解析几何范围最值问题(教师)详解

专题二 压轴解答题第11关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．【典例解剖】类型一 离心率问题典例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)43x y t t t+=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值； （3）设直线l ：2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．【答案】（1）12（2）224513PA PB =（3）详见解析 【解析】【分析】第一问利用离心率的公式直接求解；第二问将直线AP 的方程为1(2)2y x t =+与椭圆C 的方程2223412x y t +=联立求出点P 的坐标，再利用两点间的距离公式即可求出22PA PB的值；第三问先求出Q 点的坐标，再利用中点坐标公式求出点E 的坐标，然后求出点P 的坐标及直线PF 的斜率、直线EF 的斜率，最后根据tan tan 2PFB θ∠=得出2PFB EFB ∠=∠即可证明．【详解】（1）∵椭圆C ：2222143x y t t +=，∴224a t =，223b t =，22c t =．又0t >，∴2a t =，c t =，∴椭圆C 的离心率12c e a ==． （2）∵直线AP 的斜率为12，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -，∴直线AP 的方程为1(2)2y x t =+．代入椭圆C 的方程2223412x y t +=，得2223(2)12x x t t ++=，即2220x tx t +-=，解得x t =或2x t =-（舍去），将x t =代入1(2)2y x t =+，得32y t =，∴点P 的坐标为3,2t t ⎛⎫⎪⎝⎭．又椭圆C 的右顶点B （2t ，0），∴2222345(2)024PA t t t t ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，2222313(2)024PB t t t t ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴224513PA PB =． （3）直线AP 的方程为(2)y k x t =+，将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，∴(2,4)Q t kt ．∵E 为线段BQ 的中点，∴(2,2)E t kt ，∵焦点F 的坐标为（t ，0），∴直线EF 的斜率2EF k k =．联立222(2)3412y k x t x y t =+⎧⎨+=⎩，，消y 得，()()2222234164430k x k tx k t +++-=．由于()22244334A P k t x x k -=+，2A x t =-，∴()2223434P k t x k -=+，∴点P 的坐标为()22223412,3434k t kt k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，∴直线PF 的斜率()222221242234141(2)23434PFktk kk k k k k ttk ⋅+===----+．而直线EF 的斜率为2k ，若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠，∴点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上． 【名师点睛】本题主要考查离心率的求值、直线与椭圆的综合问题、点关直线对称问题等． 求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 化转为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e （e 的取值范围）． 【举一反三】（2020·陕西渭南期末考试）如图，12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，123F AF π∠=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B ∆的面积为,a b 的值．【答案】（1）12；（2）10,a b ==【解析】【分析】（1）由题意可知，12AF F ∆为等边三角形，2a c ＝，∴1=2e ；（2）已知1AF B ∆的面积为,a b 的值． 【详解】（1）由题意，A 是椭圆C 的顶点，可知12=AF AF ，又123F AF π∠=，∴12AF F ∆ 为等边三角形，2a c ＝，∴1==2c e a ． （2）由（1）可得224a c ＝，又222+a b c ＝，2234b a ＝．直线AB 的倾斜角为23π，斜率为AB 的方程为 )y x c =-．将其代入椭圆方程 2223412x y c ＋＝，解得 8,5B c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴ 81680555AB c c a =-==，1AF a =，由1211118sin 225AF B S AF AB F AB a a ∆=⋅∠=⋅==10a =，b =类型二 最值、范围问题典例2．（2020上海南模中学月考）某景区欲建两条圆形观景步道12,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆M 与,AB AD 分别相切于点B ，D ，圆2M 与,AC AD 分别相切于点C ，D ．（1）若BAD 3π∠=，求圆12,M M 的半径；（结果精确到0．1米）（2）若观景步道12,M M 的造价分别为每米0．8千元与每米0．9千元，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0．1°和0．1千元） 【答案】（1）34．6米，16．1米；（2）263．8千元． 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0．8•2π•60tanα+0．9•2π•60tan （45°﹣α），化简，令1+tanα＝x 换元，利用基本不等式得出最值． 【详解】（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ， ∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD ＝12∠BAD ＝6π，∠M 2AD ＝12π，∴M1B ＝ABtan ∠M1AB ＝60×3＝．6（米），∵tan6π＝22tan121tan12ππ-tan 12π＝2，同理可得：M 2D ＝60×tan12π＝60（2≈16．1（米）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜4π），由（1）可知圆M 1的半径为60tanα，圆M 2的半径为 60tan （45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0．8•2π•60tanα+0．9•2π•60tan （45°﹣α）＝96πtanα+108π•1tan 1tan αα-+，设1+tanα＝x ，则tanα＝x ﹣1，且1＜x ＜2． ∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（21x -）＝12π•（8x +18x﹣17）≥84π≈263．8， 当且仅当8x ＝18x 即x ＝32时取等号， 当x ＝32时，tanα＝12，∴α≈26．6°，2α≈53．2°．∴当∠BAD 为53．2°时，观景步道造价最低，最低造价为263．8千元．【名师点睛】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．例3．（2020上海高三模拟考试）已知圆：()，定点，，其中为正实数．（1）当时，判断直线与圆的位置关系；C 22(1)x y a ++=0a >(,0)A m (0,)B n ,m n3a m n ===AB C（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值； （3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．【答案】(1) 相离．(2) ，．(3)【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离和半径的关系即可得到判断；（2）利用两点间的距离公式进行化简整理，由点P 的任意性即可得实数m ，λ的值；（3）设出点P 和点N 的坐标，表示出中点M 的坐标，M 、N 满足圆C 的方程，根据方程组有解说明两圆有公共点，利用两圆位置关系要求及点P 满足直线AB 的方程，解出半径的取值范围． 【详解】解： (1) 当时，圆心为当时，直线方程为， ∴圆心到直线距离为（2）设点，则，∵，∴，，…………由得，，∴，代入得，，化简得，…………∵为圆上任意一点，∴……… 4a =C P PA PO λ=O ,m λ2,4m n ==AB P C ,M N M PN a 3m =2λ=1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭3a =()1,0-3m n ==AB 30x y +-=d ==<(),P x y PO =PA =PA PO λ=()()22222x m y xy λ-+=+()()222221120x y mx m λλ-+-+-=()2214x y ++=22230x y x ++-=2232x y x +=-()()2213220x mx m λ--+-=()()22221310m x m λλ-+-+-=P C ()22210,310,m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩又，解得，．………………… (3)法一：直线的方程为，设()，， ∵点是线段的中点，∴，又都在圆：上，∴ 即…………………… ∵该关于的方程组有解，即以为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，∴，又为线段上的任意一点，∴对所有成立．而 在上的值域为， ∴∴．……… 又线段与圆，∴． 故实数的取值范围为．……………法二：过圆心作直线的垂线，垂足为，设，，则则消去得，，,0m λ>3m =2λ=AB 124x y+=(),42P t t -02t ≤≤(),N x y M PN ,222x ty M t +⎛⎫-+⎪⎝⎭,M N C ()221x y a ++=()22221,12,22x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨+⎛⎫⎛⎫++-+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩()()()22221,2424,x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨++++-=⎪⎩,x y ()1,0-()2,24t t ---()()221249a t t a ≤++-≤P AB ()()221249a t t a ≤++-≤02t ≤≤()()()22124f t t t =++-2736555t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]0,236,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦36,5917,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩173695a ≤≤AB C <365a <a 1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭C MN H CH d ==MN l 222221232d l a d l PC ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩l [)2290,88PC d a a =-∈∴(]2,9PC a a ∈直线方程为 点到直线且为线段上的任意一点， …，，故实数的取值范围为．【举一反三】1．（2020上海高三模拟考试）如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A 相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切．（1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长． 【答案】(1) 3千米．(2) 【解析】 【分析】（1）先建立以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．设直线方程为：，由，运算即可得解；（2）设，，由PQ 与圆A 相切，得，再结合重要不等式即可得解． 【详解】解：（1）以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，AB 240x y +-=∴C AB =3,CA CB ==P AB ∴236,175PC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(]36,17,95a a ⎡⎤∴⊆⎢⎥⎣⎦361795a a ∴<<≤a 1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭2+14x yb+=1=(,0)P a (0,)Q b (2,2)a b >>2()2ab a b =+-则圆A 的方程为， 由题意可设直线PQ 的方程为，即，， ∵PQ 与圆A，解得，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米． （2）设，， 则直线PQ 方程为，即． ∵PQ 与圆A，化简得，即； 解法一：因此∵，，∴，于是．又，解得，或∵，∴，当且仅当时取等号，∴PQ 最小值为，此时．答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法二：化简得，即．∵22(1)(1)1x y -+-=14x yb+=440bx y b +-=(2)b >1=3b =(,0)P a (0,)Q b (2,2)a b >>1x ya b+=0bx ay ab +-=1=202()a ab b -++=2()2ab a b =+-PQ ====2a >2b >4a b +>()2PQ a b =+-22()22a b ab a b +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭04a b <+≤-4a b +≥+4a b +>4a b +≥+()22PQ a b =+-≥+2a b ==2+2a b ==2+202()a ab b -++=2(1)2222a b a a -==+--PQ ====∵，∴． 当且仅当，即时取到等号， 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法三：设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB 、AP 、AQ ，设， 则，，且，∴，又∵，∴，∴（当且仅当取等号）答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法四：设PQ 与相切于点B ，设，，则，，，在中，由得：，化简得：，∴，解得：或（舍）=2(2)22a a ==-++-2a >2(2)2222PQ a a =-++≥+=-222a a -=-2a b ==+2+OPA θ∠=APB APO ∠=∠BQA OQA ∠=∠2OPQ OQP π∠+∠=4AQB πθ∠=-AB PQ ⊥1tan PB θ=10,4tan 4BQ πθπθ⎛⎫=∈ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭111111tan 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan 4PQ θθπθθθθθθ+=+=+=+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭12121(tan 1tan )1tan 1tan tan 1tan θθθθθθ⎛⎫=+-=++-- ⎪--⎝⎭1tan 2tan 12122tan 1tan θθθθ-=+++-≥+=+-tan 1θ=2+A BP x =(0,0)BQ y x y =>>1OP x =+1OQ y =+PQ x y =+RT OPQ ∆222OP OQ PQ +=222()(1)(1)x y x y +=+++1xy x y =++212x y x y +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭2x y +≥+2x y +≤-（当且仅当时等号成立），∴当时，PQ有最小值．答：当P、Q两点距离公路交点O都为PQ最短．2．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的离心率3e=，左、右焦点分别为12,F F，且2F与抛物线24y x=的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F的直线交椭圆于,B D两点，过2F的直线交椭圆于,A C两点，且AC BD⊥，求AC BD+的最小值．【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y+=；（2）AC BD+．【解析】（1）抛物线24y x=的焦点为()1,0，∴1c=，又∵13cea a===，∴a=22b=，∴椭圆的标准方程为22132x y+=．12BD x x=-=)22132kk+=+．易知AC的斜率为1k-，∴)222211112332kkACkk⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+．()222114313223AC BD kk k⎛⎫+=++⎪++⎝⎭()()()()()()22222222220312031322332232k kk k k k++=≥++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦1x y==+2OP OQ==+2+)()222212514k k +==+． 当21k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +的最小值为1635． （ii ）当直线BD的斜率不存在或等于零时，易得AC BD +=>综上：AC BD +． 类型三 面积问题典例3．（2020上海松江区一模）设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．（1）若，求点的坐标；（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，最小值2，． 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程以及抛物线定义，根据求出横坐标，代入，即可得出点的坐标； （2）设，，设直线的方程是：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到，推出恒为钝角，即可得结论成立； （3）设，则，由得，推出直线的斜率．设直线2:4y x Γ=F x (,0)M m lΓA B ||3FA =A 2m =O AB ||||FA FM =1l l 1l ΓE OAE M (2,±(3,0)M ||3FA =24y x =()11,A x y ()22,B x y AB 2x my =+12120OA OB x x y y ⋅=+<AOB ∠()11,A x y 110≠x y ||||FA FM =1(2,0)+M x AB 12=-AB y k的方程为，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得．设，则，，由三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果． 【详解】（1）由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，∴点的坐标或 （2）设，， 设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得， ∴，故恒为钝角，故原点总在以线段AB 为直径的圆的内部． （3）设，则，∵，则，由得，故，故直线的斜率． ∵直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得． 设，则，，，当且仅当，即时等号成立， 1l 12y y x b =-+12b y =-(),E E E x y 14E y y =-21141E x y x ==(1,0)F 1x =-()11,A x y ||3FA =12x =24y x=y =±A (2,A (2,A -()11,A x y ()22,B x y AB 2x my =+224x my y x =+⎧⎨=⎩x 2480y my --=121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<AOB ∠O ()11,A x y 110≠x y ||||FA FM =111-=+m x 0m >12=+m x 1(2,0)+M x AB 12=-AB y k 1l AB 1l 12y y x b =-+211880b y y y y +-=21164320b y y ∆=+=12b y =-(),E E E x y 14E y y =-21141E x y x ==11111111014111222141OAE y x S x y x y x y ∆==+≥-11114y x x y =22114y x =由得，解得或（舍），∴点的坐标为，． 【名师点睛】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．典例4．（2020上海吴淞中学月考）已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上．（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积； （2）若，求证：直线过一定点；（3）若，的外接圆半径为，求的值． 【答案】（1）2（2）证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）求得，由三角形的面积公式，即可求解面积；（2）设，联立方程组，求得，又由，求得，得到，即可得到答案；（3）由题意得：，求得线段的中垂线方程，求得外接圆圆心的纵坐标为，即可求解． 【详解】（1）由题意，椭圆，可得，故的面积为． （2）根椐对称性，定点必在轴上，利用特殊值可计算得定点为， 设，，，221121144y x y x ⎧=⎨=⎩21144x x =11x =10x =M (3,0)M min ()2OAE S ∆=2214x y +=A ()*,n n P Q n N∈11,P Q 11APQ∆0n n AP AQ ⋅=n n P Q 11n n P Q y y n==-n n AP Q ∆n R lim n n R →∞411(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -11APQ ∆():1n n P Q y l kx m m =+≠1212,x x x x +0n n AP AQ ⋅=35m =-3:5n n P Q y kx l =-22112,1n P n nn ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭n AP 332y n=-+2214x y +=11(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -11APQ ∆11422⨯⨯=y 30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭():1n n P Q y l kx m m =+≠()11,n P x y ()22,n Q x y联立方程组，整理得，可得， ∵，所，即， 可得， 即，可得，又∵，∴，∴，可得必过定点．（3）易知是等腰三角形，外接圆圆心在轴上，由题意得：，线段的中垂线为： 故外接圆圆心的纵坐标为：，∴，∴． 【举一反三】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点，点()2,3A --在椭圆M 上，且离心率为12e =．(1)求椭圆M 的方程；(2)若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆M 的另一个交点为,B C 为椭圆M 上的一点，当ABC 面积最大时，求点C 的坐标．【答案】(1)2211612x y +=(2) 1919⎛- ⎝⎭【解析】(1)由椭圆M 经过点()2,3A --，离心率12e =，可得22491a { 12b c a +==，解得2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()222148410k x kmx m +++-=()122212208144114km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⎪=+⎩90n n P AQ ∠=︒0n n AP AQ ⋅=12121210x x y y y y +--+=()()()()12121210x x kx m kx m kx m kx m +++-+-++=()()()()2212121110kx xk m x x m ++-++-=()()5310m m +-=1m ≠35m =-3:5n n P Q y kx l =-30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭n n AP Q ∆y 1n P n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭nAP 112y x n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭332y n =-+3313422n R n n ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭3lim lim 442n n n R n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2216,12a b ==，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=∴直线l 的方程为210x y -+=，设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=由221{ 161220x y x y m +=-+=，整理得()2219164120x mx m ++-= 由()()22164194120m m =-⨯⨯-=，解得276m =，∵m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m <，故m =-解得x =，y =，∴C点的坐标为⎝⎭ 【精选名校模拟】1．（2020·上海闵行区期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x yC a a a +=>-．(1)过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值； (2)已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围； (3)若直线:13x yl a a +=-与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标．【答案】(1)6a =；(2)[24,49]；(3)证明见解析，(3,0)-． 【解析】【分析】（1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由MN 的长可得纵坐标，即椭圆过9(3,)2-，代入椭圆的方程求出a 的值；（2）6a =代入椭圆可得椭圆的标准形式，设A 的坐标，TA BA 中的BA 用,TA TB 向量表示，再由题意可得关于A 的坐标的关系，由A 的坐标的范围求出数量积TA BA 的取值范围；（3）将直线l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出PQ 的中点的坐标，及弦长PQ ，求出以线段PQ 为直径的圆的方程，整理出关于a 的二次三项式恒为0，可得a 的所有系数都为0，可得x ，y 的值，即圆恒过的定点坐标．【详解】（1）由题意可得：222(9)9c a a =--=，即左焦点为：(3,0)-，若||9MN =，∴9||2y =，将3x =，9||2y =代入椭圆可得：229181149a a +=-，又3a >解得：6a =． （2）6a =时，椭圆的方程为：2213627x y +=，设(,)A x y ，66x -，2()||TA BA TA TA TB TA TA TB =-=-，由题意可得：222222211||(1)(1)27(1)228(4)243644x TA BA TA x y x x x x ==-+=-+-=-+=-+，由66x -，∴[24TA BA ∈，49]．（3）联立直线l 与椭圆的方程可得：22(9)0ay a y --=，解得10y =，229a y a-=，设(,0)P a ，29(3,)a Q a--，∴PQ 的中点为：3(2a -，29)2a a -，22229||(3)()a PQ a a -=++， ∴以线段PQ 为直径的圆的方程为：2222223919()()[(3)()]224a a a x y a a a ----+-=++，整理可得：22222222239939(3)()()()()2222a a a a a x a x y y a a a---+---++-+=+，即2229(3)30a x a x y y a a---+--=，整理可得：22(3)(3)90x y a x x y a y -++++++=，对于任意的3a >，关于a 的二次三项式22(3)(3)9x y a x x y a y -++++++恒为0， ∴二次项，一次项和常数项的系数均为0，即2(3)390x y x x y y -++=++==， ∴3x =-，0y =，即定点坐标为(3,0)-．2．（2019·上海南模中学高三月考）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称．（1）若已知10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 为椭圆上动点，证明：2MC ≤； （2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）证明见解析；（2）6,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2． 【解析】【分析】（1）设点(),M x y ，则有11y -≤≤，代入椭圆的方程得出2212x y =-，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出MC 的最大值2，从而证明2MC ≤； （2）由A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称，可得出直线AB 与直线12y mx =+，从而可得出直线AB 的斜率为1m -，设直线AB 的方程为1y x b m=-+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆方程联立，得出>0∆，并列出韦达定理，求出线段AB 的中点M ，再由点M 在直线上列出不等式，结合>0∆可求出m 的取值范围； （3）令1t m-=，可得出直线AB 的方程为y tx b =+，利用韦达定理结合弦长公式计算出AB ，利用点到直线的距离公式计算出AOB ∆的高d 的表达式，然后利用三角形的面积公式得出AOB ∆面积的表达式，利用基本不等式可求出AOB ∆面积的最大值．【详解】（1）设(),M x y ，则2212x y +=，得2222x y =-，于是MC ====因11y -≤≤，∴当12y时，max MC =，即MC ≤ （2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+． 由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222222102m b x x b m m +-+-=．∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，即2221b m <+，①由韦达定理得12242bm x x m +=+，()22122212b m x x m -=+，2122212222y y bm bm b m m m +=-⋅+=++，∴线段AB 的中点2222,22mb bm M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+，解得2222m b m +=-②， 将②代入①得22222222m mm m ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭，化简得223>m ．解得3m <-或3m >，因此，实数m 的取值范围是6,,33⎛⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230,2t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2212t b +=-． 则122421tb x x t +=-+，21222221b xx t -=+， 则12AB x x =-=221t==+==，且O到直线AB的距离为2d=设AOB∆的面积为()S t，∴()124S t ABd=⋅=()()222132422t t++-≤⋅=，当且仅当212t=时，等号成立，故AOB∆．3．（2020·上海南模中学期末）已知定点()1,0F，动点P在y轴上运动，过点P作直线PM交x轴于点M，延长MP至点N，使0PM PF⋅=．||||PM PN=点N的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若S，T是曲线C上的两个动点，满足0OS OT⋅=，证明：直线ST过定点；（3）若直线l与曲线C交于A，B两点，且4OA OB⋅=-，||430AB≤≤l的斜率k的取值范围．【答案】(1) ()240y x x=>；(2) 直线ST过定点()4,0；(3)111,,122k⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】(1)设出动点N ，则,M P 的坐标可表示出，利用0PM PF ⋅=，可求得,x y 的关系式，即N 的轨迹方程；(2)设直线:ST x ty m =+，联立直线与(1)中所得抛物线的方程，利用韦达定理表示0OS OT ⋅=，进而求得m 即可；(3)设出直线l 的方程，A ，B 的坐标，根据12124x x y y +=-推断出128y y =-，把直线与抛物线方程联立消去x 求得12y y 的表达式，进而求得2b k =-，利用弦长公式表示出2AB ，再根据AB 的范围，求得k 的范围．【详解】(1)设动点(),N x y ，则(),0M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭，0x >，∵0PM PF ⋅=，即,1,022y y x ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()240y x x =>． (2)设直线:ST x ty m =+，联立()2240440y x x y ty m x ty m⎧=>⇒--=⎨=+⎩． 设()()1122,,,S x y T x y ，则124y y m ⋅=-，()22212212124416y y y y x x m ⋅⋅=⋅==．又0OS OT ⋅=，故由题有12120x x y y +=，即240m m -=．由题意可知0m ≠，故4m =．故直线:ST 4x ty =+，恒过定点()4,0． (3)设直线l 方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，则由4OA OB ⋅=-，得12124x x y y +=-，即221212444y yy y ⋅+=-，∴()2121216640y y y y ++=，解得128y y =-，由()()2240440,0y x x ky y b k y kx b⎧=>⇒-+=≠⎨=+⎩，∴12482by y b k k ==-⇒=-， 当216160120kb k ∆=->⇒+>恒成立，()()222121212222211116161141b AB yy y y y y k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22416112k k k ++=． 由题意，||430AB ≤≤()()224161121661630k k k++⨯≤≤⨯，即2422132513121428424k k k ⎛⎫≤+≤⇒≤+≤⎪⎝⎭， ∵21302k +>，故2251311114222k k ≤+≤⇒≤≤，解得2114k ≤≤，∴112k ≤≤或112k -≤≤-． 即所求k 的取值范围是111,,122⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 4．（2020·上海南模中学期末）教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点．（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ，22x xy y 12+=，CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，∵()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y 在椭圆上，整理化简得2223x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上．【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y ． （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=，于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD =，将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=，∴直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 联立1221y y m 2=-+， 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB ， 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++，即22C C x y 12+=，当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2． （3）点N 在直线AB 上，∵()C C C x ,y ，设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-， 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=--00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上．5．（2020·上海普陀区一模）已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值．【答案】（1）2213x y -=；（2）15((,3)33-；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）求得双曲线的2c =，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，联立直线40x my --=和2233x y -=，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得1||||2OF DE <，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出||P Q x x -，即可得证．【详解】（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=．（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，即223503m m -<-，则3m <<-或3m <<， 即实数m的取值范围15((,3)． （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -．设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD 的中点，则点00()22x y P+， 直线BD，直线AD ，又BDPQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x yx y -=-，即200000322x x y y x y y -=++， 又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=+，即02(1(33x xx +-+=+，则024x x =，即点Q 的横坐标为024x ，则p q x x -==．故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值．6．（2020·上海金山中学期末）已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B ． （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba的值在区间0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(sin , sin )B αα；（2）06πα<<；（3）314m +<<． 【解析】【分析】（1）联立方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，再求解即可；（2）由椭圆的几何性质可得1a =，tan b α=，再解不等式040tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩即可；（3）先求出抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，由点(sin ,sin )B αα在抛物线上可得2sin 4(1)(sin )m m αα=---，再令sin t α=，则2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-①，其中102t <<，则问题可转化为抛物线①在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，再求解即可．【详解】（1）解方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得sin x y α==，∴(sin , sin )B αα． （2）∵04πα<<，0tan 1α<<，∴椭圆的焦点在x 轴上，1a =，tan b α=，由条件0403b a πα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，得：040tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴06πα<<；（3）由题意得：1m ，且抛物线焦点A 与顶点D 的距离为1m -，设抛物线方程为：22()y p x m =--，那么2(1)p m =-，故抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，∵点(sin ,sin )B αα在抛物线上，∴2sin 4(1)(sin )m m αα=---，2sin 4(1)sin 4(1)0m m m αα--+-=，设sin t α=，∵06πα<<，∴102t <<， 令2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-①，其中102t <<，抛物线①开口向上，其对称轴2(1)0t m =-<， 抛物线①在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即24(1)074604m m m m -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩，∴0? 1m m m ⎧<<或m的取值范围是314m <<． 7．（2020·上海闵行区一模）已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F ．（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；（2）若点(),T x y 在抛物线Γ上，且满足[]1,4x ∈，过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A B 、，求四边形TAFB 的面积的取值范围；（3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M P Q N 、、、四点，证明：12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”【答案】（1）4；（2）；（3）见解析 【解析】【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；（2）根据条件可表示出四边形TAFB 的面积S =，利用函数的单调性即可得解；（3）充分性：令直线l 的方程为2x =，分别求出M 、P 、Q 、N 四点坐标后即可证明12MP QN PQ ==；必要性：设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，由12MP QN PQ==可得1234y y y y +=+，即可得出t 与m 的关系，进而可得出直线l 的方程为2x =．【详解】（1）由2240x y x +-=可得：()22 24x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心()2,0到Γ的准线2x =-的距离为4．（2）四边形TAFB 的面积为：1222S =⨯⨯===，∴当[]1,4x ∈时，四边形TAFB 的面积的取值范围为．（2）证明(充分性) ：若直线l 的方程为2x =，将2x =分别代入28y x =2240x y x +-=得()2,4M ，()2,2P ，()2,2Q -，()2,4N -．∴122MP ON PQ ===，∴12MP QN PQ ==．(必要性) ：若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合，设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则1234y y y y +=+，将x ty m =+代入28y x =得2880y ty m --=，128y y t +=，264320t m ∆=+>即220t m +>，同理可得，()342221t m y y t-+=-+， ∴()22281t m t t--=+即0t =或242m t =--， 而当242m t =--时，将其代入220t m +>得2220t -->不可能成立；．当0t =时，由280y m -=得：1y =2y =- 将x m =代入2240x y x +-=得3y =4y =12MP PQ =，∴12=⋅，∴220m m -=，∴2m =或0m =（舍去），∴直线l 的方程为2x =，12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”．8．（2020·上海川沙中学期末考试）已知两点1(F、2F ，动点(,)M x y 满足12|||4|MF MF +=，记M 的轨迹为曲线C ，直线:l y kx =（0k ≠）交曲线C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交曲线C 于点G ． （1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线； （2）若2k =，求△PQG 的面积； （3）证明：△PQG 为直角三角形．【答案】（1）22142x y +=，轨迹是以0)、(为焦点的椭圆；（2）4027；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，根据椭圆定义，即可求出方程；（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，可得111(,),(,0)Q x kx E x --，求出QE 方程，与椭圆方程联立求出G 点坐标，再将2y x =与椭圆方程联立，求出,,P Q G 坐标，即可求解； （2）根据（2）中G 点坐标求出PG 斜率，即可证明结论．【详解】（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，M点轨迹就是以12(F F 为焦点的椭圆，其方程为22142x y +=．（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，则111(,),(,0)Q x kx E x --，直线QE 方程为1()2ky x x =-， 联立122()2240k y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2222211(2)280k x k x x k x +-+-=，① 设221(,),G x y x -为方程①的解，222111121212222232,222k x k x k x x x x x x k k k +-=∴=+=+++，323111122122232(),(,)2222k x k x x k x ky x x G k k k +=-=+++， 联立22224y x x y =⎧⎨+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2424148(,),(,),(,)333399P Q G --， 1414240()239327PQG S ∆=⨯+=．（3）由（2）得231112232(,)22k x x k x G k k +++，3112122111122123222PGk x kx kx k k k x x k x k x k -+===-+--+， PQ PG ∴⊥，即△PQG 为直角三角形．9．（2020·上海东昌中学期末考试）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆221:14x C y +=．（1）若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆1C 相似且焦点在x 轴上、短半轴长为b 的椭圆b C 的标准方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围；（3）如图：直线y x =与两个“相似椭圆”和分别交于点,A B 和点,C D ，试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）【答案】（1） 相似比为2:1（2）b >（3）详见解析 【解析】【详解】（1）椭圆2C 与1C 相似．∵椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为 而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为 因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1． （2）椭圆b C 的方程为：，设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ，则2222{14y x tx y b b =-++=， ∴222584()0x tx t b -+-=，则12004,255x x t tx y +===， ∵中点在直线1y x =+上，∴有4155t t =+，53t =-，即直线MN l 的方程为：5:3MN l y x =--， 由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点，即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解，∴224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即b > （3）作法1：过原点作直线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．作法2：过点A 、点C 分别做x 轴（或y 轴）的垂线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．10．（2020·上海华师大附中月考）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于A 、B 两点，且3AB =，如图1．（1）求圆C 的方程；（2）如图1，过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于P 、Q 两点，求证：射线AB 平分PAQ ∠；（3）如图2所示，点M 、N 是椭圆Γ的两个顶点，且第三象限的动点R 在椭圆Γ上，若直线RM 与y 轴交于点1M ，直线RN 与x 轴交于点1N ，试问：四边形11MNN M 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）是， 【解析】【分析】（1）根据已知条件设出圆心坐标，半径为圆心纵坐标，利用弦长公式，可求出圆的方程；（2）先求出,A B 点坐标，设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得0AP AQ k k +=，命题得证；（3）设220000(,),28R x y x y +=，求出直线RM 、直线RN 方程，进而求出点1M 与点1N 的坐标，然后四边形11MNN M 的面积用点1M 与点1N 的坐标表示，计算可得定值．【详解】（1）依题意，设圆心(2,),C b r b =，||3AB ==，解得52r =， ∴所求的方程为()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． （2）0x =代入圆C 方程，得1y =或4y =，(0,1),(0,4)B A ∴， 若过点B 的直线l 斜率不存在，此时,,A P Q 在y 轴上，0PABQAB，射线AB 平分PAQ ∠，若过点B 的直线l 斜率存在，设其方程为1y kx =+，联立22281x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得，22222(21)460,1624(21)8(83)0,k x kx k kk∆。

二轮复习之八解析几何中的最值、定值、对称问题一、最值问题 （1）函数法例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求PQ 的最大值。

练习：若(,0)A a ，P 为双曲线221169x y -=上一点，若P 为双曲线左顶点时，AP 长度最小，则_____________∈a（2）不等式法例2、已知：21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点。

证明：（1）当P 为椭圆短轴端点时，三角形21F PF 面积最大。

（2）当P 为椭圆短轴端点时，21F PF ∠最大。

练习：设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ∙的最大值是（3）几何法例题：函数8x 4x 73x 6x y 22+-+++=的最小值为____________。

练习：函数1)4x (25)4x (y 22++-+-=的最大值为M ，最小值为N ，则M －N＝_________ 二、定值问题例题：如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹。

练习：在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．三、对称问题 (1)代入法对称例题：已知双曲线C ：1222=-y x ,点M （0，1），设P 是双曲线上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记t ＝的范围求t ,∙练习：曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________.(2)解析法对称例题：已知椭圆方程为13422=+y x ，试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称。

处理解析几何中的最值与范围问题的九种方法ʏ湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟最值与范围问题是解析几何中的重要题型,也是高考的重点,题目难度较大,处理方法灵活多变㊂求解方法一般有:圆锥曲线的性质法㊁二次函数性质法㊁函数的单调性法㊁基本不等式法㊁三角函数性质法㊁三角形边的关系法㊁垂线段性质法㊁柯西不等式法以及仿射变换法㊂一㊁圆锥曲线的性质法例1 (2021年河南省商丘市期末卷)已知F 1㊁F 2是椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左㊁右焦点,O 为坐标原点,点M 是椭圆C 上的点(不在坐标轴上),点N 是O F 2的中点,若MN 平分øF 1M F 2,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )㊂A.12,1 B .0,12C .13,1D .0,13解析:因为O 是F 1F 2的中点,N 是O F 2的中点,所以|N F 1|=3|N F 2|㊂因为MN 平分øF 1M F 2,所以|M F 1||M F 2|=|N F 1||N F 2|=3㊂因为|M F 1|+|M F 2|=2a ,所以|M F 1|=3a 2,|M F 2|=a2㊂由a -c <|M F 1|=3a2<a +c ,可得椭圆C 的离心率e =c a >12㊂又e <1,故椭圆C 的离心率的取值范围是12,1㊂选A ㊂评注:椭圆上的点到焦点的最大距离为a +c ,最小距离为a -c ㊂二㊁二次函数性质法例2 已知F为抛物线y 2=2x 的焦点,A (x 0,y 0)为抛物线上的动点,点B (-1,0),则2|A B |2|A F |+1的最大值为( )㊂A.12 B .2 C .62 D .5解析:由题意知x 0ȡ0,F 12,0㊂易得|A B |=(x 0+1)2+y 20=x 20+4x 0+1,|A F |=x 0+12㊂所以2|A B |2|A F |+1=2x 20+4x 0+12x 0+2=x 20+4x 0+1x 0+1㊂令t =x 0+1ȡ1,则x 0=t -1㊂所以2|A B |2|A F |+1=(t -1)2+4(t -1)+1t=t 2+2t -2t2=-2t 2+2t +1㊂则当1t =12,即t =2时,2|A B |2|A F |+1取最大值,此时2|A B |2|A F |+1=62㊂故选C ㊂评注:换元后应注意新元素的取值范围㊂三㊁函数的单调性法例3 已知椭圆C 1:x23+y 2=1的左顶点为A ,若曲线C 2的方程为(x -t )2+y2=(t 2+3t )20<t ɤ22,过椭圆C 1的左顶点A 的直线l 与曲线C 2相切,则直线l 被椭圆C 1截得的线段长度的最小值为㊂解析:已知椭圆C 1的方程为x 23+y 2=1,故左顶点A 的坐标为(-3,0)㊂易知直线l 的斜率存在,不妨设直线l 的方程为y =k (x +3)㊂由直线l 与曲线C 2相切得|k (t +3)|k 2+1=(t +3)t ,整理得|k |k 2+1=t ㊂又因为0<t ɤ22,所以0<|k |k 2+1ɤ22,解得0<k 2ɤ1㊂联立x 23+y 2=1,y =k (x +3),消去y 整理得:(3k 2+1)x 2+63k 2x +9k 2-3=0㊂易知直线l 被椭圆C 1截得线段的一个端点为A (-3,0)㊂设椭圆的另一端点为B ,解方程可得点B 的坐标为-33k 2+33k 2+1,23k 3k 2+1㊂所以|A B|=-33k 2+33k 2+1+32+12k2(3k 2+1)2=23k 2+13k 2+1㊂令m =k 2+1(1<m ɤ2)㊂则|A B |=23m 3(m 2-1)+1=233m -2m ㊂由函数y =3m -2m的性质知,y =3m -2m在区间(1,2]上是增函数,所以当m =2时,y =3m -2m 取得最大值22,从而|A B |m i n =62㊂评注:函数y =x -kx (k >0)的单调递增区间为(-ɕ,0),(0,+ɕ)㊂四㊁基本不等式法例4 (2022年河南部分名校联考)已知F 1㊁F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点,若|P F 2|2|P F 1|的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )㊂A.(1,+ɕ) B .(2,3]C .(1,3]D .(1,2]解析:因为F 1㊁F 2是左㊁右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点,所以|P F 2|-|P F 1|=2a ㊂代入|P F 2|2|P F 1|,得|P F 2|2|P F 1|=(|P F 1|+2a )2|P F 1|=|P F 1|+4a +4a2|P F 1|ȡ2|P F 1|ˑ4a2|P F 1|+4a =8a ,当且仅当|P F 1|=2a 时取等号㊂又点P 是双曲线左支上任意一点,所以|P F 1|ȡc -a ,即2a ȡc -a ㊂因为e =ca ,所以1<e ɤ3㊂选C ㊂评注:解题的关键是由定义得|P F 2|2|P F 1|=(|P F 1|+2a )2|P F 1|=|P F 1|2+4a |P F 1|+4a2|P F 1|=|P F 1|+4a +4a2|P F 1|㊂五㊁三角函数性质法例5 (2022年江西省丰城市第九中学检测)已知F 1㊁F 2分别为双曲线C :x24-y212=1的左㊁右焦点,E 为双曲线C 的右顶点㊂过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限),设M ,N 分别为әA F 1F 2,әB F 1F 2的内心,则|M E |-|N E |的取值范围是( )㊂A.-ɕ,-433 ɣ433,+ɕB .-433,433C .-335,335D .-53,53解析:设A F 1㊁A F 2㊁F 1F 2与内切圆M的切点分别为H㊁I㊁J,则|A H|=|A I|, |F1H|=|F1J|,|F2J|=|F2I|㊂由|A F1|-|A F2|=2a,得(|A H|+ |H F1|)-(|A I|+|I F2|)=2a㊂所以|H F1|-|I F2|=2a,即|J F1|-|J F2|=2a㊂设内心M的横坐标为x0,由J Mʅx轴得点J的横坐标也为x0,则(c+x0)-(c-x0)=2a,得x0=a,即E为直线J M与x轴的交点,J与E重合㊂同理可得,әB F1F2的内心在直线J M 上㊂设直线A B的倾斜角为θ(0ɤθ<π),则øE F2M=π-θ2,øE F2N=θ2㊂|M E|-|N E|=(c-a)t a nπ-θ2-(c-a)t a nθ2=(c-a)㊃c o sθ2s i nθ2-s i nθ2c o sθ2=(c-a)2c o sθs i nθ=(c-a)2t a nθ㊂①当θ=π2时,|M E|-|N E|=0㊂②当θʂπ2时,由题意知,a=2,c=4,b a =3㊂因为A,B两点在双曲线的右支上,所以π3<θ<2π3,且θʂπ2,即t a nθ<-3或t a nθ>3㊂所以-33<1t a nθ<33,且1t a nθʂ0㊂因此,|M E|-|N E|=4t a nθɪ-433,0ɣ0,433㊂综上所述,|M E|-|N E|=4t a nθɪ-433,433㊂故选B㊂评注:正切函数y=t a n x在0,π2,π2,π上分别单调递增㊂六㊁三角形边的关系法例6(2022年河南创新发展联盟联考)已知A,B是抛物线y2=-6x上的两点,且|A B|=11,则线段A B的中点到y轴距离的最小值为()㊂A.72B.4C.92D.5解析:由抛物线方程可知,其焦点为F-32,0,准线为l:x=32㊂分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D,A C与B D分别交y轴于M,N㊂则|A M|=|A C|-32=|A F|-32, |B N|=|B D|-32=|B F|-32㊂设A B的中点为E,过E作y轴的垂线,垂足为G,所以|E G|=12(|A M|+|B N|) =12|B D|-32+|A C|-32=12(|A F|+ |B F|-3)ȡ12(|A B|-3)=4(当且仅当A, B,F三点共线时,等号成立)㊂所以线段A B的中点到y轴距离的最小值为4㊂选B㊂评注:三角形任意两边之和大于第三边㊂七㊁垂线段性质法例7已知O为坐标原点,A,B为抛物线y2=2p x(p>0)上异于点O的两个动点,且øA O B=90ʎ㊂若点O到直线A B的距离的最大值为8,则p的值为㊂解析:由题意知,直线O A,O B均有斜率且都不为0㊂设直线O A的方程为y=k x,联立方程y=k x,y2=2p x,解得点A2pk2,2p k㊂易知直线O B的方程为y=-1k x,所以B(2p k2,-2p k)㊂因此,直线A B的方程为y+2p k= 2pk+2p k2pk2-2p k2(x-2p k2),即y+2p k=k1-k2㊃(x-2p k2)㊂令y=0,得x=2p,所以直线A B必过定点(2p,0)㊂所以当直线A B垂直于x轴时,点O到直线A B的距离最大,即2p=8,p=4㊂评注:过定点的直线与已知直线垂直时,点到直线的距离最大㊂八㊁柯西不等式法例8(2022年天津西青区杨柳青第一中学期末卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且øF1P F2=π3,则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为()㊂A.43B.433C.4D.463解析:设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1(a>a1),半焦距为c㊂由椭圆和双曲线的定义可设|P F1|= m,|P F2|=n,|F1F2|=2c,椭圆和双曲线对应的离心率分别为e1=c a,e2=c a1㊂因P是它们的一个公共点,且øF1P F2 =π3,故由余弦定理可得:4c2=m2+n2-2m n c o sπ3㊂①在椭圆中,由定义知m+n=2a,①式化简为4c2=4a2-3m n㊂②在双曲线中,由定义知|m-n|=2a1,①式化简为4c2=4a21+m n㊂③由②③两式消去m n得:16c2=4a2+12a21㊂等式两边同除以c2得4=a2c2+3a21c2,即4=1e21+3e22㊂由柯西不等式得1e21+3e221+13ȡ1 e1+3e2㊃132㊂所以1e1+1e2ɤ433㊂选B㊂评注:柯西不等式的代数形式:设a,b, c,d为实数,则(a2+b2)㊃(c2+d2)ȡ(a c+ b d)2,当且仅当a d=b c时等号成立㊂九㊁仿射变换法例9已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b> 0),F1㊁F2分别为椭圆的左㊁右焦点,过F1㊁F2作两条互相平行的弦,分别与椭圆交于M㊁N㊁P㊁Q四点,若两条弦垂直于x轴时,点M㊁N㊁P㊁Q所形成的平行四边形面积最大,则椭圆离心率的取值范围为㊂解析:作仿射变换,令x'=x,y'=a b y,可得仿射坐标系x'O'y'㊂在此坐标系中,上述椭圆变换为圆x'2+ y'2=a2,点F1㊁F2坐标分别为(-c,0)㊁(c, 0),过F1㊁F2作两条平行的弦分别与圆交于M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点㊂由平行四边形性质易知,әO'P'Q'的面积为M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点所形成的平行四边形面积的14,故只需取әO'P'Q'面积的最大值㊂当cɪ0,22a 时,әO'P'Q'面积的最大值在弦P'Q'与x轴垂直时取到㊂故椭圆离心率的取值范围为0,22 ㊂评注:利用仿射变换将椭圆变换为圆,此时M㊁N㊁P㊁Q四点分别变换为M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点,由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质,将上述题目中的椭圆变换为圆时,M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x轴垂直时取到㊂只需研究在圆的一条直径上,取关于圆心对称的两点F1㊁F2,当|O F1|为多少时,能使得过F1㊁F2的两条互相平行的弦与此直径垂直,此时与圆的四个交点所形成的面积最大㊂(责任编辑徐利杰)。

解析几何最值问题的归类解析解析几何最值问题是一类综合性强、变量多的难点问题，当然也是高考中的热点问题．常见的解析几何最值问题有：关于线段长、多边形面积、线段夹角以及有关目标函数的最值等．本文就解析几何最值问题作如下归纳解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法与技巧，以飨读者．一、线段及线段和的最值问题例１点Ａ，Ｂ分别是椭圆长轴的左、右端点，点Ｆ是椭圆的右焦点，点Ｐ在椭圆上，且位于ｘ轴上方，ＰＡ⊥ＰＦ．（１）求点Ｐ的坐标；（２）设Ｍ是椭圆长轴ＡＢ上的一点，Ｍ到直线ＡＰ的距离等于ＭＢ，求椭圆上的点到点Ｍ的距离ｄ的最小值．解（１）点Ｐ的坐标是３２，５２３" #$．（２）由条件知直线ＡＰ的方程是：ｘ－３"ｙ＋６＝０．设点Ｍ的坐标是（ｍ，０），则Ｍ到直线ＡＰ的距离是ｍ＋６２，于是ｍ＋６２＝ｍ－６．又－６≤ｍ≤６，解得ｍ＝２．椭圆上的点（ｘ，ｙ）到点Ｍ的距离ｄ有：ｄ２＝（ｘ－２）２＋ｙ２＝ｘ２－４ｘ＋４＋２０－５９ｘ２＝４９ｘ－９２&$２＋１５，由于－６≤ｘ≤６，∴当ｘ＝９２时，ｄ取得最小值１５"．评注本题首先求出定点的坐标，然后代入消元转化为二次函数，利用配方法求最值．也可利用椭圆的参数方程代入式子，转化为三角函数的最值问题求解．二、多边形面积的最值问题例２在平面直角坐标系ｘＯｙ中，抛物线ｙ＝ｘ２上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ，Ｂ满足ＡＯ⊥ＢＯ（如图所示）．（１）求△ＡＯＢ的重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程．（２）△ＡＯＢ的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解设Ｂ点坐标为（ｋ，ｋ２），则Ａ点坐标为－１ｋ，１ｋ２&$，其中ｋ≠０．（１）点Ｇ的轨迹方程为：ｙ＝３ｘ２＋２３（解略）．（２）Ｒｔ△ＯＡＢ的面积Ｓ的计算公式是：Ｓ＝１２·ＯＢ·ＯＡ＝１２·ｋ２＋ｋ４"·１ｋ２＋１ｋ４"＝１２２＋ｋ２＋１ｋ２&$"≥１２４"＝１，所以当ｋ＝１ｋ，即ｋ＝±１时，Ｓ有最小值１．评注根据三角形面积公式将问题表示为关于参数ｋ的表达式，即而利用均值不等式求解．三、目标函数的最值问题例３已知：ｘ２＋４（ｙ－１）２＝４，求ｘ＋ｙ的最大值和最小值．解令ｔ＝ｘ＋ｙ，把ｘ＝ｔ－ｙ代入ｘ２＋４（ｙ－１）２＝４，得５ｙ２－（２ｔ＋８）ｙ＋ｔ２＝０．ＡＢｙＯ５３７３００广西平南县梁广平专题研究３９又∵０≤ｙ≤２，△＝（２ｔ＋８）２－２０ｔ２≥０，∴１－５$≤ｔ≤５$＋１．当ｔ＝１－５$时，代入方程得ｙ＝１－５$５∈［０，２］；当ｔ＝５$＋１时，ｙ＝１＋５$５∈［０，２］，∴（ｘ＋ｙ）ｍａｘ＝５$＋１，（ｘ＋ｙ）ｍｉｎ＝１－５$．评注此题是用判别式法求最值问题．若能把要求最值的变量ｔ作为另一个变量ｙ的二次方程的系数，即可用判别式求出最大值或最小值，但一定要检验最值是否符合题意．因在变形中可能扩大了变量ｔ的范围，检验是必要步骤．四、直线夹角角度的最值问题例４如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点Ｆ１，Ｆ２在ｘ轴上，长轴Ａ１Ａ２的长为４，左准线ｌ与ｘ轴的交点为Ｍ，ＭＡ１∶Ａ１Ｆ１＝２∶１．（１）求椭圆的方程；（２）若直线ｌ１∶ｘ＝ｍ（ｍ＞１），Ｐ为ｌ１上的动点，使∠Ｆ１ＰＦ２最大的点Ｐ记为Ｑ，求点Ｑ的坐标（用ｍ表示）．分析本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．解（１）椭圆方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１（解略）．（２）设Ｐ（ｍ，ｙ０），ｍ＞１，当ｙ０＝０时，∠Ｆ１ＰＦ２＝０；当ｙ０≠０时，０＜∠Ｆ１ＰＦ２＜∠ＰＦ１Ｍ＜π２，只须求ｔａｎ∠Ｆ１ＰＦ２的最大值即可．设直线ＰＦ１的斜率ｋ１＝ｙ０ｍ＋１，直线ＰＦ２的斜率ｋ２＝ｙ０ｍ－１，∴ｔａｎ∠Ｆ１ＰＦ２＝ｋ２－ｋ１１＋ｋ１ｋ２＝２ｙ０ｍ２－１＋ｙ０２≤２ｙ０２ｍ２－１$·ｙ０＝１ｍ２－１$．当且仅当ｍ２－１$＝ｙ０时，∠Ｆ１ＰＦ２最大，∴Ｑｍ，±ｍ２－１$()，ｍ＞１．评注本题利用夹角公式，根据三角函数的单调性把问题转化为求该角正切值的最值，然后利用不等式求最值即可．例５Ｆ为椭圆ｘ２＋４ｙ２＝４的左焦点，过Ｆ作直线Ｌ交椭圆于Ａ，Ｂ两点，求△ＡＯＢ面积的最大值及此时Ｌ的倾角．解设ＡＢ倾角为α，则△ＡＢＯ面积Ｓ＝１２ＡＢ３$ｓｉｎα．设ＡＢ参数方程为ｘ＝－３$ｔｃｏｓｘ，ｙ＝ｔｓｉｎ*ｘ（ｔ为参数），代入方程ｘ２＋４ｙ２＝４，得（１＋３ｓｉｎ２α）ｔ２－（２３$ｃｏｓα）ｔ－１＝０．由韦达定理得ｔ１＋ｔ２＝２３$ｃｏｓα１＋３ｓｉｎ２α，ｔ１ｔ２＝－１１＋３ｓｉｎ２α，ｔ１－ｔ２＝４１＋３ｓｉｎ２α，Ｓ△ＡＯＢ＝１２ＯＦ·ＡＢｓｉｎα＝３$２·４ｓｉｎα１＋３ｓｉｎ２α＝２３$·１３ｓｉｎα＋１ｓｉｎα≤２３$２３$＝１（ｓｉｎα＞０），∴（Ｓ△ＡＯＢ）ｍａｘ＝１．∵ｓｉｎ２α＝１３，即ｓｉｎα＝３$３，倾角为α＝ａｒｃｓｉｎ３$３或α＝π－ａｒｃｓｉｎ３$３．点评除用直线标准参数方程求最小值外，还可用算术平均值不小于几何平均值求最值．ＰｌＭＡ１Ｆ２ｙｌ１ｘＯＦ１Ａ２专题研究４０。

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设220CDBD m ==>， 则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

OCCUPATION2011 7162解析几何中的一些最值问题文/王海滔最值问题遍及中学数学的代数、三角、立体几何及解析几何等学科内的各个分支，在生产实践当中广泛应用，解析几何中的最值问题也是历届各类考试的热点。

如何利用相关的数学方法，运用数形结合的思想解决这类问题，来提高学生分析问题和解决问题的能力，为进一步学好高等数学中的最值问题打下基础，是中学数学复习中不可忽视的问题。

下面，笔者结合具体的例子，对解析几何中的最值问题介绍几种解答方法。

一、利用对称性求最值（动点在直线上）动点在直线上求最值，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用两点间距离公式求出线段长的最值。

【例1】已知点P 在x 轴上运动，A (-2，2），B （1，3）（1）则│P A │+│PB │的最小值为多少？分析：作出A 点关于x 轴的对称点A'(-2，2），那么│P A │+│PB │=│P A'│+│PB │，利用三角形两边之和大于第三边，可得：│P A'│+│PB │≥│A'B │，当且仅当A'，P ，B 三点共线时取得最小值│A'B（2）则│PB │-│P A 分析：此题不用找对称点，利用三角形两边之差小于第三边，只要延长BA 交x 轴于P ，│PB │-│PA │此时得到的最大值为│BA小结：当动点在直线上时，（1）求线段长之和的最小值时，若定点是异侧，则两定点距离即为最小值。

若是同侧，作对称点即可解决。

（2）求线段长之差的最大值时，若定点是同侧，则两定点距离即为最大值。

若是异侧，就利用对称性，转化到同侧，也可解决。

二、利用圆锥曲线的定义求最值（动点在圆锥曲线上）动点在圆锥曲线上求最值，解决方法是先利用圆锥曲线定义对所求的问题进行转化，再利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用点到直线的距离为垂线段最短，求出最值。

【例2】已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A （４，２），点P 是该抛物线上的一个动点，试求│PF │+│P A │的最小值为______。

第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第四课时　最值、范围问题内容索引分层精练巩固提升题型一　最值问题角度1　基本不等式法求最值[思路分析]　由定义求方程→设直线方程→联立椭圆与直线方程→由条件写出面积的表达方式→通过换元，利用基本不等式求出面积的最大值．→在椭圆中求焦点三角形的周长,问题，常结合椭圆的定义求解．又因为b2＝a2－c2，所以b2＝2②，(3分)(2)依题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为x＝my＋2（m≠0）.→在圆锥曲线中设直线方程时，若所设直线可以垂直于x轴，但不能垂直于y轴，则直接设直线为x＝my＋n(m，n为常数)，这样可以避免分类讨论易知Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AM⊥x轴，BN⊥x轴，所以M(x1，0)，N(x2，0)．[满分规则]❶得步骤分：由①②③准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由④联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，⑤设直线方程可得1分；❷得关键分：由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分，⑦表示△ABC面积得1分；❸得计算分：由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由⑨利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．解　当l⊥x轴时不合题意；设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.Δ＝16(4k2－3)>0，角度2　函数法求最值解　由题意，得椭圆E的焦点在x轴上．(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．解　∵点(－2，0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．训练2(2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．解　设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)，题型二　范围问题得其右焦点为(1，0)，因为抛物线的焦点与椭圆右焦点重合，故抛物线C的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．解　设直线BD的方程为y＝kx＋m，则Δ＝(2km－4)2－4k2m2＞0，得km＜1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，设BD中点为M(x0，y0)，由△PBD是以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD，整理得km＝2－2k2.由km＜1，则2－2k2＜1，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，∴(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，∴(m2＋1)b4＝4a2c2，∴c4＋a4－6a2c2≤0，∴e4－6e2＋1≤0，∴4a2＜b2＝c2－a2，∴e2＞5.分层精练 巩固提升FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG【A级 基础巩固】解　由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，由于－6≤x≤6，(2)过点(0，2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O 为坐标原点.求△MON的面积的最大值.解　因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，设l的方程为y＝kx＋2，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，解　因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2.(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.解　由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，设B(x1，y1)，C(x2，y2).Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)>0，故k>1或k<－1.即|k|≤3，解得－3≤k≤3.综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].4.(2022·全国甲卷)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；【B级 能力提升】(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.解　根据(1)知F(1，0)，D(2，0).当MN的斜率存在时,设M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,A(x3,y3) ,B(x4,y4) ,即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，同理，可得直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4.因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x，当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，所以不符合题意.本课结束INNOVATIVEDESIGN。

解析几何最值与范围解题策略嘿，同学们！咱今天来聊聊解析几何里最值与范围的那些事儿。

你们想啊，解析几何就像是一场神秘的探险，最值和范围问题就是藏在这探险路上的宝藏。

有时候，你得像个聪明的探险家，眼观六路，耳听八方，才能把它们给找出来。

比如说，遇到一个椭圆方程和一条直线方程，让咱求某个量的最值或者范围。

这就好比让你在一个迷宫里找到出口，还得挑最近最好走的那条路。

那怎么找呢？先看看能不能通过代数方法，把问题转化为一元二次方程。

这就像给杂乱的线团找到线头，一旦找到了，后面的思路就能顺藤摸瓜。

可别小看这一步，要是弄不好，就像在迷宫里乱撞，找不到方向。

再说说几何方法，有时候图形本身就藏着答案。

就像一幅藏宝图，关键的线索就在那些曲线和直线的位置关系里。

比如说，利用点到直线的距离公式，是不是能发现一些秘密？这距离的最值，说不定就是我们要找的宝贝。

还有啊，不等式也是个好帮手。

它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开最值和范围的大门。

比如柯西不等式、均值不等式，用好了那可真是如虎添翼。

咱来举个例子。

假设给了一个抛物线和一条直线，让求抛物线上的点到直线距离的最小值。

这时候，是不是可以设出抛物线上的点，然后写出点到直线的距离公式？这公式一写出来，不就像找到了迷宫的线索嘛！再想想，如果是求某个参数的范围，是不是可以通过联立方程，然后根据判别式来判断？这判别式就像是个严格的守卫，它能告诉我们哪些参数是可行的，哪些是不行的。

同学们，解析几何里的最值与范围问题，其实并没有那么可怕。

只要我们有耐心，有方法，就一定能把它们拿下。

就像攻克一座城堡，只要找到弱点，一举突破！所以啊，遇到这类问题别害怕，多试试不同的方法，多观察图形，多思考式子之间的关系。

相信自己，咱们都能成为解析几何的高手，找到那些隐藏的宝藏！。

解析几何最值及参数范围问题知识梳理圆锥曲线中的最值和参数取值范围问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识、函数、不等式等知识为一体，综合性强，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。

但其解法仍然有章可循，有法可依。

常见的解法主要是联立利用韦达定理，当然也有一些特殊的方法，如几何法，点差法以及代换等方法。

例题解析一、特殊法求解最值及参数取值范围【例1】已知点()()4,1,0,4A B ，在直线:31l y x =-上找一点P 【解析】如图，设点(),C x y 是点B 关于直线l 的对称点， 则由3=l k ，得：31-=BC k ，∴直线BC 的方程为：431+-=x y ，将其与直线31y x =-联立，解得37,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，其中D 为BC 中点，利用中点坐标公式，得()3,3C ．显然，PA PB PA PC AC -=-≤，当且仅当A 、C 、P 三点共线时，PA PB -最大．可求得，直线AC 方程为092=-+y x ，与l 方程联立解得P 的坐标为()2,5．【例2】求椭圆2212x y +=上的点到直线32+=x y 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标． ，此时点坐标为( 【解析】设椭圆的切线方程为y x b =+，代入椭圆方程，得0224322=-++b bx x 由0)22(34)4(22=-⨯⨯-=∆bb ，得3±=b ．当b =y x =与yx =+261=d ，将b =0224322=-++b bx x，解得x =，此时y=，即椭圆上的点(到直线y x =+2b =yx =-yx =+22d =，将b =0224322=-++b bx x ，解得3x =，此时3y =-，即椭圆上的点(33-到直线y x =+． 【例3】已知正OAB ∆的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB ∆的内接圆（点C 为圆心）．（1）求圆C 的方程；（2）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CE CF ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值．【难度】★★【答案】（1）22(4)16x y -+=；（2）最大值为169-，最小值为8- 【解析】（1）设B A ,两点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，由题设知22221122x y x y +=+． 又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故,A B 两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上． 设C 点的坐标为(,0)r ，则A点坐标为3()2r，于是有23)22r =⨯，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=．（2）设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα⋅=⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r ．在Rt PCE ∆中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC ≤+=18+=，||||1716PC MC ≥-=-=，所以12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF -≤⋅≤-u u u r u u u r ．则CE CF ⋅u u u r u u u r 的最大值为169-，最小值为8-．【例4】已知以4=t 为周期的函数()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0>m ．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）．A．833⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．3⎛ ⎝ C ．48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．43⎛ ⎝ 【难度】★★★ 【答案】B【解析】因为当(]1,1x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=≠，实质上为一个半椭圆， 同时在坐标系中作出当(]1,3x ∈的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，如图所示．由图易知直线3x y =（1）与第2个椭圆()22241(0)y x y m -+=≠（2），相交，而与第3个半椭圆()22281(0)y x y m-+=≠（3），无公共点时，方程恰有5个实数解，将（1）代入（2）得()222291721350m x m x m +-+= 令29t m=()0t >，则()218150t x tx t +-+=．由()2(8)41510t t t ∆=-⨯+>，得15t >．由2915m >，且0m >，得153m >．同样将（1）代入（3），由0∆<得7m < 综上知157m ∈⎝．故选B ．【例5】某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？ 【难度】★★【答案】（1）y x 42=；（2）4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8；【解析】（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ，所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m 解得αα2sin )1(cos 2+=AF同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ，αα2cos )sin 1(2+=DF αα2sin )cos 1(2-=CF “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ，则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8．【例6】已知点()1F、)2F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=u u u r u u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围； （3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程． 【难度】★★★【答案】（1）22142x y +=；（2）[]24,0；（3）略 【解析】(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =<，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()() =()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤． 2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0． ∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．(另解21||25MN ≤≤u u u u r ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明：因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可．设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(cos(),sin())(sin ,cos )22B r r r r ππθθθθ++=-．利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． 【例7】给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程； （3）若点A 是椭圆的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求⋅的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；224x y +=（2）直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+， 或直线1l 的方程为2y x =-+，2l 的方程为2y x =+；（3）[0,7+【解析】（1）由题意知ca =1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=．（2）由题意可得P 点坐标为(0,2)，设直线l 过P 且与椭圆C 只有一个交点，则直线l 的方程可设为2y kx =+，将其代入椭圆方程可得223(2)3x kx ++=，即22(31)1290k x kx +++=，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得1k =±，所以直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+，或直线1l 的方程为2y x =-+，2l 的方程为2y x =+．（3）由题意，可设(,),(,)B m n D m n-(m <，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r ，故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r 2244343()332m m m =-+=-,又m，故243()[0,732m -∈+， 所以AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,7+．C【例8】已知圆C 过定点)1,0(A ，圆心C 在抛物线y x 22=上，M 、N 为圆C 与x 轴的交点．（1）当圆心C 是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （2）当圆心C 在抛物线上运动时，MN 是否为一定值？请证明你的结论． （3）当圆心C 在抛物线上运动时，记m AM =，n AN =，求mnn m +的最大值，并求出此时圆C 的方程． 【难度】★★★【答案】（1；（2）2MN =是定值；（3）mn n m +取得最大值22，此时圆C 的方程为2)1()2(22=-+±y x 【解析】（1）抛物线y x 22=的顶点为)0,0(，准线方程为21-=y ，圆的半径等于1，圆C 的方程为122=+y x ．弦长3232)21(122=⨯=- （2）设圆心)21,(2a a C ，则圆C 的半径222)121(-+=a a r ， 圆C 的方程是为：222222)121()21()(-+=-+-a a a y a x 令0=y ，得01222=-+-a ax x ，得11-=a x ，12+=a x ，∴212=-=x x MN 是定值． （3）由（2）知，不妨设)0,1(-a M ，)0,1(+a N ，a a a x m 221)1(12221-+=+-=+=，a a a x m 221)1(12222++=++=+=．4412442424222++=++=+=+a a a a mn n m m n n m ．当0=a 时，2=+mnn m ． 当0≠a 时，224412441244222424222≤++=++=++=+=+aa a a a a mn n m m n n m ．当且仅当2±=a 时，等号成立 所以当2±=a 时，mnn m +取得最大值22，此时圆C 的方程为2)1()2(22=-+±y x ． 【巩固训练】1．椭圆1422=+y x 上一动点P ，则P 到直线04:=-+y x l 的距离最小值为 ．【难度】★★【答案】210-242．已知点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PA PF +的最小值为________． 【难度】★★【答案】9【解析】设1F 是双曲线的右焦点，根据双曲线定义41=-PF PF ，即14PF PF -= 又115PA PF AF +≥=，将14PF PF -=代入，得45PA PF +-≥，即9PA PF +≥，等号当且仅当1,,F P A 三点共线，故PA PF +的最小值为9.故填9.3．已知P 是抛物线x y 22=上的一个动点，F 为焦点．（1）求点P 到点)2,0(的距离与P 到抛物线准线的距离之和的最小值． （2）点)2,3(A ，求PF PA +得最小值． 【难度】★★【答案】（1）217；（2）274．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．9【难度】★★【答案】D【解析】由已知双曲线的左右焦点12,F F 即为两圆的圆心，先将P 点看成定点，M 、N 看成动点，则111222max min 2,1PM PF r PF PN PF r PF =+=+=-=-．()()()()1212max 2139PM PN PF PF PF PF ⇒-=+--=-+=．5．如图，在直线:90l x y -+=上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？ 【难度】★★【答案】M 点坐标)45(，-，此时长轴最短为56 【解析】椭圆的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，作1F 关于直线l 的对称点'1F ，则直线'11F F 的方程为3x y +=- 由方程组39x y x y +=-⎧⎨-=-⎩ 得P 的坐标)3,6(-，由中点坐标公式得的'1F 坐标)6,9(-,所以直线'21F F 的方程23x y +=．解方程组239x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 得M 点坐标)45(，-，此时长轴最短为'122F F a ===．6．已知椭圆22:12x C y +=的两焦点为1F 、2F ，点()00,P x y 满足2200012x y <+<，则12||||PF PF +的取值范围为 ．【难度】★★【答案】2,⎡⎣7．已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F 构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值与最小值；【难度】★★【答案】（1）13422=+y x ；（2）12MF MF ⋅u u u u r u u u u r 的最大值为3，最小值为2 【解析】（1）已知，1=c ，22==c a ， 所以3222=-=c a b ， 所以椭圆的标准方程为13422=+y x ．（2）)0,1(1-F ，)0,1(2F ，设),(y x M ，则1(1,)MF x y =---u u u u r ，2(1,)MF x y =--u u u u r ，22121MF MF x y ⋅=+-u u u u r u u u u r （22≤≤-x ），因为13422=+y x ，所以，22222121131244x MF MF x y x x ⎛⎫⋅=+-=+-=+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ， 由402≤≤x ，得12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为3，最小值为2．8．点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 【难度】★★ 【答案】（1）3(2；（2【解析】（1）由已知可得点()()6,0,4,0A F -．设点P 的坐标是(,)x y ，则()()6,,4,AP x y FP x y =+=-u u u r u u u r ．由已知得22213620(6)(4)0⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩x y x x y ，则2329180,2x x x +-==或6x =-．由于0y >，只能3,2x =，于是y =点P的坐标是3(2． （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是(),0m ，则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是|6||6|2m m +=-，又66m -≤≤，解得2m =，椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 满足 ,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于66,x -≤≤∴当92x =时，d二、联立韦达定理求解最值及参数范围【例9】已知圆⊙8)1(:22=++y x C ，)0,1(-C 动圆与⊙C 相切且过定点)0,1(B ； （1）求动圆圆心的轨迹E 方程；（2）过点),0(t D ，11<<-t 倾斜角为ο45的直线l 与轨迹E 交于N M ,两点，求N M C B ,,,四点围成的四边形面积的最大值。

第2课时 范围、最值问题考点1 范围问题——综合性(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ． 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点． 因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－n 2，即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处． 由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3．当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0．因为D 为M ，N 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2．因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2＝12144＋16n2＝39＋n2．因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23， 所以123≤19＋n 2<13，所以332≤3d <3． 综上所述，332≤3d ≤3，即点B 到直线MN 距离的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤332，3．圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k (x －1)，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2－2)(1＋2k 2)＝8k 2＋8>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2． 可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2．当k ＝0时，直线MN 为x 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 化简得ky ＋x －k 21＋2k2＝0．令y ＝0，得x ＝k 21＋2k2，所以m ＝k 21＋2k 2＝11k2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12． 综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12．考点2 最值问题——应用性考向1 利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为___________．22解析：双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22． 考向2 利用函数、导数求最值(2022·江门市高三一模)如图，抛物线C ：y 2＝8x 与动圆M ：(x －8)2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B ，C ，D 四个不同点．(1)求r 的取值范围；(2)求四边形ABCD 面积S 的最大值及相应r 的值．解：(1)联立抛物线与圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －8)2＋y 2＝r 2，消去y ，得x 2－8x ＋64－r 2＝0．若圆与抛物线有四个不同交点，则方程有两个不等正根．所以⎩⎪⎨⎪⎧64－r 2>0，64－4(64－r 2)>0，解得43<r <8，所以r 的取值范围为(43，8)．(2)设A (x 1,22x 1)，B (x 2,22x 2)，其中x 2>x 1>0，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝64－r 2，S ＝12(42x 1＋42x 2)(x 2－x 1)＝(22x 1＋22x 2)(x 2－x 1)， S 2＝8(x 1＋x 2＋2x 1x 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， S 2＝64(4＋64－r 2)[16－(64－r 2)]．令x ＝64－r 2(0<x <4)，令f (x )＝(4＋x )(16－x 2)(0<x <4)，f ′(x )＝16－8x －3x 2＝(4－3x )(x ＋4)．当0<x <43时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当43<x <4时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2 04827，S ＝8f (x )≤25669．当x ＝43时，S 取得最大值，取64－r 2＝43，r ＝4353．考向3 利用基本不等式求最值(2022·唐山三模)在直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (1,0)，C 为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于P ，Q ，R ，且|CP |＝1，记点C 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)不过原点O 的直线l 与曲线E 交于M ，N ，且直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，求△OMN的面积的最大值．解：(1)依题意可知，|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4>|AB |， 所以曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 因此曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1整理，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(*)Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)>0．则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3，故MN 的中点T ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 4k 2＋3，3m 4k 2＋3．而直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，得3m 4k 2＋3＝－12×－4km4k 2＋3， 又m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝32．故(*)式可化简为3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，故x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－33．由Δ＝36－3m 2>0且m ≠0，得－23<m <23且m ≠0． 又|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝132×36－3m 23＝1323×12－m 2，而点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 则△OMN 的面积为S ＝12×2|m |13×1323×12－m 2＝123|m |×12－m 2≤123×m 2＋12－m 22＝3， 当且仅当m ＝±6时，等号成立，此时满足－23<m <23且m ≠0，所以△OMN 的面积的最大值为3．最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过点T (0，p )作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交抛物线C 于A ，B 两点，l 2交抛物线C 于E ，F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求△OMN 面积的最小值．解：(1)因为x 2＝2py 可化为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp．因为当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p ＝12，所以p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y ． (2)由(1)知点T 坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0． 设直线l 1方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，联立消去y 并整理，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝(－4k )2＋32＝16k 2＋32>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－8， 所以，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4． 因为M 为AB 中点，所以M (2k,2k 2＋2)．因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，2k2＋2，所以直线MN 的方程为y －(2k 2＋2)＝2k 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋22k ＋2k·(x －2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ·(x －2k )， 整理得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k x ＋4，所以，直线MN 恒过定点(0,4)．所以△OMN 面积S ＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋1k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ≥4·2|k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k＝8，当且仅当|k |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k即k ＝±1时，△OMN 面积取得最小值为8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆C 的右顶点，过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，M 在x 轴的上方，直线AM 与圆O 的另一交点为P ，直线AN 与圆O 的另一交点为Q ．(1)若AP →＝3AM →，求直线AM 的斜率；(2)设△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值．[四字程序]读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交 1．向量AP →＝3AM →如何转化？2．如何表示三角形的面积把S 1S 2用直线AM 的斜率k 来表示 转化与化归求直线AM 的斜率，求△AMN 与△APQ 的面1．用A ，P ，M 的坐标表示．S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |，进把面积之比的最大值转化为一个变量的不积之比2．利用公式S ＝12ab ·sin C 表示并转化而用基本不等式求其最大值等式思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，将y ＝k (x －2)与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，得x A ＋x M ＝16k21＋4k2，求得点M 的横坐标为x M ＝8k 2－24k 2＋1，纵坐标为y M ＝－4k4k 2＋1．将y ＝k (x －2)与圆方程x 2＋y 2＝4联立，得(1＋k 2)·x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0，得x A ＋x P ＝4k21＋k2， 求得点P 的横坐标为x P ＝2k 2－2k 2＋1，纵坐标为y P ＝－4kk 2＋1． 由AP →＝3AM →得y P ＝3y M ， 即－4k k 2＋1＝－12k4k 2＋1． 又k <0，解得k ＝－2．(2)由M ，N 关于原点对称，得点N 的坐标为x N ＝－8k 2＋24k 2＋1，y N ＝4k4k 2＋1，所以直线AN 的斜率为k AN ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－2＝－14k． 于是|AM ||AP |＝y M y P ＝k 2＋14k 2＋1，同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1＝16k 2＋116k 2＋4．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝k 2＋14k 2＋1·16k 2＋116k 2＋4＝16k 4＋17k 2＋14(16k 4＋8k 2＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9k 216k 4＋8k 2＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋916k 2＋1k2＋8 ≤14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋9216k 2·1k 2＋8＝2564， 当且仅当16k 2＝1k 2，即k ＝－12时等号成立，所以S 1S 2的最大值为2564．思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，由AP →＝3AM →转化为x P －x A ＝3(x M －x A )求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋4(4k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x M ＝4(4k 2－1)4k 2＋1，而x A ＝2，所以x M ＝2(4k 2－1)4k 2＋1． 将y ＝k (x －2)代入圆的方程，整理得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4(k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x P ＝4(k 2－1)k 2＋1，而x A ＝2，所以x P ＝2(k 2－1)k 2＋1．由AP →＝3AM →，得x P －x A ＝3(x M －x A )，即2(k 2－1)k 2＋1－2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(4k 2－1)4k 2＋1－2，解得k 2＝2． 又k <0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，所以k AM k AN ＝－14，即kk AN ＝－14，所以k AN ＝－14k．下同解法1(略)．思路参考：设直线AM 的方程为x ＝my ＋2，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m 2＋4)y 2＋4my ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－4mm 2＋4． 将x ＝my ＋2代入圆的方程，整理得(m 2＋1)y 2＋4my ＝0，得点P 的纵坐标为y P ＝－4mm 2＋1． 由AP →＝3AM →，得y P ＝3y M ，即m m 2＋1＝3m m 2＋4．因为m ≠0，解得m 2＝12，即m ＝±12．又直线AM 的斜率k ＝1m<0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，又k AM k AN ＝－14，由(1)知k AM ＝1m ，所以有1m k AN ＝－14，则k AN ＝－m4．又y M ＝－4m m 2＋4，y P ＝－4mm 2＋1， 所以|AM ||AP |＝y M y P ＝m 2＋1m 2＋4．同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋1＝m 2＋164(m 2＋4)．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝m 2＋1m 2＋4·m 2＋164(m 2＋4)．下同解法1(略)．1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k 的函数，从而求其最大值．2．基于新课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由题意知2c ＝233，解得c ＝3．因为e ＝ca ＝32， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1． 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)(方法一)显然直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P 在线段AQ 上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)>0，得k 2>34．则S △OPQ ＝S △AOQ －S △AOP＝12×2×|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝44k 2－34k 2＋1． 令4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，于是S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，所以l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2． (方法二)依题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，则Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34．x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由弦长公式得|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·44k 2－34k 2＋1．由点到直线的距离公式得点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以S △OPQ ＝12|PQ |×d ＝121＋k 2×44k 2－34k 2＋1×21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1． 设4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，所以S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立．7 2x－2或y＝－72x－2．故所求直线l的方程为y＝。

解析几何范围最值、定点定值问题一、范围最值问题：1、已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (1)求动点P 的轨迹C 的方程．(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线21l l 、，设l 1与轨迹C 交于A 、B 两点，l 2 与轨迹C 交于D 、E 两点，求||||||||FD FC FB FA ⋅+⋅的最小值．2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162=的焦点P 为其一个焦点，以双曲线191622=-y x 的焦点Q 为顶点。

(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。

3、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a y x C 的离心率为23，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线02=+-y x 相切．(I)求椭圆C 的方程；(II)设P(4，0)，M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；4、一动圆与圆1)1(:221=+-y x O 外切，与圆9)1(:222=++y x O 内切． (I)求动圆圆心M 的轨迹L 的方程．(Ⅱ)设过圆心O 1的直线1:+=my x l 与轨迹L 相交于A 、B 两点，请问2ABO ∆（O 2为圆O 2 的圆心）的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程，若 不存在，请说明理由．二、定点定值问题：1、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,2(-F ，离心率22=e ，M 、N 是椭圆上的的动点。

(I)求椭圆标准方程；(II)设动点P 满足：ON 2+=，直线OM 与ON 的斜率之积为21-，问：是否存在定点F 1，F 2，使得||||21PF PF +为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标，若不存在，说明理由。

专题20解析几何解题技巧—最值范围，手段多样一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆．(5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c 6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=>(5) 渐近线方程by x a=±.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =.三．【题型归纳】（一）向量的数量积的范围问题 （二）离心率的范围 （三）线段比值范围 （四）线段长的最值 （五）面积的最值问题 （六）最值问题综合 四．【题型方法】（一）向量的数量积的范围问题例1．若点O （0，0）和点)F分别是双曲线22x a-y 2=1（a ＞0）的中心和右焦点，A 为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则OM AM ⋅u u u u r u u u u r的取值范围为（ ） A ．[)1,∞-+ B ．()0,∞+ C ．[)2,∞-+ D ．[)0,∞+ 【答案】D【解析】设M （m ，n ），A （a ，0），则OM AM ⋅u u u u r u u u u r=（m ，n ）•（m-a ，n ）=m 2-am+n 2．由F 0）是双曲线22x a -y 2=1（a ＞0）的右焦点，可得a 2+1=3，即, 则双曲线方程为2x 2-y 2=1, 由点M 为双曲线右支上的任意一点，可得2m 2-n 2=1（m≥）即有n 2=2m 2-1, 则OM AM ⋅u u u u r u u u u r =m 2m+n 2=m 22m 2-1=23m 2m-1可得函数在,+∞）上单调递增，即有m 2 m+n 2≥2-2+1-1=0.故选D.（二）离心率的范围例2．已知F 是双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．(2,1+C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1∞+【答案】A【解析】根据双曲线的对称性，得△ABE 中，|AE|=|BE|，△ABE 是锐角三角形，即∠AEB 为锐角，由此可得Rt △AFE 中，∠AEF ＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|=222b c a a a -=，|EF|=a+c ，∴22c a a-＜a+c ，即2a 2+ac-c 2＞0，两边都除以a 2，得e 2-e-2＜0，解之得-1＜e ＜2，∵双曲线的离心率e ＞1，∴该双曲线的离心率e 的取值范围是（1，2）. 故选A ．练习1.．已知椭圆22221x y a b+=(00)>>a b ，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A．2⎣⎦B．2⎣⎦C．12⎡⎢⎣⎦D．3⎣⎦【答案】A【解析】由题意椭圆22221x y a b+=(00)>>a b ，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形． 根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c ＝＋αα，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎫+⎪⎭，∵,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴342πππα+剟，1234πα⎫+⎪⎭剟，即椭圆离心率e的取值范围是23⎣⎦，故选A. 练习2.．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，两条渐近线分别为1l 、2l ，过F 作平行于1l 的直线依次交双曲线C 和直线2l 于点A 、B ，若FB FA λ=u u u r u u u r，()2,3λ∈，则双曲线离心率的取值范围是( )A．2⎛ ⎝ B．(C．D．2⎛ ⎝ 【答案】A【解析】由题意得l 1：y=-b x a ,l 2：y=-bx a（c), 由l 交双曲线C 于A ，令()()22222222,221b y x c b a c a c aA c ac x y a b ⎧=-⎛⎫⎪-+⎪ ⎪∴⎨ ⎪⎪⎝⎭-=⎪⎩ 故有FA u u u r =()2222-,22b a c a cc ac⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由l 交l 1于B ，令(),22b y x c c bc aB b a y xa ⎧=-⎪⎪⎛⎫∴-⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩故有FB u u u r =-,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由FB FA λ=u u u v u u u v 得-,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=λ()2222-,22b a c a c c ac ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22-22c a c c λ-∴=， 又e c a =解得21e 111λλλ==+-- 因为()2,3λ∈，所以23,22e e ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭⎝. 故选A.（三）线段比值范围例3．物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=o ，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则ABCDu u u r u u u r 的最小值为( ) AB ．1CD ．2【答案】B【解析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |在梯形ABPQ 中，∴2|CD |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ，又∵ab ≤（ 2a b+） 2， ∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）234-（a +b ）214=（a +b ）2 得到|AB |12≥（a +b ）＝|CD |．∴AB CD u u u r u u ur ≥1，即AB CDu u u r u u u r 的最小值为1． 故选：B ．练习1.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 （ ）A.12B.1C.22D.32【答案】B【解析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ，配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ，又∵ab 2()2a b +≤， ∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）234-（a +b ）214=（a +b ）2得到|AB |12≥（a +b ）．∴MN AB ≤1，即MN AB 的最大值为1． 故选：B ．（四）线段长的最值例4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y +=上一点，则2||||MN MF +的最小值为A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】由题意可得2a ＝6，即a ＝3，渐近线方程为y ＝±13x ，即有13b a =，即b ＝1，可得双曲线方程为29x -y 2＝1，焦点为F 1（10-，0），F 2，（10，0），由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a +|MF 1|＝6+|MF 1|， 由圆E ：x 2+（y 6+）2＝1可得E （0，6-），半径r ＝1，|MN |+|MF 2|＝6+|MN |+|MF 1|， 连接EF 1，交双曲线于M ，交圆于N ，可得|MN |+|MF 1|取得最小值，且为|EF 1|610=+=4，则则|MN |+|MF 2|的最小值为6+4﹣1＝9．故选：B ．练习1.已知椭圆()22210416x y m m+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若22BF AF +的最大值为10，则m 的值是（ ） A.2 B.22 C.3 D.23【答案】D【解析】由椭圆的方程可知4a =，由椭圆的定义可知，22416AF BF AB a ++==，所以()22166AB AF BF =-+≥，由椭圆的性质可知过椭圆的弦中，通经最短，则226b a=.所以212b =，即23b =m 的值是3故答案为：D.练习2．已知椭圆号2221y x a +=(1)a >的离心率25e =，P 为椭圆上的一个动点，则P 与定点(1,0)B -连线距离的最大值为（ ）A.32B.2C.52D.3【答案】C【解析】椭圆()22211y x a a +=>的离心率25e =，可得2125a -=，解得5a =， 椭圆方程为2215y x +=，设()cos ,5sin P θα，则P 与定点()1,0B -连线距离为()2222cos 15sin 4sin 2cos 262cos 4cos θθθθθθ++=++=+-，225154cos 442θ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当1cos 4θ=时，取得最大值52，故选C. 练习4．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，焦点为F ，点A 的坐标是7(,4)2A ，则||||PA PF +的最小值是（ ） A.112B.4C.92D.5【答案】D【解析】由题意可得F （12，0 ），∵点A （742，）在抛物线外， ∴根据抛物线的定义可得|P A |+|PF |的最小值为|AF |2271()(40)522=-+-= 故选：D练习5.．已知F 为抛物线212y x =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且||6AF =，则||||PA PO +的最小值为( )A.6B.C.D.【答案】D【解析】抛物线212y x =的焦点为()3,0F ，准线为3x =-.∵|AF |＝6，由抛物线的定义得点A 到准线的距离为6，即A 点的横坐标为3， 又点A 在抛物线上，∴从而点A 的坐标为（3，6）. 坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （﹣6，0），则|P A |+|PO |的最小值为AB = 故选：D ．（五）面积的最值问题例5．已知()()123,0,3,0F F -是椭圆221x y m n +=的两个焦点，点P 在椭圆上，12F PF α∠=,当23πα=时，12F PF ∆的面积最大，则m n +的值是（ ）A ．41B ．15C ．9D ．1【答案】B【解析】∵12F PF α∠=．当α23π=时，△F 1PF 2面积最大， ∴此时点P 为椭圆的一个短轴的端点，∴∠F 1PO 3π=．∴12b =a ，又c ＝3，a 2＝b 2+c 2，联立解得b 2＝3，a 2＝12．∴m +n ＝a 2+b 2＝15． 故选：B ．练习1．已知抛物线C ：24y x =和直线l ：10x y -+=，F 是C 的焦点，P 是l 上一点，过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q ，则PQF ∆外接圆面积的最小值为（ ）A ．2π B ．2CD ．2π【答案】A【解析】将直线l 与抛物线联立2410y x x y ⎧=⎨-+=⎩，得()210x -=，即直线l 与抛物线相切且切点为（1,2），又P 是l 上一点，当点P 为切点（1,2）时，Q(0,1),F(1,0)，此时PQF ∆为直角三角形，且外接圆的半径为1，故圆的面积为π； 当点P 不为切点时，设点()00,1P x x +,切线斜率为k,则切线方程为()()001y x k x x -+=-，即0010kx y kx x --++=，将切线方程与抛物线方程联立200410y xkx y kx x ⎧=⎨--++=⎩得200104ky y kx x --++=，其中()()0110k kx =--=V ，则01PQ k x =，此时切线方程化简得001y x x x =+，此时点Q ()00,x ,可得0FQ k x =-,即PQF ∆为直角三角形，PF 中点M 0011,22x x ++⎛⎫⎪⎝⎭即为外接圆的圆心，则22222000111||222x x x r MQ +-+⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,面积为22012x r ππ+=，当00x =时面积取到最小值为2π， 综上，面积最小值为2π， 故选：A.练习2.如图，过抛物线22y px =（0p >）上一点()1,1P ，作两条直线分别交抛物线于点A ，B ，若PA与PB 的斜率满足0PA PB k k +=.（1）证明：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距[]0,1b ∈，求PAB A 面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析，12AB k =-；（2163. 【解析】（1）由抛物线22y px =（0p >）过点()1,1P ，得21p =，即2y x =.设()11,A x y ，()22,B x y ，因为0PA PB k k +=，所以121211011y y x x --+=--. 因为211y x =，222y x =，代入上式得到1211011y y +=++， 通分整理得122y y +=-，设直线AB 的斜率为AB k ，由211y x =，222y x =，两式相减可化为2121121y y x x y y -=-+得2121AB y y k x x -=-（12x x ≠）=121y y +. 由于122y y +=-，将其代入上式得12112AB k y y ==-+.（2）设直线AB 的方程为12y x b =-+， 由212y x b y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩， 得()221104x b x b -++=， 因为[]0,1b ∈，所以()2210b b ∆=+->，且()1241x x b +=+，2124x x b =，所以AB ==又点P 到直线AB的距离为d =，所以1322ABP S AB d b ∆=⋅=-. 令()()()21232f x x x =+-，其中[]0,1x ∈，则由()()()()()()()2'23212232223216f x x x x x x =-++⨯-⨯-=--，当1,16x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0f x <，所以()f x 单调递减；当10,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'0f x >，所以()f x 单调递增，故()f x 的最大值为1256627f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ABP ∆的面积ABP S ∆=. 练习3.．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，且椭圆的短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线5()25f x -≤-≤，2l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设5()25f x -≤-≤，2l 分别与椭圆交于点,A B 和,C D .①求AB CD +的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=；（2）①8. 【解析】（1） 由题设知：222222b c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）①设AB 的直线方程为()1y k x =-，联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消元y 并整理得()2222124220k x k x k +-+-=， 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，于是212212AB x k+=-==+，同理22121122k CD k ⎫-⎪⎝⎭==⎛⎫+- ⎪⎝⎭于是22221212AB CD k k+=+=++②由①知22212M k x k=+，212M k y k -=+，2112N x k =+，212N k y k =+， 所以2222,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，221,1212k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 所以MN 的中点为1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是22112111212412212282OMN M N k k S OT y y k k k k∆=-==⨯=⨯≤+++，当且仅当12k k =，即2k =±时取等号，所以OMN ∆面积的最大值为2.（六）最值问题综合例6．已知点P 为抛物线22y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,A 点坐标为7,42⎛⎫⎪⎝⎭,则PA PM +的最小值是( ) A ．112B ．4C ．92D ．5【答案】C 【解析】如图12PM PF =-,故12PA PM PF PM +=+-,故最短距离为12AF -, 71,4,,022A F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22714916522AF ⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭,所以 19522PA PM +=-=,故选C. 练习1．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为 （ ） A ．9,12 B ．8,11 C ．10,12 D ．8,12 【答案】D【解析】∵两圆圆心F 1（﹣4，0），F 2（4，0）恰好是椭圆221259x y +=的焦点，∴|PF 1|+|PF 2|＝10，两圆的半径r ＝1，∴（|PM |+|PN |）min ＝|PF 1|+|PF 2|﹣2r ＝10﹣2＝8． （|PM |+|PN |）max ＝|PF 1|+|PF 2|+2r ＝10+2＝12． 故选：D ．练习2．已知M 为圆O ：221x y +=上的动点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，连接BA延长至点P ，使得2AP BA =u u u r u u u r，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线1l ：y kx m =+与圆O 相切，直线2l ：y kx n =+与曲线C 相切，求22mn的取值范围.【答案】（1） 22194x y +=；（2）11,94⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】(1)设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)A x ，0(0,)B y ，且22001x y +=，因为2AP BA =u u u r u u u r ，即000(,)2(,)x x y x y -=-，∴0032x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入22001x y +=，得22194x y +=，故曲线C 的方程为22194x y +=.(2)∵1l 与圆O 相切，∴圆心O 到1l的距离11d ==，得221m k =+，①联立22194y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得222(49)189360k x knx n +++-=，由0∆=，得2294n k =+，②由①②得222221151949994m k n k k +==+⋅++，22119440944k k +≥⇒<≤+，故2211(,]94m n ∈.。