高中数学选修2-1 命题及其关系 公开课教案

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）函数232y x x =-+有两个零点.二、讲授新课：（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（学生自练→个别回答→教师点评）2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页第2（2）题P10页第3（1）题。

高中数学北师大版选修2-1第一章《命题》优质课公开课教
案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
一、知识与技能
1.了解命题的概念;
2.通过简单的例子,让学生体会四种命题的构成形式;
3.能正确判断命题的真假,掌握四种命题的关系.
二、过程与方法
经历从具体数学数学实例中抽象出数学命题的过程,感受命题在数学学习中的重要性和广泛性.
三、情感态度与价值观
通过命题的学习过程,使学生了解命题的基本知识,认识命题的相互关系,提高思维的严谨性.
2学情分析
本节课将要在高二理科一班进行讲授,该班学生基础知识较好,课堂气氛活跃。

在长期教学中,学生已经具有了一定的自主学习能力和创新能力。

3重点难点
教学重点:
①命题的概念及表现形式
②四种命题及其关系
教学难点:
四种命题之间的相互关系
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1新设计
一.复习回顾
引入:初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题?。

1.1.命题-人教B版选修2-1教案1. 教学目标1.了解命题的概念及特点；2.学会使用真假命题、命题联结词等概念；3.能够将复杂的语句转化为命题；4.能够判断命题的真假。

2. 教学重点1.命题的概念及特点；2.真假命题、命题联结词等概念；3.将复杂语句转化为命题；4.命题的真假判断。

3. 教学难点1.较为复杂的命题联结符的使用；2.复杂语句的转化为命题；3.命题的判断。

4. 教学方法1.讲解法；2.示范法；3.练习法；4.分组讨论法。

5. 教学过程5.1. 导入新课通过几个小问题引入命题的概念，引起学生对本节课的兴趣。

5.2. 讲解命题首先给学生介绍命题的概念及特点。

并通过实例讲解命题的基本成分：命题主语和命题谓语，以及对命题的符号化表示。

5.3. 命题联结词接着，介绍命题联结词，包括合取、析取、蕴含和等价。

并给出实例，让学生了解命题联结词的使用方法。

5.4. 恒真命题与矛盾命题介绍恒真命题和矛盾命题的概念及特点，以及在实际生活中的应用。

并通过实例和练习让学生理解。

5.5. 判断复杂命题讲解如何将复杂的语句转化为命题，并演示如何通过真假命题和命题联结词，将复杂命题转化为简单命题。

并通过练习让学生掌握方法。

5.6. 命题的真假判断讲解如何通过真值表等方法判断命题的真假，并进行实例演练。

通过练习让学生掌握方法。

5.7. 总结课程对本节课内容进行总结，强调学生需要掌握的知识和技能。

6. 教学评估通过作业、小测验和课堂讨论等方式对学生的命题知识进行评估，检测学生的掌握程度和理解情况。

7. 拓展阅读为了加深学生对命题的理解和应用，可以为学生提供相关的阅读材料和实例分析，让学生进一步提高应用能力和分析能力。

8. 教学反思通过教学反思，总结本节课的优点和不足，为下节课的教学做好准备。

1.1 命题及其关系一、教学目标（一）学习目标1.了解命题的定义，理解命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．2.能判断命题的真假．（二）学习重点命题的概念、命题的构成．（三）学习难点分清命题的条件、结论和判断命题的真假．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题．（2）命题一般可以用表示，如．预习自测1．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2+2是有理数；(2)1+1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．【思路点拨】略【答案】(1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)等腰梯形的两条对角线相等；(2)平行四边形的两条对角线互相垂直．【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．根据等腰梯形的性质显然为真命题．(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．平行四边形两条对角线互相平分，只有为菱形时对角线才互相垂直，所以为假命题．【思路点拨】等腰梯形、平行四边形性质的理解．【答案】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．3．下列四个命题中，真命题是（）A．a＞b，c＞d⇒ac＞bd B．a＜b⇒a2＜b2C．11a b⇒a＞b D．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d【知识点】命题的真假．【数学思想】【解题过程】A．当a、b为正数，c、d为负数时不成立；B．当a、b中有一个为0时不成立；C．当a、b为负数时不成立；D．正确．【思路点拨】不等式的基本性质，常用举反例的方法．【答案】D．4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) ”的条件p：______________，结论q：______________．它是________命题（填“真”或“假”)．【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】条件“a>0”；结论“二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”．显然为真命题．【思路点拨】命题条件标志性词为“若”，结论标志性词为“则”．【答案】a>0；二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)；真．(二)课堂设计教学过程设计2．问题探究探究一分析语句，理解命题●活动①归纳提炼概念请同学们随意说一句完整的话，每个小组可以派一名同学说，如：(1)我是中国人．(2)我家住在北京．(3)你吃饭了吗？(4)两条直线平行，内错角相等．(5)画一个45°的角．(6)平角与周角一定不相等．找出哪些是判断某一件事情的句子？（抢答）学生答：(1)，(2)，(4)，(6)．教师给出命题的概念，并举例．命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析(3)，(5)为什么不是命题．教师分析以上命题中，紧抓两个关键点：一是“陈述句”，二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②概念辨析，巩固概念在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子，每组再选一个同学说．(不要让说过的再说)如：(1)对顶角相等．(2)等角的余角相等．(3)一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线一定是这个角的平分线．(4)如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．(5)当a＞0时，|a|=a．(6)小于直角的角一定是锐角．在学生举例的基础上，教师有意说出以下两个例子，并问这是不是命题．(7)a＞0，b＞0，a+b=0．(8)2与3的和是4．有些学生可能给予否定，这时教师再与学生共同回忆命题的定义，加以肯定，先不要给出假命题的概念，而是从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．【设计意图】通过概念辨析，加深对集合内涵与外延的理解，突破重点．●活动③分析命题的构成，改写命题的形式．例如：“两条直线平行，同位角相等．”这个命题由哪些部分构成的？分析此命题的构成．前一部分是后一部分成立的条件，后一部分是在前一部分条件下所得的结论．已知事项为“题设”，由已知推出的事项为“结论”．定义：从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．请同学们将下列命题写成写成“若p，则q”的形式．①对顶角相等．②两条直线平行，内错角相等．③等角的补角相等．以上三个命题的改写由学生进行，对②要更改为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．”提示学生注意：题设的条件要全面、准确．如果条件不止一个时，要一一列出．如：两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，可改写为：“如果两条直线相交，而且有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．”【设计意图】加深学生对命题形式的理解．探究二分析命题，理解真、假命题●活动①归纳提炼概念请同学们分析两个命题的不同之处．(1)若a＞0，b＞0，则a+b＞0．(2)若a＞0，b＞0，则a+b＜0．相同之处：都是命题．为什么？都是对a＞0，b＞0时，a+b的和的正负，做出判断，都有题设和结论．不同之处：(1)中的结论是正确的，(2)中的结论是错误的．教师及时指出：同学们发现了命题的两种情况．结论是正确的或结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题．假命题：如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题．注意：(1)真命题中的“一定成立”不能有一个例外；(2)假命题中“结论不成立”是指“不能保证结论总是正确”；(3)注意命题与假命题的区别，如：“延长直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(4)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真假命题，强调真假命题的大前提，首先是命题．【设计意图】让学生理解真假命题的概念．●活动②运用概念，判断真假命题．例1 请判断以下命题的真假．(1)若ab＞0，则a＞0，b＞0．(2)两条直线相交，只有一个交点．(3)如果n是整数，那么2n是偶数．(4)如果两个角不是对顶角，那么它们不相等．(5)直角是平角的一半．【知识点】命题的真假．【数学思想】【解题过程】(1)若ab＞0，则a<0，b<0也成立；(4)不是对顶角的两个角也可能相等，如同位角等．【思路点拨】举反例．【答案】(1)(4)都是假命题，(2)(3)(5)是真命题．总结：怎样辨别一个命题的真假．(1)实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．(2)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．(3)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．【设计意图】让学生运用真假命题的概念判断命题的真假，巩固概念．●活动③巩固基础，检查反馈例2 在空间，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【知识点】点线面位置关系、命题．【解题过程】A 中平行投影可能平行，A 为假命题．B 、C 中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D 为真命题．【思路点拨】通过点线面的知识和命题的概念判断．【答案】D ．同类训练 下列四个命题中，真命题是（ ）A ．a b >，c d >ac bd ⇒>B ．22a b a b <⇒< C. 11a b a b<⇒> D ．a b >，c d a c b d <⇒->- 【知识点】不等式的性质、命题．【数学思想】【解题过程】可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．【思路点拨】通过不等式的性质和命题的概念判断．【答案】D ．●活动④ 强化提升，灵活运用例3 命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p ：________，结论q ：_________.它是________命题(填“真”或“假”)．【知识点】不等式的性质、命题．【数学思想】【解题过程】a >0时，设a ＝1，把(0,0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域．∴命题为真命题．【思路点拨】通过不等式的性质和命题的概念判断．【答案】 a>0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真同类训练 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当14m >时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．【知识点】一元二次方程根的性质、点线面的位置关系、命题．【解题过程】根据命题的形式改写命题，根据一元二次方程根的性质、点线面的位置关系判断．【思路点拨】通过不等式的性质和命题的概念判断．【答案】(1)命题可改写为：若14m>，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当14m>时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．●活动④介绍一个不辨真伪的命题．“每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和”．(即著名的哥德巴赫猜想) 我们可以举出很多数字，说明这个结论是正确的，而且至今没有人举出一个反例，但也没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正确．我国著名的数学家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”．即已经证明了“1+2”，离“ 1+1”只差“一步之遥”．所以这个命题的真假还不能做最好的判定．【设计意图】让学生了解数学文化，激发学生的学习兴趣．3.课堂总结知识梳理1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题是由条件和结论两部分构成，均可写成“若p，则q”的形式．3．如果命题的条件通过推理可以得到命题的结论，这样的命题称为真命题；如果命题的条件通过推理不可以得到命题的结论，这样的命题称为假命题．重难点归纳1．命题与真、假命题的关系．2．抓住命题的两部分构成，判断一些语句是否为命题．3．命题中的题设条件，有两个或两个以上，写“如果”时应写全面．4．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，数学问题要经过证明．（三）课后作业基础型自主突破1．下列语句中命题的个数为（）①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1C．2 D．3【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．【思路点拨】理解命题的概念．【答案】C．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数（）A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关【知识点】命题真假的判断，指数函数．【数学思想】【解题过程】当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．【思路点拨】指数函数的单调性．【答案】B．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α【知识点】命题真假的判断，空间中点线面的位置关系．【数学思想】【解题过程】验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.【思路点拨】空间中点线面的位置关系．【答案】D．4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0. 其中是真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【知识点】命题真假的判断，不等式，一元二次方程，平面几何．【数学思想】【解题过程】①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.【思路点拨】常见命题真假的判断．【答案】B．5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是（）A．a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c【知识点】命题真假的判断，向量．【数学思想】【解题过程】A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c) ．【思路点拨】向量的运算性质．【答案】B．6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【知识点】命题的形式．【数学思想】【解题过程】该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．【思路点拨】命题的条件和结论．【答案】C．能力型师生共研7．给出下列四个命题：①若a>b>0，则1a>1b；②若a>b>0，则a－1a>b－1b；③若a>b>0，则2a＋ba＋2b>ab；④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则2a＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 【知识点】命题真假的判断，不等式．【数学思想】【解题过程】①在a>b>0两端同乘以1ab可得1b>1a，故①错；②由于1()aa-1()bb--＝(a－b)0)11(>+ab，故②正确；③由于2a＋ba＋2b－ab＝22(2)b ab a b-+<0，即2a＋ba＋2b<ab，故③错；④由2a＋1b＝)12(ba+·(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝13时取得等号，故④正确．【思路点拨】不等式的性质和比较大小的方法．【答案】②④．8．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定向量b和正数μ，总存在单位向量c，使a＝λb＋μc.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b、c和a在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【知识点】命题真假的判断，平面向量的基本定理．【数学思想】【解题过程】对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，取值法)4,4(=a ，2=μ，)0,1(=b 无论λ取何值，向量b λ都平行于x 轴，而向量c μ的纵坐标一定为4，故找不到这样一个单位向量c 使等式成立所以③错误；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．【思路点拨】熟悉平面向量基本定理的几何意义．【答案】B ．探究型 多维突破9．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．【知识点】命题真假的判断，函数的单调性和最值．【数学思想】【解题过程】由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．【思路点拨】函数单调性的判断和最值的求法．【答案】①④．10．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．【知识点】真假命题，不等式．【数学思想】【解题过程】由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎨⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4， 所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．【思路点拨】函数的定义域的判断和不等式的解法．【答案】(－∞，－1]∪[4，＋∞)．自助餐11．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是（ ）A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思 【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.【思路点拨】命题的概念．【答案】A ．12．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．【知识点】命题真假的判断，空间几何体．【数学思想】【解题过程】②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．【思路点拨】棱柱的概念．【答案】②④．13．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．【知识点】命题真假的判断，空间中点线面的位置关系．【数学思想】【解题过程】∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．【思路点拨】空间中直线与直线的位置关系．【答案】0．14．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c⊂α，则c∥β；③如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.其中真命题个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【知识点】命题真假的判断，空间中点线面的位置关系．【数学思想】【解题过程】①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c⊂α，∴c与β无公共点，∴c∥β，故②正确；由c∥γ，c⊂β，β∩γ＝m得c∥m，同理可得c∥n，∴m∥n，故③正确．【思路点拨】点线面的位置关系．【答案】C．15．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)余弦函数是周期函数吗？(3)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．【知识点】命题真假的判断．【数学思想】【解题过程】由命题的概念可知只有(1)是命题且为真命题．【思路点拨】命题的概念．【答案】(1)是命题，真命题．(2)、(3)不是命题．16．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．【知识点】命题的形式．【数学思想】【解题过程】分清命题的条件和结论．【思路点拨】命题的形式改写．【答案】(1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．。

织金二中高二年级数学组集体备课教案执笔人：李武松 田海斌参加人：陈元凤 方健 吕招贵 周越 余平 李承华 朱枝涛 程佳 班银 教学内容：选修2-1 第一章 常用逻辑用语 课时安排：8课时 课时内容：1.1命题及其关系 第1课时 1.1.1 命题一、教学目标1、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p ，则q ”的形式；2、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假三、教学过程<一>复习引入 1．回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线b a //，则直线a 与直线b 没有公共点 ． （2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）若12=x ,则1=x ．（5）两个全等三角形的面积相等． （6）3能被2整除． 3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

<二>探讨新知4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．例题解析（P例1）2判断下列语句是否为命题？（解略）（1）空集是任何集合的子集．（2）若整数a是素数，则是a奇数．（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（5）2)2(-＝-2．（6）15x．>让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。

1.1充分条件与必要条件【知识要点】1、命题的定义与结构（1）定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（2）命题的结构：具有“若p ，则q ”这种形式的命题是常见的。

我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

2. 四种命题（1）互逆命题：a. 定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫原命题，另一个叫原命题的逆命题。

b. 形式：如果原命题为“若p ，则q ”，那么逆命题为“若q ，则p ”（2）互否命题：a. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫互否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

b. 形式：如果原命题为“若p,则q ”，那么它的否命题为“若,p q ⌝⌝则。

（3）互为逆否命题：a. 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。

b. 形式：如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“q,p ⌝⌝则”（注意：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价） 3、 充分条件和必要条件的定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p q ⇒，即p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

4、 充要条件：一般地，如果既有p q ⇒，且q p ⇒，那么就记作：p q ⇔5、 从逻辑推理关系上看：① 若,q >p p q ⇒≠，则p 是q 的充分而不必要条件；② 若,p >q q p ⇒≠，则p 是q 的必要而不充分条件；③ 若,q p q p ⇒⇒，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）；④ 若>,q >p q p ≠≠，则p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件。

=，则
B B
不能被2整除；
结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。

一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，
例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；
它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.
2.否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
例如⑶同位角不相等，两直线不平行；
⑷两直线不平行，同位角不相等.
3. 原命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶为否命题；命题⑷为逆否命题.
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：
⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.
4.四种命题的形式
一般到，我们用p和q分别表示原
命题的条件和结论，用┐p和┐q分别
表示p和q的否定，于是四种命题的形
式就是：
原命题：若p则q；。

新课标人教Ａ版高中数学选修2-1教案第一章常用逻辑用语1、1命题及其关系１.1.１命题(一)教学目标1、知识与技能:理解命题得概念与命题得构成,能判断给定陈述句就是否为命题,能判断命题得真假；能把命题改写成“若p,则q”得形式;２、过程与方法：多让学生举命题得例子,培养她们得辨析能力；以及培养她们得分析问题与解决问题得能力;3、情感、态度与价值观：通过学生得参与,激发学生学习数学得兴趣。

（二）教学重点与难点重点:命题得概念、命题得构成难点:分清命题得条件、结论与判断命题得真假教具准备：与教材内容相关得资料。

教学设想：通过学生得参与，激发学生学习数学得兴趣。

(三)教学过程学生探究过程:１.复习回顾初中已学过命题得知识,请同学们回顾:什么叫做命题?２.思考、分析下列语句得表述形式有什么特点？您能判断她们得真假吗？(1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点．(2）2+4＝7.(3）垂直于同一条直线得两个平面平行.(４)若x2＝1,则ｘ=1.(５)两个全等三角形得面积相等．(６)3能被２整除.3.讨论、判断学生通过讨论,总结：所有句子得表述都就是陈述句得形式,每句话都判断什么事情。

其中(1）(3)（5)得判断为真,(２）(４)（6)得判断为假。

教师得引导分析:所谓判断,就就是肯定一个事物就是什么或不就是什么,不能含混不清。

４．抽象、归纳定义：一般地,我们把用语言、符号或式子表达得，可以判断真假得陈述句叫做命题．命题得定义得要点:能判断真假得陈述句．在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题得例子. 教师再与学生共同从命题得定义，判断学生所举例子就是否就是命题,从“判断”得角度来加深对命题这一概念得理解. 5．练习、深化判断下列语句就是否为命题？(1)空集就是任何集合得子集. （２)若整数a就是素数，则就是a奇数.（３)指数函数就是增函数吗? (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行．(5）=-2. (6)ｘ＞１5．让学生思考、辨析、讨论解决,且通过练习,引导学生总结：判断一个语句就是不就是命题,关键瞧两点:第一就是“陈述句”,第二就是“可以判断真假”,这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、感叹句均不就是命题.解略。

第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系第1课时 命 题一、基本概念1．命题的定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题．2．命题的分类：判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题．3．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．题型一、命题概念的理解例1、判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证：3是无理数；(2)x 2＋4x ＋4≥0，x ∈R ；(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．[解析] (1)祈使句，不是命题．(2)x2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，它包括x2＋4x ＋4>0，或x2＋4x ＋4＝0，对于x ∈R ，可以判断真假，它是命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．题型二、命题真假的判断例2、给出以下命题：①f (x )＝tan x 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk (k ∈Z )对称；②f (x )＝－cos(k π＋x )(k ∈Z )是偶函数； ③f (x )＝cos|x |是最小正周期为π的周期函数；④y ＝3|sin x |＋4|cos x |的最大值为5；⑤y ＝sin 2x －cos x 的最小值为－1.其中所有真命题的序号是__________________[答案] ①②④⑤．题型三、命题的结构例3、把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．[解析] (1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数．这个命题是真命题．(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．这个命题是假命题．(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．这个命题是真命题．例4、判断下列命题的真假：(1)如果a >b ，那么1a <1b；(2)x ＝1是方程x 2－3x ＋2＝0的根． 解、(1)假命题．当ab >0时，如果a >b ，那么1a <1b ；当ab <0时，如果a >b ，那么1a >1b；当a ＝0或b ＝0时，1a 或1b无意义． (2)真命题．x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，故x ＝1是方程x 2－3x ＋2＝0的根．课堂练习1．下列语句中，是命题的是( )A ．3比5大B ．太阳和月亮C ．高年级的学生D ．022=+y x[答案] A[解析] 3比5大是一个假命题．B 、C 、D 都不能判断真假．2．下列命题为真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] B 中，若x 2＝1，则x ＝±1；C 中，若x ＝y <0，则x 与y 无意义；D 中，若x ＝－2，y ＝－1，满足x <y ，但x 2>y 2，故选A.3．)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题是( )A ．若方程02=-+m x x 有实根，则m ＞0B ．若方程02=-+m x x 有实根，则m ≤0C ．若方程02=-+m x x 没有实根，则m ＞0D ．若方程02=-+m x x 没有实根，则m ≤0[答案] D课后作业一、选择题1．下列语句中命题的个数为( )①{0}∈N ；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a >1，则函数f (x )＝a x 是增函数( )A ．不是命题B ．是真命题C ．是假命题D ．是命题，但真假与x 的取值有关[答案] B[解析] 当a >1时，指数函数f (x )＝a x 是增函数，故“若a >1，则函数f (x )＝a x 是增函数”是真命题．3．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ [答案] B[解析] ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.4．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．5．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题6．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b ；②若a >b >0，则a －1a >b －1b ；③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b；④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④7．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是______________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题8．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4， 所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第2课时 四种命题及其相互关系一、基本概念1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为“若q，则p”．2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题．若原命题为“若p，则q”，则其否命题为“若¬p，则¬q”．3．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题．若原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若¬q，则¬p”．4．四种命题的相互关系5．(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真．(2)原命题为真，它的否命题不一定为真．(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，它们同真同假题型一、四种命题的概念例1、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)若a>b，则ac2>bc2.[解析](1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0；逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数；否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0；逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数；(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0；逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0；逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若a>b，则ac2>bc2；逆命题：若ac2>bc2，则a>b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a ≤b.题型二、四种命题真假的判断例2、判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图象与x 轴有交点．[解析] (1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(2)该命题为假．逆命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 中b2－4ac ≥0，函数图象与x 轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴无公共点，则b2－4ac ≥0，为假． 题型三、四种命题间的相互关系例3、若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A ．互逆命题B ．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确[答案] A例4、有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a>b ，则22b a >”的逆否命题；③“若x ≤－3，则062>-+x x ”的否命题；④“若ab 是无理数，则a ，b 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B题型四、正难则反，等价转化思想例5、证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[解析] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若a ＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”证明如下：若a ＋b<0，则a<－b ，b<－a ，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．课堂练习1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4[答案] C2．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝4，则x ＝2”的否命题是真命题B ．命题“若a ＋3是有理数，则a 是无理数”的逆命题是真命题C ．命题“若x >a 2＋b 2，则x >2ab ”为假命题D ．命题“若x ＝y ，则tan x ＝tan y ”的逆否命题是假命题[答案] A课后作业一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A ．若x 2≠1，则x ＝1B ．若x 2＝1，则x ≠1C ．若x 2≠1，则x ≠1D ．若x ≠1，则x 2≠1[答案] C[解析] “若p 则q ”的否命题形式为“若¬p 则¬q ”．3．“a 2＋b 2≠0”的含义是( )A ．a 、b 不全为0B ．a 、b 全不为0C ．a 、b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0[答案] A[解析] 若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0，或a ＝0且b ≠0，或a ≠0且b ＝0，即a 、b 不全为0，故选A.4．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12 a <log 12 b ＋1”，则命题p 及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析]对于命题p，当a>b>0时，有log12a<log12b，则必有log12a<log12b＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log12a<log12b＋1时，得log12a<log12b2，即a>b2>0，此时不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C.5．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案] D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题6．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．7．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题8．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．9．已知a、b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析]逆命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1<1<x2，则a＋b＋1<0.否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2.逆否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2，则a＋b＋1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题．第二节充分条件与必要条件一、基本概念1．如果命题“若p，则q”为真，则记为p⇒q，“若p则q”为假，记为p⇒/q.2．如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，则p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.4．如果p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．5．如果p ⇒q 且q ⇒/ p ，则称p 是q 的充分不必要条件．6．如果p ⇒/ q 且q ⇒p ，则称p 是q 的必要不充分条件．题型一、充分条件例1、已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是_________．[答案] (－∞，－8]题型二、必要条件例2、下列命题中是真命题的是( )①“x >3”是“x >4”的必要条件；②“x ＝1”是“x 2＝1”的必要条件；③“a ＝0”是“ab ＝0”的必要条件；④“函数f (x )的定义域关于坐标原点对称”是“函数f (x )为奇函数”的必要条件．A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④[答案] D题型三、充要条件例3、(2015·齐齐哈尔中学高二期中测试)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )A.14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >1 [答案] B题型四、充要条件的证明例4、求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[解析] ∵关于x 的方程ax2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax2＋bx ＋c ＝0.∴a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax2＋bx ＋c ＝0中可得ax2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b)＝0. 因此，方程有一个根为x ＝1.故关于x 的方程ax2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.例5、a 、b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解 B课堂练习1．设a 、b ∈R ，则“a ＋b>2”是“a>1且b>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B2．设A 、B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l1：ax ＋2y －1＝0与直线l2：x ＋(a ＋1)y ＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A4．若“x<a ”是“2x －2x －3≥0”的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________________． [答案] a ≤－1 课后作业 一、选择题1．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若x ＝4，则a ＝(4,3)， ∴|a |＝42＋32＝5， 若|a |＝5，则x 2＋32＝5，∴x ＝±4，故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件． 2．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由q ：2x >20，解得x >0，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.3．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由log 12(x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分不必要条件，故选B.4．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，φ可以取其他值．选A.5．已知向量a ＝(x －1,2)、b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0[答案] D[解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算． ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2＝2x ＝0，即x ＝0.6．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，若B ＝60°，则A ＋C ＝180°－60°＝120°，∴A ＋C ＝2B ，∴△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列．若△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，则A ＋C ＝2B ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°.故选B. 二、填空题7．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是__________________．[答案] m ＝－4或0[解析] 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于 2⇔|1＋1＋m |2＝2⇔|m ＋2|＝2⇔m ＝－4或0. 8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的__________________条件．[答案] 充分不必要[解析] 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列， 但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1. 三、解答题9．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围．[解析] p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ m >03－m ≤－13＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <03＋m ≤－13－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.第2课时 充要条件习题课题型一、充要条件的判断例1、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2013∈[3]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的序号是__________________． [答案] ①③④题型二、集合关系与充要条件例2、设p 、q 是两个命题，p ：|x |－3>0，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A题型三、利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围例3、 设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] ∵|4x －3|≤1，∴12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≤0，得(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，∴a ≤x ≤a ＋1，即q ：a ≤x ≤a ＋1.∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q ⇒/ p . ∴{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1a ≤12，解得0≤a ≤12.所以a 的取值范围是0≤a ≤12.题型四、图示法解决条件的传递问题例4、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要而不是充分条件； ④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是( )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[解析] 由题意p ⇒r ，r ⇒/ p ，q ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，易知s ⇔q ，∴①正确；又p ⇒r ⇔q ，r ⇒/ p ，∴②正确； ①②正确，排除答案A 、C 、D ，故选B.例5、 已知方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m 的取值范围． [正解] 由于方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0(x 1－2)＋(x 2－2)>0(x 1－2)(x 2－2)>0，结合⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(m ＋2)x 1x 2＝m 2－1，解得m >5. 所以m 的取值范围为(5，＋∞)．课堂练习1．设a 、b 是实数，则“a ＋b>0”是“ab>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D2．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0，得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，设A ＝{x |x >12}，B ＝{x |x <－1或x >12}，∵A B ，∴选A.3．“a <1”是“1a>1”的( )条件．( )A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充分必要D ．既不充分也不必要[答案] A 课后作业 一、选择题1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |2＝3得，m ＝3或－33，故选A.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“lg x >lg y ”是“x <y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] lg x >lg y ⇒x >y >0⇒x >y ；而x ＝2，y ＝0时，x >y ⇒/ lg x >lg y ，故“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 6．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真． 二、填空题7．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．8．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b ≥4.三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．10．已知p ：x ＋210－x ≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由x ＋210－x ≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.1.3简单的逻辑联结词第1课时“且”与“或”一、基本概念1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作p且q.2．关于逻辑联结词“且”(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须同时成立．(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2都闭合时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．(3)从集合角度理解“且”即集合运算“交”．设命题p：x∈A，命题q：x∈B，则p∧q⇔x∈A，且x∈B⇔x∈(A∩B)．(4)“p∧q”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是真命题．3．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作p或q.4．关于逻辑联结词“或”(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有一个成立即可．(2)从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2都断开时，灯才不会亮．(3)从集合角度理解“或”即集合运算“并”．设命题p：x∈A，命题q：x∈B，则p∨q⇔x∈A，或x∈B⇔x∈(A∪B)．(4)当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．题型一、命题的构成形式例1、分别指出下列命题的构成形式．(1)小李是老师，小赵也是老师；(2)1是合数或质数；(3)他是运动员兼教练员；(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误．[解析](1)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．(2)这个命题是“p或q”的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．(3)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．(4)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．题型二、判断含有逻辑联结词的命题的真假例2、分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题的真假．(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：2是奇数，q：2是合数；(3)p：4≥4，q：23不是偶数；(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2<x<5}，q：点(1,2)不在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上．[解析](1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题．(2)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∨q 是假命题，p ∧q 是假命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是真命题． (4)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 题型三、求解含逻辑联结词命题中的参数例3、已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． [解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1；函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m<1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m<2，此时1≤m<2， 因此1≤m<2.例4、已知命题p ：关于x 的不等式2x ＋(a －1)x ＋1≤0的解集为∅；命题q ：函数f(x)＝2ax＋ax ＋1没有零点，若命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围． [解析] 对于命题p ：∵x2＋(a －1)x ＋1≤0的解集为空集，∴Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a<3.故p 真：－1<a<3，p 假：a ≤－1或a ≥3.对于命题q ：f(x)＝ax2＋ax ＋1没有零点，等价于方程ax2＋ax ＋1＝0没有实数根， ①当a ＝0时，方程无实根符合题意．②当a ≠0时，Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4， ∴0≤a<4.故q 真：0≤a<4，q 假：a<0或a ≥4.由命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题可知，命题p 与命题q 有且只有一个为真． 若p 真q 假，则－1<a<0；若p 假q 真，则3≤a<4. 综上可知，实数a 的取值范围是(－1,0)∪[3,4)．例5、已知a >0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式：x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围． [正解] 由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，∴p ：0<a <1.不等式：x ＋|x －2a |>1的解集为R ，即y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又因为x ＋|x －2a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a (x ≥2a )2a (x <2a )， ∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ， 故要使解集为R ，只需2a >1，∴a >12，∴q ：a >12.由已知p 和q 有且只有一个为真．若p 真q 假，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a ≤12，∴0<a ≤12， 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1a >12，∴a >1，∴0<a ≤12或a >1.课堂练习1．“xy ≠0”是指( )A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x ，y 至少一个不为0D ．不都是0[答案] A2．p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在曲线y ＝－2x 上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C3．已知c>0且c ≠1，设命题p ：指数函数y ＝(2c －1)x 是R 上的增函数；命题q ：不等式x ＋()22c x ->2的解集为R ，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数c 的取值范围．[解析] p 真：2c －1>1，∴c >1.p 假：0<c <1.q 真：不等式x ＋(x －2c )2>2可化为x 2＋(1－4c )x ＋4c 2－2>0， 即不等式x 2＋(1－4c )x ＋4c 2－2>0的解集为R ， ∴Δ＝(1－4c )2－4(4c 2－2)<0，∴c >98.∴q 假：0<c <1或1<c ≤98.∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，1<c ≤98，当p 假q 真时，∅，综上可知，实数c 的取值范围是1<c ≤98.课后作业 一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x 2>x ；③△ABC 的两角之和；④毕业班的学生． 其中不是命题的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[答案] D[解析] 对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．2．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是( ) A ．p 假q 假 B ．“p 或q ”为真 C ．“p 且q ”为真 D ．p 假q 真[答案] B[解析] ∵{x |(x ＋2)(x －3)<0}＝{x |－2<x <3}， ∴1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 假．故“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故选B.3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3。

1.1命题及其关系单元课时分配: 1. 第一课 命题1个课时2. 第二课 四种命题 1个课时3. 第三课 四种命题间的相互关系 1个课时1.1.1命题：本节以命题为主题，通过本学习，引导学生明白命题的概念，会判断一个命题的真假。

学前准备：多媒体，预习例题学习目标：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若，则”的形式。

教学重点：命题的改写 教学难点：命题概念的理解。

p q1.1.2四种命题【教学目标】1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假；2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重难点】重点：理解四种命题的关系难点：逆否命题的等价性【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学分析】学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)。

由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。

然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识。

这一大节的重点是充要条件。

学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的。

反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法1．1 .3 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。