(人教版)高中数学选修1-1(检测)：1.1 命题及其关系

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（3）对数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；
（5）两个全等三角形的面积相等；
（6）215x <
分析：判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

解：(3)、(6)不是明题，（1）、（5）是真命题，（2）、（4）是假命题。

例2：将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式.
（1）两条直线相交有且只有一个交点；
（2）对顶角相等；
（3）全等的两个三角形面积也相等.
例3：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）正弦函数是周期函数；
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
习题：1、将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式.
（1）等腰三角形两腰的中线相等。

（2）偶函数的图像关于y 轴对称。

（3）垂直于同一平面的两个平面平行。

2、写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.
（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；
（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；
（5）相切两圆的连心线经过切点。

判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)一条直线l，不是与平面α平行就是相交；
(2)4是集合{1,2,3,4}的元素；
(3)作△ABC∽△A′B′C′； (4)2010年亚运会举办城市是中国广州； (5)1是质数吗？ 分析：判断一个语句是不是命题，就是看它是否 符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．
常用逻辑用语
1 ．1
命题及其关系 命 题
1.1.1
1．命题的定义
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可 以________的陈述句叫做命题．其中 ________________叫做真命题，________________叫 做假命题． 思考：如何判断一个语句是不是命题？ 答案：判断一个语句是不是命题，就是要看 它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。 2．命题的结构 本章中我们只讨论“若p，则q”这种形式的命 题．我们把这种形式的命题中的p叫做命题的________， 把q叫做命题的________． 1．判断真假 判断为真的语句 判断为假的语句
把下列命题改写成“若p，则q”的形式： (1)末位是0的整数，可以被5整除； (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等； (3)有一个角为直角的平行四边形为矩形； (4)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切 线．
解析：(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整 除； (2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条 线段两个端点的距离相等； (3)若平行四边形的一个角为直角，则它是矩形； (4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不 是圆的切线．
基础训练
1．下列语句中，是命题的个数是( C ) ①求证： 3是无理数；②－5∈Z； ③ 5是无理数；④x2－4x＋7≥0. A．1 B．2 C．3 D．4

第一章
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
三维目标
1．知识与技能 (1)了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念． (2)掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 2．过程与方法 多让学生举例，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能 力；培养学生的抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析 问题和解决问题的能力．
备课素材
对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则 |a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都 把它作为大前提． 在写一个命题的否命题时要将命题中的关键词语改写成否定词语，特别地，“且” 的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”等．
备课素材
[例]写出下列命题的逆命题、否 命题和逆否命题． (1)若 a＋ 5是有理数，则 a 是无 理数； (2)若 ab＝0，则 a，b 中至少有 一个为零； (3)垂直于同一平面的两条直线 平行．
解： (1)逆命题：若 a 是无理数，则 a＋ 5是 有理数； 否命题：若 a＋ 5不是有理数，则 a 不是无 理数； 逆否命题：若 a 不是无理数，则 a＋ 5不是 有理数．
新课导入
[导入一] 情景引入 在商品大战中，广告成了电视节目中一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 谙这样的命题变换艺术，如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效 果相当大．哪个家庭不希望幸福呢，掏钱买一盒就得了．你能写出其广告词的一 个等价命题吗？

原命题：若P，则q. 逆命题：若q, 则p. 否命题：若┐P ，则┐q。 逆否命题：若┐q ，则┐P 。
例1 把下列命题改写成“若P则 q”的形式，并写出它们的逆命 题、否命题与逆否命题：
（1） 负数的平方是正数； （2） 正方形的四条边相等，
（1）负数的平方是正数。 解：原命题可以写成：若一个数是负 数，则它的平方是正数。 逆命题：若一个数的平方是正数，则 它是负数。
原命题 若p则q
互 否
否命题 若┐p则┐q
互
逆命题
逆
若q则p
互 否
互
逆否命题
逆
若┐q则┐p
写出下列命题的逆命题，并判断它们 的真假：
（1）若X＜Y，则Y＞X
（2）若a=0,则ab=0
（1）逆命题：若Y＞X,则X＜Y 真命题
（2）逆命题:若ab=0,则a=0
假命题
原命题为真，逆命题不一定为真
写出下列命题的否命题，并判断 它们的真假： （1）若X＜Y，则Y＞X （2）若a=0,则ab=0
原命题为真，逆否否命 题的真假有什么关系呢？
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有 下面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
真
假
“若p, 则q” 的形式 也可写成 “如果p,那么q” 的形式 也可写成 “只要p,就有q” 的形式
记作: p q
例2 指出下列命题中的条件p和结论q; (1)若整数a能被2整除,则a是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.
解：（1）条件p : 整数a能被2整除， 结论q ：a是偶数.

第一章第节命题及其关系本节教材分析（一）三维目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若，则”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（）教学重点：命题的概念、命题的构成（）教学难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（）教学建议：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（一）三维目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（）教学重点：（）会写四种命题并会判断命题的真假；（）四种命题之间的相互关系．（）教学难点：（）命题的否定与否命题的区别；（）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．（）教学建议：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力新课导入设计学生探究过程：１．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？导入二一、创设情境在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题。

无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理。

因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质。

本章我们将从命题及其关系入手，学习四种命题的相互关系、充分条件和必要条件，学习逻辑用语，了解数理逻辑的有关知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁。

►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何判断一个语句是不是命题？答案：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．2．命题的结构．本章中我们只讨论“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，因为无法判断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能判断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R 3．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题．4．(2013·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2013·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．a ·a ＝|a |27．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p ：________________________________________________________________________；结论q ：________________________________________________________________________；是________命题(填“真”或“假”)．解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题． 答案：一个整数的末位数是0或5 这个数能被5整除 真8．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0.答案：[－3，0]9．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④10．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足条件：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝－1对称；③f (0)≤f (1)；④f (2)＝f (0)；⑤f (x )在[1，2]上是减函数．其中正确的命题序号是________． 答案：①②④11．将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解析：当p 为真命题时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1·x 2＝1＞0，∴m ＞2.当q 为真命题时， Δ＝42(m －2)2－16＜0， ∴1＜m ＜3.若p 、q 一真一假，则， p 真q 假或p 假q 真， ①若p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， ∴m ≥3. ②若p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， ∴1＜m ≤2.综上m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．13．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解析：因为A ∩B ＝∅是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2都非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32在全集U 中的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．►体验高考1．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，是真命题的是(D ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④解析：①中没有强调这两条直线是相交的. ③中这两条直线也可以相交或是异面． 2．设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中真命题有____________(写出所有真命题的序号)． 答案：①④。

1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 地取值范围. 答案：312a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，剠．第2题. 若a b c ∈R ，，，写出命题“200ac ax bx c <++=若则，”有两个相异实根地逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们地真假.答案：逆命题 ：()200axbx c a b c ac ++=∈<R 有实根，则若，，，假； 否命题：200ac axbx c ++=若则，…（a b c ∈R ，，）没有实数根，假； 逆否命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根，则，，…，真． 第3题. 在命题22a b a b >>若则“，”地逆命题、否命题、逆否命题中，假命题地个数为 .答案：3．第4题. 用反证法证明命题“三角形地内角中至少有一个钝角”时反设是 .答案：假设三角形地内角中没有钝角．第5题. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”地逆否命题是 .答案：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠．第6题. 命题“若a b ，>则55a b -->”地逆否命题是( )(A)若a b ，<则55a b --< (B)若55a b --，>则a b >(C) 若a b ，…则55a b --… (D)若55a b --，…则a b …答案：Ｄ第7题. 命题“两条对角线相等地四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等地四边形”地( ) (A)逆命题(B)否命题(C)逆否命题(D)无关命题答案：Ａ第8题. 命题“若60∠=o，则ABCA△是等边三角形”地否命题是( )(A)假命题(B)与原命题同真同假(C)与原命题地逆否命题同真同假(D)与原命题地逆命题同真同假答案：Ｄ第9题. 用反证法证明命题“23假设正确地是（）(A)假设2是有理数(B)假设3是有理数(C)假设23是有理或是有理数 (D)假设23数答案：Ｄ第10题. 命题“对顶角相等”地逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( )(A)上述四个命题(B)原命题与逆命题(C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案：Ｃ第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确地是( )(A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题(C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案：Ｃ第12题. 命题“若a A b B ∈∈则，”地否定形式是( )(A)a A b B ∉∉若则， (B)a A b B ∈∉若则，(C)a A b B ∈∈若则， (D)b A a B ∉∉若则，答案：Ｂ第13题. 与命题“能被6整除地整数，一定能被3整除”等价地命题是( )(A)能被3整除地整数，一定能被6整除(B)不能被3整除地整数，一定不能被6整除(C)不能被6整除地整数，一定不能被3整除(D)不能被6整除地整数，不一定能被3整除答案：Ｂ第14题. 下列说法中，不正确地是( )(A)“若p q则”与“若q p则”是互逆地命题(B)“若非p q则非“与“若q p则”是互否地命题(C)“若非p q则非”与“若p q则”是互否地命题(D)“若非p q则非”与“若q p则”是互为逆否地命题答案：Ｂ第15题. 以下说法错误地是( )(A) 如果一个命题地逆命题为真命题，那么它地否命题也必为真命题(B)如果一个命题地否命题为假命题，那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题地个数一定为偶数(D)一个命题地逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案：Ｂ第16题. 下列四个命题:⑴“若220+=，则实数x y，均为0”地逆命题；x y⑵“相似三角形地面积相等“地否命题 ;⑶“A B A A B，”逆否命题;I则=⊆⑷“末位数不是0地数可被3整除”地逆否命题，其中真命题为( )(A) ⑴⑵ (B)⑵⑶ (C)⑴⑶ (D)⑶⑷答案：Ｃ第17题. 命题“a b，都是偶数，则a b+是偶数”地逆否命题是．答案：a b+不是偶数则a b，不都是偶数．第18题. 已知命题:33p…；:34q>，则下列选项中正确地是（）A．p或q为真，p且q为真，非p为假；B．p或q为真，p且q为假，非p为真；C．p或q为假，p且q为假，非p为假；D．p或q为真，p且q为假，非p为假答案：Ｄ第19题. 下列句子或式子是命题地有（）个．①语文和数学；②2340--=；③320x xx->；④垂直于同一条直线地两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．Ａ．1个Ｂ．3个Ｃ．5个Ｄ．2个答案：Ａ第20题. 命题①12是4和3地公倍数；命题②相似三角形地对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长地一半；命题④等腰三角形地底角相等．上述4个命题中，是简单命题地只有（）．Ａ．①，②，④Ｂ．①，④Ｃ．②，④Ｄ．④答案：Ａ第21题. 若命题p是地逆命题是q，命题q地否命题是r，则q是r地（）Ａ．逆命题Ｂ．逆否命题Ｃ．否命题Ｄ．以上判断都不对答案：Ｂ第22题. 如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么q为命题．答案：真第23题. 下列命题：①“若1xy=，则x，y互为倒数”地逆命题；②4边相等地四边形是正方形地否命题；③“梯形不是平行四边形”地逆否命题；④“22>则ac bc>”地逆命题，其中真命题是．a b答案：①，②，③第24题. 命题“若0b=”地逆否命题ad=，则0a=或0是，是命题．答案：若0ab≠，真b≠，则0a≠且0第25题. 已知命题:p N ZÜ，:{0}q∈N，由命题p，q构成地复合命题“p或q”是，是命题；“p且q”是，是命题；“非p”是，是命题．答案：p或q：N ZÜ或{0}∈N，为真；p且q:N ZÜ且{0}∈N，为假；非:p N ZÚ或=N Z，为假．第26题. 指出下列复合命题构成地形式及构成它地简单命题，并判断复合命题地真假．（1）23≤；（2）()UÚ；（3）1是质数或合数；（4）A A B菱形对角线互相垂直平分．答案：（1）这个命题是“p或q”形式，p：23<，q：=．23Q真q假，p∴或q为真命题．p（2）这个命题是“非p”形式，:()⊆U，p A A BQ为真，∴非p是假命题．p（3）这个命题形式是p或q地形式，其中:1p是命数，q是质数．:1因为p假q假，所以“p或q”为假命题．（4）这个命题是“p且q”形式，:p菱形对角线互相垂直；:q菱形对角线互相平分．因为p真q真，所以“p且q”为真命题．第题如果p，q是2个简单命题，试列出下列9个命题地直值表：（1）非p；（2）非q ；（3）p 或q ；（4）p 且q ；（5）“p 或q ”地否定；（6）“p 且q ”地否定；（7）“非p 或非q ”；（8）“非p 且非q ”；（9）“非‘非p ’”． 答案：第28题. 设命题为“若0m >，则关于x 地方程2xx m +-=有实数根”，试写出它地否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们地真假．答案：否命题为“若0m >，则关于x 地方程2x x m +-=没有实数根”；逆命题为“若关于x 地方程2xx m +-=有实数根，则m >” ；逆否命题“若关于x 地方程2xx m +-=没有实数根，则m ≤”．由方程地判别式14m =+V 得0>V ，即14m >-，方程有实根． 0m ∴>使140m +>，方程2xx m +-=有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程2xx m +-=有实根，必须14m >-，不能推出0m >，故逆命题为假．。

有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但 可以改写成“若p,则q”的形式,例如:
垂直于同一条直线的两个平面平行. 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.
2020/6/30
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例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断 真假; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等; (4)等腰三角形两腰的中线相等; (5)偶函数的图像关于y轴对称; (6)垂直于同一个平面的两个平面平行.
假命题
(3)指数函数是增函数吗？
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; 假命题
(5) 22 2 ;
真命题
(6)x>15.
判断 一个语句是不是命题，关键判断：（1）是否为陈
述句；（2）能否判断真假。
2020/6/30
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例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是 假命题？ (1)空集是任何集合的子集;
2020命那那/6另那另/3题么么0一么一命如,它如它另命如命个它个题果的果的一题果题叫的叫(原逆原否个1(原(做逆做11)命否和命命叫))命原命原和和题命(题题做题命题命4((23)为题为为原叫))为题 为 题叫叫为命做的的做做该题互资逆否互互料““的为“命命“由““逆否7若若逆逆若题题若6若若命命47p┓否否p..2┓pq,题题3,则0q命,,则命7p则则9..,,q其其则友题q则题qp”情”中中┓””,提.┓.,,.其供一一pq中””个个..一命命个原 命 否题题原否是原命否命命题存叫叫命命否题存命题的在题呢性题题存做做的在题与真相呢?叫呢与的在原原真相与其假关??做其真相假关其逆是性命命逆假关原是性否题题,,

数学(RA) 选修1-1
数学(RA) 选修1-1
知识点
命题及 其关系
充分条件与 必要条件 简单的逻 辑联结词 全称量词与 存在量词
新课程标准的要求 层次要求 1.了解命题的概念及命题的四种形式(即原命题、逆命题、否命题、逆 否命题) 2.会分析四种命题间的相互关系和等价关系 3.能根据已知命题写出它的逆命题、否命题、逆否命题 4.能根据四种命题间的等价关系判断命题的真假 1.理解充分条件和必要条件的含义 2.会判断两个条件间的充分必要关系 3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围 1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义 2.会判断含“且”“或”“非”的命题的真假及相关应用 1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的含义 2.能写出全称命题、特称命题的四种命题形式及其真假判断 3.会写全称命题和特称命题及其否定的形式 4.归纳全称命题和特称命题间的相互关系 5.能够利用全(特)称命题的真假求参数的取值范围
数学(RA) 选修1-1
议一议:怎样区分命题的条件与结论?(抢答)
数学(RA) 选修1-1
【解析】一般地,在命题中,已知的事项为“条件”,由已知推出的 事项为“结论”.
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预学 3:四种命题之间的相互关系 (1)原命题的形式:若 p,则 q; 原命题的否命题形式:若 p,则 q; 原命题的逆命题形式:若 q,则 p; 原命题的逆否命题形式:若 q,则 p. p 的含义是 p 的否定, q 的含义是 q 的否定. p, q 分别读作非 p,非 q. (2)图形关系
数学(RA) 选修1-1
数学(RA) 选修1-1
有一家主人是一个不善言辞的木讷之人,一天主人邀请张三、李四、 王五三人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打来电话说: “临时有急事不能来了.”主人听到随口说了一句:“你看看,该来的没 来.”张三听到,脸色一沉,起来一声不吭地走了.主人愣了片刻,又道了 句:“哎,不该走的又走了.”李四一听大怒,拂袖而去,主人尴尬不知所 措.

1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 嘚取值范围.答案：312a aa ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，．第2题. 若a b c ∈R ，，，写出命题“200ac ax bx c <++=若则，”有两个相异实根嘚逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们嘚真假.答案：逆命题 ：()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根，则若，，，假； 否命题：200acax bx c ++=若则，（a b c ∈R ，，）没有实数根，假；逆否命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根，则，，，真．第3题. 在命题22a b a b >>若则“，”嘚逆命题、否命题、逆否命题中，假命题嘚个数为 .答案：3．第4题. 用反证法证明命题“三角形嘚内角中至少有一个钝角”时反设是 .答案：假设三角形嘚内角中没有钝角．第5题. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”嘚逆否命题是 . 答案：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠．第6题. 命题“若a b ，则55a b --”嘚逆否命题是( )(A)若a b ，则55a b -- (B)若55a b --，则a b (C) 若ab ，则55a b --(D)若55a b --，则a b答案：Ｄ第7题. 命题“两条对角线相等嘚四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等嘚四边形”嘚( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题 答案：Ａ第8题. 命题“若60A ∠=，则ABC △是等边三角形”嘚否命题是( ) (A)假命题 (B)与原命题同真同假(C)与原命题嘚逆否命题同真同假 (D)与原命题嘚逆命题同真同假答案：Ｄ第9题. 用反证法证明命题“23+是无理数”时，假设正确嘚是（ ） (A)假设2是有理数 (B)假设3是有理数 (C)假设23或是有理数 (D)假设23+是有理数 答案：Ｄ第10题. 命题“对顶角相等”嘚逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题 答案：Ｃ第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确嘚是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题 答案：Ｃ第12题. 命题“若a A b B ∈∈则，”嘚否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则， (B)a A b B ∈∉若则， (C)a A b B ∈∈若则， (D)b A a B ∉∉若则， 答案：Ｂ第13题. 与命题“能被6整除嘚整数，一定能被3整除”等价嘚命题是( ) (A)能被3整除嘚整数，一定能被6整除 (B)不能被3整除嘚整数，一定不能被6整除 (C)不能被6整除嘚整数，一定不能被3整除 (D)不能被6整除嘚整数，不一定能被3整除 答案：Ｂ第14题. 下列说法中，不正确嘚是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆嘚命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否嘚命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否嘚命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否嘚命题 答案：Ｂ第15题. 以下说法错误嘚是( )(A) 如果一个命题嘚逆命题为真命题，那么它嘚否命题也必为真命题 (B)如果一个命题嘚否命题为假命题，那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题嘚个数一定为偶数 (D)一个命题嘚逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案：Ｂ第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=，则实数x y ，均为0”嘚逆命题；⑵ “相似三角形嘚面积相等“嘚否命题 ; ⑶ “A B A A B =⊆则，”逆否命题;⑷ “末位数不是0嘚数可被3整除”嘚逆否命题 ，其中真命题为( ) (A) ⑴ ⑵ (B)⑵ ⑶ (C)⑴ ⑶ (D)⑶ ⑷ 答案：Ｃ第17题. 命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”嘚逆否命题是 ．答案：a b +不是偶数则a b ，不都是偶数．第18题. 已知命题:33p ；:34q ，则下列选项中正确嘚是（ ）A ．p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假；B ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真；C ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假；D ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假 答案：Ｄ第19题. 下列句子或式子是命题嘚有（）个．①语文和数学；②2340x x --=；③320x ->；④垂直于同一条直线嘚两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上． Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个 答案：Ａ第20题. 命题①12是4和3嘚公倍数；命题②相似三角形嘚对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长嘚一半；命题④等腰三角形嘚底角相等．上述4个命题中，是简单命题嘚只有（ ）．Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④答案：Ａ第21题. 若命题p 是嘚逆命题是q ，命题q 嘚否命题是r ，则q 是r 嘚（ ）Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题Ｃ．否命题Ｄ．以上判断都不对答案：Ｂ第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题． 答案：真第23题. 下列命题：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”嘚逆命题；②4边相等嘚四边形是正方形嘚否命题；③“梯形不是平行四边形”嘚逆否命题；④“22ac bc >则a b >”嘚逆命题，其中真命题是 ．答案：①，②，③第24题. 命题“若0ad =，则0a =或0b =”嘚逆否命题是 ，是 命题．答案：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠，真第25题. 已知命题:p NZ ，:{0}q ∈N ，由命题p ，q 构成嘚复合命题“p 或q ”是 ，是 命题；“p 且q ”是 ，是 命题；“非p ”是 ，是 命题．答案：p 或q ：NZ 或{0}∈N ，为真；p 且q :N Z 且{0}∈N ，为假；非:p N Z 或=N Z ，为假．第26题. 指出下列复合命题构成嘚形式及构成它嘚简单命题，并判断复合命题嘚真假． （1）23≤；（2）()A A B ；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．答案：（1）这个命题是“p 或q ”形式，p ：23<，q ：23=．p 真q 假，p ∴或q 为真命题．（2）这个命题是“非p ”形式，:()p A AB ⊆，p 为真，∴非p 是假命题．（3）这个命题形式是p 或q 嘚形式，其中:1p 是命 数，:1q 是质数．因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假命题．（4）这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形对角线互相垂直；:q 菱形对角线互相平分． 因为p 真q 真，所以“p 且q ”为真命题．第27题. 如果p ，q 是2个简单命题，试列出下列9个命题嘚直值表：（1）非p ；（2）非q ；（3）p 或q ；（4）p 且q ；（5）“p 或q ”嘚否定；（6）“p 且q ”嘚否定；（7）“非p 或非q ”；（8）“非p 且非q ”；（9）“非‘非p ’”． 答案：第28题. 设命题为“若0m >，则关于x 嘚方程20x x m +-=有实数根”，试写出它嘚否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们嘚真假．答案：否命题为“若0m >，则关于x 嘚方程20x x m +-=没有实数根”； 逆命题为“若关于x 嘚方程20x x m +-=有实数根，则0m >” ； 逆否命题“若关于x 嘚方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”．p q非p非q p 或qp 且q“p 或q ”嘚否定 “p 且q ”嘚否定 “非p 或非q ” “非p 且非q ” “非‘非p ’” 真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 真假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假 假 假真真假假真真真真假由方程嘚判别式14m =+得0>，即14m >-，方程有实根． 0m ∴>使140m +>，方程20x x m +-=有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程20x x m +-=有实根，必须14m >-，不能推出0m >，故逆命题为假．。

2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 例：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 （假） 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 （假） 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。
（假）
逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假）
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解 :由于 b2 4ac (a c)2 4ac (a c)2 0, 则原命题为真, 故 10 其逆否命题也为真.
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?
4
1、四种命题之间的 关系
原命题
若p则q 互 否
互逆
逆命题
若q则p 互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆否命题
若﹁q则﹁p
5
2.四种命题的真假
看下面的例子： 1）原命题：若a=0, 则ab=0。(真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。 (假) 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真)
（假） 2) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。（真） 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （真）
2
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 原命题: 若 p, 逆命题: 若 q, 否命题: 若┐p, 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p
3
观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。

►根底梳理1．四种命题的概念．(1)一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认,我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题 "假设函数f(x)＝log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 ,那么log a2<0〞的逆否命题是(A)A．假设log a2≥0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内不是减函数B．假设log a2＜0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内不是减函数C．假设log a2≥0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内是减函数D．假设log a2＜0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 ,真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．假设命题p的逆命题为q ,命题q的否命题为r ,那么p是r的逆否命题．解析：设p为： "假设m ,那么n〞 ,那么q为： "假设n ,那么m〞 ,所以r为： "假设綈n ,那么綈m〞．故p是r的逆否命题．1． "假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0 ,那么x ,y全为1〞的否命题是(B)A．假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0 ,那么x ,y全不为1B．假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0 ,那么x ,y不全为1C．假设x ,y∈R且x ,y全为1 ,那么(x－1)2＋(y－1)2＝0D．假设x ,y∈R且xy≠1 ,那么(x－1)2＋(y－1)2＝02．以下命题中,不是真命题的是(D)A． "假设b2－4ac>0 ,那么二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根〞的逆否命题B． "四边相等的四边形是正方形〞的逆命题C． "x2＝9 ,那么x＝3〞的否命题D． "内错角相等〞的逆命题3．命题 "a ,b是实数,假设|a－1|＋|b－1|＝0 ,那么a＝b＝1〞,用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：假设a≠1或b≠14．命题： "a ,b ,c ,d是实数,假设a＝b ,c＝d ,那么a＋c＝b＋d.〞写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．答案：逆命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a＋c＝b＋d ,那么a＝b ,c＝d.假命题．否命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a≠b或c≠d ,那么a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a＋c≠b＋d ,那么a≠b或c≠d.真命题．5．函数y＝f(x)是R上的增函数,对a,b∈R,假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立,证明a ＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a ,b∈R ,假设a＋b<0 ,那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：假设a＋b<0 ,那么a<－b ,b<－a ,又因为y＝f(x)是R上的增函数 ,所以f(a)<f(－b) ,f(b)<f(－a) ,所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) ,即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性 ,所以求证成立．1．否认结论 "至|多有两个解〞的说法中,正确的选项是(C)A．有一个解B．有两个解C．至|少有三个解D．至|少有两个解2．以下说法中正确的选项是(D)A．一个命题的逆命题为真,那么它的逆否命题一定为真B．"a>b〞与 "a＋c>b＋c〞不等价C． "a2＋b2＝0 ,那么a ,b全为0〞的逆否命题是 "假设a ,b全不为0 ,那么a2＋b2≠0〞D．一个命题的否命题为真,那么它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题 ,有着一致的真假性．3．原命题 "假设两个三角形全等 ,那么这两个三角形面积相等〞 ,那么它的逆命题、否命题、逆否命题中 ,真命题的个数是(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．有以下四个命题：① "假设x ＋y ＝0 ,那么x 、y 互为相反数〞的逆命题；② "假设a >b ,那么a 2>b 2〞的逆否命题；③ "假设x ≤－3 ,那么x 2＋x －6>0〞的否命题；④ "假设ab 是无理数 ,那么a 、b 是无理数〞的逆命题．其中真命题的个数是(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．命题 "假设c >0 ,那么函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点〞的逆否命题的是：________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ,那么c ≤0.答案：假设函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．假设命题p 的否命题是q ,命题q 的逆命题是r ,那么r 是p 的逆命题的________． 解析：此题主要考查四种命题的相互关系．显然 ,r 与p 互为逆否命题．答案：否命题7．(x －1)(x ＋2)＝0的否认形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠08．命题 "假设a >b ,那么2a >2b －1〞的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：假设a ≤b ,那么2a ≤2b －19．有以下五个命题：① "假设a 2＋b 2＝0 ,那么ab ＝0〞的逆否命题；② "假设a >b ,那么ac >bc 〞的逆命题③ "假设a <b <0 ,那么1a >1b〞的逆否命题； ④ "假设1a <1b<0 ,那么ab <b 2〞的逆否命题； ⑤ "假设b a ＞a b,那么a <b <0〞的逆命题 其中假命题有________．解析：①逆否命题为 "假设ab ≠0 ,那么a 2＋b 2≠0〞 ,这是一个真命题．②逆命题为 "假设ac >bc ,那么a >b 〞 ,这是一个假命题．③原命题是一个真命题 ,所以逆否命题也为真命题．④假设1a <1b<0 ,那么b <a <0 ,那么ab >b 2故原命题为真命题 ,所以逆否命题也为真命题． ⑤逆命题为 "假设a <b <0 ,那么b a >a b〞． 假设a <b <0 ,那么⎩⎨⎧－a >－b >0 1b <1a <0那么⎩⎨⎧－a >－b >0－1b >－1a >0 故a b >b a .故这是一个假命题．答案：②⑤10．假设a ,b ,c 均为实数 ,且a ＝x 2－2y ＋π2 ,b ＝y 2－2z ＋π3 ,c ＝z 2－2x ＋π6,求证：a ,b ,c 中至|少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ,b ,c 都不大于0 ,即a ≤0 ,b ≤0 ,c ≤0 ,那么a ＋b ＋c ≤0 ,而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3 ,显然a ＋b ＋c >0 ,这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ,b ,c 中至|少有一个大于0.►体验（高|考）1．给出命题：假设函数y ＝f (x )是幂函数 ,那么函数y ＝f (x )的图象不过第四象限 ,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中 ,真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假 ,易知原命题是真命题 ,那么其逆否命题也是真命题 ,而逆命题、否命题是假命题 ,故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中 ,真命题有一个 ,选C.2．a ,b ,c ∈R ,命题 "假设a ＋b ＋c ＝3 ,那么a 2＋b 2＋c 2≥3〞的否命题是(A )A ．假设a ＋b ＋c ≠3 ,那么a 2＋b 2＋c 2<3B ．假设a ＋b ＋c ＝3 ,那么a 2＋b 2＋c 2<3C ．假设a ＋b ＋c ≠3 ,那么a 2＋b 2＋c 2≥3D ．假设a 2＋b 2＋c 2≥3 ,那么a ＋b ＋c ＝33．命题 "假设一个数是负数 ,那么它的平方是正数〞的逆命题是(B )A ．假设一个数是负数 ,那么它的平方不是正数B ．假设一个数的平方是正数 ,那么它是负数C ．假设一个数不是负数 ,那么它的平方不是正数D ．假设一个数的平方不是正数 ,那么它不是负数4．命题 "假设p 那么q 〞的逆命题是(A )A ．假设q 那么pB ．假设綈p 那么綈qC ．假设綈q 那么綈pD ．假设p 那么綈q5．命题 "假设a ＝π4,那么tan α＝1〞的逆否命题是(C ) A ．假设α≠π4,那么tan α≠1 B ．假设α＝π4,那么tan α≠1 C ．假设tan α≠1 ,那么α≠π4πD．假设tan α≠1 ,那么α＝4。

1．命题一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.2．四种命题（1）原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.（2）否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q ”，那么它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”. （3）逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题. 也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.提示：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.3．四种命题间的相互关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一. （2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.（3）互为逆否命题的两个命题同真同假，可以用此来检验写出的命题是否正确，或证明原命题（或逆否命题）为真命题等.K 知识参考答案：1．陈述句 2．（1）结论和条件 （2）条件的否定和结论的否定 （3）结论的否定和条件的否定3．（1）相同的（2）没有关系K —重点 四种命题及其关系，命题真假的判断 K —难点 涉及命题真假判断的多选型试题K —易错对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提1．命题的概念及真假判断判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题． 命题真假的判断方法：（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法. （2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断. 【例1】下列命题中的假命题是A ．在ABC △中，若sin sin AB =，则A B = B ．函数为奇函数C ．D ．对于任意的，直线与圆都相交【答案】C【解析】A ．在ABC △中，若sin sin A B =，则A B =，显然是正确的；B ．函数则故为奇函数；C ．，故不正确；D ．对于任意的，直线与圆都相交是正确的，因为直线化为，过定点，这个点在圆内部，故直线和圆总会有交点.故答案为C ．【例2】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假. （1）能被9整除的数是偶数; （2）当x 2+(y-1)2=0时,有x =0,y =1;（3）如果a >1,那么函数f (x )=(a-1)x 是增函数.2．四种命题由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论. （1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.【例3】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假： ①负数小于零.②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题. 逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题. 否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题. 逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题. 逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题. 逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”. 3．四种命题间的相互关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 【例4】判断命题“若a >0,则x 2+x-a =0有实根”的逆否命题的真假.4．由命题的真假性求参数的值对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件.【例5】命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x <∈R 恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)0,1【解析】命题p 的逆命题：若x a >，则0x >，故0a ≥；命题q 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则21a -<-，即1a <. 故实数a 的取值范围是)[01，. 5．改写命题时，忽略大前提【例6】将命题“当0a >时，函数y ax b =+的值随x 的减小而减小”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.【错解】“若p ，则q ”的形式：若0a >，则函数y ax b =+的值随x 的减小而减小. 逆命题：若函数y ax b =+的值随x 的减小而减小，则0a >. 否命题：若0a ≤，则函数y ax b =+的值随x 的不减小而不减小. 逆否命题：若函数y ax b =+的值随x 的不减小而不减小，则0a ≤.【错因分析】原命题有两个条件：0a >和x 减小，其中0a >是大前提，将原命题改写为“若p ，则q ”的形式时，要把0a >置于“若”字的前面，把x 减小作为条件.【正解】“若p ，则q ”的形式：当0a >时，若x 减小，则函数y ax b =+的值也减小. 逆命题：当0a >时，若函数y ax b =+的值减小，则x 也减小. 否命题：当0a >时，若x 不减小，则函数y ax b =+的值也不减小. 逆否命题：当0a >时，若函数y ax b =+的值不减小，则x 也不减小.【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若p ，则q ”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p ，则q ”.（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.1．命题“若a M ∈,则b N ∈”的逆命题是 A ．若a M ∈,则b N ∉ B ．若a M ∉,则b N ∈ C ．若b N ∈,则a M ∈ D ．若b N ∉,则a M ∉2．下列语句中是命题的是 A ．周期函数和是周期函数吗？ B ．sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中A ．假命题与真命题的个数相同B ．真命题的个数是奇数C ．真命题的个数是偶数D ．假命题的个数是奇数 4．下列命题中为真命题的是A ．命题“若1x >，则21x >”的逆命题B ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题C ．命题“若20x >，则1x >-”的逆否命题D ．命题“若x y >，则x y >”的逆命题5．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．46．命题“若，则”的逆否命题是__________．7．命题“若,a b R 且a b ，0b ≠，则2()0a b b”的条件为__________，结论为__________.8．若命题“a 满足2111a a -≤+”为真命题，则实数a 的取值范围是__________. 9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)120a b -+=时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)若一个三角形的两条边相等,则这两条边所对的角相等;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)已知a ,b ,c ,d 是实数,若a =b ,c =d ,则a+c =b+d ; (4)若q <1,则方程x 2+2x+q =0有实根.11．已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是A ．原命题为假，逆命题为真B ．原命题为真，逆命题为假C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题12．命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若一个数a 的平方根不等于0，则a 是正数”的A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定命题13．能够说明“设是实数，若，则”是假命题的一个实数的值为________．14．已知a ,b ∈R ,求证:若a 3+b 3+3ab ≠1,则a+b ≠1.15．已知两个命题2:sin cos ,:10r x x xm s x x mx ，如果对任意的,x r x R 与s x 有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围.16．（山东）设m ∈R ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 17．（陕西）原命题为“若12n n n a a a ++<，n N *∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假18．（2018北京）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．1 2 3 4 5 11 12 16 17 CBCDCBADA1．【答案】C【解析】因为将原命题的结论当条件，条件当结论即可到其逆命题，所以命题“若a M ∈,则b N ∈”的逆命题是“若b N ∈,则a M ∈”，故选C ． 2．【答案】B【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B 满足. 3．【答案】C【解析】一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以为0，2，4个，所以选C ． 4．【答案】D5．【答案】C【解析】原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，当c =0时显然不成立，所以是假命题； 由于原命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题； 逆命题为：若ac 2>bc 2，则a >b ,是真命题；由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题也是真命题. 所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，故答案为C. 6．【答案】若，则【解析】“若，则”的逆否命题是：若，则.7．【答案】,a bR 且a b ，0b ≠ 2()0a b b【解析】由命题的定义易得. 8．【答案】(]1,2- 【解析】2111a a -≤+即21101a a --≤+，即201a a -≤+，解得12a -<≤. ∴实数a 的取值范围是](12-，.9．【解析】(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数.真命题．(2)若120a b -++=，则1a ＝且2b ＝－.真命题．(3)已知x ，y 为正整数，若2y x =，则1y ＝且1x ＝.假命题．10．【解析】(1)逆命题:若一个三角形的两个角相等,则这两个角所对的边相等.显然该命题是真命题.否命题:若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角不相等.由于原命题的逆命题是真命题,所以原命题的否命题也是真命题.逆否命题:若一个三角形的两个角不相等,则这两个角所对的边不相等.由于原命题为真命题,所以其逆否命题也是真命题.(3)逆命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a+c =b+d ,则a =b ,c =d .是假命题.否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a ≠b 或c ≠d ,则a+c ≠b+d .是假命题.逆否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a+c ≠b+d ,则a ≠b 或c ≠d .是真命题.(4)逆命题:若方程x 2+2x+q =0有实根,则q <1.是假命题.否命题:若q ≥1,则方程x 2+2x+q =0无实根.是假命题.逆否命题:若方程x 2+2x+q =0无实根,则q ≥1.是真命题.11．【答案】B【解析】逆否命题为：a ，b 都小于1，则a +b ≤2，是真命题，所以原命题是真命题.逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a +b ＞2，例如，当a =2，b =﹣2时，满足条件，此时a +b =2+（﹣2）=0，与a +b ＞2矛盾，故为假命题.故选B ．12．【答案】A【解析】命题“正数的平方根不等于0”的条件为，结论为；命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的条件为，结论为. ∴命题“正数的平方根不等于0”是命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的逆命题.故选A ．13．【答案】2【解析】因为，所以，11113,11x x x x +=-++≥-- 等号成立的条件为112,01x x x -=⇒=-，故当时函数值等于3.此时不满足题干.故答案为2.14．【解析】原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a ,b ∈R ，若1a b +=，则a 3+b 3+3ab =1.因为1a b +=,所以()()()23322223331a b ab a b a ab b ab a ab b ab a b ++=+-++=-++=+=, 所以原命题成立.16．【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.17．【答案】A 【解析】由12n n n a a a ++<1{}n n n a a a +⇒<⇒为递减数列，所以原命题为真命题. 逆命题：若{}n a 为递减数列，则12n n n a a a ++<，n N *∈. 若{}n a 为递减数列，则1n n a a +<，即12n n n a a a ++<，所以逆命题为真命题. 因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题.故选A18．【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）。

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C．①③④D．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A．两个平面B．一条直线C ．垂直D ．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为( )①若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab .②4－x 2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________． 解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1. 答案：±18．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②二次函数的图象与x 轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A 、B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4. 故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x ＞1，则x ＞25”．B 级 能力提升1．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－3解析：C 中，当a ＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根． 答案：C2．①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a//b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a ＝0，满足a·b ＝a·c ，但不一定有b ＝c ，故①不正确；当a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a//b 时，6＋2k ＝0，所以k ＝－3，则②正确；非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|时，|a|，|b|，|a －b|构成等边三角形，所以a 与a ＋b 的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．。

课时作业1命题及其关系一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若m∥n，则α∥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若α，β相交，则m，n相交D．若m，n相交，则α，β相交[解析]若α，β相交，因为m⊥α，n⊥β，所以m与n可能异面，也可能相交，故C 错．所以选C.[答案] C2．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]①是假命题；②是真命题；③是真命题；④是假命题．故选B.[答案] B3．若条件P：x∈A∩B，则綈p是()A．x∈A且x BB．x A或x BC．x A且x BD．x∈(A∪B)[解析]p：x∈A∩B，綈p：x A∩B⇔x A或x B，故选B.[答案] B4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有()A．0个B．2个C．3个D．4个[解析]原命题：已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.真命题．逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．原命题与逆否命题互为等价命题，逆命题与否命题互为等价命题．故选B.[答案] B5．在下列三个命题中，正确的为()①命题“△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1都不是直角三角形”；②命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆否命题是“若x＝0或y＝0，则xy＝0”；③命题“若x∈A或x∈B，则x∈(A∪B)”的逆命题是“若x∈(A∪B)，则x∈A且x∈B”．A．②B．②③C．①③D．①②③[解析]“△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1不都是直角三角形”，∴①错误，排除C，D；而③错误，排除B.故选A.[答案] A6．有下列三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若m>n，则m2>n2”的逆否命题；③“若y≤－3，则y2－y－6>0”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]①的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”．真命题．②的逆否命题同原命题等价，而原命题为假命题，故逆否命题为假命题．③的否命题为“若y>－3，则y2－y－6≤0”．假命题．故选B.[答案] B7．命题“若a>b，则ac2>bc2”(这里a，b，c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．4 B．2 C．1 D．0[解析]“若a>b，则ac2>bc2”为假，因为当c＝0时不成立，而“若ac2>bc2，则a>b”为真．故选B.[答案] B8．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数[解析]由逆否命题，知选A.[答案] A二、填空题9．命题：若a>b，则ac2>bc2(a，b，c是实数)，与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．[解析]若a>b，则ac2>bc2，当c＝0时，不成立，∴原命题为假，其逆否命题也为假．又若ac 2>bc 2，则a >b 成立，∴否命题也成立．[答案] 210．在下列横线上填写“互逆”“互否”或“互为逆否”：(1)命题“若q ，则綈p ”与“若綈q ，则p ”的关系是________；(2)命题“若綈p 则q ”与“若q 则綈p ”的关系是________．[解析] 由命题之间关系可得．[答案] (1)互否 (2)互逆11．已知A 表示点，a ，b ，c 表示直线，M 、N 表示平面，给出下列命题：①a ⊥M ，b M ，若b ∥M ，则b ⊥a ；②a ⊥M ，若a ⊥N ，则M ∥N ；③a ⊂M ，b ∩M ＝A ，c 为b 在M 上的射影，若a ⊥c ，则a ⊥b ；④a ⊥M ，若b ∥M ，c ∥a ，则a ⊥b ，c ⊥b .其中逆命题正确的是________．(填序号)[解析] 由判定方法知①②③正确，而④的逆命题“a ⊥M ，若a ⊥b ，c ⊥b ，则b ∥M ，c ∥a ”不正确，因为由条件b ⊂M 也可能成立，a ，c 相交、异面、平行，都有可能．[答案] ①②③12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋φ(φ为常数)，有以下命题：①不论φ取何值，函数f (x )的周期都是π；②存在常数φ，使得函数f (x )是偶函数；③函数f (x )在区间[π－2φ，3π－2φ]上是增函数；④若φ<0，函数f (x )的图象可由函数y ＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到． 其中，所有正确命题的序号是________．[解析] ①错，f (x )的周期是4π；②当φ＝3π2时，f (x )＝－cos x 2是偶函数；③因为函数的增区间是[4k π－π－2φ，4k π＋π－2φ](k ∈Z)，故③错；④将y ＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2φ2的图象，故④正确．[答案] ②④三、解答题13．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若A ⊆B ，则A ∩B ＝A ；(2)到一角两边距离相等的点在这个角的平分线上．[解析] (1)逆命题为：若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，真．否命题为：若A B ，则A ∩B ≠A ，真．逆否命题为：若A ∩B ≠A ，AB ，真． (2)逆命题：角平分线上的点到角的两边距离相等，真．否命题：到一个角的两边距离不相等的点不在角平分线上，真．逆否命题：不在角平分线上的点到角的两边距离不相等，假．14．写出命题：“若a 2>b 2，则a >b ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断四种命题的真假．[解析] 原命题：若a 2>b 2，则a >b .逆命题：若a >b ，则a 2>b 2.否命题：若a 2≤b 2，则a ≤b .逆否命题：若a ≤b ，则a 2≤b 2.∵(－1)2>02，而－1<0，∴原命题假．∵2>－3，而22<(－3)2，∴逆命题假．由等价命题知四种命题均为假．15．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：⎪⎪⎪⎪1－x 2<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即(x ＋1)(x －3)≥0，∴x ≤－1或x ≥3；由⎪⎪⎪⎪1－x 2<1，得－1<1－x 2<1， ∴0<x <4.∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4.则{x |x ≥3或x ≤－1}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤－1或x ≥4}．∴满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．16．命题“若m >0，则x 2+ x －m=0有实数根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．[解析] 方法一：原命题是真命题．∵m >0，∴－14<0<m ，∴m >－14. ∴4m ＋1>0，方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝4m ＋1>0，因而方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价，故命题“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题也是真命题．方法二：原命题“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”∵x 2＋x －m ＝0无实数根，∴Δ＝4m ＋1<0∴m <－14≤0.故原命题的逆否命题为真命题．。

【人教A版】高中数学选修1-1：1.1.1 命题PP T课件
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探究一 命题的判断 [典例 1] 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)一条直线 l，不是与平面 α 平行就是相交． (2)4 是集合{1,2,3,4}的元素． (3)作△ABC∽△A′B′C′. (4)2014 年冬季奥运会的举办城市是俄罗斯索契． (5)这是一棵大树．
1.1 命题及其关系 1.1.1 命 题
考纲定位
重难突破
1.了解命题的概念． 2.会判断命题的真假，能够把命题 重点：命题的概念，判断一个命题的真假．
难点：将一个命题改写成“若 p 则 q”的形式. 化为“若 p，则 q”的形式.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
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探究三 命题的结构形式 [典例 3] 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假． (1)6 是 12 和 18 的公约数； (2)当 a>－1 时，方程 ax2＋2x－1＝0 有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知 x，y 为非零自然数，当 y－x＝2 时，y＝4，x＝2.
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[解析] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x＝4 不满足 2x＋1<0. (3)是真命题，x＝3 或 x＝7 能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项 a1<0，公比 q>1 时，该数列为递减数列．

不是（疑问句）
不是（疑问句） 不是（感叹句） 是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句）
概念辨析
判断下列语句中哪些是命题？是真命题还 是假命题？ 真 （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； 假 （3）对数函数是增函数吗？ 不是命题 （4）若空间中两条直线不相交，则这两条 假 直线平行. （5） (2)2 2 ； 假 （6）x2＋x－6＞0. 不是命题
常用逻辑用语
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师， 一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位 文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅 没有相让，反而卖弄聪明，一边高地往前走。 一边大声说道：“我从来不给傻子让路！” 而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可 掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道 “呵呵，我可恰恰相反，”结果故作聪明的 批评家，反倒自讨没趣。 你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
概念生成
(1)命题: 一般地，在数学中，我们把 用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)真命题、假命题:
判断为真的语句叫做真命题； 判断为假的命题叫做假命题.
看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？
2) 你是不是作业没交？ 3) 这里景色多美啊！ 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。
知识探究
探究1：对于下列命题，它们之间的相 互关系如何？ （1）若a＝0，则ab＝0； （2）若ab＝0，则a＝0； （3）若a≠0，则ab≠0； （4）若ab≠0，则a≠0.
知识探究
若 a ＝ 0 ，则 ab ＝ 0.
互
互逆 否 逆 逆 否
若ab＝0，则a＝0.
为 互否 互 为