2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一(上)期初数学试卷

启东中学2018级高一年级期初考试数学试题一､填空题1.因式分解:33a b -=_____________. 【答案】()()22a b a ab b-++【解析】 【分析】先利用配方法，再提公因式，即可得出.【详解】解：33322322a b a a b ab b a b ab -=-+-+-Q()()()22a a b b a b ab a b =-+-+-()()22a b a b ab =-++故答案为：()()22a b a ab b-++.【点睛】本题考查因式分解的过程.2.若1x y +-与3x y -+互为相反数，则()2018x y +=______________.【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值的性质转化为方程组进行求解即可． 【详解】解：若|1|x y +-与|3|x y -+互为相反数， 则|1||3|x y x y +-=--+， 即10x y +-=且30x y -+=， 得1x =-，2y =，则201820182018()(12)11x y +=-+==. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查指数幂的求解，利用绝对值的性质转化为方程组是解决本题的关键．3.=_____________.【答案】3【解析】【分析】根据根式的化简和分母有理化即可得出答案.【详解】解：化简得：)22-+整理得：233=+.【点睛】本题考查二次根式的乘除法和利用分母有理化化简根式.4.因式分解:2253x x--=________________.【答案】()()213x x+-【解析】【分析】直接运用十字相乘法进行因式分解即可.【详解】解：利用十字相乘法得：2253x x--=()()213x x+-.故答案为：()()213x x+-.【点睛】本题考查运用十字相乘法进行因式分解.5.若1x和2x分别是一元二次方程22530x x+-=的两根，则1211+x x的是_____________. 【答案】53【解析】【分析】由韦达定理得1252x x +=-，1x 232x =-，12121211x x x x x x ++=进而求解．【详解】解：由韦达定理：1252x x +=-，1x 232x =-，12121251152332x x x x x x -++===-.故答案为：53.【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系． 6.若01a <<，则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是_____________. 【答案】1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出． 【详解】解：01a <<Q ，∴1a a<， ∴不等式1(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a <<．故答案为：1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键．7.解方程组3,38xy x xy y +=⎧⎨+=⎩的解为_____________. 【答案】12x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据题意，①⨯3-②求得31y x =-，代入3xy x +=，求出1x =或1x =-， 即可求出y .【详解】解：由题可知方程组338xy x xy y +=⎧⎨+=⎩①②，则①⨯3-②得：31x y -=， 即：31y x =-③，由③代入①得：()313x x x -+=，整理得：233x =， 解得：1x =或1x =-， 则当1x =时，2y =，所以方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩则当1x =-时，4y =-， 所以方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩.故答案为：12x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查利用代入法解方程组.8.已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的真子集共有 个． 【答案】7 【解析】试题分析：集合含有3个元素，则子集个数为328=，真子集有7个 考点：集合的子集9.已知集合{}{}|21,,|05A x x k k Z B x x ==+∈=<<，则A B =I ________.【答案】{}1,3 【解析】 【分析】根据集合A 中元素的特征求出A B ⋂即可．【详解】因为集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}为奇数集，B ＝{x |0<x <5}， 所以A ∩B ＝{1,3}． 故答案为{1,3}．【点睛】本题考查集合中元素的特征和集合交集运算，考查分析问题的能力，属于基础题． 10.根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.【答案】()()12f x f x < 【解析】 【分析】由图象可知函数在(),1-∞上的单调性，利用函数的单调性的定义，即可比较()1f x 与()2f x 大小. 【详解】解：由图象可知，()f x 在(),1-∞上单调递增，且1211x x -<<<， 结合单调性的定义得：()()12f x f x <. 故答案为：()()12f x f x <【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小.11.函数()y f x =与直线x a =的交点个数可能是_____________个. 【答案】0或1 【解析】 【分析】求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．【详解】解：联立()x ay f x =⎧⎨=⎩，当x a =有定义时，把x a =代入函数()y f x =，根据函数的定义：定义域内每一个x 对应惟一的y ， 当x a =在定义域范围内时，有唯一解，当x a =无定义时，没有解．所以至多有一个交点． 故答案为：0或1.【点睛】本题考查对函数的定义的理解，得出结论：函数()y f x =的图象与直线x a =至多有一个交点．12.函数y =的定义域______. 【答案】112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】 【分析】利用偶次根式的被开方非负且分母不为0列式可解得答案.【详解】由y =有意义, 可得2102320x x x -≥⎧⎨--≠⎩ ,解得12x ≠-且1x ≤.所以函数2232y x x =--的定义域是112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且. 故答案为: 112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且.【点睛】本题考查了求具体函数的定义域,分母不为0容易漏掉,属于基础题. 13.已知()()32f x f x x+-=，则()f x =_____________. 【答案】3x【解析】 【分析】由题意，32()()f x f x x+-=为①式，以x -代替x ，得②式；由①②组成方程组，求出()f x 即可． 【详解】解：()()32f x f x x+-=Q ，①； 令x x =-，得32()()f x f x x-+=-，②；再由①2⨯-②，得： 93()f x x =， 3()f x x∴=．故答案为：3x. 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法--方程组法，熟练掌握方程组法求解析式的适用范围和步骤是解答的关键．14.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________【答案】][(),22,-∞-⋃+∞ 【解析】由()f x 是偶函数，得22f f =-（）（），若2f a f ≤（）（） ，有2f a f ≤-（）（）.()f x 在(],0-∞ 上是增函数，则()f x 在(]0,+∞上是减函数， 综上可得当(],0a ∈-∞时，由22f a f a （）（）≤-⇒<-；当(]0,a ∈+∞时，由22f a f a ≤⇒>（）（），所以a 的取值范围是][(),22,-∞-⋃+∞ 二､解答题15.若11a a --=，求下列各式的值:（1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a -【答案】（1）3（2）4（3）4【解析】 【分析】利用有理数性质及运算法则直接求解． 【详解】解：（1）11a a --=Q ，1222()21a a a a --∴-=+-=， 223a a -∴+=．（2）33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=⨯+=． （3）1222()2325a a a a --+=++=+=，1a a -∴+=．（4）33122()(1)(32)a a a a a a ---+=++-=-=，即33a a -+=2）得：334a a --=，342a -∴=【点睛】本题考查指数式化简求值，考查根式与指数式互化公式、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 16.解下列不等式:（1）2210x x -++<；（2）2353x x +≤；（3）1032x x +>+【答案】（1）{1x x 或12x ⎫<-⎬⎭（2）∅（3）23x x ⎧-⎨⎩或}1x <- 【解析】 【分析】根据题意，（1）利用一元二次不等式解法即可求出解集；（2）根据一元二次方程根的判别式和二次函数图象即可判断求解不等式；（3）将分式不等式转化为解一元二次不等式，且分母不为0，即可求解集. 【详解】解：（1）由2210x x -++<得：()()2110x x +->， 解得：21x <-或1x >， 所以不等式的解集为：{1x x >或12x ⎫<-⎬⎭. （2）由2353x x +≤，得23503x x -+≤，令23503x x -+=，可知9435510∆=-⨯⨯=-<， 则2533y x x =+-对应抛物线开口向上， 所以23503x x -+≤的解集为：∅.（3）1032x x +>+等价于()()1320320x x x ⎧++>⎨+≠⎩，解得：1x <-或23x >-， 所以不等式解集为：{23x x >-或}1x <- 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和分式不等式的解法，考查计算能力和转化思想. 17.已知集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+（1）若A B B ⋃=,求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[-5，0]; (2)(][),83,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）由A B B ⋃=，结合集合的运算与集合的关系可得A B ⊆， 列不等式组083a a ≤⎧⎨+≥⎩运算可得解.（2）由A B =∅I ,结合集合交集的运算可得：80a +≤或3a ≥，运算即可得解. 【详解】解：（1）由集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+， 因为A B B ⋃=,所以A B ⊆, 则083a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得50a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]5,0-； （2）因为 A B =∅I , 又B ≠∅,可得80a +≤或3a ≥，即 8a ≤-或3a ≥， 故实数a 的取值范围(][),83,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了集合的运算与集合的关系、重点考查了集合交集的运算，主要考查了运算能力，属基础题. 18.解下列各题:（1）已知函数()f x 的定义域是[]1,2，求函数()1f x +的定义域.（2）已知函数()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.【答案】（1）[]0,1（2）[]2,3 【解析】 分析】（1）结合抽象函数的性质，利用原函数的定义域求解函数(1)f x +的定义域即可；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行转化求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，对于函数(1)f x +， 应有：1[1x +∈，2]， 据此可得：[0x ∈，1]，即函数(1)y f x =+的定义域是[0，1]，（2）)1(f x +Q 的定义域是[1，2]，12x ∴剟，得213x +剟，即()f x 的定义域为[2，3]，【点睛】本题考查了函数定义域的求解，抽象函数的定义域等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键． 19.已知函数()32f x x=-试判断()f x 在()0,∞+内的单调性，并用定义证明. 【答案】单调增函数；证明见解析 【解析】 【分析】容易看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，从而得出1212123()()()x x f x f x x x --=，根据120x x >>说明12123()0x x x x ->即可得出()f x 在(0,)+∞上单调递增． 【详解】解：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 证明：设120x x >>， 则：121221123()33()()x x f x f x x x x x --=-=， 120x x >>Q ，120x x ∴>，120x x ->， ∴12123()0x x x x ->， 12()()f x f x ∴>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增．【点睛】本题考查反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程．20.已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意的,x y R ∈，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，且()00f ≠.（1）求证:()01f =（2）判断函数()f x 的奇偶性【答案】（1）证明见解析（2）()f x 为偶函数【解析】【分析】（1）令0x y ==，代入已知式，即可得证；（2）函数()f x 为偶函数，令0x =，结合(0)1f =即可得证．【详解】（1）令()()()200020x y f f f==⇒+=， ∴()()22020f f =，又()00f ≠，∴()01f =.（2）令0x =，则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，∴()()-=f y f y ，即()()f x f x -=，又()f x 的定义域为R ，∴()f x 为偶函数.【点睛】本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用．。

江苏省启东中学2017—2018学年第一学期第一次月考高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．集合{0,1,2}A =}的真子集．．．的个数是 ． 2．已知集合{}1,3m M ，=,{}m N ,1=,若M N ⊆，则m ＝ ．3．不等式4223≥--x x 的解集为 ． 4．不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切实数x 均成立，则a 的取值范围是 ．5．函数y =___________．6．函数1112--=x y 值域为 ．7．函数)(x f 在R 上为奇函数，且当0x ≥时，()1f x a +，则(4)f -= ．8．对任意实数x ,|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ． 9．已知函数)1(+x f 定义域是]3,2[-，则)12(-=x f y 的定义域为 ．10．若P=｛1，2，3,4,5｝，Q=｛0,2，3｝,定义A －B={x ｜x ∈A 且x∈B ｝,A ※B={x ｜x ∈（A －B ）∪（B －A ）｝，则Q ※P=11．已知函数2(1)()1(1)x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成 立，则实数a 的取值范围是___________.12．若定义在R 上的函数对任意的R x x ∈21,,都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，,1)(>x f 若,5)4(=f 则不等式3)23(<-m f 的解集为 ．13．已知函数2()41f x xx =-+，若()f x 在区间[],21a a +上的最大值为1,则a 的取值范围 为 ．14．已知()f x 是定义在R 上的函数，且(1)9f =，对任意x R ∈，两不等式(4)()4f x f x +≥+与(1)()1f x f x +≤+都成立，若()2[()]g x f x x =-，则(2017)g = ．二、解答题：本大题共6小题,共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题14分）已知集合A=｛x |0232=+-x x｝，B={0)5()1(2|22=-+++a x a x x ｝；（1）若A B={2｝，求实数a 的值；（2）若A B=A ，求实数a 的取值范围．16。

2017-2018学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域内直接写出结果.1．若A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B=2．若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=．3．函数f（x）=+的定义域为．4．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是．5．函数f（2x）=4x2+3x，则f（x）的解析式是．6．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，则A∪B=．7．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=．8．设a=log0.60.8，b=ln0.8，c=20.8，则a、b、c由小到大的顺序是．9．函数f（x）=x+的值域是．10．已知函数f（x）是奇函数，当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5，则当﹣4≤x≤﹣1时，函数f（x）的最大值是．11．已知函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则实数a=．12．设f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集为．13．已知函数f（x）=，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是．14．已知函数f（x）=，函数g（x）=f2（x）+f（x）+t（t∈R），若函数g（x）有三个零点，则实数t的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共58分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．计算：（1）log327+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（）﹣×π+．16．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣16≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）17．（1）判断并证明函数f（x）=x+的奇偶性；（2）证明函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．18．已知函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=﹣6（1）求实数a的值；（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．（3）求函数f（x）零点．19．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．2016-2017学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域内直接写出结果.1．若A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B={1，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：43．函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减，由此可解．【解答】解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，所以有0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故答案为：（1，2）．5．函数f（2x）=4x2+3x，则f（x）的解析式是．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用换元法，设t=2x，得到x=，代入右边化简得到关于t的解析式，得到所求．【解答】解：设t=2x，则x=，所以f（t）=4×（）2=t2+；所以f（x）=x2+；故答案为：．6．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，则A∪B={x|﹣3＜x＜6} ．【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用并集的定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜6}．故答案为：{x|﹣3＜x＜6}．7．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质化简计算即可．【解答】解：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2lg2+lg5•（lg4+lg5）+（lg5）2=2lg2+lg5（2lg2+2lg5）=2lg2+2lg5=2，故答案为：2．8．设a=log0.60.8，b=ln0.8，c=20.8，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0=log0.61＜a=log0.60.8＜log0.60.6=1，b=ln0.8＜ln1=0，c=20.8＞20=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．9．函数f（x）=x+的值域是（﹣∞，1] ．【考点】函数的值域．【分析】令=t（t≥0）换元，然后利用配方法求二次函数的最值得答案．【解答】解：令=t（t≥0），则1﹣2x=t2，x=，∴函数化为（t≥0），由，当t≥0时，，∴函数f（x）=x+的值域是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．10．已知函数f（x）是奇函数，当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5，则当﹣4≤x≤﹣1时，函数f（x）的最大值是﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先求得对称区间上的最值，再利用奇偶性来求得对称区间上的最值．【解答】解：当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1其最小值为1又∵函数f（x）是奇函数∴函数f（x）在区间[﹣4，﹣1]上有最大值﹣1故答案为：﹣111．已知函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则实数a=．【考点】函数单调性的性质．【分析】由指数函数、对数函数的单调性易判断函数单调，从而可表示函数的最大值、最小值之和，且为a，解方程即可．【解答】解：当a＞0，且a≠1时，由指数函数、对数函数的性质知，f（x）在[0，1]上单调，∴函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为：[a0+log a（0+1）]+[a1+log a（1+1）]=a，化简得log a2=﹣1，解得a=，故答案为：．12．设f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：不等式xf（x）＞0等价为或，∵f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，∴f（x）为奇函数且在（0，+∞）内是增函数，f（3）=0，但当x＞0时，不等式f（x）＞0等价为f（x）＞f（3），即x＞3，当x＜0时，不等式f（x）＜0等价为f（x）＜f（﹣3），即x＜﹣3，综上x＞3或x＜﹣3，故不等式xf（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）13．已知函数f（x）=，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是[﹣7，2] ．【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的值域是R，需满足一次函数y=x+6的最大值大于等于二次函数的最小值即可．【解答】解：函数f（x）=，当x＜t时，函数y=x+6的值域为（﹣∞，6+t）；当x≥t时，函数y=x2+2x，开口向上，对称轴x=﹣1，①若t≤﹣1，其二次函数的最小值为﹣1，要使函数f（x）的值域为R，需满足：6+t≥﹣1；解得：﹣7≤t≤﹣1，②若t＞﹣1，其二次函数的最小值为t2+2t，要使函数f（x）的值域为R，需满足：6+t≥t2+2t，解得：﹣1≤t≤2，综上所得：实数t的取值范围是[﹣7，2]．14．已知函数f（x）=，函数g（x）=f2（x）+f（x）+t（t∈R），若函数g（x）有三个零点，则实数t的取值范围为（﹣∞，2] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】做出f（x）的图象，判断f（x）=m的根的情况，根据g（x）=0的零点个数判断m2+m+t=0的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t的范围．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=m，g（x）=0，则m2+m+t=0，由图象可知当m≥1时，f（x）=m有两解，当m＜1时，f（x）=m只有一解，∵g（x）有三个零点，∴m2+m+t=0在（﹣∞，1）和[1，+∞）上各有一解，∴，解得t≤﹣2．故答案为（﹣∞，2]．二、解答题：本大题共6小题，共58分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．计算：（1）log327+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（）﹣×π+．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出．（2）利用指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：（1）运算=3+lg（25×4）+2+1=6+lg102=6+2=8．（2）原式=﹣+π﹣2=﹣π+π﹣2=．16．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣16≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可；（2）求出A与B的交集，确定出交集的补集即可．【解答】解：（1）由B中不等式变形得：2x≥24，即x≥4，∴B={x|x≥4}，∵A={x|3≤x＜10}，∴A∪B={x|x≥3}；（2）∵A∩B={x|4≤x＜10}，∴∁R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}．17．（1）判断并证明函数f（x）=x+的奇偶性；（2）证明函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇函数的定义进行判断；（2）利用导数法证明，根据函数的单调性求f（x）在[4，8]上的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是奇函数．理由：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：∵f（x）=x+，∴f′（x）=，∵x＞2，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，∴f（x）在[4，8]上是增函数，∴函数f（x）=x+在[4，8]上的值域是[5，]．18．已知函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=﹣6（1）求实数a的值；（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．（3）求函数f（x）零点．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域．【分析】（1）根据f（1）=a•（1﹣2a）=﹣6，求得a的值．（2）若x∈[﹣1，3]，令t=2x，则t=2x∈[，8]，f（x）=g（t）=t（t﹣5）=﹣，再利用二次函数的性质求得它的值域．（3）令f（x）=0，求得2x 的值，可得x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=a•（1﹣2a）=﹣6，求得a=2，或a=﹣（舍去）．（2）若x∈[﹣1，3]，f（x）=a x（a x﹣3a+1）=2x（2x﹣5），令t=2x，则t=2x∈[，8]，f（x）=g（t）=t（t﹣5）=﹣．故当t=2x =时，f（x）=g（t）取得最小值为﹣；当t=2x =8时，f（x）=g（t）取得最大值为24，故函数的值域为[﹣，24]．（3）令f（x）=g（t）=0，求得t=0，或t=5，即2x =0（舍去）或2x =5，∴x=log25．19．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，通过销售电脑获得的利润为y=P+Q列出函数的解析式，利用二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，…所以，销售电脑获得的利润为y=P+Q=161（50﹣m）+21（0≤m≤50）．…令u=，则u∈[0，5]，（不写u的取值范围，则扣1分）则y=﹣161u2+21u+825=﹣161（u﹣4）2+833．…当u=4，即m=16时，y取得最大值为833．所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑的利润最大，最大为833万元．…20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质．【分析】（1）根据函数为偶函数，f（﹣x）=f（x）对任意实数x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意实数x成立，去绝对值然后比较系数，可得a=0；（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），根据函数的单调增的性质，可得y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；②当1＜a≤2时，化成两个二次表达式的分段函数表达式，其对称轴为，得到所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，最大值决定于F（1）与F（2）大小关系．因此再讨论：当时，y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；当时，y=F（x）的最大值为F（1）=a2﹣a；③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，恰好在对称轴处取得最大值：；④当a＞4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，在区间[1，2]上函数是增函数，故最大值为F（2）=2a2﹣4a．最后综止所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立∵x+a=a﹣x不能恒成立∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．…（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，…令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；…同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．…（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，，对称轴，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a ﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴，此时，④当a＞4时，对称轴，此时．综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…2016年12月17日。

启东中学2018级高一年级期初考试数学试题考试时间：120分钟 分值：160分一、填空题（每题5分，共70分） 1. 因式分解：33b a -=_____________.2. 若|1|-+y x 与|3|+-y x 互为相反数，则=+2018)y x（______________.3.＝ ．4.因式分解：3522--x x =________________.5.若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，则2111x x +的是 ． 6.若0＜a ＜1，则不等式0)1)(<--ax a x （的解是 ． 7.解方程组338 xy x xy y +=⎧⎨+=⎩，的解为 ．8.已知{}2,1,0=A ，则集合A 的真子集有 个．9.已知集合{}Z k k x x A ∈+==,12|， {}50|<<=x x B ，则=B A ________. 10.根据函数的图象，若1121<<<-x x ，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系是 ．11.函数)(x f y =与直线a x =的交点个数可能是 个．12.已知函数23212---=x x x y 的定义域为13. 已知xx f x f 3)()(2=-+，则)(x f ＝ ． (第10题） 14.若函数)(x f 是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且)2()(f a f ≤， 则实数a 的取值范围为____________． 二、解答题（共90分） 15.若11=--aa ，求下列各式的值:3313322)4(;)3(;)2(;1----++-+a a a a a a a a ）（16. 解下列不等式：01212<++-x x ）（; x x 35322≤+）（;02313>++x x ）（17.已知集合{}30|<<=x x A ，{}8|+<<=a x a x B 的取值范围；求实数）若（a B B A ,1= .2的取值范围，求实数）若（a B A φ=18. 解下列各题：（1）已知函数)(x f 的定义域是[]2,1，求函数)1(+x f 的定义域． （2）已知函数)1(+x f 的定义域是[]2,1，求函数)(x f 的定义域．19. 已知函数xx f 32)(-=试判断)(x f 在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．20. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的R y x ∈,，都有)()(2)()(y f x f y x f y x f ⋅=-++，且0)0(≠f .（1）求证：1)0(=f （2）判断函数)(x f 的奇偶性高一年级期初考试数学答案 一、填空题1. ()()22bab a b a ++-; 2. 1 ; 3.334; 4.()()312-+x x ;5.35 ; 6.⎪⎭⎫⎝⎛a a 1, ; 7.⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==4121y x y x 或 ; 8. 7 ; 9.{}3,1 ; 10.()()21x f x f <; 11.0或1 ； 12.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≤211|x x x 且；13.x3； 14.{}22|-≤≥a a a 或. 二、解答题15.(1) 3; (2) 4; (3) 5± ; (4)52±.16.(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>211|x x x 或; (2) φ; (3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->132|x x x 或.17.(1)[-5，0]; (2){}83|-≤≥a a a 或.18.(1)[]1,0; (2)[]3,2.19.(1)单调增函数; (2)略 20.(1)令)0(20()0(0f f f y x=+⇒==）)0(2)0(22f f =∴，又0)0(≠f 1)0(=∴f ；(2) 令0=x ，则)(2)()0(2)()(y f y f f y f y f ==-+),()(y f y f =-∴即)()(x f x f =-又)(x f 的定义域为R ，)(x f ∴为偶函数。

2017－2018学年度第一学期期初考试高一数学试卷【满分160分 考试时间120分钟】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式 327x x ++-<的解为 ．2．分解因式：222(231)22331x x x x -+-+-＝ ．3．函数f (x )＝ x ＋1＋12－x的定义域是 ；4．化简：（式中字母都是正数）2369)(a ·2639)(a ＝__________．5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2,1)，则f (x )的值域为________．6．不等式1611x x <--的解为 ．7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为 ．8. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．9. 若集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，且B ⊆ A ，则m 的取值范围为 ．10. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知f （x ＋1x ）＝x 3＋1x 3，则f （x ） ；12．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为____________．13．已知函数xy a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，则实数a 的值为 ． 14. 函数f(x)的定义域为D ，若满足① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，，使f(x)在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么y ＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x ＋2＋k 是闭函数，那么k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．16.（本题满分14分）已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a ，b 满足的条件．17.（本题满分15分）(1)求函数f (x )＝2x ＋4 1－x 的值域； (2)求函数f (x )＝5x ＋4x －2的值域． (3)函数f (x )＝x 2－2x －3,x ∈(－1,4]的值域．18.（本题满分15分）某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100台需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：H(x)＝500x －12x 2，其中x 是产品售出的数量，且0≤x≤500.(1) 若x 为年产量，y 为利润，求y ＝f(x)的解析式；(2) 当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？19.（本题满分16分） 函数2()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数,且12()25f =． （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；（3）解不等式(1)()0f t f t -+<．20.（本题满分16分）已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．2017年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案1. 答案：43x -<<2. 答案： (23)(3)(23)x x x x --+3. {x |x ≥－1且x ≠2}4. a 2．5. [1,9]6. 315x x -<<>或7. 2a <-8. 69. {m|m≤3} 10. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 11. f （x ）＝x 3－3x12. ⎝⎛⎭⎪⎫－2，2313. 12a +=或12a -+= 14. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 15. 答案：（1）由k ≠0和△≥0⇒k ＜0，∵121x x +=，1214k x x k+= ∴212121212(2)(2)2()9x x x x x x x x --=+-9342k k +=-=-，∴95k =，而k ＜0，∴不存在。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且，则实数k=．3．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．4．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为．5．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．6．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．7．（5分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．9．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a2）＞f（a），求实数a 的取值范围．11．（5分）已知函数的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有个．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．13．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．14．（5分）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？18．（16分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜．（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．19．（16分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．20．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．2．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且，则实数k=3．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1），∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵，∴（2﹣3）•=0∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得k=3．故答案为：3．3．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．4．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0∴f（﹣1）=0则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）5．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．【解答】解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}而B=（﹣∞，a），∵A⊆B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：46．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．7．（5分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．【解答】解：∵AD∥BC，F是BC边的中点，∴==，∴=，∵，∴λ=，故答案为：9．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是5．【解答】解：f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx=﹣2sin2x+6sinx+1．令t=sinx，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y=，∴当t=1时，y有最大值为．故答案为：5．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a2）＞f（a），求实数a的取值范围．【解答】解：当x≥0时f（x）=x2+4x，可知f（x）在[0，+∞）上递增，当x＜0时f（x）=4x﹣x2，可判断f（x）在（﹣∞，0）上递增，从而函数f（x）在R上单调递增由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a，即a2+a﹣2＜0．解得﹣2＜a＜1．11．（5分）已知函数的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有5个．【解答】解：由=0得，得|x|+2=4，即|x|=2，得x=2或﹣2，由=1得，得|x|+2=2，即|x|=0，得x=0，则定义域为可能为[﹣2，0]，[﹣2，1]，[﹣2，2]，[﹣1，2]，[0，2]，则满足条件的整数数对（a，b）为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2）共5个．故答案为：5．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x﹣4）=﹣f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，又f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+4），∴f（x﹣4）=f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=﹣6对称，两个关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+x4=﹣6×2+2×2=﹣8．故答案为：﹣8．13．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且t anα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．14．（5分）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为﹣．【解答】解：∵2sinxcosy﹣sinx+cosy=，∴2sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴（sinx+）（cosy﹣）=0，∴sinx=﹣或cosy=，∵x，y∈[0，2π]∴x=或，y=或，当x=，y=时，x﹣y取得最小值，最小值为﹣=﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．【解答】解：集合A={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}={x|﹣4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|﹣3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|﹣4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（﹣4，3），∴2x2+ax+b=0的根是﹣4和3，由根与系数的关系得﹣4+3=﹣，﹣4×3=，解得a=2，b=﹣24．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵∥，∴cosx=3sinx，可得：tanx=．∵x∈[0，π]∴x=．（2）由f（x）=，∴f（x）=3cosx﹣sinx=2cos（x+）∵x∈[0，π]∴x+∈[，]当x+=时，即x=π时，f（x）取得最小值为=﹣3．当x+=时，即x=时，f（x）取得最大值为1×=2．17．（14分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？【解答】解：（1）依题意，得：利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；（2）利润函数G（x）=﹣x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），当x=4.75时，G（x）有最大值；所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．18．（16分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜．（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．【解答】解：（I）由得即又，∴（Ⅱ）解法一：由（I）得，依题意，又，故ω=3，∴函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g（x）是偶函数当且仅当即从而，最小正实数解法二：由（I）得，，依题意，又，故ω=3，∴函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为，g（x）是偶函数当且仅当g（﹣x）=g（x）对x∈R恒成立亦即对x∈R恒成立．∴=即对x∈R恒成立．∴故∴从而，最小正实数19．（16分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：，（2分）即：，解得x0=1．（5分）所以函数f（x）=2x具有性质M．（6分）（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得：．化为2（x02+1）=a（x0+1）2+a，整理得：（a﹣2）x02+2ax0+2a﹣2=0有实根．①若a=2，得．（8分）②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a，所以：a．（若未去掉a=2，扣1分）（14分）综上可得a．（16分）20．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a ﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）集合A={0，1，2}的真子集的个数是．2．（5分）已知集合M={3，，1}，N={1，m}，若N⊆M，则m=．3．（5分）不等式的解集为．4．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是．5．（5分）函数的定义域是．6．（5分）函数y=1﹣值域为．7．（5分）函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则f（﹣4）=．8．（5分）对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是．9．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．10．（5分）若P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A※B={x|x∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，则Q※P=．11．（5分）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=9，对任意x∈R，两不等式f（x+4）≥f（x）+4与f（x+1）≤f（x）+1都成立，若g（x）=2[f（x）﹣x]，则g（2017）=．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．16．（14分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0的解集为集合B；（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当m=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数m的取值范围．18．（16分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，试求的值．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．20．（16分）已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式；（2）求（1）中g（m）的最大值；（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，求实数m的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）集合A={0，1，2}的真子集的个数是7．【分析】由真子集的概念一一列出即可．【解答】解：集合A={0，1，2}的真子集有：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个故答案为：7【点评】本题考查集合的真子集个数问题，属基础知识的考查．2．（5分）已知集合M={3，，1}，N={1，m}，若N⊆M，则m=0或3．【分析】根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，注意进行检验．【解答】解：∵M={3，，1}，N={1，m}，∴若N⊆M，则m=3或m=，解得m=0或m=1或m=3．当m=1时，集合M={1，1，3}不成立．故m=0或m=3．答案为：0或3．【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系，注意求解之后后要对集合进行验证．3．（5分）不等式的解集为（2，6] ．【分析】根据题意，将分式不等式变形为（x﹣6）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，由一元二次不等式的解法解之即可得答案．【解答】解：根据题意，⇒﹣4≥0⇒≤0⇒（x﹣6）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解可得2＜x≤6，即不等式的解集为（2，6]；故答案为：（2，6]．【点评】本题考查分式不等式的解法，注意答案写成集合或区间的形式．4．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是{﹣2，0} ．【分析】将不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，则f（a）是可看做为关于a的一次函数，所以不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立等价于，解之即可确定x的取值范围．【解答】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，可转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，则f（a）是可看做为关于a的一次函数，∴等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立等价于，解得，x=0或x=﹣2，∴x的取值范围是{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查不等式的化简，一次函数的性质，恒成立问题的灵活转化，属于中档题．5．（5分）函数的定义域是（﹣3，2）．【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：6﹣x﹣x2＞0即x2+x﹣6＜0解得：﹣3＜x＜2故函数的定义域是（﹣3，2）故答案为：（﹣3，2）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键．6．（5分）函数y=1﹣值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞）．【分析】方法一：画出函数的图象，借助图象即可得到函数的值域，方法二：利用函数的单调性即可求出函数的值域．【解答】解：方法一：函数y=1﹣的图象如图所述，由图象可得函数的值域：（﹣∞，1）∪[2，+∞）方法二：∵y′=，当0＜x＜1时函数单调递增，当﹣1＜x＜1时函数单调递减．故y在（﹣1，1）上的最小值为2，当x＜﹣1时，函数单调递减，当x＞1时，函数单调递增，故x→+∞时，y→1，故x→﹣∞时，y→1，综上所述函数的值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪[2，+∞）【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．7．（5分）函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则f（﹣4）=﹣2．【分析】由函数f（x）在R上为奇函数，f（0）=0，可得a=﹣1，进而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，∴f（0）=1+a=0，解得：a=﹣1，即当x≥0时，，故f（4）=2，故f（﹣4）=﹣f（4）=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于中档题．8．（5分）对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是a＞4．【分析】问题转化为|x﹣1|﹣|x+3|的最大值小于a，利用绝对值不等式的性质可得其最大值．【解答】解：|x﹣1|﹣|x+3|≤|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，由对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，得4＜a，所以a的取值范围为a＞4．故答案为：a＞4．【点评】本题考查函数恒成立、绝对值不等式的性质，考查转化思想．9．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．【分析】利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．【解答】解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4，∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，令﹣1≤2x﹣1≤4，解得0≤x≤，故答案为：．【点评】本题考查知f（ax+b）的定义域求f（x）的定义域只要求ax+b的值域即可、知f（x）的定义域为[c，d]求．f（ax+b）的定义域只要解不等式c≤ax+b≤d的解集即可．10．（5分）若P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A※B={x|x∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，则Q※P={0，1，4，5} ．【分析】由定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，分别求出P﹣Q，Q﹣P，再由A※B={x|x ∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，即可求出所求的集合．【解答】解：∵P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，∴P﹣Q={1，4，5}，Q﹣P={0}，则Q※P=（Q﹣P）∪（P﹣Q）={0，1，4，5}．故答案为：{0，1，4，5}【点评】此题考查了交、并集的混合运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．11．（5分）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．12．（5分）若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为（﹣∞，）．【分析】根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）﹣1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m﹣2）＜f（2），利用单调性即可求出原不等式的解集．【解答】解：由题意，可得令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）=1，令x1=﹣x，x2=x，则f[（﹣x）+x]=f（﹣x）+f（x）﹣1=1，∴化简得：[f（x）﹣1]+[f（﹣x）﹣1]=0，∴记F（x）=f（x）﹣1，可得F（﹣x）=﹣F（x），即F（x）为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，F（x1）﹣F（x2）=F（x1）+F（﹣x2）=[f（x1）﹣1]+[f（﹣x2）﹣1]=[f（x1）+f（﹣x2）﹣2]=[f（x1﹣x2）﹣1]=F（x1﹣x2）∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）﹣1＞0，∴由x1﹣x2＞0，得F（x1﹣x2）＞0，即F（x1）＞F（x2）．∴F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）=5，∴f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，可得f（2）=3．因此，不等式f（3m﹣2）＜3化为f（3m﹣2）＜f（2），可得3m﹣2＜2，解之得m，即原不等式的解集为（﹣∞，）．【点评】本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为[﹣0]∪{} ．【分析】f（x）=，令f（x）=1可得x=﹣4，或x=0，或x=4．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得a的取值范围，当a＞0时，应有2a+1=4，由此求得a的值，综合可得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4|x|+1是偶函数，图象关于y轴对称．且f（x）=，令f（x）=1可得x=﹣4，或x=0，或x=4．若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，∴a＜2a+1，解得a＞﹣1．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得﹣≤a≤0．当a＞0时，应有2a+1=4，解得a=．综上可得，a的取值范围为[﹣0]∪{}，故答案为[﹣0]∪{}．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=9，对任意x∈R，两不等式f（x+4）≥f（x）+4与f（x+1）≤f（x）+1都成立，若g（x）=2[f（x）﹣x]，则g（2017）=16．【分析】由题设条件，可根据题设中的两个不等式来限定f（2017）的取值范围，从而确定其值，进而得到所求值．【解答】解：∵f（x+4）≥f（x）+4，又∵f（1）=9，∴f（2017）≥f（2013）+4≥f（2009）+8≥…≥f（1）+2016=2025，∵f（x+1）≤f（x）+1成立∴f（2017）≤f（2016）+1≤f（2015）+2≤…≤f（1）+2016=2025，∴f（2017）=2025．∵g（x）=2[f（x）﹣x]∴g（2017）=2[f（2017）﹣2017]=2×（2025﹣2017）=16．故答案为：16．【点评】本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是根据题设中的两个不等式得出f（2017）的取值范围，根据其范围判断出函数值．本题比较抽象，下手角度很特殊，用到了归纳法的思想，利用归纳推理发现规律在数学解题中经常用到．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【分析】（1）先解出集合A，根据2是两个集合的公共元素可知2∈B，建立关于a的等式关系，求出a后进行验证即可．（2）一般A∪B=A转化成B⊆A来解决，集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0⇒a=﹣1或a=﹣3；当a=﹣1时，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件；当a=﹣3时，B={x|x2﹣4x+4=0}={2}，满足条件；综上，a的值为﹣1或﹣3；（2）对于集合B，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣5）=8（a+3）．∵A∪B=A，∴B⊆A，①当△＜0，即a＜﹣3时，B=∅满足条件；②当△=0，即a=﹣3时，B={2}，满足条件；③当△＞0，即a＞﹣3时，B=A={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⇒矛盾；综上，a的取值范围是a≤﹣3．【点评】本题主要考查了交集并集以及一元二次方程的解法，属于基础题，考查分类讨论的思想．16．（14分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0的解集为集合B；（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）先把不等式的解集求出来，得到集合A，利用十字分解法求出集合B，再根据子集的定义求出a的范围；（2）已知A∩B=∅，说明集合A，B没有共同的元素，从而进行求解；【解答】解：由题意＞0，即（x﹣2）（x﹣4）＜0，解的2＜x＜4，所以集合A=（2，4），由x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0得到（x+a﹣2）（x+a﹣1）＜0，解得1﹣a＜x＜2﹣a，所以B=（1﹣a，2﹣a）．（1）因为B⊆A，则，解得﹣2≤a≤﹣1，（2）要使A∩B=∅，需满足2﹣a≤2或1﹣a≥4，解得a≥0或a≤﹣3．【点评】此题主要考查不等式解集的求法，以及子集的性质，是一道基础题17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当m=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数m的取值范围．【分析】（1）当m=时，f（x）在[1，+∞）上为增函数，将1代入可得函数f （x）的最小值；（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立，结合二次函数的图象和性质将问题转化为最值问题后，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=时，f（x）=x++4．设1≤x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）=x1++4﹣x2﹣﹣4=（x1﹣x2）（1﹣），由1≤x1＜x2，可得x1﹣x2＜0，1﹣＞0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．所以，f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=；（2）在区间[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立．设y=x2+4x+m，x∈[1，+∞），由y=x2+4x+m=（x+2）2+m﹣4在[1，+∞）上递增，则当x=1时，y min=5+m．于是，当且仅当y min=5+m＞0时，f（x）＞0恒成立．此时实数m的取值范围为（﹣5，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．18．（16分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，试求的值．【分析】（1）令a=b=0可得f（0），令a=b=1可得f（1）；（2）求出f（﹣1）=0，再令a=x，b=﹣1可得结论；（3）先计算f（4），再计算f（）．【解答】解：（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=1得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）令a=b=﹣1，得f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=﹣2f（﹣1），∴f（﹣1）=0，令a=x，b=﹣1，得f（﹣x）=xf（﹣1）﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（3）f（4）=2f（2）+2f（2）=4f（2）=8，∴f（1）=4f（）+f（4）=0，∴f（）=﹣．【点评】本题考查了抽象函数的性质，属于中档题．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．【分析】（1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；（2）由g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，结合函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，可得≤﹣1或，解得实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，则函数h （x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x得2ax+a+b=2x对于x∈R恒成立，故…（3分）又由f（0）=1得c=1，解得a=1，b=﹣1，c=1，所以f（x）=x2﹣x+1．…（5分）（2）因为g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，又函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，故≤﹣1或，…（8分）解得t≤或故实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）（3）由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），即要求函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，…（11分）①若h（﹣1）=0，则m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不合题意；…（12分）②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；…（13分）③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；…（14分）④若m≠4且m≠1且m≠0时，由得1＜m＜4．综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）．…（16分）（说明：第3小题若采用数形结合的方法进行求解，正确的给（3分），不正确的得0分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．20．（16分）已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式；（2）求（1）中g（m）的最大值；（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用对称轴和区间[﹣1，1]的关系进行分类讨论，求出函数的最小值g（m）．（2）利用g（m）的表达式求函数g（m）的最大值．（3）利用条件y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，确定实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，对称轴为x=．①若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．③若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．（2）由（1）知g（m）=．当m＜﹣2时，g（m）=2m＜﹣4，当﹣2≤m≤2，g（m）==当m＞2时，g（m）=0．综上g（m）的最大值为0．（3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，∴，所以或，解得m≤3或m≥8．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．。

2017-2018学年南通市启东中学高一上学期期初考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式|x ＋3|＋|x−2|＜7的解为_______________．2．分解因式：（2x 2−3x ＋1)2−22x 2＋33x−1＝______________．3．函数f （x ）＝1+x ＋x-21的定义域为______________． 4．化简：（式中字母都是正数）（369a ）2•（639a ）2＝____________． 5．已知f （x ）＝3b x -（2≤x ≤4，b 为常数）的图象过点（2，1），则f （x ）的值域为_____________． 6．不等式116-x ＜x−1的解为______________． 7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为______________．8．已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有_________个．9．已知集合A ＝{x|−2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m−1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是_____________．10．已知集合A ＝{ x|ax ax --1＜0 }，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围是__________． 11．已知f （x ＋x 1）＝x 3＋31x ，则f （x ）＝___________． 12．已知函数f （x ）＝x 3＋x ，对任意的m ∈[−2，2]，f （mx−2）＋f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为____________．13．已知函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）在区间[−1，1]上的最大值与最小值的差是1，则实数a 的值为___________．14．函数f （x ）的定义域为D ，若满足①f （x ）在D 内是单调函数，②存在[a ，b]⊆D ，使f （x ）在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么y ＝f （x ）叫做闭函数，现有f （x ）＝2+x ＋k 是闭函数，那么k 的取值范围是_____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知x 1、x 2是一元二次方程4kx 2−4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，（2x 1−x 2）（x 1−2x 2）＝−23成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2）求使21x x ＋12x x −2的值为整数的实数k 的整数值．16．已知集合A ＝{x|x 2−1＝0}，B ＝{x|x 2−2ax ＋b ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a ，b 满足的条件．17．（1）求函数f （x ）＝2x ＋4x -1的值域；（2）求函数f （x ）＝245-+x x 的值域． （3）函数f （x ）＝x 2−2x−3，x ∈（−1，4]的值域．18．某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要加大投入2500元．对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为H(x)＝500x−21x 2，其中x 是产品售出的数量0≤x ≤500． （1）若为x 年产量，y 表示利润，求y ＝f （x ）的解析式（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？19．函数f （x ）＝21xb ax ++是定义在（−1，1）上的奇函数，且f （21）＝52． （1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（−1，1）上是增函数；（3）解不等式f （t−1）＋f （t ）＜0．20．已知函数f （x ）＝（11-x a ＋21）x 3（a ＞0且a ≠1）． （1）求函数f （x ）的定义域；（2）讨论函数f （x ）的奇偶性；（3）求a 的取值范围，使f （x ）＞0在定义域上恒成立．。

江苏省南通市启东中学2017-2018学年高一（上）第二次月考数学试卷一、填空题1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=．2．（5分）将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．3．（5分）设f（2x﹣1）=2x﹣1，则f（x）的定义域是．4．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是．5．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=．6．（5分）已知，（|a|≤1），则cos（+θ）的值为．7．（5分）函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是．8．（5分）已知函数，则f（x）的值域是．9．（5分）实数x满足log3x=1+sinθ，则|x﹣1|+|x﹣9|的值为．10．（5分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．11．（5分）函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，下列结论：①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点（）对称；③f（x）在区间（）上是增函数；④函数g（x）=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）的图象，其中正确的命题序号是．12．（5分）已知，则sin y﹣cos2x的最大值为．13．（5分）已知函数f（x）=是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．二、解答题15．（14分）已知角α的终边经过点P（﹣，y），且sin α=y（y≠0），判断角α所在的象限，并求cos α，tan α的值．16．（14分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A ∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．17．（15分）已知a＞0，函数f（x）=﹣2a sin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，﹣5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．18．（15分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）请分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（Ⅱ）若该公司采用函数模型y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．19．（16分）已知幂函数（m∈N*）．（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．【参考答案】一、填空题1．{0，1}【解析】因为集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={x|x=0，1}，则M∩N={0，1}．故答案为：{0，1}2．﹣【解析】分针拨快30min，是按照顺时针方向，得到的角是一负角，把钟表拨快30min，时针走过30度的，∴时针走过的弧度数是﹣×=﹣，故答案为：﹣．3．（﹣1，+∞）【解析】∵x∈R，∴2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1，∴f（x）的定义域是（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.4．（，）【解析】如图所示：∵f（2x﹣1）＜f（）∴﹣＜2x﹣1＜，即＜x＜．故答案为：（，）5．【解析】∵f（x）•f（x+2）=13∴f（x+2）•f（x+4）=13，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是一个周期为4的周期函数，∴f（99）=f（4×25﹣1）=f（﹣1）==．故答案为：．6．﹣a【解析】∵已知，（|a|≤1），则cos（+θ）=﹣cos[π﹣（+θ）]=﹣cos（﹣θ）=﹣a，故答案为：﹣a．7．④【解析】（1）若||＞1，则单调递增，①，②符合；由①，②中函数y=ax2+bx 的图象知||，与此时||不符，所以排除①，②．（2）若0＜||＜1，则x单调递减，③，④符合；由③中y=ax2+bx的图象知，与此时0＜||不符，所以排除③．故答案为：④．8．【解析】=画图可得f（x）的值域是，故答案为：.9．8【解析】由于﹣1≤sinθ≤1，∴0≤1+sinθ≤2．又log3x=1+sinθ，∴0＜1+sinθ≤2．x=31+sinθ∈（1，9]．故|x﹣1|+|x﹣9|=x﹣1+9﹣x=8，故答案为：8.10．[﹣5，﹣2）∪（0，2）【解析】由于奇函数关于原点对称，故函数（x）在定义域为[﹣5，5]的图象如图：由图象知不等式f（x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）故答案为：[﹣5，﹣2）∪（0，2）11．③【解析】函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，令x=，求得f（x）=0，故图象C不关于直线x=对称，故排除①；令x=﹣，求得f（x）=﹣，故图象C不关于点（，0）对称，故排除②；在区间（）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）在区间（）上是增函数，故③正确；把函数g（x）=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin（2x﹣）的图象，故④不正确，故答案为：③．12．【解析】∵，∴sin y=﹣sin x，∵﹣1≤﹣sin x≤1，∴﹣≤sin x≤1，∴sin y﹣cos2x=﹣sin x﹣（1﹣sin2x）=，∴sin x=﹣时，sin y﹣cos2x的最大值为=，故答案为．13．[，]【解析】函数f（x）=是定义域上的递减函数，可得：，解得＜a≤，故答案为：[，]．14．（1，2]【解析】∵函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，∴g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；∴；解得，1＜m≤2；故答案为：（1，2]．二、解答题15．解：∵角α的终边经过点P（﹣，y），且sin α=y（y≠0），∴r=|OP|=，∴sin α==y．∵y≠0，∴9+3y2=16，解得y=±，∴角α在第二或第三象限，r==，当角α在第二象限时，y=，cos α===﹣，tan α===﹣；当角α在第三象限时，y=﹣，cos α===﹣，tan α===．16．解：由已知得A={1，2}，B={x|（x﹣1）（x﹣a+1）=0}，由A∪B=A，知B⊆A由题意知B≠∅，当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意所以a=2或a=3，由A∩C=C得C⊆A当C是空集时，△=m2﹣8＜0即﹣2＜m＜2；当C为单元素集合时，△=0，求得m=±2，此时C={}或C={﹣}，此时不满足题意，舍去；当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3；综上m的取值集合为{m|m=3或﹣2＜m＜2}．17．解：f（x）=﹣2a sin（2x+）+2a+b，（1）当x∈[0，]时，2x+∈[，]．∴﹣≤sin（2x+）≤1．∴﹣2a≤﹣2a sin（2x+）≤a．则b≤f（x）≤3a+b．∵﹣5≤f（x）≤1．∴，解得：a=2，b=﹣5得f（x）=﹣4sin（2x+）﹣1．（2）g（x）=f（x+），即g（x）=﹣4sin[2（x）+]﹣1=﹣4sin（2x+）﹣1=4sin（2x+）﹣1．∵lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．可得：4sin（2x+）﹣1＞1．∴sin（2x+）＞．可得：＜2x+≤，k∈Z．求g（x）的单调增区间．∴＜2x+≤，k∈Z．解得：kπ＜x≤．g（x）的单调增区间为（kπ，]，k∈Z．求g（x）的单调减区间．∴≤2x+＜，解得：≤x单调减区间为[，），k∈Z．18．解：（Ⅰ）对于函数模型f（x）=+2当x∈[10，1000]时，f（x）为增函数，f（x）max=f（1000）=+2=+2＜9，所以f（x）≤9恒成立；）但当x=10时，f（10）=+2＞，即f（x）≤不恒成立故函数模型y=+2不符合公司要求；（Ⅱ）对于函数模型g（x）=，即g（x）=10﹣当3a+20＞0，即a＞﹣时递增，为使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，即a≥，为使g（x）≤对x∈[10，1000]恒成立，即要≤，即x2﹣48x+15a≥0恒成立，即（x﹣24）2+15a﹣576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，故只需15a﹣576≥0即可，所以a≥，综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328.19．解：（1）m为正整数，则：m2+m=m（m+1）为偶数，令m2+m=2k，则：，据此可得函数的定义域为[0，+∞），函数在定义域内单调递增．（2）由题意可得：，求解关于正整数m的方程组可得：m=1（m=﹣2舍去），则：，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脱去f符号可得：2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得实数a的取值范围是：．20．解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数故当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数故∵b＜1∴a=1，b=0（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x2﹣2x+1.．方程f（2x）﹣k•2x≥0化为，，令，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]∴记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0；（Ⅲ）方程，化为，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k）则或∴k＞0．。