《24.2.2 直线和圆的位置关系》第3课时教学设计【初中数学人教版九年级上册】

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24。

2。

2 直线和圆的位置关系（3)一、教学目标1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.2。

了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念。

3。

学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.二、课时安排1课时三、教学重点掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明。

四、教学难点学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想.五、教学过程(一）导入新课问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示),如果点C是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？问题2 过圆外一点作圆的切线,可以作几条？请欣赏小颖同学的作法！(见右图所示）(二）讲授新课活动1：小组合作探究1：切线长的定义1。

切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．2.切线长与切线的区别在哪里?①切线是直线，不能度量②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．探究2：切线长定理思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.拓展结论PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.A（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中与∠OAC相等的角；（3）写出图中所有的全等三角形;（4）写出图中所有的等腰三角形.练一练PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3。

24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）一、学习目标：1、了解切线长、内切圆、内心等概念。

2、对切线长定理的理解及应用。

二、学习重难点：重点：切线长定理及内切圆定义；难点：切线长定理的理解三、教学过程（1）温故知新：①直线和圆的位置关系有_____________________;②圆的切线:______________________________________.（2）探索新知1、切线长：经过圆外一点作圆的_____,这点和_____之间的线段____,就叫做这点到圆的________。

总结：切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长①如图，PA与⊙O的位置关系是_____，点P到⊙O的切线长为_______②如图，沿着直线PO将图形对折,此时OB是⊙O的_____,PB的长度是⊙O的_____。

PA与PB的关系______,∠APO与∠BPO的关系_______。

3、切线长定理：从圆外一点可以引圆的___条切线，他们的切线长_____,这一点和圆心的连线_________________几何表达式：基本图形特点：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于G，则图中互相垂直的线段有哪些？相等的线段、相等的角有哪些？全等三角形有几对？4、三角形的内切圆：我们把与三角形____________的圆叫做三角形的______。

三角形内切圆的圆心是三角形的_____，这个三角形叫做这个圆的_____三角形。

三角形的内心是三角形____________________的交点，它到三角形____________的距离相等。

拓展：圆的外切四边形的两组对边的和_____例题：△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。

第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系教学设计（第3课时）一、教学目标1．理解切线长的概念和三角形内切圆、内心的概念．2．掌握切线长定理及其应用．二、教学重点及难点重点：三角形内切圆的相关概念；切线长定理及其应用．难点：切线长定理及其应用．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。

四、相关资源《复习切线的判定定理和性质定理》动画，《操作过程》动画，《辅助线做法》动画，《作三角形内切圆》动画．五、教学过程【知识回顾，引入新课】切线的判定定理和性质定理是什么？【数学探究】切线的判定定理,探究切线的判定过程【知识点解析】切线的性质,此卡片可以用于知识总结,也可用于知识复习.师生活动：教师展示问题和复习的课件，让学生回顾上节课所学知识．设计意图：通过复习切线的判定定理和性质定理，为本节课学习切线长作好铺垫．【合作探究，形成新知】问题：请同学们拿出准备好的材料（材料：透明纸上画出⊙O，并画出过⊙O上A点的切线P A，连接PO），沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B．请同学们观察并思考：①PB是⊙O的切线吗？②判断图中的P A与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？师生活动：教师提出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现解决问题的关键：（1）PB是⊙O的切线？（2）若想得到PB是⊙O 的切线，PB满足什么条件？（3）OB是不是⊙O的半径？为什么？（4）OB是否垂直于PB？为什么？（5）点A与点B有怎样的位置关系？（6）∠OBP与∠OAP有怎样的位置关系？教师关注：（1）学生是否能够明确问题并能积极寻找解决问题的关键知识和方法；（2）学生在活动中发表个人见解的勇气；（3）学生能否在动手操作中获得启示并找到解决问题的方法；（4）对于一系列问题的提出与思考，学生是否对探索线段和角的数量关系有兴趣．设计意图：通过情景设置引发学生探索切线长定理的求知欲．让学生体会从具体情景和实践操作中发现数学条件，进而解决问题．通过问题的设计，给不理解题意和没有解决问题方法的学生以引导，明确结论得出的合理性．1．只用猜想或测量的方法不能说明结论是否正确，同学们能不能运用逻辑推理的方法证明结论？师生活动：教师提出证明猜想的要求，学生思考证明猜想，教师介绍切线长的概念并用上图中P A为例．归纳：经过圆外一点的圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．【数学探究】探究切线长定理,此动画显示切线长定理.证明：连接OA和OB，如图：∵P A、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．∴P A=PB，∠APO=∠BPO．设计意图：通过“猜想——实践——验证——归纳”的过程发展探究意识，体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法．2．切线与切线长有什么区别？表示切线长的线段的两个端点分别是什么？师生活动：学生回答，引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．小结：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．3．过圆外一点能做几条圆的切线？切线长怎样？相邻两个角相等可以视为∠APB被平分，怎样叙述？师生活动：小组交流，小组代表汇报．师生共同归纳切线长定理，并用几何语言表示．设计意图：随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．用符号语言表示定理：∵P A、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点（P A、PB分别与⊙O相切于点A、B），∴P A=PB，∠APO=∠BPO．4．下面是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？请动手画一画．问题1作圆的关键是什么？生：确定圆心和半径．问题2怎样确定圆心的位置？生：作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．问题3圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？生：过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径．师生活动：先让学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流．让学生自己尝试，教师提问题引导学生如何画三角形的内切圆．已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三边都相切．作法：1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I；2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求．【数学探究】探索与三角形三边都相切的圆,从动画可以展现三角形的五心,重点可以展示内切圆的圆心.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．设计意图：体会应用内切圆的相关知识把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．【例题分析，深化提升】例△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13．求AF，BD，CE的长．师生活动：学生思考并解决问题，教师选取几名学生的解答过程投影并订正．解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x．由BD＋CD=BC可得(9－x)＋(13－x)=14．解得x=4．因此AF=4，BD=5，CE=9．设计意图：学生解决问题的过程中应用定理加深对定理作用的体会，并树立解决问题的信心，订正几名学生的解答过程能反馈学生掌握知识的情况及对其他学生起到示范作用．【练习巩固，综合应用】1．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，P A=8，那么弦AB的长是（）．A．4 B．8 C．43D．832．如图，P A、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P的度数是（）．A．60°B．120°C．50°D．30°3．如图，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）．A．12 B．6 C．8 D．44．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（）．A．3a B．3a C．3a D．3a5．如图，△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =75°，点O 是内心，求∠BOC 的度数．6．△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积．（提示：设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ．）目标检测答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．解：∠BOC =180°－12(∠ABC ＋ ∠ACB ) =180°－12(50°＋75°) =117.5°．6．解：设AB =c ，BC =a ，AC =b ， 则111222AOB BOC AOC S cr S ar S br ===△△△，，， 所以ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△()12r a b c =++， 12rl =． 设计意图：巩固了切线长定理，以及三角形的内切圆的有关知识，思考问题使学生保持继续探究的欲望，加深对知识的深入思考．六、课堂小结师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从四方面入手： 1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．体会到了哪些数学思想；4．还有哪些发现与猜想？1．切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．2．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 设计意图：进一步明确本节课所涉及的数学知识、数学思想、解决问题的方法．七、板书设计CB24.2 点和圆、直线和圆的位置关系——24.2.2 直线和圆的位置关系（3）1．切线长2．三角形内切圆、内心。

人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
切线长定理及三角形的内切圆教学设计
一、教材分析
1、地位作用：圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．在切线长定理的探究过程中，学生经历实验操作、归纳猜想、推理论证的过程，体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．
2、教学目标：
（1）了解切线长、三角形的内切圆、三角形的内心等概念；理解切线长定理，并能运用切线长定理进行解题和证明；会作已知三角形的内切圆。

（2）在探究切线长定理、三角形内切圆的过程中，体会转化的数学思想及逻辑思维的方法。

3、教学重、难点
教学重点：理解切线长定理并能运用。

教学难点：运用切线长定理进行解题及三角形的内切圆。

突破难点的方法：作图观察发现，总结方法。

二、教学准备：圆规、直尺、多媒体投影仪
三、教学过程。

人教版九年级上册数学24.2.2 点、直线、圆和圆的地点关系(第三课时 ) 教课设计课题： 24.2.2 点、直线、圆和圆的地点关系（第三课时）学科长鉴定建议：学科长署名：一、教课内容极其分析：1、内容：（ 1）、切线长的观点。

（2）、切线长定理：从圆外一点能够引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线均分两条切线的夹角。

（3）、三角形的内切圆及三角形心里的观点。

2、分析：本节课教课要点是切线长定理极其运用。

难点与要点是切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实质问题。

二、教课目的极其分析：1、目标：（1）、认识切线长的观点；（2）、理解切线长定理，认识三角形的内切圆和三角形的心里的观点，娴熟掌握它的应用；（3）、依据所学三角形角均分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的心里的观点，最后应用它们解决一些实质问题。

2、分析：经历察看、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清楚地写出推理过程。

三、教课识题极其分析：1、问题：（ 1）切线长定理的导出及其证明。

（2）运用切线长定理解决一些实质问题。

（3）三角形内切圆的作法。

2、分析：（ 1）切线长定理可由教师指引，学生自主研究、推理得出。

（2）教师能够先解说例2，而后让学生独立达成练习，使学生在应用过程中进一步加深对切线长定理的认识与理解，培育学生的应用和能力。

（ 3）教师引导、点拨、剖析：由“三角形内切圆的圆心在三个角的均分线上”作出三条角均分线，于是交点即是知足题意的圆心。

而后学生自主研究、达成作图。

四、教课过程设计：（一）教课基本流程复习切线判断定理和性质定目标检测，讲堂练习认识三角形内研究切线切圆、心里的知识运=>长定理=>用，学习=>=>观点，学画三例 2角形内切圆课堂=>小结（二）教课情形1、复习切线判断定理和性质定回答以下问题：怎样判断圆的切线？圆的切线有什么性质？师生活动：教师发问，学生回答。

第3课时切线长定理学习目标：1.理解切线长的定义；2.掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1.直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2.切线的判定和性质是什么？3.角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。

P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（二）探究切线与切线长的区别和联系：区别联系切线切线长跟踪训练：判断1.圆的切线长就圆的切线的长度。

（）2.过任意一点总可以作圆的两条切线。

（）（三）探究切线长定理：如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：∵ ∴ 跟踪训练：1.如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ， 与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则 图中相等的线段有__________________________ _____________________________。

2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。

3.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。

则∠P=________。

四、典例解析：例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求： （1）△PDE 的周长； （2）∠DOE 的度数。

人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2.2节《直线与圆的位置关系》是本节课的主要内容。

本节课主要介绍了直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况，并学习了如何判断直线与圆的位置关系以及如何求解圆的弦长和圆心角。

本节课的内容是九年级数学的重要内容，对于学生来说具有较高的难度，需要学生具备较强的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对于图形的性质和几何关系有一定的了解。

但是，对于直线与圆的位置关系的理解和应用还需要进一步的引导和培养。

此外，学生对于数学问题的解决方法还不够丰富，需要通过本节课的学习，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆位置关系的方法。

2.学会求解圆的弦长和圆心角的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.直线与圆的位置关系的理解和判断。

2.圆的弦长和圆心角的求解方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索直线与圆的位置关系。

2.使用几何画板软件，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和记忆。

3.通过例题讲解和练习，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括直线与圆的位置关系的图片和例题。

2.准备几何画板软件，用于展示直线与圆的位置关系。

3.准备相关的中难度的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何中直线与圆的基本概念，如圆的定义、直线的定义等，为后续学习直线与圆的位置关系打下基础。

2.呈现（10分钟）使用几何画板软件展示直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。

让学生直观地感受直线与圆的位置关系，并为后续学习判断方法和求解方法做准备。

3.操练（15分钟）讲解如何判断直线与圆的位置关系，以及如何求解圆的弦长和圆心角。

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第3课时）一、教学目标【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度与价值观】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力.二、课型新授课三、课时第3课时,共3课时。

四、教学重难点【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间,你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）（二）探索新知探究一切线长定理及应用教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线,可以作几条？（出示课件4）学生思考,尝试作图并解答．出示课件5:出示定义:切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．教师问：切线长与切线的区别在哪里？学生思考后师生共同总结：①切线是直线,不能度量.②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量．教师问：PA为☉O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO 和∠BPO有何关系？（出示课件6）学生思考后,尝试利用图形轴对称性解释.教师归纳：（出示课件7）切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:∵PA、PB分别切☉O于A、B,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.出示课件8：已知,如图PA、PB是☉O的两条切线,A、B为切点.求证：PA=PB,∠APO=∠BPO.学生观察分析,合作交流后师生共同解答.证明：∵PA切☉O于点A,∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.教师问：若连接两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件9）学生操作后观察得：OP垂直平分AB.师生共同证明如下.证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB.教师问：若延长PO交⊙O于点C,连接CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件10）学生操作后观察得：CA=CB.师生共同证明如下.证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB,∴AC=BC.出示课件11：例1 已知：如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.学生独立思考后师生共同解决如下.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H,∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.巩固练习：（出示课件12）PA、PB是☉O的两条切线,A,B是切点,OA=3.（1）若AP=4,则OP= ;（2）若∠BPA=60°,则OP= .学生自主思考后口答：⑴5；⑵6.出示课件13：例2 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若三角板与圆相切且测得PA=5cm,求铁环的半径．教师分析：欲求半径OP,取圆的圆心为O,连OA、OP,由切线性质知△OPA 为直角三角形,从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．师生共同解答.（出示课件14）解：过O作OQ⊥AB于Q,设铁环的圆心为O,连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线,∴AO为∠PAQ的平分线,即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°,∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°,∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中,PA＝5,∠POA＝30°,OP即铁环的半径为巩固练习：（出示课件15）如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为cm(AD<BE).学生思考后独立解决.解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.探究二三角形的内切圆及作法出示课件16：小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？教师问：如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系？（出示课件17）学生答：最大的圆与三角形三边都相切.教师问：如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r 的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件？（出示课件18）学生答：圆心I到三角形三边的距离相等,都等于r.教师问：(2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢？学生答：圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.教师问：为什么？学生答：三角形三条角平分线交于一点,这一点与三角形的三边距离相等.出示课件19：做一做已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.引导学生分析作图的关键,师生共同作图如下：作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN,交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心,OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.教师归纳总结：（出示课件20）1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.如图,☉I是△ABC的内切圆,点I是△ABC的内心,△ABC是☉I的外切三角形.出示课件21：例已知:△ABC(如图),(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.学生观察思考交流后,师生共同解答.（出示课件22,23）解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;②分别以H、G为圆心,以大于12HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=12(∠ABC+∠ACB)=12×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.巩固练习：（出示课件24）△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.（提示：设内心为O,连接OA、OB、OC.）学生思考交流后自主解决.解：设AB=c,BC=a,AC=b.则S△OBC=12ar,S△OBA=12cr,S△OAC=12br,S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=1 2ar+12cr+12br=12r（a+c+b）=12lr.探究三三角形的内心的定义和性质教师问：如图,☉I是△ABC的内切圆,那么线段IA,IB,IC有什么特点？（出示课件25）学生答：线段IA,IB,IC分别是∠A,∠B,∠C的平分线.教师问：如图,分别过点作AB、AC、BC的垂线,垂足分别为E、F,G,那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？（出示课件26）学生答：IE=IF=IG.教师归纳：三角形内心的性质（出示课件27）三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.出示课件28：例 如图,△ABC 中,∠B=43°,∠C=61°,点I 是△ABC 的内心,求∠BIC 的度数.教师分析后学生独立解答.解：连接IB,IC.∵点I 是△ABC 的内心,∴IB,IC 分别是∠B,∠C 的平分线,在△IBC 中,180()BIC IBC ICB ∠=-∠+∠1180()2B C =-∠+∠ 1180(4361)2=-+128.= 巩固练习：（出示课件29）如图,在△ABC 中,点P 是△ABC 的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= .学生自主思考后独立解答.解析：∵点P 是△ABC 的内心,∴PB 平分∠ABC,PA 平分∠BAC,PC 平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.出示课件30,师生共同总结深化认知.（三）课堂练习（出示课件31-36）1.如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A 为60°角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是（ ）A ．3B ．C ．6D ．2.如图,菱形ABOC 的边AB 、AC 分别与⊙O 相切于点D 、E ．若点D 是AB 的中点,则∠DOE= ．3.如图,PA、PB是☉O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO= ,PB= .4.如图,已知点O是△ABC的内心,且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC= .5.如图,在△ABC中,点I是内心,（1）若∠ABC=50°,∠ACB=70°,∠BIC=_____.（2）若∠A=80°,则∠BIC=_____度.（3）若∠BIC=100°,则∠A=_____度.（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？6.如图所示,已知在△ABC中,∠B＝90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC相切于点D.求证：DE∥OC.7.如图,△ABC中,I是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案：1.D解析：设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,∴∠OAB=60°,在Rt△ABO中,OB=ABtan∠OAB=∴光盘的直径为．2.60°解析：连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB,∵点D 是AB 的中点,∴直线OD 是线段AB 的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB 是等边三角形,∵AB 与⊙O 相切于点D,∴OD ⊥AB,∴∠AOD=12∠AOB=30°, 同理,∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60° ．3.20°；44.110°5.解：⑴120°；⑵130；⑶20；⑷190.2BIC A ∠=+∠ 6.证明：连接OD,∵AC 切⊙O 于点D,∴OD ⊥AC,∴∠ODC=∠B=90°.在Rt △OCD 和Rt △OCB 中,OD ＝OB ,OC ＝OC ,∴Rt △ODC ≌Rt △OBC （HL ）, ∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED,∵∠DOB=∠ODE+∠OED,∴∠BOC=∠OED,∴DE∥OC.7.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBI+∠CBD, ∴∠BID=∠IBD,∴BD=ID．（四）课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？（五）课前预习预习下节课（24.3第1课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续,从探究切线长定理开始,通过如何作一个三角形的内切圆,引出三角形的内切圆和三角形内心的概念,经历这些探究过程,能使学生掌握图形的基本知识和基本技能,并能解决简单的问题.。

24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时）切线长定理和三角形内切圆一、教学目标（一）学习目标1.了解切线长定义，切线长定理，并进行有关计算。

2.会作三角形内切圆并理解作图原理。

3.掌握三角形内切圆、内心的概念及性质，利用性质进行推理论证、计算。

（二）学习重点1.切线长定理及其应用。

2.尺规作图作三角形内切圆。

3.三角形内心性质。

（三）学习难点1.运用切线长定理进行有关计算。

2.尺规作图作三角形内切圆。

3.运用三角形内心性质进行有关计算、证明。

二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点间的线段叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：过圆外一点有两条圆的切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

（3）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

2.预习自测（1）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A.4B.8C.【知识点】圆的切线长定理；等边三角形判定与性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA，PB是圆O的两条切线∴PA=PB∵∠APB=60°∴△PAB是等边三角形∵PA=8∴AB=PA=8故选B【思路点拨】由圆的切线长定理得PA=PB，又∠APB=60°，所以△PAB是等边三角形。

【答案】B2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP= 度．【知识点】切线长定理、直角三角形两锐角互余【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°∴∠APO=12∠APB=25°，∠OAP=90°∴∠AOP=90°﹣25°=65°【思路点拨】根据切线长定理、切线的性质定理得到∠OAP=900，再根据直角三角形的两个锐角互余进行求解。

第3课时切线长定理教学目标知识技能1．了解切线长的概念．2．理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握并能应用．数学思考与问题解决复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理，知识迁移到切线长的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．情感态度经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程．重点难点重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学设计活动一：复习引入1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质．2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识吗？3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？(教师出示问题．学生复习回忆．教师点评．)设计意图：通过有针对性的复习，为本节课学习扫清障碍．活动二：实验发现1．从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题，操作思考并解决这个问题．在纸上画出⊙O，并画出过A点的切线PA，连接PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系．我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．从上面的操作我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2．验证切线长定理．如上图，已知PA，PB是⊙O的两条切线．求证：PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.证明：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.通过“演示实验—观察—感性—理性”归纳结论．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．思考：已知：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？大家作出的圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心．(三角形三条角平分线的交点)(教师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.学生分组讨论，教师抽取3～4位同学回答问题．教师引导、点拨，点评：证明线段相等、角相等一般都是证明三角形全等．只要证明Rt△AOP≌Rt△BOP，问题就解决了．学生写出推理过程．师生共同归纳总结切线长定理．教师点拨：假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．学生作图．)设计意图：让学生亲自动手实验、探究结论，激发兴趣．通过“演示实验——观察——感性——理性”加深对切线长定理的认识与理解．培养学生分析问题、解决问题的意识和能力以及规范作图的能力．活动三：利用切线长定理解决问题例1见教材第100页例2.补充例2如下图，⊙O的直径AB＝12 cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD＝x，BC＝y.求y与x的函数关系式，并说明是什么函数．解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形．∵⊙O切AM、BN、CD于A、B、E，∴DE＝AD，CE＝CB.∵AD＝x，CB＝y，∴CF＝y－x，CD＝x＋y.在Rt△DCF 中，DC2＝DF2＋CF2，即(x＋y)2＝(x－y)2＋122，∴xy＝36.∴y＝36x为反比例函数．(教师出示问题，适当引导点拨，学生讨论解决．教师对例2分析：要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系，根据切线长定理：DE＝AD＝x，CE＝CB＝y，即DC＝x＋y，又因为AB＝12，所以只要作DF⊥BC，垂足为F，根据勾股定理，便可求得．)设计意图：让学生在应用过程中，进一步加深对切线长定理的认识与理解，培养学生的应用意识和能力．活动四：巩固练习教材第100页练习1，2.(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教，学生独立思考解决问题．)设计意图：对知识巩固、提高、深化．活动五：师生小结1．小结：(1)圆的切线长概念；(2)切线长定理；(3)三角形的内切圆及内心的概念．2．布置作业：作业：教材第102页习题24.2第12题．(教师点评，总结方法．学生总结发言．学生按要求课外完成．)设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．板书设计切线长定理一、复习引入二、实验发现1．圆的切线长概念2．验证切线长定理3．思考三角形的内切圆及内心的概念三、利用切线长定理解决问题例1 例2四、巩固练习五、师生小结1．小结2．布置作业。

24.2．2 直线和圆的位置关系第三课时教学内容1．切线长的概念．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．教学目标了解切线长的概念．理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：切线长定理及其运用．2．•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入1．问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？2.问题2、经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？二、探索新知从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO 与∠BPO有什么关系？学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB•的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，•我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO．我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长．注意切线与切线长的区别从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．下面，我们给予逻辑证明．例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB，∠OPA=∠OPB因此，我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．小结：切线常用的6条性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。