【高中数学,四种命题及其关系】 高中数学命题及关系知识点

新高考高中数学知识点全总结一、集合与简易逻辑1. 集合定义：集合是由确定的对象所组成，这些对象称为集合的元素。

表示方法：列举法、描述法。

集合之间的关系：子集、真子集、相等。

集合的运算：并集、交集、补集。

2. 简易逻辑充分条件与必要条件。

四种命题及其关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。

逻辑联结词：且、或、非。

二、函数1. 函数的概念定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作y=f(x)，x∈A。

其中，x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域；与x的值对应的y值称为因变量，因变量的取值范围称为函数的值域。

2. 函数的性质单调性：函数在某一区间内，函数值随自变量增大而增大（或减少）的性质。

奇偶性：若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

3. 常见函数一次函数：f(x)=kx+b (k≠0)。

二次函数：f(x)=ax²+bx+c (a≠0)。

指数函数：f(x)=a^x (a>0, a≠1)。

对数函数：f(x)=logₐx (a>0, a≠1)。

幂函数：f(x)=x^α (α为实数)。

三、数列1. 数列的概念定义：按一定顺序排列的一列数称为数列。

通项公式：表示数列中每一项与项数之间关系的公式。

2. 等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

通项公式：aₙ=a₁+(n-1)d。

前n项和公式：Sₙ=n/2[2a₁+(n-1)d]。

3. 等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。

通项公式：aₙ=a₁q^(n-1)。

前n项和公式：Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。

四、三角函数1. 角度与弧度角度制：用度（°）、分（'）、秒（''）来表示角的大小的制度。

高中数学命题及其关系知识点1、命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。

)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题是否命题同真同骗人。

2、对映射的概念了解吗?映射f：a→b，是否注意到a中元素的任意性和b中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?(一对一，多对一，容许b中存有元素并无原象。

)3、函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)4、反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x;②交换x、y;③标明定义域)5、反函数的性质有哪些?①互为反函数的图象关于直线y=x等距;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;6、函数f(x)具备奇偶性的必要(非充份)条件就是什么?(f(x)定义域关于原点对称)高中数学复习计划要注意进度的安排，应该前紧后松，而不能前松后紧。

因为随着日期的推移，人的疲劳度越来越深，效率会有所下降，后面多留些时间，有利于随机应变，从容不迫，减少紧张，增强自信心。

在模拟考试之前，所有的系统复习应该全部结束;模拟考试之后所要做的，只是查补细小的漏洞，调整心情和体力，稳定状态，坚定信心。

绝对无法与老师的复习计划二者两张皮，自搞出一套。

负责管理初三教学的老师，通常都存有数年甚至数十年的教学经验，对如何指导同学们展开中考集训非常存有心得体会，这样的老师明确提出的复习计划，就是绝对无法忽略的。

你必须搞的就是，针对自己的特定情况予以调整。

假如某一部分科学知识就是你掌控得极好、平时考试没什么问题的内容，就足矣花掉些时间;若某一部分科学知识就是研习得不好、问题比较多的内容，就要多花掉些时间，在顺利完成了老师布置的内容之后再多看看多想要几遍，另外自己打听一些有关的参照题目搞，非把它学坚实不容。

在时间上，可以比老师的计划略快一步，无法比老师的计划快。

一定要把握好“量”，要给自己留有余地。

要好好考虑自己订的计划的可行性。

把几本书全背上几遍固然好，可是从体力、时间上来说根本不可能。

四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。

2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。

对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。

3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。

4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。

二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。

原命题为真时，逆命题不一定为真。

例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。

2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。

例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。

3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。

例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。

4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。

例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。

常用逻辑用语：命题及其关系要求层次重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的判定四种命题的相互关系B 充要条件C（一） 知识内容1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．定理：经过证明为真的命题．当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”．2．命题的四种形式：命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ； ⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ．否逆为互逆为互否互否互逆互否互逆如果非q ,则非p如果非p ,则非q如果 q,则 p如果 p,则 q3．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系：⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．例题精讲高考要求常用逻辑用语：命题及其关系板块一：命题的四种形式⑵互逆或互否的两个命题不等价．<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．（二）典例分析【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例5】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？【例6】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例7】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例8】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例9】 ⑴命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ ⑵有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【例10】 ⑴ “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；⑵（2007重庆）命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x - B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例11】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例12】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例13】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例14】 ⑴命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ）A ．p 真q 真B ． p 真q 假C ． p 假q 真D ． p 假q 假 ⑵设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换； ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【例16】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例20】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例21】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例22】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象．⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数． 其中真命题的序号是 ．【例23】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例24】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【例25】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例26】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例27】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例28】 已知三个不等式：000，，c dab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例29】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例30】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥ B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥ C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例31】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3。

高考数学四种命题及其相互关系知识点汇总数学课本中出现的四种命题的内容经常在高考选择题中考察，下面是店铺给大家带来的高考数学四种命题及其相互关系知识点汇总，希望对你有帮助。

高考数学四种命题及其相互关系知识点(一)1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，四种命题的形式是：(1)原命题：若p则q;(2)逆命题：若q则p;(3)否命题：若则;(4)逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的;3、四种命题的相互关系：注意：1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”高考数学四种命题及其相互关系知识点(二)【若则命题】命题的常见形式为“若p则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.【逆命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题(originalproposition)，另一个称为原命题的逆命题(inverseproposition).也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.【否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题(negativeproposition).也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”.【逆否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题(inverseandnegativeproposition).也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”.。

庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。

1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。

3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是() A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)不明确命题的条件与结论；(2)对充分必要条件判断错误；(3)含有大前提的命题的否命题易出错．1．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.【答案】 D(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件．解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ， 所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p ⇒q 且q ⇒p .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]． 所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．[注意] (1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2. 答案：(0，2]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎨⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.[基础题组练]1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选C.对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选 A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的______．解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[综合题组练]1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤12且y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a >3D ．a ≥3解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎨⎧a ≥1，a ≥3⇒a ≥3.故D 正确．4．下列命题中为真命题的序号是______．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p，则非q”，或“若⌝p，则⌝q”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p”，或“若⌝q，则⌝p”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原命题若p则q 互互互逆为逆否逆命题若q则p互否否命题互为逆否否逆否命题若⌝p则⌝q 四种命题之间的真值关系原命题真真假假逆命题真假真假互逆否命题真假真假若⌝q则⌝p逆否命题真真假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.要点五、反证法：1.反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾（3）判定假设错误，肯定结论正确.3.互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明. 原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.要点诠释：反证法是间接证明的重要方法之一.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) x > 1 ；(2)当 x = 0 时, x > 1 ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证： π 是无理数.【思路点拨】依据命题的定义判断。

命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是()A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是()A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P |x ＝k ＋12，k ∈Z|x ＝k2，k ∈Zx ∈P ，则x ∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝|x ＝k ＋12，k ∈Z＝|x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝|x ＝k2，k ∈Z 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例](1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析](1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由|x －12|＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“|x －12|＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，|x －12|≥12，即“x 3＜1”“|x －12|＜12”．所以“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q⇒非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[答案](1)B(2)A(3)A[提醒]判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cosθ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.可知非q⇒非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件，即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x ∈S的必要条件，则m的取值范围是________．[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.－m≤1＋m，－m≥－2，＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[答案][0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以{1－m＝－2，1＋m＝10，解得{m＝3，m＝9，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵非P是非S的必要不充分条件，∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且S P.∴[－2,10][1－m,1＋m]．－m≤－2，＋m>10－m<－2，＋m≥10.∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以BA .于是“x ≠y ”是“cosx ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。

高二数学命题及关系知识点归纳高二数学命题及关系知识点归纳无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。

下面是小编为大家整理的高二数学命题及关系知识点归纳，欢迎参考~一、知识梳理知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。

2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系.(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关.注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念(1)充分条件：pq 则p是q的充分条件即只要有条件p就能充分地保证结论q的`成立，p成立就足够了，即有它即可。

亦即要使q成立，有(2)必要条件：pq 则q是p的必要条件pqqp即没有q则没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)(3)充要条件pq且qp即pq则“p、q互为充要条件(既是充分又是必要条件)p”等 p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、“q当且仅当(补充)2、充要关系的类型(1)充分但不必要条件定义：若pq，但qp，p是q的充分但不必要条件; 则(2)必要但不充分条件定义：若 q则p，但pq， p是q的必要但不充分条件(3)充要条件定义：若 pq，且qp，即pq，p、q互为充要条件; 则(4)既不充分也不必要条件定义：若pp， q，且qp、q互为既不充分也不必要条件. 则3、判断充要条件的方法：①定义法;②集合法;③逆否法(等价转换法). 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件若条件p以集合A 的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断.(1)若AB，则p是q的充分但不必要条件(2)若BA，则p是q的必要但不充分条件B，则p是q的充要条件(4)若AB， B，且A则p是q的既不必要也不充分条件 (3)若A(补充)简记作----若A、B具有包含关系，则(1)小范围是大范围的充分但不必要条件 (2)大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析(一)四种命题及其相互关系例1.(1) 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是( )A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数例1.(2)下列命题中正确的是( )①“若a≠0，则ab≠0”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; ④“若x-3是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④例1.(3)(2014·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题;互为逆否命题的两个命题同真假.(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假.同时要关注“特例法”的应用.。

高中数学数学命题知识点总结一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。

也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

真命题：判断为真的语句叫做真命题。

假命题：判断为假的语句叫做假命题。

命题的否定：就是对命题的结论加以否定。

二、四种命题的概念：原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。

一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。

四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。

2、一般地，如果既有，又有，就记作。

此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。

3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。

2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。

3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。

典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。