六年级最值问题教师版

第25讲 最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。

最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －ba+b的最大值。

根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。

所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950 答：a －b a+b 的最大值是4950 。

练习1：1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －yx+y的最大值。

2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －ba+b的最小值。

3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+yx －y的最大值；②求x+yx －y的最小值。

【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。

这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。

由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。

练习2：1.有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。

这两个两位数的差最多是多少？2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。

这两个两位数的和最小是多少？3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。

问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。

5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中,会碰到的数越来越大,如果这种联系过程中,只用我们的手指头,那么到了“十”这个数,我们就无法数下去了,即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上,只不过能数二十。

我们显然知道,数是可以无穷无尽地写下去的,因此,我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来,抽象地研究如何表示它们,如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数,记数时,同一个数字由于所在位置的不同,表示的数值也不同。

既是说,一个数字除了本身的值以外,还有一个“位置值”。

例如,用符号555表示五百五十五时,这三个数字具有相同的数值五,但由于位置不同,因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一,最左边的五表示五个百,中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了,现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义:同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。

也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式:以六位数为例:abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝:（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式,列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x,列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数,加上它的个位数字的9倍,恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,7题,六年级,初赛,第8题,5分【解析】这个两位数,加上它的个位数字的9倍,恰好等于100,也就是说,十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100,所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。

XX六年级奥数最值问题试题及答案奥数在综合测评中所占比重越来越大，很多的名校牛初也都看重孩子的奥数成绩。

对孩子思维的开发，以及今后的数学学习都大有裨益，当然，奥数经典问题也不少，下面跟一起来看看最值问题试题及答案吧!例：阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就坐时，某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少，那么相同人数的至少有多少排.解：至少有4排.如果排人数各不相同，那么这10排最多分别坐16、15、14、13、……、7人，那么最多坐16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人);如果最多有2排人数相同，那么最多坐(16+15+14+13+12)×2=140 (人);如果最多有3排人数一样，那么最多坐(16+15+14)×3+13=148(人);如果最多有4排人数一样，那么最多坐(16+15)×4+14×2=152(人).由于148<150<152 ，所以只有3排人数一样的话将不可能坐下150个人，相同人数的至少有4排在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。

“最大”、“最小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。

例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。

但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?【解析】开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，那么第4把不用试了，它一定能翻开这把锁，因此需要3次。

同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁那么不用再试了。

这样最多要试的次数为：3+2+1=6(次)。

例2 x3=84A(x、A均为自然数)。

A的最小值是。

【解析】根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A 的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。

考点：极值问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。

最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

二、精讲精练【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。

根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。

所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a－ba+b的最大值是4950。

练习1：1、（课后）设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。

99 1012、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。

1 973、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。

（1）399 （2）201 199【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。

这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。

由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。

练习2：1.（课后）有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。

这两个两位数的差最多是多少？甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。

2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。

这两个两位数的和最小是多少？甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。

3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。

例1．1.有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。

他们一共最多能比赛多少场？解答：两组人数的乘积即为比赛场数，故最多比赛4×5=20（场） 2.直角三角形斜边长为10cm ，求这个直角三角形面积的最大值。

解答：设直角三角形三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边长，根据勾股定理有a 2+ b 2=c 2=100，则当a 2= b 2=50时，a 2× b 2最大，为2500，所以面积a×b÷2最大为25.3.一个边长为30的正方形，四个角减去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？解答：假设减去的正方形边长为x ，则拼成的长方体的容积为x （30-2x ）(30-2x).由于4x+30-2x+30-2x=60,则当4x=30-2x=60÷3=20时，容积最大，为20×20×20÷4=2000.4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成两个多位数，那么这两个多位数的乘积最大是多少？解答：先讨论确定两个多位数应为一个四位数和一个五位数。

再确定各个数位上的数字，高位数字越大则乘积越大。

再补上一个0（放在个位，计算出乘积后去掉），根据平均值定理：两个数和一定时，这两个数越接近，乘积越大。

可以得出最大值为：96420×87531÷10＝843973902。

5.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH 和一个两位数IJ 。

求算式IJ FGH DE ABC ⨯-⨯的计算结果的最大值。

解答：为使IJ FGH DE ABC ⨯-⨯尽可能大，则要DE ABC ⨯尽可能大，IJ FGH ⨯尽可能小，后面类似例1的第4题，可得到算式的最大值为2046893751⨯-⨯=60483。

第二十五周 最大最小问题专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。

最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

例1：a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。

根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。

所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。

练习1：1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。

2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。

3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。

例2：有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23。

这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数=23 ：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。

由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。

练习2：1、 有甲、乙两个两位数，甲数的310 等于乙数的45。

这两个两位数的差最多是多少？ 2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56 恰好等于乙数的14。

这两个两位数的和最小是多少？3、 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。

问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。

有理数是初中数学六年级下学期第1章的内容．这一章中，我们学习了有理数的概念及运算，数轴，绝对值及科学记数法的相关内容．重点是有理数的四则运算，同学们需多加练习；难点是绝对值的相关运算，这一点将在春季班的课程中着重讲解．单元练习：有理数内容分析知识结构除法有理数乘法 减法 绝对值 加法 相反数数轴 转化 转化科学记数法有理数比较大小加法法则减法法则乘法法则除法法则加法运算律乘法运算律乘方选择题【练习1】关于“零”的说法正确的是（）①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数．A．①、④B．②、③C．①、②D．①、③【难度】★【答案】C【解析】0是最小的自然数，则必为整数和有理数，但同时0非正非负，①②正确．【总结】考查数字“0”的特征，注意“0”的特殊性．【练习2】如果30%+表示增加30%，那么6%-表示（）A．增加24% B．增加6% C．减少6% D．减少36%【难度】★【答案】C【解析】正负号表示相反意义的量，“+”表示增加，“-”号表示减少，故选C．【总结】考查正负号表示相反意义的量．【练习3】下列说法中，正确的是（）A．存在最小的有理数B．存在最大的负有理数C．存在最小的正有理数D．存在最大的负整数【难度】★【答案】D【解析】数字的最值，只能是整数，最大的负整数是“1-”，最小的正整数是“1”，故选D．【总结】考查数的分类和数字中的一些最值问题．【练习4】数轴上表示2-的点在（）A．原点的右侧B．原点的左侧C．原点D．无法确定【难度】★【答案】B【解析】数轴上表示负数都在原点的左侧，正数都在原点的右侧，故选B．【总结】考查正负数在数轴上的表示．【练习5】 一个点从数轴上的表示2-的点开始，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，经过两次移动后到达的终点表示（ ） A ．5+B ．1-C ．1+D ．5-【难度】★【答案】C 【解析】“2-”向右移动5个单位得“3+”，“3+”向左移动2个单位得“1+”，故选C ．【总结】考查数轴上点的移动．【练习6】 下列结论中，正确的是（ ）A ．x -一定是负数B ．x -一定是非正数C ．x 一定是正数D ．x -一定是负数【难度】★【答案】B【解析】绝对值表示距离，即为非负数，可知x -为非正数，故选B ． 【总结】考查绝对值的意义，绝对值表示距离，即为非负．【练习7】 两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）A ．0B ．1-C ．1+D ．不能确定【难度】★【答案】B【解析】两数和为零，即0a b +=，得a b =-，两有理数非零，则有()1a b b b ÷=-÷=-， 故选B ．【总结】考查数轴上到原点距离相等的两个点的商．【练习8】 下列各式运算结果为正数的是（ ）A ．425-⨯B ．()4125-⨯C ．()4125-⨯D ．()6135-⨯【难度】★【答案】B【解析】A 选项中一个负号，积为负数；B 选项中是负数的偶数次幂，为正数；C 选项中括 号中计算差为负数，积为负数；D 选项显然为负数，故选B ． 【总结】考查积的“奇负偶正”．【练习9】 若mn > 0，则关于m 、n 的说法正确的是（ ）A ．都为正B ．都为负C ．同号D ．异号【难度】★【答案】C 【解析】由0mn >，分类讨论可知00m n >⎧⎨>⎩或00m n <⎧⎨<⎩，即为同号，故选C ．【总结】考查由两数积的正负性判断两数符号的同异．【练习10】 计算()111112234⎛⎫-++⨯- ⎪⎝⎭时，要避免通分，可运用（ ）A ．加法交换律B ．加法结合律C ．乘法交换律D ．乘法分配律【难度】★【答案】D【解析】2、3、4都是12的因数，可知可利用乘法分配律简便计算，故选D ． 【总结】考查有理数的计算，合理利用乘法运算律．【练习11】 两数相加，其和小于每一个加数，则下列说法正确的是（ ）A ．两个加数必有一个是0B ．两个加数一正一负，且负数的绝对值较大C ．两个加数都为负数D ．两个加数一正一负，且正数数的绝对值较大 【难度】★★【答案】C【解析】设两数分别为a 、b ，由a b a +<且a b b +<，可知0a <且0b <，即两加数都 为负数，故选C ．【总结】考查根据题目条件确定相应未知数的正负，解决问题．【练习12】 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2016厘米的线段AB ，则AB 盖住的整点的个数是（ ） A ．2014或2015 B ．2015或2016 C ．2016或2017D ．2017或2018【难度】★★【答案】C【解析】若线段AB 的起点在整点上，覆盖整点个数为201612017+=个；若线段AB 的起 点不在整点上，则覆盖整点个数为2016个，故选C ．【总结】考查数轴上的一段距离中点的个数，注意起点位置的差别．【练习13】 如果a 、b 表示的是有理数，并且20a b +=，那么（ ）A ．a 、b 互为相反数B ．a = b = 0C ．a 和b 符号相反D ．a 、b 的值不存在【难度】★★【答案】B【解析】由20a b +=，0a ≥，20b ≥，可得20a b ==，则有0a b ==，故选B ． 【总结】考查平方和绝对值的非负性的应用．【练习14】 如果3x =，4y =，那么x y +的结果是（ ）A ．1B ．7C ．1或7D ．1-或7-【难度】★★【答案】C【解析】由3x =，4y =，可得3x =±，4y =±，则1x y +=±或7±，1x y +=或7． 【总结】考查根据绝对值得到对应的未知数的取值进行解题和应用．【练习15】 下列等式，一定成立的是（ ）A ．0a a +-=B ．0a a --=C ．0a a --=D ．0a a --=【难度】★★【答案】C【解析】互为相反数的两数的绝对值相等，则有a a =-，故选C ． 【总结】考查互为相反数的两数的关系．【练习16】 两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置而商不变，那么这两个数一定是（ ） A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．相等或互为相反数【难度】★★【答案】D【解析】除数与被除数交换位置商不变，说明商与商的倒数相等，即商只能为1±，由此可得 除数与被除数相等或互为相反数，故选D ． 【总结】考查根据特殊条件确定相应的未知数的关系．【练习17】 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（250.1±）千克，（250.2±）千克，（250.3±）千克的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ） A ．0.8千克B ．0.6千克C ．0.5千克D ．0.4千克【难度】★★【答案】B【解析】根据面粉上的标识，可分别得到面粉产品质量范围为24.9~25.1kg ，24.8~25.2kg ， 24.7~25.3kg ，质量相差最多，则应为25.324.70.6kg -=，故选B ． 【总结】考查“±”符号的应用，表示一定的取值范围．【练习18】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第7次后剩下的小棒长为（ ）米A ．114B ．164C ．1128D ．1256【难度】★★★【答案】C【解析】第一次截去一半，剩余长度为12m ，第二次再截去一半，则剩余长度为212m ⎛⎫⎪⎝⎭，则第7次截得剩余长度为7112128m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查找规律计算的应用．【练习19】 若0a ba b+=，则下列结论中成立的是（ ） A ．0ab > B ．0ab = C ．0ab < D ．0a b +<【难度】★★★【答案】C 【解析】对任一非0有理数，必有1x x=±，由0a ba b+=，可知一个为1，一个为1-，即 a 、b 两数一个为正，一个为负，得0ab <，故选C ．【总结】考查根据1xx =±的应用判断未知数的正负．【练习20】 如果abcd < 0，a + b = 0，cd > 0，那么这四个数中负因数的个数至少有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【难度】★★★【答案】D【解析】由0abcd <，可知a 、b 、c 、d 都不为0，由0a b +=，可知a 、b 必为一正一 负，由0cd >，可知c 、d 同号，则负因数应为1个或3个，即至少1个，故选D ． 【总结】考查根据题目条件确定未知数的正负．【练习21】 如果1+表示比赛中赢了1局，那么2-表示___________________． 【难度】★ 【答案】输了2局．【解析】正负号表示相反意义的量，“+”表示赢，则“-”号表示输，即得“2-”表示输 了2局．【总结】考查正负号表示相反意义的量．填空题【练习22】 下列有理数中：2-， 1.0305-，47+，0，3，56-，5.21，0.016-，25.4%中，正数有_______个，负数有______个，正整数有______个，负分数有_____个． 【难度】★【答案】4，4，1，3．【解析】正数分别为47+、3、5.21、25.4%，共4个；负数分别为2-、1.0305-、56-、0.016-，共4个；正整数为3，共1个；负分数分别为 1.0305-、56-、0.016-，共3个．【总结】考查有理数的分类．【练习23】 在数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数为______． 【难度】★【答案】3±．【解析】根据数轴的定义，距离原点距离为3的点在原点左右两边各有一个，为3±． 【总结】考查数轴上到原点距离为定值的点，一般来说有两个，且这两个数互为相反数．【练习24】 绝对值不小于1但小于4的整数是____________________． 【难度】★【答案】1±，2±，3±．【解析】绝对值不小于1但小于4的整数，则其绝对值为1，2，3，即得相应的整数分别为1±， 2±，3±．【总结】考查数轴上的绝对值相等的点有两个，注意临界值是否能取得．【练习25】 计算：（1）22133⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，（2）11232⎛⎫-÷⨯= ⎪⎝⎭______，（3）321120162016⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，（4）()4433-+-=______． 【难度】★【答案】（1）1-；（2）112-；（3）12016-；（4）0． 【解析】（1）原式221133=-=-；（2）原式()1133224=-⨯⨯=-； （3）原式12016=-； （4）原式81810=-+=． 【总结】考查有理数的计算，注意计算中一些常见易错点，运算顺序的把握等．【练习26】 2010年，我国的第6次人口普查时，全国总共约13.4亿人，写成科学记数法形式为__________人．【难度】★【答案】91.3410⨯．【解析】根据科学计数法的原则，写作()10110n a a ⨯≤<的形式，913.4 1.3410=⨯亿．【总结】考查有理数的科学计数法．【练习27】 相反数等于它本身的数是______，倒数等于它本身的数是______，平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______． 【难度】★★【答案】略【解析】0，1±，0和1，0和1±． 【总结】考查有理数中的一些满足特殊条件的数字值．【练习28】 观察下列数字的排列规律，然后填入适当的数：3，7-，11，15-，19，23-，______，______． 【难度】★★【答案】27，31-．【解析】观察数字的变化规律，发现后面一个数字的绝对值比前面一个数字的绝对值大4， 同时数字的变化满足一正一负的变化规律，可知后面两个数字分别为27和31-． 【总结】考查找规律问题，注意符号的变化．【练习29】 已知：0a b <-<，比较a 、b 、a -、b -的大小得到：______ > ______ > ______ > ______． 【难度】★★【答案】a -，b ，b -，a【解析】由0a b <-<，可知0b a <-<，即0b a <<-，由此可得a b b a ->>->． 【总结】考查根据绝对值的大小确定相应未知数以及其相反数的大小关系．【练习30】 一个有理数的倒数是327的相反数，则这个数的80%是______．【难度】★★【答案】2885-． 【解析】327的相反数的倒数即这个有理数为717-，这个数的80%即为72880%1785-⨯=-．【总结】考查根据题目条件确定相关有理数的取值解决问题．【练习31】 若3x =，则x =______；若15x-=，则x =______． 【难度】★★【答案】3±，15±．【解析】由3x =，得3x =±；由15x -=，得15x-=±，则15x =±． 【总结】考查根据数字的绝对值确定相应数字的取值．【练习32】 已知2x >，则11x x +--=______． 【难度】★★【答案】2．【解析】由2x >，则有10x +>，10x -<，则()()11112x x x x +--=++-=． 【总结】考查根据题目条件进行去绝对值的化简计算．【练习33】 如果规定运算a b a b *=--，那么()31 1.24⎛⎫*-= ⎪⎝⎭______．【难度】★★【答案】1120-．【解析】根据运算法则，可知()()33111 1.21 1.24420⎛⎫*-=---=- ⎪⎝⎭．【总结】考查新定义计算，根据新定义计算的法则用数值替换字母计算即可．【练习34】 数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是______． 【难度】★★【答案】80-．【解析】距原点4厘米处表示的点是32，则距原点10厘米处表示的数的绝对值即为()1032480⨯÷=，点在原点左边，故为负值，即为80-． 【总结】考查数轴的单位长度处处相等．【练习35】 两滴墨水洒在一个数轴上，如图所示．试根据图中标出的数值，计算墨迹盖住的整数共有______个． 【难度】★★ 【答案】277．【解析】墨迹盖住负数部分所包含的整数从109~12--，盖住的整数个数为()()12109198---+=，墨迹盖住的正数部分包含的整数从11~189，则整数个数为 18911117-+=，即墨迹盖住的整数共98179277+=个．【总结】考查数轴上的某一段距离的整点个数，计头计尾，同时注意数轴上点的大小的变化．【练习36】 已知4x =，5y =，且x y >，则y x -=______． 【难度】★★【答案】9-或1-．【解析】由4x =，5y =，可得4x =±，5y =±，由x y >，得，5y =-，由此则 有9y x -=-或1-．【总结】考查根据题目条件确定相应未知数的值进行解题计算．109.2-11.9-10.3【练习37】 你知道20162除以3的余数是多少吗？我们通过下面的实践来解决这个问题：（1）12032=⨯+，显然12除以3的余数为2； （2）22131=⨯+，显然22除以3的余数为1； （3）32=_______，显然32除以3的余数为_______； （4）42=_______，显然42除以3的余数为_______； ……观察右侧的结果所反映的规律，我们可以猜想出20162除以3的余数是______． 【难度】★★【答案】232⨯+，2，531⨯+，1，1．【解析】由以上过程，可知2的奇数次幂除以3的余数为2，2的偶数次幂除以3的余数为1， 即猜想得到20162除以3的余数是1． 【总结】考查找规律的方法并进行猜想应用．【练习38】 a 、b 、c 三个有理数在数轴上的位置如图所示，则1c a -、1c b -、1a b-中最大的 是______． 【难度】★★★【答案】1a b-． 【解析】根据数轴上点的位置关系，可知c b a <<，则有0c a -<，0c b -<，0a b ->，由此可得10c a <-，10c b <-，10a b >-，由此可知1a b -最大． 【总结】考查根据数轴上点的位置关系确定相应字母的大小关系进行解题应用．【练习39】 ()()242340x y z ++-+-+=，则y z x x +=______． 【难度】★★★【答案】8．【解析】由()()242340x y z ++-+-+=，根据20x +≥，()230y -≥，()440z -+≥， 可得203040x y z +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得234x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有()()34228168y z x x +=-+-=-+=．【总结】考查偶次方和绝对值的非负性．【练习40】 如果51x x -++是一个常数，则这个常数的值为______． 【难度】★★★【答案】6．【解析】分类讨论得：当5x ≤时，原式()51516x x x x =--++=-+++=；当5x >时，原式()5124x x x =-++=-；综上，当5x ≤时，式子值为常数，即得常数值为6． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．【练习41】 将 2.5-，12，2，0，2--，()3--在数轴上表示出来，并用“>”把它们连接起来．【难度】★★【答案】()13202 2.52-->>>>-->-，数轴略． 【解析】22--=-，()33--=，根据数轴的特性，数轴上的数从左往右依次增大，由此 可知()13202 2.52-->>>>-->-． 【总结】考查数轴上点的表示和相应数轴上表示数的大小的变化．【练习42】 数轴上表示数a 的点到原点的距离为5，求5a -的值． 【难度】★★【答案】0或10-．【解析】表示数a 的点到原点的距离为5，可知5a =±，则有50a -=或10-． 【总结】考查数轴上到原点距离相等的点有两个，互为相反数．【练习43】 某班学生上体育课，对男生做俯卧撑测试，以规定时间内做40个为达到标准，问：（1）这10名男生成绩的达标率为多少？ （2）他们共做了多少个俯卧撑？【难度】★★【答案】（1）70%；（2）408个．【解析】（1）达到40个即为达标，用正负表示0页包含在内，即达标的有7人，达标率为 710100%70÷⨯=；（2）共做俯卧撑()()()23103123231040408++-++-++-++++⨯=⎡⎤⎣⎦个． 【总结】考查相应计量标准的应用，注意计算总数量时不要忘记标准值．解答题【练习44】 已知x 、y 是有理数，且()()221210x y -++=，求x + y ．【难度】★★【答案】12或32-． 【解析】由()()221210x y -++=，()210x -≥，()2210y +≥，即得10x -=，210y +=， 解得：1x =±，12y =-，由此得12x y +=或32-．【总结】考查平方的非负性，根据性质即可求得对应字母取值．【练习45】 计算：（1）()()23551110.420.2119.711.73232⎡⎤⎡⎤--+--÷-⨯+⨯⎣⎦⎢⎥⎣⎦； （2）()()()323520.3873410⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-+⨯-÷-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；（3）()()2222213923133413⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+---÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）22223211218538232492255⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-+⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）32；（2）56-；（3）9352；（4）252-． 【解析】（1）原式()()()5553111211.719.71281323222=----⨯⨯-=--⨯⨯-=-+=⎡⎤⎣⎦； （2）原式()()()()238422856=-⨯-⨯-+=-⨯=-⎡⎤⎣⎦； （3）原式419947794779329139413133613135252⎛⎫=+-+÷⨯=+⨯=+=⎪⎝⎭； （4）原式()351498882553492436122922525⎛⎫⨯-⨯-+⨯÷+ ⎪⎝⎭===--⨯÷-． 【总结】考查有理数的四则混合运算，注意运算顺序和运算律的运用．【练习46】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，若11m a b b a c c =+------，求1000m 的值．【难度】★★【答案】2000-．【解析】根据数轴上字母顺序，可知01b a c <<<<，则有0a b +<，10b -<，0a c -<， 10c ->，则有()()()()112m a b b a c c =-++-+---=-，得10002000m =-．【总结】考查去绝对值的运算，先根据绝对值中式子与0的大小关系去绝对值再代值计算．【练习47】 若201522016x =，求12345x x x x x x +-+-+-+-+-的值． 【难度】★★【答案】9．【解析】由201522016x =，可得23x <<，则0x >，10x ->，20x ->，30x -<，40x -<，50x -<，则原式()()()()()123459x x x x x x =+-+-------=．【总结】考查去绝对值的运算，先根据绝对值中式子与0的大小关系去绝对值再代值计算．【练习48】 已知三个有理数a 、b 、c 的积为负数，它们的和是正数，当a b c x abc=++时，求2018201620182017x x -+的值． 【难度】★★★【答案】2015．【解析】三个有理数积为负数，则必有三个同为负数或二正一负，又根据三数和为正数，可知必为二正一负，对任一非零数而言，必有1kk =±，本题中即可得()1111x =++-=，则20182016201820172016201820172015x x -+=-+=．【总结】考查根据条件确定数字的正负，结合1kk =±进行计算．【练习49】 化简32x x ++-． 【难度】★★★【答案】略．【解析】本题中未给出x 的具体取值范围，不能确定各绝对值中式子与0的大小关系，由此 需进行分类讨论，按照式子为0的相应x 值作为取值范围的分段： 当3x ≤-时，原式()()323221x x x x x =-+--=---+=--； 当32x -<<时，原式()()32325x x x x =+--=+-+=； 当2x ≥时，原式()()323221x x x x x =++-=++-=+． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．【练习50】 如果31x x -+-是一个常数，求x 的取值范围和这个常数的值． 【难度】★★★【答案】2，13x ≤≤．【解析】本题去绝对值需进行分类讨论，按照式子为0的相应x 值作为取值范围的分段：当1x <时，原式()()313124x x x x x =----=-+-+=-+； 当13x ≤≤时，原式()()31312x x x x =--+-=-++-=； 当3x >时，原式()()313124x x x x x =-+-=-+-=-； 综上，式子值为常数时，即为2，此时取值范围为13x ≤≤． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．。

第十二讲 最大、最小值问题1. 一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大等于 。

2. 5个空瓶可以换一瓶汽水。

某班同学一共喝了161瓶汽水，那么他们至少买 瓶。

3. 用1~8这8个数字各一次组成两个四位数，使其乘积最大。

这两个四位数分别是 和 。

4. 从1至9中选出8个数，填入下面算式“□□⨯□□-□□⨯□□”的“□”中，那么该算式计算结果最大是_____；5. 1）在分母是一位数的最简真分数中相差最小的两个分数相差 。

2）在1~9种选取四个不同的数字填入下面的算式□□□□+中，使得算式的计算结果尽可能接近1，但是又不等于1，那么算式结果的最大值等于 。

6. 四个互不相同的自然数a 、b 、c 、d ，已知a 、b 是奇数， c 、d 是偶数，且dc b a 1111+=+，那么c +d 的最小值为 。

7. 已知k 、m 、n 是非零自然数，并且满足11112019<++<nm k ，那么k+m+n 的最小值等于 。

8. 将1~50任意分为10组，每组5个数。

在每一组中，数值居中的称为“中位数”；10组数就有10个中位数，这10个中位数的和称为“中位和”。

那么“中位和”最大为 ；最小为 。

9. 一台计算机大部分按键失灵，只有“7”和“0”以及“+”三个按键可以使用，因此只能输入7、77、707、7077这些只含7和0的数，进行加法运算，为了显示222222，最少要按“7”键 次。

10. 探险家横穿沙漠需要6天，但是一个人只能携带四天的食物，他可以雇佣工人帮忙他带食物和水，那么这个探险家至少需要 名工人帮忙。

11. 勘查车队有三辆车，每天行驶360千米，每辆车满载油料可供20天使用，车辆之间还可以互相补充燃料，且车辆最终必须返回出发地，那么勘查车队最多开出 千米（按照开出最远的车辆计算）12. 1）在一个2⨯8的方格表内，第一行依次填入数字1~8。

现在要求把数字1~8按照适当的顺序填入第二行，并且使得每列两个数字的差（大减小）两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是 。

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． ⑴能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． ⑵运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． ⑶理解和运用概率性质进行概率的运算．【例 1】 若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【分析】 题目要求A 和B 两个人必须排在一起，首先将A 和B 两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A ，B ”、C 、D 、E “四个人”进行排列，有4424A =种排法．又因为捆绑在一起的A 、B 两人也要排序，有222A =种排法．根据分步乘法原理，总的排法有424224248A A ⨯=⨯=种．【例 2】 一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【分析】 若直接解答须分类讨论，情况较复杂．故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有37C 种方法（请您想想为什么不是37A ），因此所有不同的关灯方法有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯种.［拓展］若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？［分析］ 题目要求A 和B 两个人必须隔开．首先将C 、D 、E 三个人排列，有336A =种排法；若排成D C E ，则D 、C 、E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：D CE ，此时可将A 、B 两人插到四个空位置中的任意两个位置，有2412A =种插法．由乘法原理，共有排队方法：323461272A A ⨯=⨯=．第 8讲计数㈠【例 3】现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?【分析】将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法．由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为6984C=．【例 4】⑴已知方程20=++zyx，求这个方程的正整数解的个数．⑵已知方程20=++zyx，求这个方程的非负整数解的个数．【分析】⑴将20分成20个1，列出来：11111111111111111111在这20个数中间的19个空中插入2个板子，将20分成3部分，每一部分对应“1”的个数，按顺序排成=x；=y；z=；即是正整数解．故正整数解的个数为219171C=．⑵将问题转化为求方程24x y z++=的正整数个数，显然原方程的解法与转化后的方程的解可以一一对应，新方程的每一组解的值减去1，即可得到原方程的一组解，反过来，原方程的任意一个解的值加一，也可对应新方程的解对应所以该方程的非负整数解有223253C=个．在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢?历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．概率的古典定义：如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：()mP An=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．【例 1】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【分析】 掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．［前铺］在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞 200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那 么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？［分析］ 200尾鱼中有25条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可一看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．［前铺］一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往周面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大． ［分析］ 因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．举例：⑴明天正午的天气是阴天与明天正午的天气是雨天是两个互斥事件，所以明天正午天气为阴雨的概率等于明天正午的天气是阴天概率与明天正午的天气是雨天概率之和．⑵抛一枚硬币掉下来后是正面向上与抛一枚硬币掉下来后是反面向上是两个互斥事件，所以抛一枚硬币掉下来后是正面或是反面向上的概率等与抛一枚硬币掉下来后是正面向上的概率与抛一枚硬币掉下互斥事件：()()()P A B P A P B +=+ 互斥事件也叫互不相容事件．也可表述为不可能都发生的事件.公式的含义为：如果事件A 和B 为互斥事件（互不相容事件）,那么A 或B （之一）发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和．如果事件A 、B 为互斥事件，且事件A 、B 发生机会均等，那么()()()12P A P B P A B ==+. 如果某事件所有可能发生的情况1A 、2A 、、n A 互斥，且机会均等，那么()()()()121211n n P A P A P A P A A A n n ====+++=. 其中的m 种情况发生的概率为mn．来后反面向上的概率之和，即11122P =+=． ⑶掷出的骰（t óu ）子数字1、2、3、4、5、6向上情况互斥且机会均等，所以每种情况发生的概率为16.【例 2】 （2008年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______． 【分析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720⨯=种．其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种， 冒号之后不出现1的情况有()()6110145-⨯-=种，所以不出现1的情况有458360⨯=种．所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360-=种，所以至少看到一个数字“1”的情况有36017202=种．【例 3】 如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为12平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为32平方厘米的概率为多少？构成面积为2平方厘米的概率为多少？【分析】 从9个点中任取3个点一共有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种情况．三个点共线一共有3328++=种情况．所以三个点能够成三角形的概率为81918421-=．9个点中能构成面积为12的三角形一共有444432⨯+⨯=种情况．所以三个点能够成面积为12平方厘米的三角形的概率为3288421=． 9个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有46832⨯+=种情况．所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为3288421=． 9个点中能够成面积为32平方厘米的三角形的情况有4种情况．所以三个点能够成面积为32平方厘米的三角形的概率为418421=．9个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况．所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为828421=．【例 4】 奥苏旺大陆上流行一种牌戏，类似于我们世界的“扑克牌”，但他们的牌只有18张，不同的牌有不同的点数或花色，一共有16这6个点数，以及◎、☆、◇三种花色.玩家从一幅牌中抽出3张牌，求：⑴抽到“顺子”（三张牌点数连续）的概率，⑵抽到“同花”（三张牌花色相同）的概率，⑶抽到“同花顺”（三张牌点数连续，花色相同）的概率．【分析】 18张牌中抽取3张有318816C =种方法． 顺子一共有4种，即()1,2,3、()2,3,4、()3,4,5、()4,5,6对于每一种顺子，又有33327⨯⨯=种，所以抽取到顺子的概率有427981668⨯=． 同花有三种花色，每一种同花有3620C =种，所以抽取到同花的概率有320581668⨯=． 同花顺有3412⨯=种，所以抽取到同花顺的概率为12181668=．【例 5】 甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．【分析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，两个数差为1有2918⨯=种，两个数的差为2的情况有2816⨯=种，所以两个数的差不超过2的概率有10181611101025++=⨯． ⑵两个数的差为7的情况有23⨯种． 两个数的差为8的情况有224⨯=种． 两个数的差为9的情况有2种．所以两个数字的差超过6的概率有6423101025++=⨯. 两个数字的差不超过6的概率有32212525-=.【例 6】 甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？ 【分析】 对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，所以四次传球的总路线有4381=种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件. 而恰好传回到甲的情况，以第一步为→甲乙为例有如下7种情况： ⎧→→⎧⎪⎪→→→⎨⎪⎪⎪→→⎩⎪⎪→⎨→→⎧⎪→⎨⎪→→⎩⎪⎪→→⎧→⎨⎪→→⎩⎩乙甲甲丙甲丁甲甲乙乙甲丙丁甲乙甲丁丙甲所以第4次传回甲的概率为3778127⨯=．【例 7】如图为A、B两地之间的道路图，其中⊙表示加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一条或两条路通往目的地），都用抛硬币的方式随机选择路线，求：⑴小王驾车从A到B，经过加油站的概率．⑵小王驾车从B 到A，经过加油站的概率．【分析】运用标数法，标数规则（性质）：⑴从起点开始标“１”．⑵以后都将数标在线上，对于每一个节点，起点方向的节点相连线路上所标数之和与和目标方向节点相连线路上标数之和相等．⑶对于每一个节点，目标方向的各个线路上标数相等．如图：从A到B经过加油站的概率为18；8 41如图：从B到A经过加油站的概率为38；4161举例：⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之和，即相互独立事件：()()()P A B P A P B⋅=⋅事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．公式含义：如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积．111224P =⨯=.⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为0.6，那么骰子掉在桌上且数字“n ”向上的概率为10.60.16⨯=．【例 8】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少? 【分析】 ⑴全部射中靶心的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=．⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=． 第二箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=． 第三箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．有一箭射中的概率为0.1440.1440.1440.432++=.⑶第一箭射中，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=． 第二箭射中，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．第三箭射中，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=． 有两箭射中的概率为0.960.960.960.288++=.【例 9】 小刚爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于3，那么跨1个台阶，如果不小于3，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？［分析］ 小明每跨出一步，有13的概率跨1个台阶，有23的概率跨2个台阶，对于4步跨6台阶的每一种情况，例如()2,2,1,1，发生的可能性有22114333381⨯⨯⨯=，所以4步跨6台阶发生的总概率为4868127⨯=．［铺垫］小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨1个台阶还是2个台阶，如果是正，那么跨1个台阶， 如果是反，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？ ［分析］ 小明跨出4步的所有情况有222216⨯⨯⨯=种情况，其中恰好跨出6个台阶的情况有： ()2,2,1,1、()2,1,2,1、()1,2,2,1、()2,1,1,2、()1,2,1,2、()1,1,2,2六种， 所以概率为63168=．【例10】 A 、B 、C 、D 、E 、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【分析】 A 抽中的概率为16，没抽到的概率为56，如果A 没抽中，那么B 有15的概率抽中，如果A 抽中，那么B 抽中的概率为0，所以B 抽中的概率为511656⨯=.同理，C 抽中的概率为54116546⨯⨯=，D 抽中的概率为5431165436⨯⨯⨯=，E 抽中的概率为543211654326⨯⨯⨯⨯=，F 抽中的概率为5432111654326⨯⨯⨯⨯⨯=. 由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.［拓展］如果每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为 多少？［分析］ 抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111666666⨯⨯⨯⨯⨯，在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【例11】 甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第2件到第5件礼物，当然取法各种各样，那么共有＿＿＿＿种不同的取法．事后他们打开这些礼物仔细比较，发现礼物D 最精美，那么取得礼物D 可能性最大的是＿＿＿＿，可能性最小的是＿＿＿＿．CD E AB【分析】 本题需要注意的隐含条件：对于每个人，如果摆在面前的有两串礼物，那么该人选择其中一串的概率为12，如果摆在面前的只有一串礼物，那么该人100%选择那一串．第一件取A 的有4种取法,第一件取C 的有6种取法． 所以有不同的取法4610+=种．观察这10种取法的树状图可知，甲和戊不可能取得D ，所以取得D 可能性最小的是甲和戊， 乙、丙、丁谁的可能性大不能看谁的取法较多，因为每种取法实现的可能性不同. 法一：计算枚举出的每一种取拿方法的所有概率（各种取拿方法流程之间是互斥事件）： 第一件取A 有4种方法：1111112241111112228111111222216111111222216B C D E B D E A C B E D E B⎧⎛⎫→→→⨯⨯⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎧⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪→⎨⎪⎧⎪⎛⎫⎪→→⨯⨯⨯⨯=⎨ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪→⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪→⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎩⎩第一件取B 有6种方法：11111122281111112222161111112222161111112222161111112222161111112228B D E A B E D E B C B E A D E B E A B⎧⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎧⎪⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯=⎨ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪→⎨⎪⎛⎫⎪→⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎩→⎧⎧⎛⎫→⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪→⎨⎪⎪⎛⎫⎪→→⨯⨯⨯⨯=⎨ ⎪⎪⎝⎭⎩⎪⎪⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩乙取得D 的可能性是1111161684++=；丙取得D 的可能性是11111161616164+++=；丁取得D 的可能性占11114882++=．所以取得D 可能性最大的是丁．法二：计算流程各个阶段，事件发生情况：（每个人选择哪一串在是否取完一串的条件已知的 情况下与后一个人选择哪一串相互独立）.乙取得D 的可能性是111224⨯=；丙取得D 的可能性是111122224⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；丁取得D 的可能性占1111112222222⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．所以取得D 可能性最大的是丁．1． 从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大． 【分析】 首先某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为10，乘坐9路车的几率均为10，因此小红乘坐1 路车的可能性较大．2． 某人有5把钥匙，一把房门钥匙，但是忘记是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？ 【分析】 从5把钥匙中排列出前三把，一共有3554360P =⨯⨯=种，从5把钥匙中将正确的钥匙排在第三把，并排出前二把一共有244312P =⨯=种，所以第三把钥匙打开门的概率为121605=．3． 一张圆桌旁有四个座位，A 、B 、C 、D 四人随机坐到四个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率． 【分析】 四人入座的不同情况有432124⨯⨯⨯=种．A 、B 相邻的不同情况，首先固定A 的座位，有4种，安排B 的座位有2种，安排C 、D 的座位有2种，一共有42216⨯⨯=种．所以A 、B 不相邻而座的概率为()12416243-÷=．4． 如图为甲、乙两地之间的道路图，晓峰从甲地步行前往乙地，晓峰步行的方向始终为向北或向东，如果行走某个路口，出现有向北和向东的两条道路，晓峰就用抛硬币的方式随机选择路线，问晓峰最有可能通过A 、B 、C 中的哪一条道路从西城走到东城？乙甲CBA【分析】 运用标数法，将晓峰通过的每一条路的概率标在道路上，如图：由标数可得晓峰通过A 的概率为12，通过B 和C 的概率为14.5． 设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？ 【分析】 如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4，配备两门高射炮那么未击中的概率为0.40.40.16⨯=，如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=， 如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.0256⨯⨯⨯=， 如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.40.01024⨯⨯⨯⨯=， 如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为60.40.004096=． 所以至少配备6门高射炮，同时射击．。