高中数学命题考点集训

高中数学命题知识点总结一、集合与函数概念1. 集合的基本概念- 集合的定义- 子集、并集、交集、补集- 集合的表示方法：列举法、描述法2. 函数的定义与性质- 函数的定义- 函数的域与值域- 函数的表示方法：解析式、图像、表格3. 常见函数类型- 一次函数、二次函数- 幂函数、指数函数、对数函数- 三角函数：正弦、余弦、正切4. 函数的基本操作- 函数的四则运算- 复合函数- 反函数与逆函数二、数列与数学归纳法1. 数列的概念- 数列的定义- 有穷数列与无穷数列- 数列的通项公式2. 等差数列与等比数列- 等差数列的通项公式与求和公式 - 等比数列的通项公式与求和公式3. 数列的性质与极限- 数列的单调性- 数列的极限概念- 极限的计算方法4. 数学归纳法- 数学归纳法的原理- 证明方法：基础步骤与归纳步骤三、解析几何1. 平面直角坐标系- 坐标系的定义- 点的坐标与距离公式- 直线的方程表示2. 圆与椭圆的方程- 圆的标准方程- 椭圆的标准方程及其性质3. 抛物线与双曲线- 抛物线的标准方程及其性质- 双曲线的标准方程及其性质4. 空间几何- 空间直角坐标系- 空间直线与平面的方程- 空间几何体的体积与表面积四、三角函数与恒等变换1. 三角函数的基本概念- 三角函数的定义- 三角函数的图像与性质2. 三角恒等式- 基本三角恒等式- 角的和差公式- 二倍角与半角公式3. 三角函数的应用- 解三角形问题- 三角函数在解析几何中的应用五、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义与几何意义- 常见函数的导数2. 导数的运算法则- 导数的四则运算- 链式法则、隐函数与参数方程的求导3. 微分的概念与应用- 微分的定义- 微分在近似计算中的应用六、积分1. 积分的概念- 不定积分的定义与性质- 定积分的定义与几何意义2. 积分的计算方法- 基本积分公式- 换元法与分部积分法3. 积分的应用- 积分在几何问题中的应用- 微积分基本定理及其应用七、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件与概率的定义- 条件概率与独立事件2. 随机变量与概率分布- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见概率分布：二项分布、正态分布3. 统计的基本概念- 数据的描述性分析- 参数估计与假设检验以上是高中数学的主要命题知识点总结，涵盖了集合、函数、数列、解析几何、三角函数、导数、积分、概率与统计等核心领域。

高考数学集训知识点归纳近年来，我国高考数学试题逐渐变得更加复杂和具有难度，考生们面临着巨大的挑战。

为了更好地帮助考生备战高考数学，下面将对常见的高考数学知识点进行归纳和总结，以便考生更好地备考和应对试题。

1.函数与方程组函数与方程组是高考数学中的重要知识点。

其中，函数的概念可以通过求定义域、值域、奇偶性等方式进行分析。

方程组则可以通过消元、配凑等方法解题。

2.函数的性质与运算函数的性质与运算是进一步理解函数概念的关键。

例如，函数的最值问题常常可以通过对函数的导数进行分析求解。

3.三角函数与解三角形解三角形是高考数学中的常见问题，考生需要熟练掌握正弦定理、余弦定理等解题方法，同时也要注意判断解的唯一性和多解性。

4.立体几何与向量立体几何与向量是高考数学中较难的部分。

在解题时，考生需要对几何形体进行合理的拆解和组合，同时也要掌握向量的运算法则和坐标表示方法。

5.数列与数列极限数列是高考数学中考察比较频繁的知识点，考生需要掌握常见数列的通项公式、求和公式等，同时也要理解数列极限的概念和求解方法。

6.概率与统计概率与统计也是高考数学中的重要部分。

在应用概率与统计的知识解题时，考生需要理解概率的计算方法和统计量的含义，同时能够运用相关的公式进行分析和求解。

综上所述，高考数学集训中需要重点关注的知识点主要包括函数与方程组、函数的性质与运算、三角函数与解三角形、立体几何与向量、数列与数列极限以及概率与统计。

对于这些知识点，考生需要在掌握基本概念的基础上，注重理解和应用，通过大量的习题训练来提升解题的能力。

同时，考生还需要注重对知识点之间的联系和融合进行分析，这样才能在高考数学中更好地发挥自己的水平。

除了上述的知识点，考生还需要注重学习解题技巧和策略，如审题能力的培养、选用适当的解题方法等。

解题技巧和策略的运用常常可以在考试中起到事半功倍的效果。

最后，考生还需要保持良好的锻炼和休息习惯，保持良好的心态和自信心。

高中数学命题知识点总结高中数学题目是考验学生对数学知识的理解和运用能力的重要手段。

在高中数学复习过程中，了解和掌握各个命题的知识点是非常重要的。

下面将对高中数学常见命题的知识点进行总结和归纳。

一、代数与函数1.一次函数：通过对数学表达式的转化和观察函数图象，可以判断函数的是增函数还是减函数。

2.二次函数：研究二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴的位置。

3.指数函数：了解指数函数的定义和性质，熟悉指数函数的图象和变化规律。

4.对数函数：研究对数函数的定义和性质，掌握对数函数的图象和基本变换。

5.幂函数：了解幂函数的定义和性质，研究幂函数的图象和变化规律。

6.函数的复合：理解函数复合的概念和性质，掌握函数复合的方法和计算规则。

7.函数的反函数：研究和判断函数的反函数是否存在，掌握函数反函数的求解方法。

二、几何与三角学1.平面几何中的图形性质：了解各种平面图形的定义和性质，掌握图形性质在解题中的应用。

2.空间几何中的图形性质：研究和掌握立体图形的定义和性质，理解并应用正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等图形的性质。

3.空间坐标系：了解空间直角坐标系的结构和坐标的意义，熟悉三维空间中点、向量等概念和性质。

4.三角函数：了解三角函数的定义和性质，掌握三角函数的图象和变化规律，研究和应用单位圆和海伦公式。

5.三角函数的运用：应用三角函数解决直角三角形和一般三角形的相关问题，理解和运用解三角方程的方法。

三、概率与统计1.概率的定义与性质：了解概率的概念和基本性质，熟悉事件与概率的关系。

2.频率与概率的关系：研究和应用频率与概率之间的关系，理解大数定律与伯努利定理。

3.统计图表与分析：掌握并运用各类统计图表（如直方图、折线图、饼图）表达和分析数据，了解统计参数的计算方法。

四、数学推理与证明1.数学推理思维：运用数学推理、逻辑思维和证明方法解决问题。

2.数学归纳法：理解数学归纳法的思想和方法，掌握数学归纳法证明的基本步骤。

高考5年命题点集训1集合1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．故选A．]2．(2019·太原期末)设集合A＝{x|－4＜x≤4}，B＝{x|－2＜1－x≤6}，则A∪B ＝()A．[－5,4] B．(－4,3)C．(－5,4] D．(－4,3]A[∵集合A＝{x|－4＜x≤4}，B＝{x|－2＜1－x≤6}＝{x|－5≤x≤3}，∴A∪B＝{x|－5≤x≤4}＝[－5,4]．故选A．]3．(2019·武威期末)已知集合M＝{x|x2－5x＋4≤0}，N＝{0,1,2,3}，则集合M∩N中元素的个数为()A．4B．3C．2D．1B[M＝{x|x2－5x＋4≤0}＝[1,4]，N＝{0,1,2,3}，则集合M∩N＝{1,2,3}，故集合M∩N中元素的个数为3个，故选B.]4．已知集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|ln x＞0}，则A∩B是()A．{x|x＞0} B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}C[集合A＝{x|x(x－2)＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|ln x＞0}＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选C．]5．已知集合A＝{x|x2－2x≤3}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝()A．[0,3] B．(0,3]C．[－1，＋∞) D．[－1,1)B[A＝{x|x2－2x≤3}＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，则A∩B＝{x|0＜x≤3}，故选B.]6．(2019·郑州期末)设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}D[∵A∩B＝A，∴A⊆B.∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，∴a≥2，故选D.]7．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆BB[因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－5<x<5}＝R.故选B.]8．(2019·广东四校联考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{x| 6x∈N*，x∈U}，则∁U M＝()A．{1,2,3,4,5,6} B．{1,2,3,6} C．{4,5} D．∅C[若全集U＝{1,2,3,4,5,6}, M＝{x|6x∈N*，x∈U}＝{1,2,3,6}，则∁UM＝{4,5}，故选C．]9．(2019·洛阳统考)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|x2＋x－2≥0}，则A∪∁U B＝()A．(0,1] B．(－2,2]C．(0,1] D．[－2,2]B[∵全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x2＋x－2≥0}＝{x|x≥1或x≤－2}，∴∁U B＝{x|－2＜x＜1}，∴A∪∁U B＝{x|－2＜x≤2}＝(－2,2]．故选B.]10．(2019·成都月考)设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅A[∵集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，∴M⊆N.故选B.]11．(2019·牡丹江期末)若集合M，N，P是全集S的子集，则图中阴影部分表示的集合是()A．(M∩N)∩∁S PB．(M∩N)∪PC．(M∩N)∩PD．(M∩N)∪∁S PA[∵集合M，N，P是全集S的子集，∴图中阴影部分表示的集合是(M∩N)∩∁S P.故选A．]12．(2019·衡阳八中期末)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集个数为()A．2 B．3C．4 D．8C[根据题意，若1∈P，则2×1＝2∈M，故不满足题意；若2∈P，则2×2＝4∈M，故不满足题意；若3∈P，则2×3＝6∉M，故满足题意；若4∈P，则2×4＝8∉M，故满足题意；综上，P＝{3,4}，所以集合P的子集有：∅，{3}，{4}，{3,4}，故选C．] 13．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是________．{a|a≥2}[∵A∩B＝A，∴A⊆B.∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，∴a≥2.]14．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－1≥1}．若A∩B是集合{x|x≥a}的子集，则实数a的取值范围为________．(－∞，2][∵由x－1≥1，得x≥2，∴B＝{x|x≥2}．∵A＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}．若集合A∩B＝{x|2≤x≤3}是集合{x|x≥a}的子集，则a≤2.]15．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.{0}∪[2，＋∞)[A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0<x<2}，则A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]16．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．②[①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．]2简易逻辑与推理1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数D[该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，故选项D正确．为真命题，故选D.]2．(2019·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．]3．已知命题p：存在x∈R，tan x＝1，命题q：任意x∈R，x2＞0，下面结论正确的是()A．命题“p且q”是真命题B．命题“p且(﹁q)”是假命题﹁C．命题“(﹁p)或q”是真命题D．命题“(﹁p)且(﹁q)”是假命题D[取x＝π4，有tanπ4＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．]4．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥1 B．a>1C．a≥4 D．a>4D[命题可化为x∈[1,2)，a≥x2恒成立．∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a≥4，∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.]5．若命题“存在x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D [因为命题“存在x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.]6．已知命题p ：若α∥β，a ∥α，则a ∥β； 命题q ：若a ∥α， a ∥β， α∩β＝b, 则a ∥b, 下列是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或(﹁q )C ．p 且(﹁q )D ．(﹁p )且q D [若α∥β，a ∥α，则a ∥β或aβ，故p 假，﹁p 真；若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b ，正确， 故q 为真，﹁q 为假，∴(﹁p )且q 为真，故选D.]7．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，﹁p ：任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，﹁p ：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，﹁p ：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，﹁p ：任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 C [因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )是递减的，即对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．而p 的否定为存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0，故选C ．]8．(2019·蚌埠模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子，若丙的年龄比知识分子大，甲的年龄和农民不同，农民的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是()A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C[“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C．]9．(2019·德庆模拟)已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p且q为真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．[0,2]C[∵p且q为真命题，∴p、q全为真命题，若p真，则m<0；若q真，则m2－4<0，解得－2<m<2，所以m的取值范围为(－2,0)．故选C．] 10．(2019·淄博模拟)下列说法错误的是()A．命题“存在x∈R，x2－x－2＝0 ”的否定是“任意x∈R，x2－x－2≠0”B．在△ABC中，“sin A＞cos B”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件C．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”D．若p或q为假命题，则p，q均为假命题B[命题“存在x0∈R，x2－x－2＝0”的否定是“任意x∈R，x2－x－2≠0 ”，故A正确；∵sin 30°＞cos 120°，∴在△ABC中，“sin A＞cos B”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故B错误；命题“若a＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，故C正确；若p或q为假命题，则p，q均为假命题，故D正确．故选B.]11．给定两个命题p，q.若﹁p是q的必要但不充分条件，则p是﹁q的________条件．充分但不必要[根据题意可知，q⇒﹁p，但﹁p⇒/q，那么其逆否命题p⇒﹁q，但﹁q⇒/p，所以p是﹁q的充分但不必要条件．]12．下列结论：①若命题p：存在x∈R，tan x＝1；命题q：任意x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且(﹁q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．①③[①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且(﹁q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.]13．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④(﹁p)或(﹁q)为假．其中正确的是________．(填序号)②[命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．]14．一次猜奖游戏中，1,2,3,4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品(每扇门里仅放一件)．甲同学说：1号门里是b,3号门里是c；乙同学说：2号门里是b,3号门里是d；丙同学说：4号门里是b,2号门里是c；丁同学说：4号门里是a,3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是________．a [由题意得，甲同学说：1号门里是b,3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b,3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b,2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a,3号门里是c ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的3号门中有d 是正确的；丙同学说的2号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有b ，c ，d ，a ，所以4号门里是a .]3 函数及其性质1．函数f (x )＝ －x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( ) A ．[1,10] B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]D [要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．]2．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.]3．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．x 3B ．cos xC ．1＋xD ．x e xB [由题意知，两个偶函数差是偶函数，因此只要g (x )为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数，故选B.]4．(2019·济宁调研)函数f (x )＝lg 12(x 2－4)的递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)D [由复合函数的单调性，要使f (x )递增，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.故选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( ) A ．－1B ．1C ．32D ．52 B [依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，故选B.]6．(2019·天水模拟)已知f (x )＝e x －e －x 2，则下列正确的是( )A ．奇函数，在R 上为增函数B.偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D.偶函数，在R 上为减函数A [定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －e x 2 ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∵e x 是R 上的增函数，－e －x 也是R 上的增函数，∴e x －e －x 2是R 上的增函数，故选A ．]7．(2018·兰州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2 )－f (x 1)x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)A [∵f (x )是偶函数∴f (－2)＝ f (2)，又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2 )－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又∵1＜2＜3∴f (1)＞f (2)＝f (－2)＞f (3)，故选A ．]8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C ．(－∞，－1]D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12A [法一：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a ＜12. 法二：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A ．]9．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)C [作出函数f (x )的图像如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．]10．(2019·龙岩模拟)若f (x )＝ax 2＋x ＋2x 为奇函数，则f (x )在(0，＋∞)上的最小值是________．22 [∵f (x )＝ax 2＋x ＋2x 为奇函数， ∴f (x )＋f (－x )＝0，∴2ax 2＝0，x ≠0，解得a ＝0，∴f (x )＝x ＋2x .∵x ＞0，∴f (x )＝x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时等号成立．]11．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.23[依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.]12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．①②③ [f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图像关于点(0,0)对称，则f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f －32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数，④错误．故真命题的序号为①②③.]4 基本初等函数、函数与方程1．函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)A [因为f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图像是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．]2．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图像，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －6)，x ＞0，则f (2 019)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2D [∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D.] 4．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1A [由幂函数f (x )＝x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，α＝12，则幂函数f (x )＝x 12，∴f (2)＝212，∴log 2f (2)＝12.故选A ．]5．已知函数f (x )＝2×4x －a 2x的图像关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D ．14B [由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b, ∴b ＝12，∴log 212＝－1.]6．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．]7.(2019·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14B ．18C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.]8．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝|log 2|x －1||，且关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋2b ＝0有6个不同的实数解，若最小的实数解为－1，则a ＋b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1B [作出函数f (x )＝|log 2|x －1||的图像，∵方程[f (x )]2＋af (x )＋2b ＝0有6个不同的实数解，∴如图所示，令t ＝f (x )，方程[f (x )]2＋af (x )＋2b ＝0转化为t 2＋at ＋2b ＝0，则方程有一零根和一正根，又∵最小的实数解为－1，由f (－1)＝1，∴方程t 2＋at ＋2b ＝0的两根是0和1，由根与系数的关系得a ＝－1，b ＝0，∴a ＋b ＝－1，故选B.]9．若关于x 的方程a ()ln x ＋x －12x 2＝0有唯一的实数解，则正数a ＝( )A ．12B ．13C ．14D ．19 A [法一：验证法．当a ＝12时，可得函数y ＝x 2－x 与函数y ＝ln x 在x ＝1处的切线是相同的．故选A ．法二：因为a ＞0，由a (ln x ＋x )－12x 2＝0得ln x x ＋1＝12a x .设f (x )＝ln xx ＋1，g (x )＝12a x ，由题意得当且仅当函数f (x )和g (x )的图像相切时满足题意，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＝y 0x 0，y 0＝ln x0x 0＋1，12a ＝1－ln x 0x20，解得a ＝12.选A ．]10．(2019·太原模拟)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．(0，＋∞) [由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图像如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a>0.]11．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2 019，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020＝4，则f (2 020)＝________.4 039 [设F (x )＝f (x )－2 019，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝a log 21x ＋b log 31x ＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，所以F (2 020)＝－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020＝－(4－2 019)＝2 015，f (2 020)＝F (2 020)＋2 019＝4 039.]12．(2019·绵阳模拟)已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ＞0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45 [当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ，当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ， 当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ，….f (x )＝[x ]x －a 的图像是把y ＝[x ]x 的图像进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x 的图像(图略)，通过数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45 .]5 函数的图像1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋ln x ，x ≥1，x 3，x <1，则f (x )的图像为( )A B C DA [由题意知函数f (x )在R 上是增函数，当x ＝1时，f (x )＝1，当x ＝0时，f (x )＝0，故选A ．]2．(2019·黄冈模拟)函数y ＝－2x 2＋2|x |在[－2,2]的图像大致为( )A B C DA [由y ＝－2x 2＋2|x |知函数为偶函数，即其图像关于y 轴对称，故可排除B ，D.又当x ＝2时，y ＝－2·(－2)2＋22＝－4.所以，C 是错误的，故选A ．]3．(2019·南昌质检)函数y ＝2x ln x 的图像大致为( )A B C DD [当0<x <1时，2x >0，ln x <0，∴y <0，图像在x 轴下方；当x >1时，2x >0，ln x >0，∴y >0，图像在x 轴上方，当x →＋∞时，y ＝2xln x 是递增函数．]4．函数y ＝sin xx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图像大致是( )A B C DA [函数y ＝sin xx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图像关于y 轴对称，排除B 、C ，又当x 趋近于π时，y ＝sin xx 趋近于0，故选A ．]5．(2019·惠州调研)已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1xA [由函数图像可知，函数f (x )为奇函数，排除B 、C ．若函数为f (x )＝x －1x ，则当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A ．]6．(2019·合肥模拟)函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图像可能是( )A B C DA[令f(x)＝4cos x－e|x|，因为f(－x)＝4cos(－x)－e|－x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项B，D.又f(0)＝4cos 0－e0＝3>0，所以选项A满足条件．故选A．]7．(2019·湖南十校联考)函数y＝(2－x)e x(x－1)2的图像大致为()A[当x>2时，2－x<0，e x>0，(x－1)2>0，∴y<0，此时函数的图像在x轴的下方，排除B；当x<2且x≠1时，2－x>0，e x>0，(x－1)2>0，∴y>0，此时函数的图像在x轴的上方，故选A．]8．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f(x)的大致图像为()A B C DC[法一：由题意得y＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4，x∈(0,2)不是一次函数，排除A、B.当x→0时，y→2，故选C．法二：由法一知y＝2(x－1)2＋2在(0,1]上是减函数，在[1,2)上是增函数，且非一次函数，故选C．]9．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值C[作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图像如图①所示，得到函数h(x)的图像如图②所示，由图像得函数h(x)有最小值－1，无最大值．]图①图②10．(2018·石家庄模拟)若函数y＝f(x)的图像过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图像一定经过点________．(3,1)[由于函数y＝f(4－x)的图像可以看作y＝f(x)的图像先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y＝f(4－x)的图像过定点(3,1)．] 11．若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图像始终在函数y＝log a x的图像的下方，则实数a的取值范围是________．(1,2][如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝log a x的图像，由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图像恒在函数y＝log a x的图像的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.] 12．已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的结论：①y ＝f (x )的值域为R ； ②y ＝f (x )在(0，＋∞)上递减； ③y ＝f (x )的图像关于y 轴对称；④y ＝f (x )的图像与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中正确结论的序号是________．③④ [函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1，x ≥0，1－x －1，x <0，其图像如图所示，由图像可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f (x )在(0,1)和(1，＋∞)上递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图像关于y 轴对称，故③正确；由于f (x )在每个象限都有图像，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．]6 导数的几何意义、导数的简单应用1．(2019·衡水调研卷)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C ．ln 22 D ．ln 2B [由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.]2．(2019·平凉模拟)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－eC ．1D ．eA [∵函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，(x ＞0)，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，把x ＝1代入f ′(x )可得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，故选A ．]3．(2019·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1eC [y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .]4．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5C ．254D ．132C [∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.]5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2D [∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.∵g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 2＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.]6．(2019·齐齐哈尔模拟)若x ＝1是函数f (x )＝ax 2＋ln x 的一个极值点，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f (x )的最小值为( ) A ．1－e 22 B ．－e ＋1e C ．－12e 2－1D ．e 2－1A [由题意得f ′(x )＝2ax ＋1x ，∵f ′(1)＝0，∴2a ＋1＝0.∴a ＝－12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f ′(x )≥0，当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，∴f (x )min ＝min{f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，f (e)}＝1－e 22，选A ．]7．(2018·安徽安庆一模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( )A ．2e －1B ．－1e C ．1D ．2ln 2D [∵f ′(x )＝2e f ′(e )x －1e ，∴f ′(e)＝2e f ′(e )e －1e ，∴f ′(e)＝1e ，∴f ′(x )＝2x －1e .令f ′(x )＝0，则x ＝2e.∴x ∈(0,2e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(2e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )递减．∴f (x )的极大值为f (2e)＝2ln 2e －2＝2ln 2，选D.]8．(2019·珠海质检)定义在R 上的连续函数f (x )，其导函数f ′(x )为奇函数，且f (2)＝1，f (x )≥0；当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0恒成立，则满足不等式f (x －2)≤1的解集为( )A ．[－2,2]B ．[0,4]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D [因为其导函数f ′(x )为奇函数，所以原函数f (x )是偶函数，因为当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0恒成立，所以f ′ (x )<－f (x )x ，∵x >0，f (x )>0，∴f ′(x )<0，所以函数f (x )在x >0时，是减函数，在x <0时，是增函数．因为f (x －2)≤1，所以f (x －2)≤f (2)或f (－2)，所以x －2≥2或x －2≤－2，∴x ≤0或x ≥4，故选D.]9．曲线y ＝xx －2在点(1, －1)处的切线方程为________．y ＝－2x ＋1. [由题意可得y ′＝－2(x －2)2，所以在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以在点(1，－1)处的切线方程为y ＝－2x ＋1.]10．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．3 [因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图像在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.]11．(2019·南通模拟)已知函数f (x )＝32x 2＋(a ＋4)x －2ln x 在区间(1, 2)上存在最值，则实数a 的取值范围是________．(－9，－5) [∵f ′(x )＝3x ＋(a ＋4)－2x ＝3x 2＋(a ＋4)x －2x，∴题中问题等价于f ′(1)·f ′(2)＜0，即(a ＋5)(a ＋9)＜0，解得－9＜a ＜－5 .]12．(2019·临沂模拟)已知a ＝3c ，bd ＝－3，则(a －b )2＋(d －c )2的最小值为________．185[由于a ＝3c ，bd ＝－3，令f (x )＝3x ，g (x )＝－3x ，则(a －b )2＋(d －c )2的最小值表示直线f (x )＝3x 上的点与曲线g (x )＝－3x 上的点的距离的平方的最小值．设直线y ＝3x ＋m 与曲线g (x )＝－3x 相切于点P (x 0，y 0)，不妨设x 0>0，由g ′(x )＝3x 2，得3x 20＝3，得x 0＝1，得切点P (1，－3)，所以－3＝3＋m ，解得m ＝－6，所以切点到直线f (x )＝3x 的距离为|3＋3|10＝3105，所以(a －b )2＋(d －c )2的最小值为185.]7 函数、导数与不等式的综合问题1.已知函数f (x )＝2ln x －2ax ＋a (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －4x ＋2， ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(1)＝－2，f (1)＝－2，∴曲线y ＝ f (x )在x ＝1处的切线方程为2x ＋y ＝0. (2)∵f ′(x )＝2x －2a ＝－2ax ＋2x(x ＞0)，若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增； 若a ＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1a 时，f ′(x )＞0，f (x )递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )递减．2．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝ln x －a 2x ＋2a (a ∈R )． (1)讨论f (x )在(1，＋∞)上的单调性；(2)是否存在实数a ，使得f (x )在(0，＋∞)上的最大值为a 3＋4a －2ln|a |，若存在，求满足条件的a 的个数；若不存在，请说明理由．[解] (1) f ′(x )＝1－a 2xx (x ＞1) 当a ＝0时，f (x )在(1，＋∞)上递增． 当a 2≥1时即a ≤－1或a ≥1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(1，＋∞)上递减．当－1＜a ＜1且a ≠0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a 2 . 令f ′(x )＞0得1<x <1a 2 ；令f ′(x )＜0得x >1a 2 . ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1， 1a 2上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 ， ＋∞上递减．综上，当a ＝0时，f (x )在(1，＋∞)上递增；当a ≤－1或a ≥1时，f (x )在(1，＋∞)上递减；当－1＜a ＜1且a ≠0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1， 1a 2上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 ， ＋∞上递减．(2)易知a ≠0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 2上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 ， ＋∞上递减， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝ln 1a 2－1＋2a ＝2a －2ln|a |－1∴2a －2ln|a |－1＝a 3＋4a －2ln|a |， 即a 3＋2a ＋1＝0，设g (x )＝x 3＋2x ＋1＝0，易知g (x )为增函数，且g (－1)＜0，g (0)＞0， ∴g (x )的唯一零点在(－1,0)上， ∴存在a ，且a 的个数为1.3．(2019·荆州模拟)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上的最大值与最小值；(2)求证：f (x )－(x ＋1)2≤－3x －1.[解] (1) f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＞0，解得x ＞1e ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e ， 故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1e 递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，3递增，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，f (x )max ＝3ln 3.(2)要证f (x )－(x ＋1)2≤－3x －1，即证ln x －x ＋1≤0， 令h (x )＝ln x －x ＋1 (x ＞0)，h ′(x )＝1x －1＝1－x x ， 令h ′(x )＞0，即1－x ＞0，解得0＜x ＜1， 令h ′(x )＜0，解得x ＞1，故h (x )在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减， 故h (x )max ＝ h (1)＝0， 故h (x )≤0，问题得证．4．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝1x －a ln x (a ∈R )． (1)若h (x )＝f (x )－2x ，当a ＝－3时，求h (x )的递减区间；(2)若函数f (x )有唯一的零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)h (x )的定义域为(0，＋∞)， h ′(x )＝－1x 2＋3x －2＝－2x 2－3x ＋1x 2＝－(2x －1)(x －1)x 2，令h ′(x )<0，得h (x )的递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)． (2)问题等价于a ln x ＝1x 有唯一的实根．显然a ≠0，则关于x 的方程x ln x ＝1a 有唯一的实根． 构造函数φ(x )＝x ln x ，则φ′(x )＝1＋ln x . 令φ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝e －1. 当0<x <e －1时，φ′(x )<0，φ(x )递减； 当x >e －1时，φ′(x )>0，φ(x )递增． 所以φ(x )的极小值为φ(e －1)＝－e －1. 如图，作出函数φ(x )的大致图像，则要使方程x ln x ＝1a 有唯一的实根，只需直线y ＝1a 与曲线y ＝φ(x )有唯一的交点，则1a ＝－e －1或1a >0，解得a ＝－e 或a >0. 故实数a 的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．5．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝ax 2－e x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝ f (x )在x ＝1处的切线与y 轴垂直，求y ＝f ′(x )的最大值； (2)若对任意0≤x 1＜x 2都有f (x 2)＋x 2(2－2ln 2)＜f (x 1)＋x 1(2－2ln 2)，求a 的取值范围．[解] (1)由f ′(x )＝2ax －e x，得，f (1)＝2a －e ＝0⇒a ＝e 2，令g (x )＝f ′(x )＝e x －e x ，则g ′(x )＝e －e x ，可知函数g (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 所以g ′(x )max ＝g ′(1)＝0.(2)由题意得可知函数h (x )＝f (x )＋x (2－2ln 2)＝ax 2＋x (2－ln 2)－e x 在[0，＋∞)上递减，从而h ′(x )＝2ax ＋(2－2ln 2)－e x ≤0在[0，＋∞)上恒成立， 令F (x )＝2ax ＋(2－2ln 2)－e x ，则F ′(x )＝2a －e x ，当a ≤12时，F ′(x )≤0，所以函数F (x )在[0，＋∞)上递减，则F (x )max ＝F (0)＝1－2ln 2＜0，当a ＞12时，F ′(x )＝2a －e x ＝0，得x ＝ln 2a ，所以函数F (x )在[0，ln 2a )上递增，在[ln 2a ，＋∞)上递减，则F (x )max ＝F (ln 2a )＝2a ln 2a ＋2－2ln 2－2a ≤0， 即2a ln 2a －2a ≤2ln 2－2，通过求函数y ＝x ln x －x 的导数可知它在[1，＋∞)上递增，故12<a ≤1， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]．8 三角函数的图像与性质1.(2019·德州检测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 A [∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.]2．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]3．(2019·合肥质检)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可将函数y ＝sin 2x的图像( )A ．向左平移5π6单位长度 B ．向右平移5π6单位长度 C ．向左平移5π12单位长度 D ．向右平移5π12单位长度C [由题意，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，则它是由y＝sin 2x 向左平移5π12个单位．]4．(2019·长沙模拟)设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9C [将f (x )的图像向右平移π3个单位长度得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω，则－π3ω＝2k π(k ∈Z )，即ω＝－6k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴k ＜0，∴当k ＝－1时，ω有最小值6.]5．(2019·衡阳模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x －1，则以下判断中正确的是( )A ．函数f (x )的图像可由函数y ＝2cos 2x 的图像向左平移π8而得到 B ．函数f (x )的图像可由函数y ＝2cos 2x 的图像向左平移π4而得到 C ．函数f (x )的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向右平移3π8而得到 D ．函数f (x )的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移3π4而得到 A [∵函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x －1＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故把函数y ＝2cos 2x 的图像向左平移π8个单位，可得f (x )的图像，故选A ．]6．(2019·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图像的一条对称轴方程( )A ．x ＝π9 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3D ．x ＝π2A [依题意得，2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x ＋π6＝k π＋π2，解得x ＝k π3＋π9，当k ＝0时，x ＝π9.因此函数f (x )的图像的一条对称轴方程是x ＝π9.]7．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0， |φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图像向右平移π3个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12， 0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12， 0对称B [∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图像向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图像，又g (x )的图像关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．]8．(2019·临沂模拟)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的递增区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 [由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.]9．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝________.4 [∵由题中图像可知x 0＋π4－x 0＝T2. ∴T ＝π2，∴2πω＝π2， ∴ω＝4.]10．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________．32 [因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以T 4≤π3，即π2ω≤π3.所以ω≥32，即ω的最小值为32.]11．(2019·聊城检测)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 [由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2, 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝k π，∴φ＝k π＋3π4，又0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4.]12．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ， 又∵f (x )在区间(－ω，ω)内递增，且f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，可得2ω≤πω，且f (ω)＝sin ω2＋cos ω2＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2＋π4 ＝1，∴ω2＋π4＝π2，∴ω＝π2.]9 三角恒等变换与解三角形A 组 选择、填空1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A ．12 B.32 C ．－12 D ．－32A [cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12.]2．(2019·济宁模拟)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C ．π6D ．π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π3.]3．(2019·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.] 4．(2019· 皖南八校联考)若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33A [sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.] 5．(2018·益阳4月调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，C ＝60°，且△ABC 的面积为53，则△ABC 的周长为( )A ．8＋21B ．9＋21C ．10＋21D ．14B [由题意，根据三角形面积公式，得12ab sinC ＝53， 即12a ·5·32＝53， 解得a ＝4.根据余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝16＋25－2×4×5×12， c ＝21，所以△ABC 的周长为9＋21.故选B.]6．在△ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B ．22 C ．12D ．－12B [由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.故选B.]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－12C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cosC ≥12.∴cos C 的最小值为12.]8．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17 C ．－7D ．－17B [sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.]9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2C ． 3D ． 2D [由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.故选D.]10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)mC [如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.]11．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 的坐标为(1，3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. －2－3 [依题意得tan α＝3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋11－3＝－2－ 3.]12．游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________.513[依题意，设乙的速度为x m/s ，则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040，BC ＝500，所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得：AC ＝1 260，在△ABC 中由余弦定理可知cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝8491＝1213，所以sin ∠BAC＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.] B 组 解答题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积． [解] (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而a ＝b ＝3.所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.2．(2019·潍坊模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 2A ＋3cos(B ＋C )＝0.。

高一数学命题知识点及习题数学是一门需要不断积累和探索的学科，在高一阶段，数学的内容开始逐渐扩展，涉及到更多的知识点和技巧。

理解和掌握这些知识点将对高一学生的数学学习和考试成绩有着重要的影响。

本文将介绍高一数学中的一些重要命题知识点及习题，帮助学生更好地应对数学学习和考试。

一、二次函数及其应用1. 二次函数的基本形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，其中a决定了函数开口的方向。

当a > 0时，函数开口向上；当a < 0时，函数开口向下。

2. 利用二次函数的图像和性质，可以解决很多实际问题。

例如，已知某商品的成本函数为C(x) = 2x^2 + 5x + 10，其中x表示商品的数量，求使得成本最小的产量是多少？3. 二次函数的图像在平面直角坐标系中呈现抛物线的形状，通过求解二次方程可以确定其顶点、轴对称和与坐标轴的交点等重要性质。

练习题：求函数y = 3x^2 + 4x - 2的顶点、轴对称、与x轴和y 轴的交点。

二、立体几何1. 立体几何是数学中的一个重要方向，涉及到空间中的图形和形状。

了解立体几何的性质和计算方法，有助于解决与空间有关的问题。

2. 学习立体几何需要熟悉各种多面体的名称、性质以及计算它们的面积和体积的方法。

常见的多面体包括正方体、长方体、球体、棱柱等。

练习题：一个正方体的棱长为3 cm，求它的表面积和体积。

三、概率1. 概率是研究事件发生可能性的数学分支。

在高一数学中，学习概率可以帮助我们分析和预测事件的发生可能性，从而做出合理的决策。

2. 了解概率的基本概念和公式是学习概率的第一步。

事件的概率可以用一个介于0和1之间的数值表示，0表示不可能发生，1表示肯定发生。

练习题：一枚骰子有六个面，每个面上的数字是1到6中的一个。

求掷一次骰子出现奇数的概率。

四、函数的性质与图像1. 函数是数学中关键的概念之一，它描述了输入与输出之间的关系。

在高一数学中，学习函数的性质和图像是重要的基础。

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考点二类比推理【典例2】(1)已知等差数列{a n}中,a1 009=0,则a1+a2+…+a m=a1+a2+…+a2017-m(m<2 017).等比数列{b n}中,b1 010=1,类比上述等差数列的结论,试写出等比数列的结论为____________.(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.【解析】(1)在等差数列{a n}中,若a1 009=0,则有等式a1+a2+…+a m=a1+a2+…+a2 017-m成立(m<2 017,m∈N*),类比到等比数列把“+”改为”×”.故相应的在等比数列{b n}中,若b1 010=1,则有等式b1b2…b m=b1b2…b2 019-m(m<2 019,m∈N*)成立.答案:b1b2…b m=b1b2…b2 019-m(m<2 019,m∈N*)成立.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类似地,在四面体P-DEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF 和△PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2=++成立.把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想.【解析】如图,在Rt△ABC中,cos2A+cos2B=+==1.于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜想,三棱锥P-A′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′,PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.类比推理的分类及处理方法类别解读适合题型关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

高考数学集训知识点归纳高考数学是高中阶段学生的重要考试之一，它不仅考察学生对数学知识的掌握程度，还考察学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及解决问题的能力。

以下是高考数学集训的一些重要知识点归纳：一、函数与导数- 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性。

- 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。

- 导数的定义、几何意义和物理意义。

- 基本初等函数的导数公式。

- 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数。

二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切等。

- 三角函数的基本关系式和恒等变换。

- 三角函数的图象和性质：周期性、奇偶性、单调性。

- 解三角形的基本知识：正弦定理、余弦定理。

三、立体几何- 空间几何体的表面积和体积的计算。

- 空间直线与平面的位置关系：平行、垂直。

- 空间向量在立体几何中的应用。

四、解析几何- 直线与圆的方程。

- 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。

- 直线与圆锥曲线的位置关系。

五、数列- 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

- 数列的极限概念和计算。

- 数列的单调性和有界性。

六、概率与统计- 随机事件的概率计算。

- 条件概率和独立事件。

- 离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。

- 统计量的计算：均值、方差、标准差。

七、不等式- 不等式的基本性质。

- 解绝对值不等式和分式不等式。

- 基本不等式的应用。

八、复数- 复数的概念、运算法则。

- 复数的几何意义。

- 复数的代数表示和三角表示。

九、逻辑与推理- 逻辑连接词：与、或、非、蕴含。

- 推理方法：演绎推理、归纳推理、类比推理。

结束语高考数学的知识点繁多，但只要系统地复习，理解每个知识点的本质，掌握解题技巧，就能够在考试中取得优异的成绩。

希望以上的知识点归纳能够帮助到每一位即将参加高考的学生，祝你们考试顺利，金榜题名。

7 函数、导数与不等式的综合问题1.已知函数f (x )＝2l n x －2ax ＋a (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论f (x )的单调性．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝2l n x －4x ＋2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(1)＝－2，f (1)＝－2，∴曲线y ＝ f (x )在x ＝1处的切线方程为2x ＋y ＝0.(2)∵f ′(x )＝2x －2a ＝－2ax ＋2x(x ＞0)， 若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增；若a ＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 2．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝l n x －a 2x ＋2a (a ∈R )．(1)讨论f (x )在(1，＋∞)上的单调性；(2)是否存在实数a ，使得f (x )在(0，＋∞)上的最大值为a 3＋4a －2l n|a |，若存在，求满足条件的a 的个数；若不存在，请说明理由．[解] (1) f ′(x )＝1－a 2x x (x ＞1)当a ＝0时，f (x )在(1，＋∞)上递增．当a 2≥1时即a ≤－1或a ≥1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(1，＋∞)上递减．当－1＜a ＜1且a ≠0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a 2 .令f ′(x )＞0得1<x <1a 2 ；令f ′(x )＜0得x >1a 2 .∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1， 1a 2上递增，在1a 2 , ＋∞上递减． 综上，当a ＝0时，f (x )在(1，＋∞)上递增；当a ≤－1或a ≥1时，f (x )在(1，＋∞)上递减；当－1＜a ＜1且a ≠0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1， 1a 2上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 ， ＋∞上递减．(2)易知a ≠0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 2上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 ， ＋∞上递减， ∴f (x )m ax ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝l n 1a 2－1＋2a ＝2a －2l n|a |－1 ∴2a －2l n|a |－1＝a 3＋4a －2l n|a |，即a 3＋2a ＋1＝0，设g (x )＝x 3＋2x ＋1＝0，易知g (x )为增函数，且g (－1)＜0，g (0)＞0，∴g (x )的唯一零点在(－1,0)上， ∴存在a ，且a 的个数为1.3．(2019·荆州模拟)已知函数f (x )＝xl n x .(1)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上的最大值与最小值； (2)求证：f (x )－(x ＋1)2≤－3x －1.[解] (1) f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝l n x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＞1e ，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e ，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1e 递减，在1e ，3递增， 故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，f (x )m ax ＝3l n 3. (2)要证f (x )－(x ＋1)2≤－3x －1，即证l n x －x ＋1≤0，令h (x )＝l n x －x ＋1 (x ＞0)，h ′(x )＝1x －1＝1－x x ，令h ′(x )＞0，即1－x ＞0，解得0＜x ＜1，令h ′(x )＜0，解得x ＞1，故h (x )在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，故h (x )m ax ＝ h (1)＝0，故h (x )≤0，问题得证．4．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝1x －al n x (a ∈R )．(1)若h (x )＝f (x )－2x ，当a ＝－3时，求h (x )的单调递减区间；(2)若函数f (x )有唯一的零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)h (x )的定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝－1x 2＋3x －2＝－2x 2－3x ＋1x 2＝－(2x －1)(x －1)x 2， 令h ′(x )<0，得h (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)． (2)问题等价于al n x ＝1x 有唯一的实根．显然a ≠0，则关于x 的方程xl n x ＝1a 有唯一的实根．构造函数φ(x )＝xl n x ，则φ′(x )＝1＋l n x .令φ′(x )＝1＋l n x ＝0，得x ＝e －1.当0<x <e －1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x >e －1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．所以φ(x )的极小值为φ(e －1)＝－e －1.如图，作出函数φ(x)的大致图象，则要使方程xl n x＝1a有唯一的实根，只需直线y＝1a与曲线y＝φ(x)有唯一的交点，则1 a ＝－e－1或1a>0，解得a＝－e或a>0.故实数a的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．5．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝ax2－e x(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与y轴垂直，求y＝f′(x)的最大值；(2)若对任意0≤x1＜x2都有f(x2)＋x2(2－2l n 2)＜f(x1)＋x1(2－2l n 2)，求a的取值范围．[解](1)由f′(x)＝2ax－e x，得，f(1)＝2a－e＝0⇒a＝e 2，令g(x)＝f′(x)＝e x－e x，则g′(x)＝e－e x，可知函数g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g′(x)m ax＝g′(1)＝0.(2)由题意得可知函数h(x)＝f(x)＋x(2－2l n 2)＝ax2＋x(2－l n 2)－e x在[0，＋∞)上单调递减，从而h′(x)＝2ax＋(2－2l n 2)－e x≤0在[0，＋∞)上恒成立，令F(x)＝2ax＋(2－2l n 2)－e x，则F′(x)＝2a－e x，当a≤12时，F′(x)≤0，所以函数F(x)在[0，＋∞)上单调递减，则F(x)m ax＝F(0)＝1－2l n 2＜0，当a＞1时，F′(x)＝2a－e x＝0，得x＝l n 2a，所以函数F(x)在[0，l n 2a)上单2调递增，在[l n 2a，＋∞)上单调递减，则F(x)m ax＝F(l n 2a)＝2al n 2a＋2－2l n 2－2a≤0，即2al n 2a－2a≤2l n 2－2，通过求函数y＝xl n x－x的导数可知它在[1，＋∞)上单调递增，故12<a≤1，综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．。

课后限时集训(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．已知a，b∈R，命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是( )A．若ab≠2，则a2＋b2≤4B．若ab＝2，则a2＋b2≤4C．若ab≠2，则a2＋b2＜4D．若ab＝2，则a2＋b2＜4C[因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是“若ab≠2，则a2＋b2＜4”，故选C.]2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0C[原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图像不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，”明显逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．]3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数C[“都是”的否定是“不都是”，故选C.]4．(2024·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“ln a＞ln b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满意a＞b，但ln b无意义，所以ln a＞ln b不成立，故充分性不成立．]5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3A [a ＞b ＋1⇒a ＞b ，但反之未必成立，故选A.]6．(2024·山师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b |b |成立的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件B [由a ＝2b 可知：a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立．故选B.]7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]D [∵x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题8．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________． k ∈(－1,3) [直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2＜2，解之得－1＜k ＜3.]9．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．]10．设p ：实数x 满意x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x满意⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若p是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． (1,2] [因为p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 但p /⇒q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，又B ＝(2,3]，当a ＞0时，A ＝(a,3a )；当a ＜0时，A ＝(3a ，a )，所以当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；当a ＜0时，明显A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．]B 组 实力提升1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]2．(2024·广东七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“随意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D [A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“随意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，故D 正确，故选D.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1得A ＝－B ，故选B.]4．(2024·山西五校联考)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.]。