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第八章 描述函数法

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第8章 非线性系统分析

第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)

自控理论 8-3描述函数法

自控理论 8-3描述函数法
1
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1




2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1

1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2

精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章

精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。

描述函数法讲解

描述函数法讲解
0

Ka sintd(t)


KA s in2
td(t
)

2
KAsin1
a

a
1


a
2


AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1

2
K sin1
a

a
1

a
2

A
AA
A
式中，
Asin

a,

sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1

tg1
A1 B1

0
a

t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1

2


x(t)sint d(t)
0

2


KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1

B1

j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。

自动控制原理第八章

自动控制原理第八章
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述

2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16

系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性

《自动控制原理》描述函数法

《自动控制原理》描述函数法

y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。

第八章 非线性控制系统分析

x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx

x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x

c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。

自控 第8章-3 描述函数法

3
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
24
图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 A A1 A0 因为系统稳定
所以，振幅将衰减，最终 A 0
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B
若 A A2 A0 系统不稳定 所以，振幅将增大，最终 A
所以N0点的周期运动是不稳定的
25
图C：两个交点
对于N20点，若 A A2 A20 系统不稳定 A A20
23
图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使
j
1 N ( A)
0 N2 N0 N1
A A1 A0
G( j)
因为 G( j)曲线包围 N (1A)曲线，系统不稳定

ch8-4 描述函数法

y G j N X Y1 sin t 如果 y y1 , 则得 1 G j N X 0 G j 1 自振荡的条件 N X
上海应用技术学院电气学院
自动控制原理
第8章非线性系统分析
此时若把N(X)与 G j 间的断开点接通,即使撤消外施信号 系统的振荡也能持续下去.式中： N X 称负特性.
图8-7 用描述函数表示非线性特性的系统
描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比 。
非线性元件函数的举例
（1）饱和非线性
由图8-8可知，输出y(t)是一个周期性的奇函数，因而它的傅氏级数展开式 中没有直流项，也没有余弦项。即 A0=0，B1=0，Φ1=0
上海应用技术学院电气学院
t1

上海应用技术学院电气学院
自动控制原理
其中 X sin t1 , t1 arcsin 代入上式, 得 X 2 2kX arcsin A1 1 2 X X X
第8章非线性系统分析
2 A1 2k arcsin N X k 1 X X X X

N X
X 1
令
KG j 1
求交点的频率 φω 90 arct an2ω arct anω 180 arct anω arct an2ω 90 2ω ω 2 1-2ω
图8-18 具有饱和放大器的非线性系统
上海应用技术学院电气学院
图10-13 死区非线性的描述函数
如果在系统中有两个非线性元件相串联，处理的方法为图9-14(b)所示：
图8-14
二个非线性元件相串联的系统

《描述函数法》课件

2. 描述函数的建立步骤
建立描述函数的一般步骤包括分析系统的输入与输出，确定合适的数学表达式，并进行相应 的参数优化。
3. 描述函数的建立方法
常见的描述函数建立方法包括传递函数法、微分方程法和信号流图法，每种方法都有其适用 的场景和优劣之处。
描述函数与系统关系
1
2. 描述函
《描述函数法》PPT课件
描述函数法是一种在控制系统中用于分析和设计的重要工具。本课件将介绍 描述函数法的概念、不同类型、优点与限制，以及在控制系统设计中的应用 案例。
函数类型与定义
1. 描述函数的定义与表达式
描述函数是一种数学工具，用于表示控制系统的动态特性。它可以形式化地描述系统输入与 输出之间的关系。
脉冲响应、斜坡响应和正弦响应等动
态特性。
3
1. 描述函数与原系统的关系
描述函数可以精确地反映原系统的动 态特性，从而实现对系统的分析和设 计。
3. 描述函数的频率域表示
描述函数可以分析系统的频率响应、 相位和增益裕度等性能指标，帮助优 化系统的控制效果。
描述函数的优点和应用
优点
描述函数法简化了复杂系统的分析和设计过程， 提供了一种直观且有效的方法。
应用案例
描述函数法广泛应用于控制系统设计、自动化工 程和工业过程优化等领域。
描述函数法的进一步研究
1 1. 稳定性分析
描述函数法可以用于判断系统的稳定性，并优化控制器的参数以实现稳定性要求。
2 2. 小信号分析
描述函数法可以用于系统的小信号分析，帮助评估系统的响应速度和抗干扰能力。
3 3. 进一步研究方向
近年来，描述函数法在人工智能、机器学习和自适应控制等方面的应用引起了广泛关注。
总结
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正N弦若响(AA应0=)仅0=，有且一N当次(nA谐>1)波时分e，j量∠Yn！N均(A很) 小=，YA则1可e近j似1 认 为B非1 线Aj性A环1 节的
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1) φ1= arctgA1/B1
❖ 死区特性描述函数
y K(x ) K(Asint )
例2
系统如右，欲产生
A
1 4
的周期信号,
试确定K、t的值。
分析：可以调节K, t实现要求的自振运动。
解 N( A)G( j) 1
4M
Ke j t
1
A j(1 j )(2 j )
4MKe j t 3 2 j(2 2 ) A
4 5 2 4 ( arctan 2 2 ) 3
A j(1 j)(1 j4)
10
A2
A2 0.52 j(1 4 2 j5 )
5 2 j(1 4 2 )
0.5
比较虚实部 10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（12）
0.5
10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
1
1 2
sin
2 1 )
2 A
(cos1)]
2KA [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA A
N ( A) 2K [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA
A
1
arcsin
A
Asin1
cos 1
1 ()2 A
❖ 饱和特性描述函数
y
KAsin t,0 Ka,
t 1
非线性系统结构图简化
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（1）
1 基本假设
① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
2 稳定性分析 返回
不包围
稳定
G( j ) 包围
1 则系统 不稳定
N ( A)
相交于
可能自振
3 1 的绘制及其特点
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（11）
例6 非线性系统如图所示，a M h 1, K 2, 分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。
解 将两非线性环节等效合并，结构图化为
依自振条件 N( A)G( j) 1
4M 1 ( hˆ )2
2.5
1
A
N ( A)
例1 理想继电特性的负倒描述函数
N ( A) 4M
A
1 A
N ( A) 4M
1 N( A)G( j) 0
N( A)G( j) 1 G( j ) 1
N ( A)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（2）
3 1 N ( A) 的绘制及其特点 返回
例2 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2
A
AA A
A A
❖ 继电特性描述函数
y
0, M ,
0 t 1 1 t
2
0, 2 t
A1
2
2 M costdt
1
2M
(sin 2
sin1)
2Mh (m 1)
A
2
B1
2 M sintdt
1
2M
( cos
2
cos 1 )
2M [ 1 ( mh )2 1 ( h )2 ]
1 G1
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（9）
例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明 系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) [1 G1(s)]
穿入 穿出
相切于
不是自振点 的点 是自振点
对应半稳定 的周期运动
返回
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（4） 自振分析 (举例)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（5）
4 自振分析 (定量)
自振必要条件：N ( A) G( j) 1
例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。
解 作图分析，系统一定自振。
1 K(A b)sin tdt K(Asin t b)sin tdt)
/2
1
KA [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )]
2
A
AA A
N ( A) K [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )] j 4Kb ( b 1)
A0 0,A1 0
B1
4
/2
K(Asin t )sin tdt
1
4 (
/2 KAsin2 tdt
/2
K sin tdt )
1
1
4 [ KA
/2
(1 cos2t)dt K
/2
sin tdt ]
2 1
1
4
[
KA 2
(t
1 2
sin
2t
)
/
1
2
K(
c
ost
)
/
1
2
]
2KA [( 2
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（10）
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
G*(j) G *( j0) 1 360 G *( j) 0 90
(2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。
解 先将系统结构图化为典型结构 返回
解法I 等效变换法 解法II 特征方程法
G(s) (s)
1
G1 G1
G2G3 G1
1 G1G2G3 N G1
N G1G2G3 1 G(s) G1G2G3
D(s) 1 G1G2G3 N G1 0
1 G1
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（8）
例4 非线性系统结构图如右图所示，
已知：
G1(s) N ( A)
1 s(s
4M A
1) 1
,
G2 ( s) h 2 A
K s
(A
h)
(1) G3 (s) 1 时，系统是否自振？
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。
A4 6.486A2 1.621 0
A2 60..22264015
A1 A2
0.5104 2.495
分析可知：系统存在自振
0.5
A
A2
2.495
x A
1
0.5
1
0.894
c Ac 2 1
1.25
Ac
A 0.894
2.495 0.894
2.79
0.5
Ac
2.79
描述函数法分析非线性系统步骤
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
描述函数的定义
y(t)= A0+∑n∞X=(1A(tn)co=snAωts+iBnnsωintnωt) ∞ =yA(t0)+∑≈n=Y1 Yn(1sisninnω(ωt+tφ+n)φ1)
非为线A此性0，环定节义21可正近弦02似信 y认号(为作t)具用d有下t和，线非性线环性Y节环n相节类的似稳A的态频输2n率出响中B应一2n形次式谐波 分A量n1和输1入0信2号y(的t)复c数os比n1为非td线性t 环B节n1的描1述0函2数y(，t)用sNin(An1)表t示d：t
由自振条件：N( A) G( j) 1
得： 4
10
1
A j(1 j )(2 j )
40 j(1 j )(2 j ) 3 2 j(2 2 ) A
40 3 2 比较实/虚部： A
(2 2) 0
2
A 40 2.122
6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（6）
N ( A) 4M
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
1
N0 ( A)
4h
1
hபைடு நூலகம்
2
j
h
A A
A
4h
1
h 2 A
j
h
A
A 1 h 2 j
4h
A 4
( A h)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（3）
4 自振分析 (定性)
• 结构图简化，把系统结构图转化为标准形式 • 根据定义或者查表，确定描述函数 • 确定负倒描述函数。起点，终点，拐点，变化趋势 • 确定非线性系统的稳定性。类似于奈奎斯特判据。 • 分析自振情况。
负倒描述函数曲线和奈式曲线有交点，可能存在。稳 定的周期运动才是自振。注意求出的A为使得输出自振 的输入正弦信号的幅值。输出自振的频率是和输入相 同的。如何求输出的幅值？
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求此时的K值和自振参数(A,)以及输出振幅Ac。
(2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。