定弦定角最值问题(教师版)

线段最值系列之（一）——定弦定角，定最值一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是角的顶点），不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，称为“定弦定角”问题。

该线段称“定弦”，该运动的定值角称“定角”。

先复习两个基础知识点知识点1、如下图，（1）以AB为直径的⊙O上有一动点，则∠APB恒为90°，反之，当∠APB=90°时，点P一定在以AB为直径的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点C，则点C到⊙O上点的最小距离和最大距离的确定：过点C与圆心O的线与圆的两个交点，如图，即CP长为最小值，CE长为最大值。

知识点2、如下图，（1）在⊙O中，弦CD一定时，则该弦所对劣弧（或优弧）上的圆周角∠CTD就一定；反之，当∠CTD为一定值时，点T一定在以CD为弦的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点A，射线AO与圆的交点分别为点T和点E，则点A到圆的最小距离是AT的长，最大距离是AE的长。

下面，以两道典型例题来说明定弦定角在解一类线段最值题目中的应用。

例1：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4, BC=6 ,P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC , 则线段CP的长度的最小值是 .(您的点赞，就是给予作者一份信心，别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)下面还有，继续……变式练习：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4,BC=6, P是△ABC所在平面上的一个动点，且满足∠APB=90° , 则线段CP长度的取值范围是 .例2：如图，已知点E , F为等边△ABC边AB 、AC上的两动点，且AF=BE ,:连接CE , BF交于点T, 若等边△ABC的边长为6 ，则AT的长度的最小值是 .。

定弦定角最值问题（答案版）【例1】（2016 •新观察四调模拟1）如图，△ABC中，AC = 3 , BC = 4J2，/ ACB = 45° D为△ABC内一动点，O O ACD的外接圆，直线BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（）解：J/ CDP = Z ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过O时，AD有最小值•••/ BDC = 135 °•••/ BO'C = 90 °•△ BO C为等腰直角三角形.•./ ACO = 45 °+ 45 °= 90 °•AO = 5又OB = O'C= 4•- AD = 5 —4 = 1【例2】如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接当CE过圆心O时，CE有最小值为-J3 2BD交圆于E点，连CE,贝U CE的最小值为（）169解：连接AE•/ AD为O O的直径•••/ AEB = / AED = 90 °•E点在以AB为直径的圆上运动C. .2D. ,414 2A. 1B. 21）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4 . 2，/ ACB = 45° AM IIBC ，点P 在射线AM 上运动，连 BP 交厶APC 的外接圆于 D ，则AD 的最小值为（）A . 1 ■_W【练】（2015 •江汉中考模拟-.oAB4..3c交aB 223 *0CD2B . 6 33 A . 12 6,3C . 12 3.3D . 6 A.-啕诂目隹丹丘it 按丿E 易汞丄片虾・圧戸二上*虾・宴罠厶乂肚的叢丸丽希 则点芒駆腼閉壯\ AB=1^, ^ACB=XT,R^AMB =<M *・当^c^t^jsfn 中屯肘* 点闭肋睡琥大.此01氐册?两梅三甸肪CV2樁+玄皿L*X2括X （2』J"・&+M ，放说3,【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O O 的半径为1,弦AB = 1,点P 为优弧AB 上一动点,••• AD 的最小值为 5 — 4= 1 % /■…/【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O 的半径为2,弦AB 的长为2... 3，点P 为优弧上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点C ,则△ ABC 的面积的最大值是（.⑼M 救学早呵H 權H n »）才闻，®。

定弦定角最值问题（答案版）△45°＝【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC3，BC为＝＝，∠，ACBD24，CP于E点，弧AE＝△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BCABC内一动点，⊙O为的最小值为（）则AD．B．2CD．A．12241?4＝45°：∵∠CDP＝∠ACB解135°（定弦定角最值）∴∠BDC＝AD有最小值过O′时，如图，当AD 135°∵∠BDC＝＝BO90°′C∴∠BO′C∴△为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）162?21313?．D．B．5A．C 9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动13?2 CE有最小值为CE过圆心O′时，当42，∠ACB＝45°，3，BC＝AM∥BC，AC如图，在(2015【练】·江汉中考模拟1)△ABC中，＝点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2242?3 ．D ．CCD解：连接＝∠ACB＝45°∴∠PAC＝∠PDC135°BDC＝∴∠AD有最小值如图，当AD过圆心O′时，135°∵∠BDC＝90°∴∠BO′C＝4 B′＝O′C＝∴O又∠＝90°ACO′5′＝∴AO1＝5－4∴AD的最小值为32AB例【3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，的长为P，点的半径为2，弦AB为优弧⊙O ABC的面积的最大值是（）C上一动点，AC⊥AP交直线PB于点，则△3633?12312?66?334?．．AC．B ． D·洪山区中考模拟1)如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧【练】(2014AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）12．A． B 2233．．C D 24为弧于E、F两点，CAB(3，0)，以为直径作⊙M，射线OF交⊙M，【例5】如图，A(10)、B__________的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为AB的中点，D为EF解：连接DM的中点D是弦EF∵EF∴DM⊥为直径的圆上运动为圆心的，OM∴点D在以A有最小值时，CD当CD过圆心A连接CM AB 的中点∵C为弧⊥AB∴CM CD的最小值为∴12?的中点，连接AP是60°，P是上一动点，D，∠AB【练】如图，是⊙O的直径，AB＝2ABC＝__________ 的最小值为CD，则CDOD解：连接D为弦AP的中点∵OD⊥AP∴在以AO为直径的圆上运动∴点D CD有最小值′当CD过圆心O时，过点C作CM⊥AB于M∵OB＝OC，∠ABC＝60°∴△OBC为等边三角形13，CM＝∴OM＝22．7＝C∴O′417的最小值为CD∴?24练习：如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DE2 _________AB 的距离的最大值是到CDE连接．当点在运动过程中，始终有，则点C?AB2。

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD ∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12-【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47 ∴CD 的最小值为2147。

精品文档九年级讲义：定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

精品文档．精品文档24ACD为△ABC3，BC内一动点，⊙＝O为△，∠ACB＝45°，D中，【例1】如图，△ABCAC＝的最小值为（）点，弧于P点，交BC于EAE＝CP，则AD交⊙的外接圆，直线BDO A．1B． 22 C ．2441?．DBD为直径作圆，连接AD＝90°，D为AC上一动点，以BACAC【例2】如图，＝3，BC＝5，且∠）E点，连CE，则CE的最小值为（交圆于213?． A2?13 B ．C．516D．924上运动，在射线AM∥45°，AMBC，点，中，【练】如图，在△ABCAC＝3BCP＝＝，∠ACB ，则AD的最小值为（）DBP连交△APC的外接圆于．A12 B．2 C．精品文档．精品文档D．342?32PBAP交直线上一动点，3】如图，⊙O的半径为2，弦ABAC的长为⊥，点P为优弧AB【例ABC的面积的最大值是（）于点C，则△3612?． A36?3． B3312? C ．346? D．，于点CAC⊥AP交直线PBPO【练】如图，⊙的半径为1，弦AB＝1，点为优弧AB上一动点，）则△ABC的最大面积是（1 A．22 B．23 C．23 D．4交于、＝上的点，且、、，的等边△4】如图，边长为3ABCDE分别为边BCACBDCE，ADBE【例_________ 点，则PCP的最小值为8例题5 图例题4F于E、交⊙为直径作⊙，B(30)，以ABM，射线OFM、，】如图，【例5A(10)的最小值为CD点旋转时，的中点．当射线绕为的中点，为弧两点，CABDEFO__________精品文档．精品文档APD是°，P是上一动点，60的直径，AB＝2，∠ABC＝O【练】如图8，AB是⊙__________ CD的最小值为的中点，连接CD，则针对练习：BE，于点DBC＝6，AD⊥ABC1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△中，AB DE2，则点C在运动过程中，始终有到AB的E⊥AC于点，连接DE．当点C AB2_________ 距离的最大值是2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________A PDCBO精品文档．。

定弦定角问题
定弦定角问题是指在数学圆中，半径相等的圆内，长度相等的弦所对应的圆心角相等，与圆心同旁的圆周角相等，与圆心易侧的圆周角相等。

这些问题通常涉及到弦的长度、圆心角的大小、圆周角的大小等方面的计算和比较。

下面是一些相关的例题和解决方法:
- 例 1:在三角形 abc 中，ac=bc=2，角 ac=90o，则角 bc 的度数为多少？
解决方法：根据定弦定角问题，可知弦 ac 的长度是 bc 的一半，即弦 ac=√3/2 bc，又因为角 ac=90o，所以角 bc=45o。

- 例 2:在三角形 abc 中，ac=2bc=4，则角 bc 的度数为多少？
解决方法：同样根据定弦定角问题，可知弦 ac 的长度是 bc 的一半，即弦 ac=√3/2 bc，因为角 ac=90o，所以角 bc=45o。

- 例 3:在圆 o 中，弦 ab 的长度为 2，圆心角 ab 的大小为360o/2=180o,则弦 ab 所对的圆心角为多少？
解决方法：根据定弦定角问题，可知弦 ab 的长度是圆心角 ab 的大小的一半，即弦 ab=√3/2 圆心角 ab，因为圆心角 ab=180o，所以弦 ab 所对的圆心角为 360o/2=180o。

- 例 4:在三角形 abc 中，ac=2bc=4，则角 bc 的度数为多少？
解决方法：同样根据定弦定角问题，可知弦 ac 的长度是 bc 的一半，即弦 ac=√3/2 bc，因为角 ac=90o，所以角 bc=45o。

总之，定弦定角问题是数学圆中比较基础的问题，熟练掌握这些问题的解决方法对于圆的学习和应用都是非常重要的。

定弦定角最值问题（教师版）work Information Technology Company.2020YEAR定弦定角最值问题（答案版）【例1] （2016 •新观察四调模拟1）如图，△ABC 中，AC=3, BC= 4迈,ZACB = 45\ D 为厶 ABC 内•动点，OO 为△ACD 的外接圆，直线BD 交00于P 点，交BC 于E 点,弧AE=CP.则 AD 的最小值为（〉B ・2解：VZCDP=Z^CB = 45°:丄BDC= 135° （定弦定角最值） 如图，当AD过时，AD 有最小值 ・・•乙BDC= 135°・・.乙BOQ 90。

为等腰直角三角形・・・ ZACO r = 45° + 45° = 90°・・.AO' = 5又 O ，B = OU4/.AD = 5-4= 1【例2】如图，AC = 3, BC = 5,且乙B4C = 90。

，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接 BD 交圆于E 点，连竺，则CK 的杲小值为（）A . V13-2 /AD 为（DO 的直径・・・乙AEB=乙AED = 90°•••E 点在以他为直径的圆上运动当CE 过圆心O 时，C£有最小值为加-2A ・1 9【练】（2015江汉中考模拟1）如图，在△ABC 中，AC = 3. BC= 4^2 f AACB = 45\ AM// BC,点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于0则AD 的杲小值为（）C . V2D . 4佢-3 ---- M解「连接CD・・.ZPAC=乙PDC= ZACB = 45°・・・乙BDC= 135°如图，当AD 过圆心O 时，4D 有最小值V ZBDC= 135°・・・乙BO'C = 90°・・.O I B = O ,C = 4又乙 ACO' = 90°.\AO f = 5・・.AQ 的最小值为5-4=1 \/'、 __________ /【例3】（2016動学早四调模拟1）如图，OO 的半径为2,弦血的长为2羽、点P 为优弧AB 上一动点，AC 丄AP 交直线皿于点C,贝IJAABC 的面积的杲大值是（） C . 12 + 3JJ故选 B.D . 6 + 4“ ・（2016劫学早四H 模拟一TlO ）如图，©O 篱龜\^5=2 C 到曲的更樹證丸 此时ZUBC 为［练】(2014P 为优弧A 〃上一动--2V32 • ・A C A/2-2V3-4 ••B D /BC 点，C 为弧 【练1如图，加是 【例5】如图，A(l, 0)、8(3, 0).以AB 为直径作OM,射线OF 交乜AB 的中点，》为£尸的中点•当射线绕。

定弦定角最值问题（答案版） 【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5 ∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47 ∴CD 的最小值为2147-练习：如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22=AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________。

【2013年中考攻略】专题8:几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.如图，/ MON=9°，矩形ABCD勺顶点A B分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A 、.21 C.平5 D 撐【答案】Ao【考点】矩【分析】如图，取AB 的中点E ,连接OE DE OD••• ODC OE+DE•••当OD E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大, 1此时AB=2 BC=1 • OE=AE= AB=t2 DE= AD 2 AE 2 二 12 12 二 2，• OD 的最例2.在锐角三角形 ABC 中, BC=4V2，/ ABC=45，BD 平分/ ABC M ・N 分别是BD BC 上的动点，则CM+MI ®最小值是 _________M垃【分析】如图，在BA 上截取BE=BN 连接EM 【答案】【考点】【分析】 245动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。

如图，根据垂直线段最短的性质，当 BP 丄AC 时, 得最小值。

【答案】4【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角 三角函数定义，特殊角的三角函数值。

vZ ABC 的平分线交 AC 于点 D,A Z EBM M NBM在厶AME W^AMN^，v BE=BN ，Z EBM Z NBM BM=B ， •••△ BME^ BMN( SAS 。