2＝BE•AE，∴ 4x 2＝x(2R ＋x) ②，∴ x ＝2R 3.代入①，解得OC ＝3R 5，∴ BC ＝OB －OC ＝2R5，∴ 2OC ＝3BC.9. 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE.证明：连结BP，∵ AB是圆O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠BPC＝90°.在Rt△BPC中，∵ E是边BC的中点，∴ BE＝EC，∴BE＝EP，∴∠1＝∠3.∵ B，P为圆O上的点，∴ OB＝OP，∴∠2＝∠4.∵ BC切圆O于点B，∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠2＝90°，从而∠3＋∠4＝90°，∴∠OPE＝90°.∴ OP⊥PE.10. (2017·金陵中学质检)如图，已知AB为圆O的直径，C，F为圆O上的两点，OC⊥AB，过点F作圆O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DA·DB.证明：连结OF.∵ DF切圆O于F，∴∠OFD＝90°.∴∠OFC＋∠CFD＝90°.∵ OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC.∵ CO⊥AB于O，∴∠OCF＋∠CEO＝90°.∴∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，∴ DF＝DE.∵ DF是圆O的切线，∴ DF 2＝DB·DA.∴ DE 2＝DB·DA.11. (2017·南通、泰州期末)已知圆O 的直径AB ＝4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE ＝2CD ，求△OCE 的面积．解：设CD ＝x ，则CE ＝2x. 因为CA ＝1，CB ＝3，由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE，所以1×3＝x·2x＝2x 2，所以x ＝62.取DE 的中点H ，连结OH ，则OH⊥DE.因为OH 2＝OE 2－EH 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＝58，所以OH ＝104. 因为CE ＝2x ＝6，所以△OCE 的面积S ＝12OH·CE＝12×104×6＝154.。

2021年高考数学一轮总复习 几何证明选讲课时训练 理（选修4-1）1. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，求AB 的长．解：根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝ECCD，可得AB ＝2. 2. 如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝52，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC 的周长为25 cm.3. 在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE∥BC，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，求DE∶BC 的值．解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE ∶BC ＝1∶2. 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6 cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，求BC 的长．解：∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ ∠GDB ＝∠FEC＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm.∵ ∠B＋∠C＝90°，∠B ＋∠BGD＝90°，∴ ∠C ＝∠BGD，∴ △BGD ∽△FCE ，∴ BD EF ＝GDEC，即BD＝EF·GD EC＝12 cm ，∴ BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21 cm.5. 如图，在ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2，求S △AOB .解：∵ 在ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴ △AOB ∽△EOD ，∴ S △AOB S △DOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DE 2.∵ E 是CD 的中点，∴ DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴ S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴ S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.6. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上中点，延长BA 到E ，使AE ＝13EB ，连结DE ，交AC于F.求AF∶FC 的值．解：过D 点作DP∥AC(如图)，因为D 是BC 的中点，所以P 为AB 的中点，且DP ＝12AC.又AE ＝13EB ，所以AE ＝AP ，所以AF ＝12DP ＝14AC ，所以AF∶FC＝1∶3.7. 将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长．解：设BF ＝x.若△CFB′∽△CBA， 则CF CB ＝B′F AB ，即4－x 4＝x 3.∴ 12－3x ＝4x ，∴ x ＝127. 若△CFB′∽△CAB，则CF CA ＝B′F AB ，即4－x 3＝x3，得x ＝2.即BF ＝2或127.8. 如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交BC 于F.求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM∥AF 交BC 于M.因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF∥DM，所以S △BEFS △BDM＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.9. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE ·AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴ DN ＝12BF.∵ DN ∥AF ，∴ △AFE ∽△DNE. ∴ AE AF ＝DE DN. ∵ DN ＝12BF ，∴ AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，CE ⊥BD ，交AD 于E ，连结BE ，交AC 于点F.求证：AF ＝FC.证明：取BC 的中点H ，连结AH. ∵ AB ＝AC ，∴ AH ⊥BC. ∵ CE ⊥BD ，∴ AH ∥EC. ∵ CD ＝BC ，∴ CD ＝2CH.则DE ＝2AE.取ED 的中点M ，连结CM.则ME ＝AE. ∵ C 为BD 的中点，∴ CM ∥BE. 则F 为AC 的中点，即AF ＝FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA ，交BA 的延长线于点F.(1) 求证：∠DEA＝∠DFA；(2) 若∠EBA＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．(1) 证明：连结AD 、BC. 因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°， 故A 、D 、E 、F 四点共圆， 所以∠DEA＝∠DFA.(2) 解：在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB，所以△EFA∽△BCA，故EA AB ＝AFAC.设AF ＝a ，又EF ＝3，∠EBA ＝30°，所以BF ＝3，则AB ＝3－a ，AE 2＝AF 2＋EF 2＝a 2＋3.所以a(3－a)＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.第2课时 圆的进一步认识(理科专用)1. (xx·南京、盐城期末)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．解：因为P 为AB 中点，所以OP⊥AB，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.因为PC·PD＝PA·PB＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.2. 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，求CEEO的值．解：设圆的半径为R ，则AD ＝AB 3＝23R ，OD ＝R －23R ＝13R.又OD 2＝OE·OC，所以OE ＝OD 2OC＝19R ，CE ＝R －19R ＝89R ，所以CEEO＝8.3. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，分别求PD 、AB 的值．解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x.因为PA 为圆O 的切线，所以PA 2＝PD·PB，所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x 2＝125，所以x ＝15.所以PD ＝9x ＝95，PB ＝25x ＝5.因为AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，所以AB⊥PA.所以AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.4. (xx·苏北三市期末)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C＝50°，求∠DEF 的度数．解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED＝90°.因为DF⊥AF，得∠AFD＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF＝∠DAF.又∠ADF＝∠ABD＋∠BAD＝12(∠ABC＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ，所以∠DEF＝∠DAF＝90°－∠ADF＝12∠C.由∠C＝50°，得∠DEF＝25°.5. 自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵ PA 与圆相切于A ，∴ MA 2＝MB·MC.又M 为PA 的中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB·MC，∴ PM MC ＝MB PM.∵ ∠BMP ＝∠PMC，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB.6. (xx·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE⊥AC.求证：AC ＝2OD.证明：∵ DE 是圆O 的切线，∴ OD ⊥DE. 又DE⊥AC，∴ OD ∥AC.∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.7. (xx·南京、盐城一模)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．(1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠ACB. 所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD∥AC，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83.8. (xx·盐城二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．解：∵ AB 是圆O 的直径且BC ＝CD ，∴ AB ＝AD ＝10. 连结CO ，∵ EC 为圆O 的切线，∴ EC ⊥CO. 记H 是AD 与圆O 的交点，连结BH ， ∴ EC ∥BH ，∴ HE ＝ED ＝3，∴ AH ＝4，∴ BD 2－62＝AB 2－42，∴ BD ＝230，∴ BC ＝30.9. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交CD 的延长线于点P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1) 求AC 的长； (2) 求证：BE ＝EF.(1) 解：∵ PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴ PD ＝4. 又PC ＝ED ＝1，∴ CE ＝2.∵ ∠PAC ＝∠CBA，∠PCA ＝∠CAB，∴ △PAC ∽△CBA ，∴ PC AC ＝ACAB，∴ AC 2＝PC·AB＝2，∴ AC ＝ 2.(2) 证明：∵ BE＝AC ＝2，CE ＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴ EF ＝2×12＝2，∴ EF＝BE.10. (xx·南京二模)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD·EC.证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD＝∠CAE. 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC.所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA＝BD·EC.因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD·EC.11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AB 的垂线交AC 的延长线于点E 、交AD 的延长线于点F ，过G 作圆O 的切线，切点为H.求证：(1) C 、D 、F 、E 四点共圆；(2) GH 2＝GE·GF.证明：(1) 如图，连结BC.∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°. ∵ AG ⊥FG ，∴ ∠AGE ＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴ ∠ABC ＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC ＝∠AEG. ∴ ∠FDC ＋∠CEF＝180°. ∴ C 、D 、F 、E 四点共圆．(2) ∵ GH 为圆O 的切线，GCD 为割线，∴ GH 2＝GC·GD.由C 、D 、F 、E 四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC ＝∠GDF，∴ △GCE ∽△GFD.∴ GC GF ＝GEGD，即GC·GD＝GE·GF， ∴ GH 2＝GE·GF.$, 24558 5FEE 忮Z34381 864D 虍 29916 74DC 瓜30001 7531 由o35274 89CA 觊21071 524F 剏24196 5E84 庄36976 9070 遰。

高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（二）1．(2018·天津卷)如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD的值为________．解析： ∵∠P ＝∠P ，∠A ＝∠PCB ， ∴△PCB ∽△PAD. ∴PB PD ＝BC AD ＝13. 答案： 132．(2018·湖南卷)如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为______．解析： 由切割线定理知 PT 2＝PA·PB，∴PB ＝422＝8.∴弦AB 的长为PB －PA ＝8－2＝6.答案： 63．如图所示，已知PC 、DA 为⊙O 的切线，C 、A 分别为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD DP ＝12，则AB ＝________.解析： 由CD ＝DA ＝2，∴DP ＝4.在Rt △ADP 中，AP ＝42－22＝2 3.由切割线定理：PC 2＝PA·PB，∴62＝23(23＋AB)，∴AB ＝4 3. 答案： 4 34．(2018·陕西卷)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________.解析： ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径， ∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线．∴BC 2＝BD·BA，即16＝BD·5，解得BD ＝165.∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95.∴BD DA ＝169.答案： 1695．(2018·广东东莞)如图，已知PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析： 连结OA 、OB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°.又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°. 答案： 60°6．(2018·广东佛山)如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析： 由切割线定理知，PC 2＝PA·PB，解得PC ＝2 3. 又OC ⊥PC ，故CD ＝PC·OC PO ＝23×24＝ 3.答案：37．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且AC ＝2 2 cm ，过C 的割线CMN 交AB的延长线于点D ，CM ＝MN ＝ND ，则AD 的长等于________cm.解析： 由切割线定理知|CA|2＝|CM|·|CN|＝2|CM|2，因为|CA|＝22， 所以|CM|＝2，|CD|＝6，所以|AD|＝|CD|2－|CA|2＝27. 答案： 278．(2018·广东卷)如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a3，∠OAP ＝30°，则CP ＝______.解析： ∵AP ＝PB ，∴OP ⊥AB.又∵∠OAP ＝30°，∴AP ＝32a.由相交弦定理得CP·PD＝AP 2，∴CP ＝AP 2PD ＝34a 2×32a ＝98a.答案： 98a9．(2018·北京卷)如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A.若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝______，CE ＝______.解析： 由圆的割线定理知： AB·AC＝AD·AE，∴AE ＝8，∴DE ＝5.连接EB ，∵∠EDB ＝90°， ∴EB 为直径．∴∠ECB ＝90°. 由勾股定理，得 EB 2＝DB 2＋ED 2＝AB 2－AD 2＋ED 2＝16－9＋25＝32.在Rt △ECB 中，EB 2＝BC 2＋CE 2＝4＋CE 2，∴CE 2＝28，∴CE ＝27. 答案： 5 2710．如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，已知⊙O 的半径为3，PA ＝2，则PC ＝________，OE ＝________.解析： 因为PB ＝PA ＋AB ＝8， 所以在⊙O 中，由切割线定理得： PC 2＝PA·PB＝2×8＝16，故PC ＝4； 连结OC ，则OC ⊥CP ，在Rt △OCP 中，由射影定理得：PC 2＝PE·PO，则PE ＝PC 2PO ＝165.故OE ＝PO －PE ＝95.答案： 4 9511．如图，自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB.证明： ∵PA 与圆相切于A ，∴MA 2＝MB·MC.∵M 为PA 的中点，∴PM ＝MA ，∴PM 2＝MB·MC，∴PM MC ＝MB PM. ∵∠BMP ＝∠PMC ，∴△BMP ∽△PMC ， ∴∠MCP ＝∠MPB.12．如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB 、DE 、OC.若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长．解析： 由切割线定理得AD 2＝AE·AB， 所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ， ∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 答：CD 的长等于3.13．(2018·江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC.证明： 如图所示，连接OD ，BD ，因为CD 为⊙O 的切线，AB 为直径， 所以∠ADB ＝∠ODC ＝90°. 所以∠ODA ＝∠BDC. 又因为DA ＝DC ， 所以∠DAB ＝∠DCB. 所以△ADO ≌△CDB.所以OA ＝BC ，从而AB ＝2BC.14．已知弦AB 与⊙O 半径相等，连接OB 并延长使BC ＝OB. (1)问AC 与⊙O 的位置关系是怎样的； (2)试在⊙O 上找一点D ，使AD ＝AC. 解析： (1)∵AB 与⊙O 半径相等， ∴△OAB 为正三角形， ∠OAB ＝60°＝∠OBA ， 又∵BC ＝OB ＝AB ，∴∠C ＝∠BAC ＝30°，故∠OAC ＝90°， ∴AC 与⊙O 相切．(2)延长BO 交⊙O 于D ，则必有AD ＝AC. ∵∠BOA ＝60°，OA ＝OD ， ∴∠D ＝30°， 又∵∠C ＝30°，∴∠C ＝∠D ，得AD ＝AC.15．(2018·辽宁卷)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．解析： (1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD.故△ABE ∽△ADC.(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S ＝12AB·ACsin∠BAC ，且S ＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC ＝AD·AE.则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.16．如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，并交CD 于E ，交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1)求AC 的长； (2)求证：EF ＝BE.解析： (1)∵PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2.∵∠PAC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ， ∴△PAC ∽△CBA ， ∴PC AC ＝AC AB，∴AC 2＝PC·AB＝2，∴AC ＝ 2. (2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE ＝AC ＝2，∴EF ＝2·12＝2，∴EF ＝BE.17．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，求证：(1)AD ＝AE ；(2)AD 2＝D B·EC.【解析方法代码108001161】证明： (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠PAB.因为PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD ， 又PA 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠PAB. 所以∠AED ＝∠ADE.故AD ＝AE.(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠PAD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△PAD ⇒EC AD ＝PCPA ；⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△PAE ∽△PBD ⇒AE DB ＝PAPB .又PA 是切线，PBC 是割线⇒PA 2＝PB·PC ⇒PA PB ＝PC PA.故EC AD ＝AE DB，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB·EC.18．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA·FD；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长.【解析方法代码108001162】 解析： (1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC. ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC.∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC.(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB.∴FB FD ＝FAFB，∴FB 2＝FA·FD.(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝12∠EAC＝60°，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∠FDB＝30°，∴△FBC为正三角形，又BC＝6，在Rt△ABC中，∴AC＝23，∴在Rt△ACD中，AD＝4 3.。

s 解：•・・在 ABCD 中，AB|| DE ,△ AOB SA EOD ,- •・・E 是CD 的中点，・・・DE= =|A B , 则器二 2, ••・ 1"二4,U 匸 》DOES A AOB = 4S A DOE = 4X9 = 36(cm)~.6. 如图，在Z\ABC 中，D 为BC 边匕中点，延长BA 到E,使AE=|E B 交AC 于F.求AF : FC 的值. ,连结DE,选修4-1儿何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识（理科专用）E 是 BC ±的点，AE 丄DE, BE=4, EC=1,求 AB 的氏.AR FC解：根据题意可以判断Rf ABEsRf ECD ,则有■丽二而，可得AB = 2.2. 如图，在Z\ABC 和Z\DBE 中，5B=H =5E =|»若Z\ABC 与Z\DBE 的周长之差为 10 cm,求ZXABC 的周长. 解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得AABC 的周长为25 cm.3. 在AABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE 〃BC, AADE 的面积是2 cm 2, 梯形DBCE 的而积为6 cm 2,求DE : BC 的值.解：AADEsAABC ,利用面积比等于相似比的平方可得DE : BC = 1 ： 2.4. 如图，在△ ABC 中，ZA=90°，正方形DEFG 的边长是6 cm,且四个顶点都在AABC 的各边上，CE=3cm,求BC 的长.解:•/ 四边形 DEFG 是正方形，・・・ Z.GDB = ZFEC = 90° , GD = DE = EF = 6 cm. v LB + ZC = 90° r £B + ZBGD = 90° ，/.乙C 二 ZBGD,.・.△ BGDs △ FCE ,・••罟二罟， EF ・GD即BD =- =12 cm, BC = BD + DE + EC = 21 c m.5. 如图，在 ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O, S ADOE =9CH ?,求S SOB ・ JlCKUGVCKiVAN ' '1.如图，矩形ABCD 中, 人A()B 厶ft?：过D点作DP〃AC（如图），因为D是BC的中点，所以P为AB的中点，且DP二* AC.X AE = |EB ,所以AE 二AP ,所以AF=|D P=|A C ,所以AF ： FC = 1 ： 3.〔占【能力提升】NI-NCI.I I mu s<. ------------------------------------------------7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC ±,记为点折痕为EF.已知AB=AC=3, BC=4,若以点F、C为顶点的三角形与Z\ABC相似，求BF 的长.解:设BF = x.若厶CFB^ACBA , 贝"If 二AB 1 = - 12 - 3x = 4x ,・•・ x = y.CF B"F 4 - x x 若厶CFB Z^ACAB ,则乙厂而，即=3，得x = 2.12即BF = 2或丐&如图，在AABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F.求的值.5网边形DEFCBF BE 1 解:过D点作DM〃AF交BC于M.因为DM|| AF ,所以丽二而二亍因为EF〃DM ,所= Q，即S A BDM =9S“ BEF•又£ D"=—，即S A DMC =手〜BDM =6S A REF，所以S 四边形OEFC O A BDM 刁OA nn\4 3JS A BEF 1二14S.BEF,因此S四边形DE/14・S A BDMAEF9. 如图所示，在厶ABC 'I', AD 为BC 边上的屮线，F 为AB ±任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE ・BF=2DE • AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ,交FC 于点N. 在ABCF 中，D 是BC 的中点，DN|| BF ，二 DN = |B F.••• DN|| AF …△ AFE SA DNE. AE_DE二 AF = DN-即 AE BF = 2DE AF.10. 如图，在AABC 中，AB=AC,延长BC 至I 」D,使CD=BC, CE 丄BD,交AD 于E, 连结BE,交AC 于点F.求证：AF=FC ・证明：取BC 的中点H ,连结AH.•・• AB 二 AC , .•・ AH±BC.•・• CE±BD ,・・・ AH|| EC.•・• CD 二 BC ,・•・ CD = 2CH.则DE = 2AE.取ED 的中点M ,连结CM.则ME = AE.•・• C 为BD 的中点，・・・CM|| BE.贝！J F 为AC 的中点，即AF = FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E, EF 垂直BA,交BA 的延长线于点F.(1) 求证：ZDEA=ZDFA ；(2) 若ZEBA = 30° , EF=羽,EA=2AC,求 AF 的长.1 AE 2DE••• DN pBF …亓 BFB HC D(1)证明：连结AD、BC.因为AB是圆O的直径,所以ZADB = ZACB = ZEFA = 90° ,故A、D、E、F四点共圆，所以ZDEA= ZDFA.(2)解:在R2 EFA 和R2 BCA 中，£EAF= ZCAB ,PA A F所以△ EFAABCA ,故前二局.设AF = a ,又EF = V3 ,乙EBA 二30。

选修4­1 几何证明选讲第1课时 圆的进一步认识1. (2017·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB的平分线，点E 是AB ︵的中点．求证：直线PC 经过点E.证明：连结AE ，EB ，OE ，由题意知∠AOE＝∠BOE＝90°，因为∠APE 是圆周角，∠AOE 是同弧上的圆心角，所以∠APE＝12∠AOE ＝45°.同理可得，∠BPE ＝12∠BOE ＝45°，所以PE 是∠APB 的平分线， 又PC 是∠APB 的平分线，所以PC 与PE 重合，所以直线PC 经过点E.2. 如图，圆O 的两弦AB ，CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q.求证：PF ＝PQ.证明：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以ADF ＝ABC. 因为PF∥BC，所以AFP ＝ABC.所以AFP ＝FDP.又因为APF ＝FPD ， 所以△APF∽△FPD.所以PF PA ＝PD PF.所以PF 2＝PA·PD.因为PQ 与圆O 相切，所以PQ 2＝PA·PD.所以PF 2＝PQ 2.所以PF ＝PQ.3. 如图，圆O 与圆P 相交于A ，B 两点，点P 在圆O 上，圆O 的弦BC 切圆P 于点B ，CP 及其延长线交圆P 于D ，E 两点，过点E 作EF⊥CE 交CB 延长线于点F.若CD ＝2，CB ＝22，求EF 的长．解：连结PB ，∵ BC 切圆P 于点B ， ∴PB ⊥BC.又CD ＝2，CB ＝22，由切割线定理得CB 2＝CD·CE， ∴ CE ＝4，DE ＝2，BP ＝1.∵ EF ⊥CE ，∴ △CPB ∽△CFE ，∴ EF PB ＝CECB，EF ＝ 2.4. 如图，AB ，AC 是圆O 的切线，ADE 是圆O 的割线，求证：BE·CD＝BD ·CE.证明：∵ AB 是圆O 的切线， ∴ ∠ABD ＝∠AEB. ∵ ∠BAD ＝∠EAB， ∴ △BAD ∽△EAB. ∴ BD BE ＝AB AE . 同理CD CE ＝AC AE.∵ AB ，AC 是圆O 的切线，∴ AB ＝AC. ∴ BD BE ＝CDCE，即BE· CD＝BD· CE. 5. (2017·南通、泰州模拟)如图，已知△ABC 内接于圆O ，连结AO 并延长交圆O 于点D ，∠ACB ＝∠ADC.求证：AD·BC＝2AC·CD.证明：证明：连结OC.因为∠ACB＝∠ADC，∠ABC ＝∠ADC， 所以∠ACB＝∠ABC.因为OC ＝OD ，所以∠OCD＝∠ADC. 所以∠ACB＝∠OCD. 所以△ABC∽△ODC.所以AC OC ＝BCCD，即AC·CD＝OC·BC.因为OC ＝12AD ，所以AD·BC＝2AC·CD.6. (2017·苏北三市模拟)如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且点A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上．若∠ACN＝3∠ADB ，求∠ADB 的大小．解：连结AN ，DN.因为A 为弧MN 的中点， 所以∠ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝∠NDB，所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN ＋∠NDB， 即∠BCN＝∠ADB. 又∠ACN＝3∠ADB，所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°， 故∠ADB＝45°.7. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P.(1) 求证：AE·AB＝AD·AP.(2) 已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．(1)证明：连结EF ，则∠AEF＝90°.∵ ∠ACB ＝90°，∴ B ，C ，F ，E 四点共圆． 则∠AFE＝∠B.∵ ∠ADE ＝∠AFE，∴ ∠ADE ＝∠B. ∴ B ，P ，D ，E 四点共圆． 则AE·AB＝AD·AP.(2)解：∵ AE＝EB ＝4，AD ＝5，∴ AB ＝8.由(1)AE·AB＝AD·AP，得AP ＝325.8. (2017·苏锡常镇二模)如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC ⊥OB 于点C ，且DE ＝2BE ，求证：2OC ＝3BC.证明：连结OD ，设圆的半径为R ，BE ＝x ， 则OD ＝R ，DE ＝2BE ＝2x ，在Rt △ODE 中，∵ DC ⊥OB ，∴ OD 2＝OC•OE，∴ R 2＝OC(R ＋x) ①.∵ 直线DE 切圆O 于点D ，∴ DE 2＝BE•AE，∴ 4x 2＝x(2R ＋x) ②，∴ x ＝2R 3.代入①，解得OC ＝3R 5，∴ BC ＝OB －OC ＝2R5，∴ 2OC ＝3BC.9. 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE.证明：连结BP，∵ AB是圆O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠BPC＝90°.在Rt△BPC中，∵ E是边BC的中点，∴ BE＝EC，∴BE＝EP，∴∠1＝∠3.∵ B，P为圆O上的点，∴ OB＝OP，∴∠2＝∠4.∵ BC切圆O于点B，∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠2＝90°，从而∠3＋∠4＝90°，∴∠OPE＝90°.∴ OP⊥PE.10. (2017·金陵中学质检)如图，已知AB为圆O的直径，C，F为圆O上的两点，OC⊥AB，过点F作圆O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DA·DB.证明：连结OF.∵ DF切圆O于F，∴∠OFD＝90°.∴∠OFC＋∠CFD＝90°.∵ OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC.∵ CO⊥AB于O，∴∠OCF＋∠CEO＝90°.∴∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，∴ DF＝DE.∵ DF是圆O的切线，∴ DF 2＝DB·DA.∴ DE 2＝DB·DA.11. (2017·南通、泰州期末)已知圆O 的直径AB ＝4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE ＝2CD ，求△OCE 的面积．解：设CD ＝x ，则CE ＝2x. 因为CA ＝1，CB ＝3，由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE，所以1×3＝x·2x＝2x 2，所以x ＝62.取DE 的中点H ，连结OH ，则OH⊥DE.因为OH 2＝OE 2－EH 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＝58，所以OH ＝104. 因为CE ＝2x ＝6，所以△OCE 的面积S ＝12OH·CE＝12×104×6＝154.。

第22讲创新题真题赏析题一：无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的n +∈N ， {2,3}n S ∈，则k 的最大值为__________.题二：对于无穷数列{a n }与{ b n }，记A ={x |x =n a ，n +∈N }，B ={x |x =n b ，n +∈N }，若同时满足条件：①{a n }，{ b n }均单调递增；②A B =∅且A B +=N ，则称{a n }与{ b n }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{a n }与{ b n }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若n a =2n 且{a n }与{ b n }是无穷互补数列，求数列{ b n }的前16项的和；（3）若{a n }与{ b n }是无穷互补数列，{a n }为等差数列且16a =36，求{a n }与{ b n }的通项公式.题三：记{}1,2,,100U =．对数列{}n a (n +∈N )和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a (n +∈N )是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k (1100k ≤≤)，若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CD D S S S +≥．题四：设数列12:,,,N A a a a (2)N ≥．如果对小于(2)n n N ≤≤的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． (Ⅰ)对数列:2,2,1,1,3A --，写出()G A 的所有元素；(Ⅱ)证明：若数列A 中存在n a 使得1n a a >，则()G A ≠∅；(Ⅲ)证明：若数列A 满足11n n a a -≤-(2,3,,)n N =，则()G A 的元素个数不小于1N a a -．第1讲 创新题真题赏析题一：4题二：（1）{a n }与{ b n }不是无穷互补数列，因为4A ∉，4B ∉，所以4A B ∉，从而{a n }与{ b n }不是无穷互补数列；（2）180；（3）24n a n =+，,425,5n n n b n n ≤⎧=⎨-≥⎩． 题三：（1）13n n a -=；（2）因为{}1,2,,T k ⊆，13n n a -=，n +∈N ，所以 1221113333132T kk k k k S a a a a -+≤++=++++-=<=，此题得证；（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C DD D DS S S S S S S +=+≥+=； ②若C 是D 的子集，则 22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥③当D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集时， 设U M C D =ð，U N D C =ð，则,,M N ≠∅≠∅M N =∅，于是C M C D S S S =+，D N CD S S S =+， 22C C D D M N S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2M N S S ≥．设i 为M 中的最大数，j 为N 中的最大数，则1,1,i j i j ≥≥≠，由条件C D S S ≥结合（2）的结论可知i j >，1i j -≥．而133i j M i S a -≥=≥，123132j j N j S a a a -≤+++=<即32j N S >， 所以2M N S S >；综上所述，2C CD D S S S +≥，此题得证．题四：(Ⅰ)()G A 的元素为2和5；(Ⅱ)因为存在n a 使得1n a a >，所 以1,{2}i i N i a a +∈≤≤>≠∅N ． 记1,min{2}i i N m i a a +=∈≤≤>N ，则2m ≥，且对任意正整数k m <，1k m a a a ≤<．因此()m G A ∈．从而()G A ≠∅；(Ⅲ)当1N a a ≤时，结论成立．以下设1N a a >．由(Ⅱ)知()G A ≠∅．设12(){,,,}p G A n n n =，12p n n n <<<，记01n =．则012p n n n n a a a a <<<<．对0,1,,i p =，记{|,}i i i k n G k n k N a a +=∈<≤>N如果i G ≠∅，取min i i m G =，则对任何1i k m ≤<，i i k n m a a a ≤<．从而()i m G A ∈且1i i m n +=．又因为p n 是()G A 中的最大元素，所以p G =∅．从而对任意p n k N ≤≤，p k n a a ≤，特别地，p N n a a ≤．对0,1,,1i p =-， 11i i n n a a +-≤．因此 111111()1i i i i i n n n n n a a a a a ++++--=≤+-+．所以 1111()p i i N n p n n i a a a a a a p -=≤--=-≤∑．因此()G A 的元素个数p 不小于1N a a -．第23讲 创新题2017新题赏析题一：我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S __________. 题二：能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________．题三：某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________；（2）该小组人数的最小值为__________．题四：如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O . D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥. 当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为__________.第2讲创新题2017新题赏析题一：2题二：1,2,3---(答案不唯一)题三：（1）6；（2）12.题四：第23讲离散型随机变量及其分布列、期望经典精讲金题精讲题一：一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= ．题二：为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)题三：从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111 ,, 234．(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．题四：在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的频率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．题五：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．第1讲离散型随机变量及其分布列、期望经典精讲金题精讲题一：1.96．题二：(1)0.3；(2) 的分布列如下：E(ξ)=1；(3) 100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．E(X)=12；(2)11 48．题四：(1)5 18；(2)XEX=2．题五：(1) 23；(2)X数学期望EX =236．第24讲概率统计2018新题赏析金题精讲题一：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．题二：从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是________．题三：如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．题四：某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳题五：为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数题六：某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．题七：某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．第2讲 概率统计2018新题赏析金题精讲 题一：25题二：59题三：π8 题四：A题五：B题六：(1)0.4；(2)20；(3)3:2．题七：(1)0.6；(2) Y 的所有可能值为900,300,－100；Y 大于零的概率为0.8．第24讲 高考数学二轮复习综合验收题精讲(一)题一：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)()f x f x -<的x 的取值范围是_______.题二：在ABC ∆所在平面内有一点O ，满足20OA AB AC ++=，1OA OB AB ===，则CA CB ⋅等于_______.题三：把四名学生全部安排到两所学校就读，每校至少接收一名，不同的安排方案有___种．题四：抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为 l ，点A 在抛物线C 上，以F 为圆心、FA 为半径的圆交直线l 于点,B D ，且,,A F B 共线，则直线AB 的斜率为_______.题五：ABC ∆中，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则tan tan tan A B C ++=_______.题六：正ABC ∆边长为4，,E F 为线段,AB AC 上的动点，且//EF BC ，把AEF ∆沿着EF 折起到'A EF ∆的位置，使得面'A EF ⊥面EFCB ．(Ⅰ)若'A 在面EFCB 上的射影为ABC ∆的中心，求证：'A C BE ⊥；(Ⅱ)求证：二面角'F A E B --的度数为定值．第3讲 高考数学二轮复习综合验收题精讲(一) 题一：1(,1)3题二：3 题三：14题四：±题五：6题六：(Ⅰ)找EF 的中点O ，连接'A O ，OC正ABC ∆中，//EF BC ，知''A E A F =，所以'A O EF ⊥．又因为面'A EF ⊥面EFCB ，'A O ⊂面'A EF ，所以'A O ⊥面EFCB ．所以O 为ABC ∆的中心，'A O BE ⊥．所以BE OC ⊥．所以BE ⊥面'A OC ，所以'A C BE ⊥．(Ⅱ)找BC 的中点D ，连接OD ，因为OD ⊂面EFCB ，由(Ⅰ)可知'A O OD ⊥，EF OD ⊥，故可建系如图．设||2EF m =，(0,,0)E m -，)A ，),2,0)B m --，'(0,)EA m =， (3(2),2,0)EB m m =--， 设(,,)n x y z =为面'A EB的法向量，则0)(2)0my m x m y ⎧+=⎪-+-=， 取1z =，则(1,n =-面'A EF 的法向量为(1,0,0)m =， 则cos ,m n <>=． 设二面角'F A E B --的大小为θ，则cos θ=， 所以二面角'F A E B --的大小为定值．第25讲 高考数学二轮复习综合验收题精讲(二)题一：空间四边形ABCD 的两条对棱AC , BD 的长分别为5和4, 则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是_______________.题二：三棱锥A BCD -的两条对棱6AB CD ==,其余各棱长均为5，此三棱锥的内切球的体积为_____________.题三：已知函数π()sin(),3f x A x x ω=+∈R (其中 0,0A ω>>)图象上一个最高点与一个最低点的最短距离为5，且两个最高点的最短距离为6．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,3]上的最值．题四：已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，离心率为2，直线:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点，与直线4x =交于点M ，且四边形12AF BF 的周长为N 在直线l 上，满足2OA ON OM =⋅．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点P ，使得对一切k ∈R 都有0PN PM ⋅=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．第4讲 高考数学二轮复习综合验收题精讲(二)题一：(8,10)π 题三： （Ⅰ）ππ()2sin()33f x x =+（Ⅱ）当12x =时，函数取得最大值2；当3x =时，函数取得最小值 题四：（Ⅰ）22184x y +=； （Ⅱ）存在，点P 坐标为(2,0)．第25讲 几何证明选讲(选修4-1)题一：圆C 过点(1,0),(3,0)，OP 与圆C 相切，切点为P ，求点P 的轨迹.题二：设AB ，CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于E ，DE =24，EF =18，则OE =__________.题三：如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D . 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF =3，FB =1，EF =23，则线段CD 的长为____________.题四：设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===，BAD ACD ∠=∠，BAF CAE ∠=∠，则BC 的长为________.第3讲 几何证明选讲(选修4-1)题一：点P 的轨迹是223(0)x y y +=≠所表示的两个半圆.题二： 题三：43题四：11。

数学选修4-1几何证明选讲解答题第一篇：数学选修4-1几何证明选讲解答题选修4-1：几何证明选讲一、填空题1.(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.2．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．二、解答题3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.4．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB 上)．求证：AB∶AC为定值．5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长． a 26．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O 于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N.求证：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD.过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD.8．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，求PD的长．9.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E 四点共圆；(2)CE平分∠DEF.10．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．答案231．2 2.3CE3．证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AF∥BC，所以BE＝.又因为AE∥CD，所以△AFE∽△DFC，EFEAEAEFCFEFCE所以＝＝.CDCFCDEABE又因为∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC，ACCF所以△AFC∽△ACD，所以，ADDCACCE所以，ADBE所以AC·BE＝CE·AD.4.证明如图，连结AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．π从而∠ABD＝∠ACE.2所以BD∥CE，ABAD2r1r1于是＝＝.ACAE2r2r2所以AB∶AC为定值．5．解连结DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，22CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△AED中，AD＝a，F是AD的中点，故EF26．证明(1)∵PC切圆O于点C，∴∠PCB＝∠PAC，又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN，∴CM＝CN.(2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM，aaaPCCN∴△PCN∽△PAM＝，①PAAM同理△PNB∽△PMCPBBN.② PCCM又∵PC2＝PA·PB，③由①②③可知CM·CN＝AM·BN，∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴MN2＝2CM2，即MN2＝2AM·BN.7．证明连结AC.∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB，∵AB ＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.∴∠EAB＝∠ACD.又四边形ABCD 内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.∴△ABE∽△CDA.ABBE，即AB·DA＝BE·CD.CDDA∴AB2＝BE·CD.8．解方法一连结AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD 中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－14×(－＝7.∴PD7.2方法二过D作DE⊥PC，垂足为E，∴∠POD＝120°，13∴∠DOE ＝60°，可得OE，DE＝，22在Rt△PED中，25322PDPE＋DE＝7.449．证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH ＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.10．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC ＝∠FBC.因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，FBFA所以△FBA∽△FDB.所以＝ FDFB所以FB2＝FA·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°.又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，1∠DAC＝EAC＝60°.因为BC＝6，2所以AC＝BCtan∠ABC＝23，AC所以AD＝＝43(cm)．cos∠DAC第二篇：2007-2012新课标数学几何证明选讲解答题汇总1、如图，已知AP是εO的切线，P为切点，AC是εO的割线，与εO交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．，P，O，M四点共圆；（Ⅰ）证明A（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．（2007新课标）A【解析】（Ⅰ）证明：连结OP，OM．因为AP与εO相切于点P，所以OP⊥AP．因为M是εO的弦BC 的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA+∠OMA=180°．，P，O，M四点共圆．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．所以∠OAM+∠APM=90°．A2、如图，过圆O外切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P．一点M 作它的一条切线，OP=OA；（Ⅰ）证明：OMε（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM=90．（2008课标卷）ο23、如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B＝60°,F在AC上,且AE＝AF.（2009课标卷）(1)证明B,D,H,E四点共圆;(2)证明CE平分∠DEF.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD ＝60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.4、如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；2（Ⅱ）BC=BF×CD。