7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版

第一讲 组合计数（1）本讲概述组合数学是竞赛中最重要的一个板块，也是变化最多，最灵活，难以掌握，至今还没有一个系统体系的学科.解决竞赛中的组合数学问题，往往不需要太多专门的知识，而是要求深刻的洞察能力和强大的化归、转化能力.所谓“得组合者得天下”，在联赛一二试乃至冬令营、集训队、IMO 中，最后的胜者往往是成功完成组合问题的同学.因此，学习组合数学对于竞赛获奖以及数学能力的培养都有着十分重要的意义.从本讲开始，我们将用七讲来对组合数学做一个大致的勾勒.通过这七讲的学习，达到以下目的：1、掌握联赛一二试组合问题的特点与解法；2、对组合数学这门学科有一个初步的认识，为进一步学习打下基础；3、了解部分冬令营级别组合问题的难度与解题模式.七讲内容分别为：一、组合计数（1） 比高考略难的基本计数问题 二、组合计数（2） 需要较多技巧的专门计数问题 三、组合恒等式 较为重要和有趣味的组合恒等式 四、抽屉原理与存在性问题 五、容斥原理与极端性原理六、染色问题与操作问题 七、组合数学综合问题本讲中，假定各位同学已经大致学完了高考难度的排列组合模块内容，对加法原理、乘法原理等有一定的理解并能完成相关的问题.教师备注：本讲可与下一讲打通讲述，也可本讲专门讲常规的枚举、基本的组合问题，下一讲专门讲述一些较为高级的技巧.首先给出一些相关的基本知识： 1、 加法原理与乘法原理加法原理：完成一件事的方法可分成n 个互不相交的类，在第1类到第n 类分别有12,,...,n m m m 种方法，则总共完成这件事有121...nin i mm m m ==+++∑种方法.应用加法原理的关键在于通过适当的分类，使得每一类都相对易于计数.乘法原理：完成一件事的方法有n 个步骤，，在第1步到第n 步分别有12,,...,n m m m 种方法，则总共完成这件事有121...nini m m m m ==∏ 种方法. 应用乘法原理的关键在于通过适当的分步，使得每一步都相对易于计数.由上可见，加法原理与乘法原理也是化归思想的应用，通过这两个原理以及它们的组合，可以将一个复杂的组合计数问题分解成若干个便于计数的小问题.2、 无重排列与组合阶乘：定义 !(1)(2)...21n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅，读作n 的阶乘无重排列：从n 个不同元素中任取m 个不同元素排成一列，不同的排列种数称为排列数，记为mn A （部分书中记为m n P ），由乘法原理得到!(1)...(1)()!m n n A n n n m n m ==⋅-⋅⋅⋅-+-无重组合：从n 个不同元素中任取m 个元素并为一组，不同的组合种数称为组合数，记为mn C ，其公式为(1)...(1)!!!()!!mmn nA n n n m n C m m n m m ⋅-⋅⋅⋅-+===- 3、 可重排列与组合（仅给出结论，请自证之）可重排列：从n 个不同元素中可重复地任取m 个元素排成一列，不同的排列种数有mn 种； 有限个重复元素的全排列：设n 个元素由k 个不同元素12,,...,k a a a 组成，分别有12,,...,k n n n 个（12...k n n n n +++=），那么这n 个元素的全排列数为12!!!...!k n n n n ⋅⋅⋅可重组合：从n 个不同元素中，任意可重复地选取m 个元素，称为n 个不同元素中取m 个元素的可重组合，其种数为1mn m C +-4、 圆排列（仅给出结论，请自证之）在n 个不同元素中，每次取出m 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．在},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出m 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为mn A m．例题精讲板块一 利用加法、乘法原理以及枚举方法计数联赛一试的填空题中出现的计数问题有接近一半的问题不需要用到很高深的技巧，而是直接利用最基本的加法、乘法原理，以及枚举方法来计数.这主要是考虑到有一部分参加联赛的同学并未经过专业的竞赛训练.虽然如此，这部分计数问题枚举起来往往分类复杂，需要小心仔细.从往年的联赛试题来看，枚举法解决计数问题是最主要的题型之一，其难点在于做到“不重不漏”，这是加法原理的一个简单的应用.枚举过程中，采用恰当的分类、分步形式，往往会收到化难为易的效果.【例1】 (高考难度的热身问题)（1）等腰三角形的三边均为正整数．它们周长不大于10．这样不同的三角形的种数为A ．8B ．9C ．10D ．1l（2）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 A.234 B ．346 C. 350 D ．363 【解析】 （1）设三边为x,y ，z ，则x+y+z ≤10，由三边关系共有(1，1，1)，(1，2，2)，(1，3，3)，(1，4，4)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)共10种．（2）B 前排中间的3个座位不能坐，有排法220A ，其中相邻的分三类，在前排的其中的4个座位有322A ；则符合条件的排法种数中2222222201133A A A A ---=346，故选B （这是正难则反的思想，从总体中除去不符合要求的） 另解：分三类：①两人坐在前排，按要求有4·6+4·5=44种坐法．②两人坐在后排，按要求有：211A =110种坐法．③两人分别坐在前后排，有8×12×2=192种∴共有346种排法．【例2】 （1）有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？（2）集合{1,2,...,100}的子集中共有多少个至少包含一个奇数？【解析】 （1）按照上题正难则反的思想，可以先找出所有的五位数，共有90000个，其中可被3整除的有30000个，下面研究这30000个数中不含数字6的数，最高位有8种选择，千、百、十位各有9种选择，个位数除不能为6外，还应满足恰各位数之和可被3整除，这恰有3种选择，例如当前四位除以3余2时，个位应为1,4,7之一；故能被3整除且不含数字6的有8999317496⨯⨯⨯⨯=个，故所求五位数有30000-17496=12504个（2）显然全部子集数为1002个，不包含任何奇数的子集即{2,4,6,...,98,100}的子集共有502个，故所求子集个数为1005022-个.(思考：请用最简洁的方法确定为何n 元集合子集数为2n个)【例3】 设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种【解析】 这是标准的联赛风格的枚举问题，所谓杀鸡焉用牛刀，用递归方法来解这类问题就太麻烦了.显然青蛙不能跳1，2,4次到达D 点，于是青蛙的跳法只有以下两种： （1）青蛙跳3次后到达D 点，有2种跳法； （2）青蛙跳5次后停止，跳3次有322-种，后两次有22种，共计24种； 所以，合计有26种跳法注 本题为1997年联赛试题【例4】 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）知识要点教学目标1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

龙文教育个性化辅导授课案教师: 吴香云学生: 常恩泰年级: 四日期: 2014-11-16星期: 日时段: 17:00-20：30 （第 1 次课）课题容斥问题（二）理解容斥问题原理（排除与包含）教学目的教学重难点能运用容斥原理来解决实际中的应用题学习内容与过程一、知识要点在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理二、典型例题例题一：四年级5班有56人，订《小学生优秀作文》的有38人，订《数学大世界》的有42人，每人至少订一种读物，问同时订阅这两种读物的学生有多少人？例题二：某班有42个同学在一项数学竞赛中，答对第一题的有26人，答对第二题的有34人，两题都答对的有20人。

问多少同学两题都没有答对。

例题三：在1到100的自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例题四：四年级3班参加广播操比赛，全班排成4行，每行人数相等，常恩泰排的位置是：从前面数第五个，从后面数第7个，问：这个班一共有多少人？例题五：科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

问：其他年级参展的作品共有多少件？例题六某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.例题七某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

（一）7-7-1.容斥原理之重叠问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．2.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个(，相当于中文“和”或者“或”的数，用式子可表示成：”读作“并”其中符号“BAB?A?B?A则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)意思；符号“，即阴影表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：理．图示如下:表示小圆部分，BACBA，即阴表示大圆与小圆的公共部分，记为：表示小圆部分，表示大圆部分，:面积．图示如下BACBA影面积．1．先包含——B?A重叠部分计算了次，多加了次；1BA2．再排除——2B?A?AB次的重叠部分减去．把多加了1BA的元素的个数，可分以下两步进行：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集BABA、的一切元素都“包含”意思是把(第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求B、BA、AB?A )；进来，加在一起．(第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去意思是“排除”了重复计算的元素个数)BAC?二、三量重叠问题类又是既是类元素的个数类元素个数类元素个数类与类、类元素个数的总和?CC?BB?B?AAA类类、同时是类、类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数??CCCBABA?．图示如下：的元素个数．用符号表示为：CBAC?A?C?AB?BC??ABC?AB的元素的个数，图中小圆表示的元素的个数，中圆表示BA大圆表示的元素的个数．C1．先包含：C?A?B次．次，、重叠了多加了重叠部分、1ACBCBA2．再排除：2C?A??ABBCA?B?C次，但是在进行重叠部分重叠了CAB?CBA??3计算时都被减掉了．CC?ABAB?．3．再包含：CCA?ABB??AB?CAB?C?来帮助分析思考．(在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图韦恩图)1ofpage8 教师版题库.容斥原理之重叠问题（一）1-7-7．例题精讲两量重叠问题小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳】【例1BA ________、圆。

| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲包含与排除| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲包含与排除的实质为容斥原理。

第一要点：如果被计数的事物有A 、B 两类，那么A 类或B 类元素个数=A 类元素个数+B 类元素个数一既是A 类又是B 类的元素个数。

第二要点：如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么A 类或B 类或C 类元素个数=A 类元素个数+B 类元素个数+C 类的元素个数一既是A 类又是B 类的元素个数－既是B 类又是C 类的元素个数－既是C 类又是A 类的元素个数+既是A 类又是B 类且是C 类的元素个数。

例1：如右图所示，两个长方形A 和B 的面积分别是21和9平方厘米，它们重叠部分C 的面积为4平方厘米，这两个长方形盖住桌面的面积是多少？分析：长方形A 和B 的面积分别是21和9平方厘米，它们重叠部分C 的面积是4平方厘米，由图可知A 、B 两个长方形盖住桌面积为两个长方形的面积和减去重叠部分C 的面积。

专题解析典型例题解析A 21B 9C 4| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲练习11.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2.用一根6米长的竹竿测量井的深度，先将一端竖直插入水中，拿出来，再将另一端也竖直插入水中，两次共同弄湿的部分长2米，请问这口井深多少米？3.某校同学参加全市的数学和语文学科竞赛，结果有23人获得数学竞赛优胜奖，有15人获得语文竞赛优胜奖，其中有8人两门学科都获得优胜奖。

问这所学校有多少名学生获奖？4.某小学四年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了兴趣小组？5.电视台向100人调查昨天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。

问：两个频道都没看过的有多少人？| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲6.某校四年级共有132名学生，学生们自愿报名参加课外活动小组。

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：教學目標知識要點1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．7-7-4 容斥原理之數論問題第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然數中，不是3的倍數也不是5的倍數的數有多少個？A B【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖，用長方形表示1~100的全部自然數，A 圓表示1~100中3的倍數，B 圓表示1~100中5的倍數，長方形內兩圓外的部分表示既不是3的倍數也不是5的倍數的數．由1003331÷=可知，1~100中3的倍數有33個；由100520÷=可知，1~100中5的倍數有20個；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍數又是5的倍數的數有6個．例題精講圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，大圓表示C 的元素的個數． 1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．由包含排除法，3或5的倍數有：3320647+-=(個)．從而不是3的倍數也不是5的倍數的數有1004753-=(個)．【答案】53【巩固】 在自然數1100~中，能被3或5中任一個整除的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根據包含排除法，能被3或5中任一個整除的數有3320647+-=(個)．【答案】47【巩固】 在前100個自然數中，能被2或3整除的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖所示，A 圓內是前100個自然數中所有能被2整除的數，B 圓內是前100個自然數中所有能被3整除的數，C 為前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數．前100個自然數中能被2整除的數有：100250÷=(個)．由1003331÷=知，前100個自然數中能被3整除的數有：33個．由10023164÷⨯=（）知，前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數有16個．所以A 中有50個數，B 中有33個數，C 中有16個數．因為A ，B 都包含C ，根據包含排除法得到，能被2或3整除的數有：50331667+-=(個)．【答案】67【例 2】 在從1至1000的自然數中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有多少個?【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 1～1000之間，5的倍數有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200個，7的倍數有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142個，因為既是5的倍數，又是7的倍數的數一定是35的倍數，所以這樣的數有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28個．所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有1000-200-142+-28=686個．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然數中能被3或7整除的數的個數．【考點】容斥原理之數論問題【難度】2星【題型】解答【解析】記A：1～100中3的倍數，1003331÷=，有33個；B：1～100中7的倍數，1007142÷=，有14個；A B：1～100中3和7的公倍數，即21的倍數，10021416÷=，有4個．依據公式，1～100中3的倍數或7的倍數共有3314443+-=個，則能被3或7整除的數的個數為43個.【答案】43【例 3】以105為分母的最簡真分數共有多少個？它們的和為多少？【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星【題型】解答【解析】以105為分母的最簡真分數的分子與105互質，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍數的數有多少個，3的倍數有35個，5的倍數有21個，7的倍數有15個，15的倍數有7個，21的倍數有5個，35的倍數有3個，105的倍數有1個，所以105以內與105互質的數有105-35-21-15+7+5+3-1=48個，顯然如果n與105互質，那麼（105-n）與n互質，所以以105為分母的48個最簡真分數可兩個兩個湊成1，所以它們的和為24.【答案】48個，和24【巩固】分母是385的最簡真分數有多少個？並求這些真分數的和.【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星【題型】解答【解析】385=5×7×11，不超過385的正整數中被5整除的數有77個；被7整除的數有55個；被11整除的數有35個；被77整除的數有5個；被35整除的數有11個；被55整除的數有7個；被385整除的數有1個；最簡真分數的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.對於某個分數a/385如果是最簡真分數的話，那麼（385-a）/385也是最簡真分數，所以最簡真分數可以每兩個湊成整數1，所以這些真分數的和為120.【答案】240個，120個【例 4】在1至2008這2008個自然數中，恰好是3、5、7中兩個數的倍數的數共有 個．【考點】容斥原理之數論問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】西城實驗【解析】 1到2008這2008個自然數中，3和5的倍數有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，3和7的倍數有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，5和7的倍數有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，3、5和7的倍數有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個．所以，恰好是3、5、7中兩個數的倍數的共有1331995195719228-+-+-=個．【答案】228個【例 5】 求1到100內有____個數不能被2、3、7中的任何一個整除。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43例题精讲【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。

”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。

最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。

”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。

”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。

即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。

容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边【】号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

容斥原理1 两集合标准型如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

(A∪B = A+B - A∩B )总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案15+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。

两个频道都没看过的有多少人？100-(62+34-11)=15容斥原理2 三集合标准型如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。

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容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数,蝙蝠跑过去对仙鹤说;“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。

”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了,结果得出森林中一共有80种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了,结果统计出森林中一共有60种兽类。

最后狮子大王问:“森林中共有鸟类和兽类多少种?”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报:“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。

”这个统计正确吗？同学们肯定会说:“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种.”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）:当两个计数部分有重复时,为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数.即A∪B∪C = A+B+C - A∩B —B∩C —C∩A + A∩B∩C容斥原理1【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和.15+12—4=23【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。

四年级奥数第29讲容斥问题(wèntí)（教师版）教学目标λ了解容斥原理二量重叠(chóngdié)和三量重叠的内容λ掌握容斥原理(yuánlǐ)在组合计数等各个方面的应用知识梳理一、两量重叠(chóngdié)问题在一些(yīxiē)计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为：,即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B,即阴影面积．1．先包含——重叠部分A B计算了次,多加了次；包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B、的元素个数,然后加起来,即先求A B+(意思是把、的一切元素都“包含”进来,加在一起)；A B第二步：从上面(shàng miɑn)的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复(chóngfù)计算的元素个数)．二、三量重叠(chóngdié)问题A类、B类与C类元素(yuán sù)个数的总和类元素(yuán sù)的个数类元素个数类元素个数既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：重叠部分A B、、重叠了2次,多加了1次．2．再排除：在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．典例分析考点一：两量重叠问题、1实验小学四年级二班例参加语文兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有,人,人,人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组有?【解析(jiě xī)】如图所示,A圆表示(biǎoshì)参加语文兴趣小组的人,B圆表示参加(cānjiā)数学兴趣小组的人,A与B重合(chónghé)的部分C(阴影(yīnyǐng)部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人,有(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人,有(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人)．方法二：根据包含排除法,直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人,即：(人)．例2、对全班同学调查发现,会游泳的有人,会打篮球的有人．两项都会的有人,两项都不会的有人．这个班一共有多少人?【解析】如图,用长方形表示全班人数,A圆表示会游泳的人数,B圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出,全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数,至少会一项的人数为：(人),全班人数为： (人)．例3、在人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有人,既采了樱桃又采了杏的有人,既没采樱桃又没采杏的有人,问：只采了杏的有多少人?【解析(jiě xī)】如图,用长方形表示全体(quántǐ)采摘人员46人,A圆表示采了樱桃(yīng táo)的人数,B圆表示(biǎoshì)采了杏的人数．长方形中阴影(yīnyǐng)部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出,全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和,则至少采了一种的人数为：(人),而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数,所以,只采了杏的人数为：(人)．例4、育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,五、六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道,五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅,我们还知道五、六年级共展出25幅画, 进而可以求出五年级画作有13幅,六年级画作有12幅,那么就可以求出其他年级的画作共有3幅．考点二：三量重叠问题例1、全班有25个学生(xuésheng),其中(qízhōng)人会骑自行车,人会游泳(yóuyǒng),人会滑冰(huá bīng),这三个运动(yùndòng)项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格,那么, （1）数学成绩优秀的有几个学生?（2）有几个人既会游泳,又会滑冰?【解析】（1）有6个数学不及格,那么及格的有：(人),即最多不会超过人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动,那么,最少也会有：(人)至少会这三项运动之一．于是,至少会三项运动之一的只能是19人,而这19人又不是优秀,说明全班25人中除了19人外,剩下的6名不及格,所以没有数学成绩优秀的．（2）上面分析可知,及格的19人中,每人都会两项运动；会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以,全班有(人)既会游泳又会滑冰．考点三：图形中的重叠问题例1、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长厘米,焊接后这根铁条有多长?【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长(厘米)．例2、两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【解析(jiě xī)】两个长方形如图摆放(bǎi fànɡ)时出现了重叠(见图中的阴影部分), 重叠部分(bù fen)恰好是边长为2厘米(lí mǐ)的正方形,如果(rúguǒ)利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是,被覆盖面积(平方厘米)．例3、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少?【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A圆面积B+圆面积A与B重合部分+圆面积C面积与C重合部分面积B+与C重合部分面积三个纸片共同重叠的面积, 得：与B重合部分面积A+与C重合部+与C重合部分面积B分面积,得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即：阴影部分面积,则阴影(yīnyǐng)部分面积为：(平方厘米)．考点(kǎo diǎn)四：容斥原理在数论(shùlùn)问题中的应用例1、在的全部(quánbù)自然数中,不是(bùshi)3的倍数也不是的倍数的数有多少个?【解析】如图,用长方形表示1~100的全部自然数,圆表示1~100中3的倍数,B圆表示1~100中5的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由可知,1~100中3的倍数有个；由可知,1~100中5的倍数有20个；由可知,1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法,3或5的倍数有：(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问：和最大?是多少最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.实战演练➢课堂(kètáng)狙击1、一个班有48人,班主任在班会上(huìshànɡ)问：“谁做完语文(yǔwén)作业?请举手！”有37人举手。

知识要点 容斥原理【例1】 某班一共24人，每人至少订阅一份报纸，订阅数学报的有18人，订阅语文报的有16人，数学报和语文报都订阅的有多少人？【分析】 A B A B A B ⋃=+-⋂，16182410+-=（人），有10人订阅了两份报纸.【例2】 少先队员外出旅游，途经一个小卖部，有15人要喝可乐，有12人要喝雪碧，有4人既要可乐，又要雪碧，没有人不喝饮料。

问有多少少先队员参加这次旅游？【分析】 只喝可乐的人有15411-=人，只喝雪碧的有1248-=人，两者都喝的有4人，没有人都不喝，所以总人数应该是118423++=人。

或者直接依据容斥原理解决：1512423+-=人。

计数是数学中一个有趣的分支，它所涉及到的方法非常广泛，本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理，以及分类分步计数法——加乘原理。

容斥原理基本公式：A B A B A B=+-U I A B C A B C A B B C C A A B C =++---+U U I I I I I加法原理：如果完成一件事情有k 类方法，第一类方法有1m 种不同做法，第二类方法有2m 种不同做法，…第k 类方法有k m 种不同做法，则完成这件事情有123()k m m m m ++++L 种不同做法。

乘法原理：如果完成一件事情有k 个步骤，第一步有1m 种不同做法，第二步有2m 种不同做法，…第k 步有k m 种不同做法，则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯⨯L 种不同做法。

数学原理【例3】 有100种食品.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？【分析】 根据容斥原理最小值是684310011+-=种，最大值就是含铁的种数，即有43种。

【例4】 图书室有100本书，借阅图书者要在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的有29本，同时有甲、丙签名的有25本，同时有乙、丙签名的有36本.问这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？【分析】 设没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的分别为x 本，y 本，则根据容斥原理公式得：()100334455292536y x =++---++，化简得58x y +=，要使x 取值最少，那么y 值应该尽量大，y 表示三人都借阅过的，最大为25，此时33x =，所以，至少33本没被三人中的任何一人借阅过。

7-7-3.几何中的重叠问题目t雌瞬鯛「五年级奥数几何中的重叠问题教师版2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.—、两量重叠I可题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数, 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去莹复计算的元素个数•即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB = A+B-ADB（其中符号“ir读作“并二相当于中文“和"或者“或"的意思;符号“rr读作"交相当于中文“且"的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下:A表示小圆部分.3表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分，记为：APIB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆部分,3表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分，记为：即阴影面枳.先包含•重叠部分AHB计算了2次，多加了1次;X2.再扌非除——A +把多加了1次的电叠部分人“3减去.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AIJB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 3的元素个数，然后加起来，即先求A + B（意思是把A、B的一切元素都“包含''进来，加在一起）：第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C = Ap\B（t思是"排除"了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数- 既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类.B 类、C类的元素个数.用符号表示为：A\JB\JC = A + B + C-Ar\B-Br\C-AC\C + Ar\Br\C ・图示攻口下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示3的元素的个数，大圆表示C的元素的个数.1・先包含：A + B + C A重亞部分ADB、BCIC、CDA重亞了2次，多加了1次.2・再排除：A + B + C-AnB-BnC — AAC重叠部分ADBCIC电叠了3次，但是在进行A + B + C- AnB — BDC — AClC计算时都被减掉了.再包含：A + B + C-AnB-BAC-AAC + AABnC^^y 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.【例11把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的磴叠问題【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以•由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 + 53-4 = 87（厘米）. 【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问題【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：23 + 37-3 = 57（厘米）.【答案】57厘米【例2］两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状•把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问題【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为2 厘米的正方形，如果利用两个4x2的长方形面枳之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重査部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，被覆盖面积=长方形面积之和■重査部分.于是，被覆盖面积= 4x2x2-2x2 = 12 （平方厘米）.【答案】12厘米【巩固】如图3,—张长8厘米，宽6厘米,另一个正方形边长为6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问題 【难度】1星 【题型】解答【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘 米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠 部分在长方形和正方形面积中各被计算了 一次,而实际上这部分只需计算一次就可 以了.所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重査部分.于是,组合图 形的面积：8x6 + 6x6-4x4 =68（平方厘米）.【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的 部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问題 【难度】1星 【题型】解答12 84610【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分）座叠部分恰好是边长为4 厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重査部 分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以 了.所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分.于是，纽合图形的面积 = 12x8 + 10x6-4x4 = 140（平方厘米）.【答案】140平方厘米三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积 是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米•问：图中阴影部分面积 之和是多少？【解析】将图中的三个圆标上A 、3、C •根扌居包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=（A 國面积+3圆面积+C 圆面积）-（A 与3重合部分面积+A 与C 重合部分面积+3 与C 重合部分面积）+三个纸片共同重叠的面积，得：100 =（50 + 50 + 50）-（A 与B 重合部分面积+A 与C 重合部分面枳+3与C 重合部分面积）+ 10,得到A 、B 、C 三 个圆两两重合面积之和为：160-100 = 60平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三 个纸片共同重査的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60 = 10x3+阴影部分面积, 則阴影部分面积为：60 - 30 = 30（平方厘米）.【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙.甲与丙重合部分的面 积分别为6,8（,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.【考点】几何中的匿叠问題 【难度】2星 【题型】解答【例3】 几何中的重叠问题【解析】设甲圆组成集合A.乙圆组成集合B,丙圆组成集合C.|A| = |B| = \C\ =30, | A fl B| =6, D C| =&\AQC\ =5, | A U B U C| =73,而|AUBUC|=|A| + |B|-|C|-|An5|-|BnC|-|AnC|+|AnBnC|.有73=30x3-6-8-5+1A A B Q C| | A Q B A C| =2^P甲.乙、丙三者的公共面积（⑧部分面积）为2・那么只是甲与乙（④），乙与丙（⑥），甲与丙（⑤）的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3.所以有阴影部分（①.②、③部分之和）的面积为73-4-6-3-2=58.【答案】58【例4】如图,三角形纸板、正方形纸板.圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米.阴影部分的面积总和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问題【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸莹叠部分是被计算了三次.所以三张纸重叠部分的面积=（60 x 3-100 - 40）十2 = 20（平方厘米）・【答案】20平方厘米【巩固】如图所示泌.3、C分别是面积为12. 28. 16的三张不同形状的纸片，它们亟叠在一起，露在外面的总面积为38.若A与〃、3与C的公共部分的面积分别为8. 7M. B. C这三张纸片的公共部分为3.求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的匿叠问題【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为■由包含与排除原理可得：⑴先'电含"：把图形A、B、C的面积相加：12 + 28 + 16 = 56,那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉.（2）再“排除‘‘：56-8-7-兀,这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回.（3）再“包含56-8-7-X + 3,这就是三张纸片覆盖的面积.根据上面的分析得：56-8-7-人+3 = 38.解得：x = 6・【答案】6。