--四年级第二十三讲-最值问题一教师版

（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。

（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。

（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。

（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。

a 、b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，求）－（）（b a b a ÷+的最大值。

（四年级培优底稿） 分析：要使ba b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。

可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。

解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值1999910099100=-+。

（题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。

考察了极端情形的方法）难度系数：Aa 、b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。

（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。

可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。

即199=a ,197=b 。

解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A“12345678910111213……484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿）解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。

学生姓名年级 4 授课时间教师姓名课时简单的最值问题一、专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。

当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

二、精讲精练例题1 把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。

问这个和最大值是多少？分析为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。

而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。

然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。

（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=721练习一1，将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？2，把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

3，将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中，使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20。

2例题2 有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。

把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？分析 3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。

根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。

第6讲第7级下超常体系教师版漫画释义三年级寒假倒推与图示四年级暑假逻辑推理进阶四年级秋季最值问题初步四年级春季最值问题进阶五年级暑假分组与配对极端分析法、局部调整法和最值原理知识站牌第7级下超常体系教师版同学们帮家长买过东西吗？如果有两个售价相同的蛋糕，一个是50cm ×50cm ，另一个是60cm ×40cm ，你会买哪一个呢？学完了这一讲，你就知道买哪一个蛋糕更合适了.1.了解并掌握极端分析法2.会使用局部调整法3.熟练运用最值原理许多题目中涉及的变量在一定范围内可大可小，但题目要求我们求出最大值或最小值.遇到这类问题，我们可以采取下列策略：（1）极端性思想思考问题；（2）利用不等式估值；（3）局部调整思想；（4）利用抽屉原理和容斥原理；（5）枚举比较等，往往还会使用到构造与论证.上述提到的这些是整个离散最值问题的通用思想，在本讲中并没有全部涉及.1.极端分析法：从最不利的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小1.用数字0、1、2、3、4、5组成的最大三位数是_______，最小三位数是_________.【分析】最大三位数是543，最小三位数是102.2.用数字0、1、2、3、4、5组成的最大三位偶数是______，最小三位偶数是_________.【分析】最大三位偶数是542，最小三位偶数是102.课堂引入知识点回顾经典精讲教学目标第6讲第7级下超常体系教师版3.如果□÷8=5……△，那么当△最大时，□里的数是_______.【分析】△最大是7，此时□中的数是47785=+⨯.4.数字0、1、2、3、4、5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是_________.【分析】最大是8.5.自然数40、51、62、73、84、95，任意两个自然数相乘，乘积个位的最大值是________.【分析】乘积的个位只与乘数的个位有关，最大还是8.模块一：直接求最值（例1，例2）模块二：最值原理与拆数问题（例3~例5）模块三：综合应用（例6~例8）有六块岩石标本，它们的重量分别是8.5千克、6千克、4千克、4千克、3千克、2千克.要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些.请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克?（学案对应：超常1，带号1）【分析】三个背包分别装8.5千克；6千克与4千克；4千克、3千克与2千克，这时最重的背包装了10千克.另一方面最重的包所放重量不少于10千克：8.5千克必须单放(否则这一包的重量超过10)6千克如果与2千克放在一起，剩下的重量超过10，如果与3千克放在一起，剩下的重量等于10千克.所以最重的背包装10千克.一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？（学案对应：超常2）【分析】要让这个多位数尽量小，那么首先位数必须少．易知最小是三位数，先让其中两个数最大，那么剩下一个数必然最小．23986=++，这个数是689．要让这个多位数尽量大，那么位数必须尽量多．12345621+++++=，那么最多可以是7位数（加上0）．先让其中6位最小，那么剩下一位最大．230123458=++++++，这个数是8543210（1）有一根100米长的绳子，用它能围成的长方形中面积最大的是平方米.例题思路第7级下超常体系教师版（学案对应：超常3，带号2）【分析】周长为定值，则长与宽的和为定值，为100250÷=.所以当该长方形为正方形时面积最大.最大的面积是625平方米．（2）面积为100平方米的长方形中，周长最小是米.【分析】长宽乘积为定值，当长宽相等时长宽的和最小.所以最小周长是10440⨯=米.（3）某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长36米的铁丝网，围成一块长方形菜地，这块菜地的面积最大是多少平方米？CDBA 【分析】将长方形ABCD 沿DC 边翻转得到长方形11AB CD ，那么长方形11A B BA 的周长是36272⨯=米，是一个定值，从而当长方形11A B BA 的每条边都等于72418÷=米时，面积最大.此时的面积为18182162⨯÷=平方米．11B A CDBA 用1,2,3,4,5,6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求(1)和最大是多少？最小是多少？(2)差最大是多少？最小是多少？(3)积最大是多少？最小是多少？（学案对应：超常4，带号3）【分析】（1）和最大则6,5位于百位；4,3位于十位；2,1位于个位，有642+531=1173和最小则相反，有135+246=381（具体算式不唯一）（2）被减数越大，减数越小，差越大，那么最大值为：654123531-=；被减数与减数越接近，差越小．那么要让两数的百位只差1，被减数的末两位尽量小，减数的末两位尽量大，最小值为41236547-=．（3）积最大则6,5位于百位；4,3位于十位；2,1位于个位，此时，由“和一定，差小积大“可知应为631×542=342002积最小则相反，有135×246=33210第6讲第7级下超常体系教师版(1)把17拆成若干个自然数（可重复）的和，使这些自然数的乘积最大，最大乘积是多少？（学案对应：带号4）【分析】拆成的数a 如比3大，则可以拆成2与2a -，22a ⨯-（）≥a （仅在a =4时两边相等）；例如5可以再拆成2与3，23⨯＞5，所以拆成的数中没有比3大的．即可认为拆成的数都不比3大．如果拆成的数有1，那么将1加到其它任一个拆成的数上，乘积增加，所以拆成的数没有1．因此，拆成的数只有2与3（2个2时也可合并为4），如果2的个数≥3，那么22233++=+，而222⨯⨯＜33⨯，所以应将3个2改成2个3，于是2的个数只能是0，1，2个，而172+35=⨯，故乘积523=486⨯为最大．小结：上面的解法具有一般性，把一个自然数拆成若干个自然数的和，要使它们的乘积最大，应拆成2与3的和，而且2的个数不超过2个．即“多3少2不拆1”.(2)3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】把17分成3个不同的、尽量接近的数，那么可以分成17467=++，467168⨯⨯=.(3)若干个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】2+3+4+5+6=20>17，则17=2+4+5+6，乘积2×4×5×6=240999的故事谷超豪是我国著名的数学家.他小时候并不聪明，可他很喜欢看书.在他读中学的时候，老师讲过乘方的知识后对同学们说：“不准用任何运算符号，用四个1组成一个最小的数，再用三个9组成一个最大的数.”同学们的兴趣一下子被集中到了认真的思考和计算上.“报告老师，最小的数是1111.”有同学抢先回答，老师并没有表态.“最小的数是1111.”老师摇摇头.有的同学在草稿纸上列出了1111式子进行计算，很快发现，这个数要比1111大很多.这时谷超豪举手做出了明确的回答，老师依照他的回答在黑板上写下了结果.1111<1111<1111<1111聪明的同学很快就回答说：“最大的数是999.”老师微笑着看着大家，期待着其他同学的答案.谷超豪举手回答说：“999最大.”同学们你们可以想一想这个数究竟有多大.第7级下超常体系教师版如图是奥林匹克的五环标志，其中a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i 处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？ihg f edc ba【分析】计算五个圈内各数之和的和，其中b ，d ，f ，h 被计算了两遍，所以这个和是123456789b d f h ++++++++++++，而这个和一定能被5整除，所以b ，d ，f ，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于156978=+=+，所以满足条件的所有数无法配成15.当和为14时a …i 依次为8,6,1,7,4,3,2,9,5时满足条件，所以和最大为14.当b ，d ，f ，h 取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11，如a …i 依次为8,3,7,1,6,4,5,2,9．一次数学考试满分是100分，有6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分？【分析】要使第三名的同学得分最低，就要让其他同学的得分尽可能高．这6位同学的总分为916546⨯=分，有一位同学得了65分，而第一名和第二名得分不能超过100分和99分，所以剩下的三位同学的得分之和不低于5466510099282---=分．至此，问题转化为：三人的总分是282分，其中的第一名最低得多少分？由于282是3的倍数，所以这3人的平均分为94分，那么其中得分最高的至少得95分，当三人得分分别为95分、94分、93分时最高分恰为95分．也就是说原来6位同学中得分排在第三名的同学至少得95分．某篮球运动员参加了10场比赛，他在第6、7、8、9场比赛中分别得到了23、14、11和20分，他在前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他10场比赛的平均分超过18分，那么他在第10场比赛至少得分．【分析】因为前九场比赛的平均分比前五场比赛的平均分要高，设前五场比赛的平均分是x ．所以有(523141120)9x x ++++÷＞．解得17x <，所以585x <因为10场比赛的平均分超过18分，所以10场的总分至少18101181⨯+=(分)，要使第十场比赛的得分最少，应使十场比赛的总得分尽量少，使前5场比赛的得分尽量多，故当十第6讲第7级下超常体系教师版场的得分为181分．前5场比赛的得分为84分时，第十场比赛的得分最少，为181842314112029-----=(分)．1.极端分析法：从最极端的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小1.电视台要播放一部30集电视连续剧.如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？【分析】如果播8天以上，那么由于每天播出的集数互不相等，至少需要有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36集，所以30集连续剧不可能按照要求播8天以上，另一方面1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＝30，所以最多可以播7天，各天播出的集数分别为12,3,4,5,6,9，或12,3,4,5,7,8，2.一个自然数，各个数位上的数字之和是2013，这个自然数最小是.【分析】首先要使其位数最少.201392236÷= ，所以这个自然数最小值是2236999一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一，你乘坐电梯从一楼向上走，每层楼电梯门都会打开一次，拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？答案：先拿着第一楼的钻石，然后在每一楼把手中的钻石与那楼的钻石比较，如果那一楼的比手上的钻石大，就换.家庭作业知识点总结第7级下超常体系教师版3.牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形羊圈，则羊圈的最大面积是多少平方米【分析】从最值考虑，设长方形长为a ，宽为b ，则230a b +=，21515ab ⨯的最大值等于，但a b、均为偶数，考虑次大的214162148ab =⨯=⨯⨯，因此边长分别为14和8，面积最大为112平方米.4.用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字组成2个四位数，使这2个数的差最小（大减小），这个最小的差是多少？【分析】差最小，那么首位差1，大数末三位尽量小，小数末三位尽量大.在保证首位可选的情况下有，最大值987，那么最小值126；或者最小值123，那么最大值984.7123698413941263987139-=-=；.最小值为139.5.四个非零自然数的和为38,这四个自然数的乘积的最小值是多少？最大值是多少?【分析】和一定差大积小：1+1+1+3538=;乘积最小为：1×1×1×35=35;和一定差小积大，384=92÷ ,乘积最大值991010=8100⨯⨯⨯6.22名乒乓球运动员分成三队，每队若干队员，进行单打比赛，规定同队的运动员彼此之间不比赛，不同队的运动员两两比赛一场．那么比赛的总场数最多是多少场？【分析】采用“局部调整法”.设三队人数分别为,,a b c ，则题目转化为：已知22a b c ++=，求a b a c b c ⨯+⨯+⨯的最大值．根据“差小积大”的原则，如果有两个队的人数相差2以上，比如说2a b -≥，那么从a 队中匀到b 队一人，则三队人数变为1a -、1b +和c ，由于(1)(1)a b ab -⨯+>，而，这样比赛总场数就会增加，所以要使比赛的总场数最大，则各个队之间的人数差不能超过1，所以这三个队的人数分别为7人、7人、8人，比赛总场数为：7×7+7×8+7×8=161(场)．7.有7个盘子排成一排，依次编号为1，2，3，…，7，每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个，其中1号盘里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等，请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？【分析】如图：186532则知②＋③的和与⑤＋⑥的和相等，是8018326-⨯=，26213÷=，则第5个盘子中最少时第6个盘子中最多,是12个.8.7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同.其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队至少．．种了多少棵？【分析】若要使种树最少的小队种树尽量少，则就得使其余小队种树尽量多.一个极端情况就是18171615141393+++++=，所以种树最少的小队至少种100937-=棵．第6讲第7级下超常体系教师版【超常班学案1】如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？【分析】要让最小的数最大，最大的数最小，我们要让这7个互不相同的自然数尽量接近.那么首先考虑连续自然数.98714=⨯，我们能找到一组和最接近100的连续自然数11,12,13,14,15,16,17.那么现在距离100还差2，我们给最后两个数各加1，得到：11,12,13,14,15,17,18.那么最小的数最大为11，最大的数最小为18.【超常班学案2】在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小可能是多少？【分析】插入一个数后，数的位数自然增多，但要这个数最小则必是增加数字最小的这一个，即是98766789．【超常班学案3】如图，等腰直角三角形ABC 中，4CA CB ==厘米．在其中作一个矩形CDEF ，矩形CDEF的面积最大可能是多少？【分析】矩形CDEF 的长和宽之和是一固定值：4厘米．那么长和宽相差越小，面积越大．因此矩形面积最大为224⨯=平方厘米．【超常班学案4】用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．【分析】要让乘积最大，首先3个三位数的百位数字必须尽量大．12394591818++++==++…要分成3个能被9整除的三位数，那么必有1个数的各位和为9，那么这个数最大是621．剩下两个三位数，百位必然是8和9，那么只能是873和954．这个算式是：621873954⨯⨯．【123班学案1】阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？【分析】如果10排人数各不相同，那么最多坐：16151487115+++++= 人；如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(1615141312)2140++++⨯=人；123班学案超常班学案第7级下超常体系教师版如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(161514)313148++⨯+=人；如果最多有4排人数一样，那么最多坐：(1615)4142152+⨯+⨯=人.由于148150<，152150>，所以，只有3排人数一样的话将不可能坐下150个人，所以至少有4排.【123班学案2】如图，一个长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是平方厘米．【分析】设B 的宽是a ，则A C D 、、的宽分别为1,1,2a a a -++，B 的长为28214a a ÷-=-，则E的长为14317a a -+=-,大长方形的面积为(112)(1417)(42)(312)2(21)(312)a a a a a a a a a a -+++++-+-=+-=+-21a +和312a -的和是32，两数和相同，两数越接近时，积越大21312a a +=-，430a =，7.5a =总面积为21616512⨯⨯=.【123班学案3】把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成两组，排成一个五位数和一个四位数，并使这两个数的乘积最大，其中那个四位数是多少？【分析】这两个数的最高位数字应尽量大，所以一个为9，一个为8，然后再看这两个数的前两位．9687⨯＞9786⨯（因为96879786+=+，而9687-＜9786-），964875⨯＞965874⨯，（因为964875965874+=+，而964875-＜965874-）；96428753⨯＞96438752⨯（方法同上）；最后比较964287531⨯与964218753⨯，因为9642875319642875309642⨯=⨯+，9642187539642087538753⨯=⨯+，所以964287531⨯更大．因此，这两个数分别是9642和87531.【123班学案4】把一个自然数N 表示成几个非零自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大.问：应如何拆？请严格证明.【分析】本题等价为设123n N a a a a =++++ （123,,,,n a a a a 都是非零自然数）求123na a a a π= 的最大值.（1）若11a =，π不是最大.若11a =，23231n nN a a a a a a π=++++⇒= 调整使得2323(1)'(1)'n n N a a a a a a πππ=++++⇒=+⇒> （2）若14a ≥，π不是最大.当14a ≥时，一定存在11112a a a =+且11122,2a a ≥≥则1112111121112111211121112()()11(1)(1)0a a a a a a a a a a a a a -=-+=-++-=-->所以，11121a a a >，既111223123'n na a a a a a a a a ππ=+++++>=++++ （3）若1232a a a ===，π不是最大.当1232a a a ===时，458na a a π= 调整454533'9'n n N a a a a a a πππ=+++++⇒=⇒> ［评注］本题是数学中非常核心的一种方法——局部调整法.许多老师喜欢把一些数学原理口诀化，第6讲把一些题型弄出一些“傻瓜”解法，这样表面上是帮助学生得分，实际上是害了孩子，扼杀孩子的思考力.数学学习应该以培养学生的逻辑分析能力为核心，在中年级阶段就应该开始培养学生的数学论证能力.第7级下超常体系教师版。

四年级数学思维训练：最值问题一一、兴趣篇1．三个连续奇数相乘的积的个位数字最小是．2．用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？3．用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？如果用22根火柴棒呢？4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少？5．（1）请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填？（2）请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填？6．在如图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这3个差数相加，所得的和最小是多少？7．在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差（大减小）最小的一个是多少？8．把1、2、3、4、5、6填人算式“□□□﹣□□□”的空格中，要求前一个三位数比后一个三位数大．这个减法算式的结果最大可能是多少？最小可能是多少？9．一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等．请问：满足条件的自然数最大是多少？10．有7个盘子排成一排，依次编号为1，2，3，…，7．每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个．其中1号盘里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等．请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？二、解答题（共12小题，满分0分）11．3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？12．（1）在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122435），这样得到的六位数最大可能是多少？（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？13．有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛．他们一共最多能比赛多少场？14．3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？15．请将2、3、4、5、6、8填人算式“口口口×口口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填？16．请将6、7、8、9填人算式“口×口+口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填？17．在如图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这5个差数相加，所得的和最小是多少？18．如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？19．一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和是23，这个多位数最小可能是，最大可能是．20．黑板上写着l，2，3，4，…，10各一个．小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数．最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？。

四年级数学下册《练习二十三》讲评教学设计育民小学四年级学生立定跳远成绩如下表。

请根据以上数据制成复式条形统计图。

(1)女生成绩在1.41m以下为不及格，男生成绩在1.48m以下为不及格，男生成绩在1.42m~1.48m的有5人。

男生和女生不及格的各有多少人？(2)你还能得到什么信息？下面是四（1）班同学最喜欢吃的蔬菜情况统计图。

根据统计图填一填。

(1)四（1）班最喜欢吃（）的人数最多，是（）人，最喜欢吃（）的人数最少，是（）人。

(2)你还得到了什么信息？答案：(1)茄子45白菜39(2)略答案：统计图略。

下面是某市人均寿命统计表，请根据表中数据完成统计图。

某市人均寿命统计图观察统计图，回答下面的问题。

（1）哪种酸奶第一季度的月平均销售量多？多多少？(1)完成这个统计图后，你有什么感想？(2)你对大家有什么建议？看统计图，下图是我国2006-2011年电话用户数统计图。

我国2006-2011年电话用户数(1)哪年的固定电话用户最多？哪年的移动电话用户最多？(2)你还能获得哪些信息？请提出两个问题并解答。

最长的代表数目最多。

下面是某小学四、五年级向希望小学捐书统计表，请根据表中数据将统计图补充完整。

(1)哪类书捐的最多？(2)哪个年级捐书比较多？(3)请你再提出一个数学问题并回答。

答案：(1)故事书捐的最多。

(2)五年级捐书比较多。

(3)略说一说，计算平均得分时为什么要去掉一个最高分和一个最低分。

下面是东林小学四年级三个班语文、数学期末测试平均成绩统计图。

(1)哪个班期末语文的平均分最高？哪个班期末数学的平均分最高？(2)算一算四年级语文、数学的平均分各是多少？答案：(1)四（2）班期末测试语文的平均分最高，四（3）班期末测试数学的平均分最高。

(2)（87+91+80）÷3=86（分）（87+85+92）÷3=88（分）影响，使比赛更公平。

1.完成教材第98页练习二十三第2题。

教学过程中老师的。

512护士节演讲稿：关于护士的比赛演讲稿512护士节演讲稿：关于护士的比赛演讲稿精选2篇（一）尊敬的评委们，亲爱的各位观众们：大家好！我非常荣幸站在这里，借这个机会向大家分享一些关于护士的故事和我对护士职业的理解。

今天，我要向大家介绍的是护士，这个无私奉献的职业群体。

我相信，这是一个每个人都受益的话题，因为我们每个人在不同阶段都或多或少接触过护士的关怀与照顾。

护士是一个通往健康的守护神，他们用温暖的双手，为患者提供着最贴心的照顾与安慰。

无论是急诊科还是重症监护室，他们都始终站在第一线，毫不犹豫地以仁爱之心缓解患者的痛苦和忧虑。

他们面对生死的考验时，仍然从容镇定，尽心尽力地救治每一位患者。

护士是一个无私的天使，他们时刻都肩负着照顾患者的责任与使命。

无论是节假日还是深夜，他们总是第一时间出现在患者身边，为他们提供关心和支持。

他们舍弃个人利益，只为了患者的健康与幸福。

他们的付出或许得不到外界的关注和赞扬，但他们默默守护着每一位患者的生命。

护士是一个温暖的拥抱，他们时刻给予我们一种安全感和信任。

无论是孩童还是老人，他们总是以亲切和耐心的态度对待每一位患者。

他们用真心和微笑温暖着每一个病房，让患者感受到家的温暖与陪伴。

他们是医疗团队中最亲近患者的一群人，他们的微笑是治愈患者心灵的良药。

护士是一个不断学习的行业，他们始终保持着对新知识和新技术的追求。

医学科技的不断进步，让护士们需要与时俱进，不断学习和更新自己的专业知识，并把最新的医学成果应用到实践中。

他们不仅需要具备专业的医疗技能，还需要具备跨专业的沟通与协作能力。

最后，我想表达我对护士们的敬意和感谢。

感谢你们为我们的健康付出了那么多，感谢你们在每个夜晚守护着我们的安全。

你们付出的一切都值得我们的敬佩和尊重。

谢谢大家！512护士节演讲稿：关于护士的比赛演讲稿精选2篇（二）尊敬的各位领导、亲爱的同事们：大家好！今天我非常荣幸能够在这个特殊的日子里发表演讲，为我们伟大的护士节献上祝福和敬意。

四年级第23讲最值问题一兴趣篇1.3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？2.用1，2，4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？3.阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌得的点数之和刚好是10. 请问两人牌的点数的成绩最大可能是多少？4.三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少？5.（1）请将1~4这4个数字填入算式“□□×□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？（2）请将1~6这6个数字填入算式“□□□×□□□”的□中，要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大，应该怎么填？6. 在图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的之差（大减小），然后把这3个数相加，那么所得的和最小是多少？7. 在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差(大减小)最小的一个是多少？8. 把1~6这6个数字填入算式“□□□—□□□”的□中，要求前一个三位数比后一个三位数大. 这个减法算式的结果最大可能是多少？最小可能是多少？9. 一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等.请问：满足条件的自然数最大是多大？10. 如果3个互不相同的自然数之和为20，那么其中最小的数最大可能是多少? 最大的数最小可能是多少？拓展篇1.3个连续自然数相乘，所得的乘积的个位数字最大可能是多少？2.（1）在五位数12 435的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到12 2435，这样得到的六位数最大可能是多少？（2）在七位数9 876 789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？3．用24根长1厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？如果用22根火柴棒呢？4. 有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人之间只比赛一场，同组的人之间不比赛.他们一共最多能比赛多少场？5. 3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？6. 请将2，3，4，5，6，8这6个数填入算式“□□□×□□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？7. 请将6~9这4个数字填入算式“□×□﹢□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？8. 在图的中间空白○内填入一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这五个差数相加.问：所得的和最小是多少？9. 如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？10. 一个多位数的各个数字互不相同，而且个位数字之和为23.这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？11. 有7个盘子排成一排，依次编号为1~7. 每个盘子里都放有若干个玻璃球，一共放了80个，其中1号盘子里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等.请问：第6个盘子中最多放了多少个玻璃球？12. 黑板上写着1~10这10个数字，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上他们的平均数.最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？13. 如图，这是一个正方体的展开图.将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的3个面上的数之和最大是多少？14. 如图，在一个正方体方块的下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物.为了使得这个蚂蚁所走的线路最短，它应该怎么爬行？它可以选择的最短线路一共有几条？超越篇1.一个两位数除以它的各个数字之和，余数最大是多少？2.4个小朋友，每个人的体重是整数千克，而且其中任意3人体重之和都大于99千克.这4个小朋友体重之和最小是多少？3.将1~30依次写成12345^282930，形成一个对位数，从这个多位数中划掉45个数字，剩下的数最大是多少？如果要求剩下的数首位不能为零，这个数最小是多少？4.用1，2，3，4，6，7，8，9这8个数字组成2个四位数，使这两个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？5.将2~8这7个自然数填入算式“□□×□□－□□÷□”的□中，如果算式的计算结果为整数，那么这个结果最大是多少？最小是多少？6.如图，一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米.有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次，甲虫最多能爬行多少厘米？如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘米？7.如图，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定.接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少？8.一栋大楼共33层，电梯停在第一层，有32个人分别要去第2层、第3层……第33层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯.有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停下，每个人可以选择走楼梯或乘电梯到这一层再走楼梯.每个人上一层楼梯会有3份不满意，下一层楼梯会有1份不满意.请问：电影停在哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小？。

第二十三讲最值问题一最值问题，即求最大值、最小值的问题．这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小．例题1（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最小八位数是多少？「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？练习1在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么道理，其中有没有什么规律．例题2.有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？练习2有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），．“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．例题3墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？练习3墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？例题4请将1、2、3、4、5、6这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？⨯□□□□□□练习4.请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□□□例题5. 墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？「分析」长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？养鸡场在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整．千万不能“丢了西瓜捡芝麻”！例题6各位数字互不相同的多位数中，数字之和为23的最小数是多少？最大数是多少？「分析」两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数．如果位数相同，还要从高位到低位依次比较．动物之最最大的动物：蓝鲸（平均长30米，重达160吨）最大的路上动物：非洲象（平均重达9吨）最高的路上动物：长颈鹿（平均高5米）嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马最聪明的动物：海豚（人除外）最大的鸟类：鸵鸟（平均身高2.5米，最重可达155千克）翅膀最长的鸟类：信天翁（翅展2~3米）嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长24厘米，宽9厘米）形体最小的鸟：蜂鸟飞得最高的鸟：天鹅（最高能达17000米）最耐寒的鸟：企鹅路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速130公里）速度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速190公里）飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速418公里）现存最古老的生物：舌形贝（有4.5亿年历史）牙齿最多的动物：蜗牛（共有25600颗牙齿）飞行能力最强的昆虫：蝗虫（每天能够连续飞行近10小时）力气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重1141倍的物体）外形最奇特的鱼：海马最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼）毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的2倍）寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有2000多岁了）冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间5~6个月）作业1.在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），能得到的最小七位数是多少？2.两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？3.用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？4.请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入下面的算式中，使这个乘法算式的结果最大．□□□□□□5.各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最小数是多少，最大数是多少？。

第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos 12∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC 上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC= S△APC =12 AP·CC′,得S 四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC= 12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2 AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AEAD AC=,即AD·AE=AB·AC为定值.如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点,过P 作任一直线交⊙O 1于点E,交⊙O 2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A 引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS 的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC 的周长为2p,在AB 、AC 上分别取点M 和N,使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切.求:MN 的最值.CABMNA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2. 所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:A D=R 1:R 2.。