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余数性质及同余定理答案

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奥数讲义数论专题：余数及同余

奥数讲义数论专题：余数及同余

华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

六年级数学同余定理试题答案及解析

六年级数学同余定理试题答案及解析

六年级数学同余定理试题答案及解析1.自然数－1的个位数字是多少?【答案】7【解析】我们先计算出的个数数字，再减去1即为所求．(特别的如果是0，那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数等于余数的积．有2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；2×2×2×2×2除以10的余数为2，除以10的余数为4，除以10的余数为8，除以10的余数为6；…… ……也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4＝16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，所以－1除以8的余数为7．即－1的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．2.算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是多少?【答案】56【解析】我们只用算出7+7×7+…+的和除以100的余数，即为其末两位数字．7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于×7的余数，即为7，……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．1990÷4＝497……2，所以7+7×7+…+的和除以100的余数同余与：497×(7+49+43+1)+7+49＝49756，除以100余56．所以算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是56．3.一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3．它除以13，商的第200位(从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【答案】2,7【解析】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13类整除，而1994÷6＝332……2，即＝＝+33，而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有÷13＝25641，而÷13＝25641025641，所以除以13所得的商每6个数一循环，从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6＝33……2，所以除以13所得商的第23位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第23位(从左往右数)数字是5，商的个位数字是2，余数是7．4.己知：a＝．问：a除以13的余数是几？【答案】8【解析】因为199119911991能被13整除，而1991÷3＝663……2．有a＝＝199119911991×+199119911991×+199119911991×++199119911991×+…+199119911991×+19911991．所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．5.甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数．【答案】1000,88【解析】(法1)因为甲乙，所以甲乙乙乙乙；则乙，甲乙．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数．6.有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【答案】1968【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．7.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【答案】84【解析】设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，只有，，所以这个自然数为。

数论之同余问题

数论之同余问题
13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以

小学奥数之 同余问题(含详细解析)

小学奥数之 同余问题(含详细解析)

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第15讲 余数定理(含答案)

小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第15讲 余数定理(含答案)

第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。

余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。

（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。

（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。

如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。

答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。

能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。

2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。

（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。

初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（）71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。

同余定理知识点总结

同余定理知识点总结

同余定理知识点总结同余定理通常被描述为以下形式：如果整数a和b对于模m同余，即a ≡ b (mod m)，那么a和b除以模m的余数是相等的。

同余定理可以改写为a mod m = b mod m。

同余定理有两个基本的性质。

首先，它是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

其次，同余定理具有乘法和加法性质。

首先，我们来讨论同余定理的基本性质。

同余关系是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。

自反性指的是对于任意的整数a，a ≡ a (mod m)。

这意味着任意整数都与自己对模m同余。

对称性指的是如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。

传递性指的是如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。

这三种性质构成了同余关系的一个等价关系，可以将整数划分为同余类，使得具有相同除模m余数的整数在同一个同余类中。

其次，同余定理具有乘法和加法性质。

对于任意的整数a、b、c和模m，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么有以下性质：a + c ≡ b + d (mod m)和a * c ≡ b * d (mod m)。

这两个性质表明了同余定理在乘法和加法下的保持性。

同余定理在数论和代数中有广泛的应用。

首先，同余定理常常被用来简化计算。

通过使用同余定理，我们可以将复杂的计算转化为求余数的简单计算，从而节省时间和精力。

其次，同余定理在代数方程的求解中有着广泛的应用。

例如，对于一个模线性方程a * x ≡ b (mod m)，我们可以通过同余定理将其转化为x的一元一次同余方程，从而求解出x的取值范围。

此外，同余定理在密码学领域也有着重要的应用。

加密算法中常常使用同余定理来进行模运算，从而实现数据的加密和解密。

在数论中，同余定理还有一些重要的推论。

首先，费马小定理和欧拉定理是同余定理的重要推论。

费马小定理描述了素数模意义下的幂运算规律，欧拉定理描述了任意模意义下的幂运算规律。

同余的基本概念和性质

4 16，28 256，216 154，232 1 (mod 641)。
例3 说明 是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节 同余的基本性质
第一节 同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2， 其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)， 其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。 由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节 同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明 由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解 因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。 我们有 8n 8 z = 6，
证明 留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余

问问题 同余定理

问问题同余定理一、余数等式的应用余数关系式：被除数÷除数＝商…余数由此关系式可以演变出两个有关余数的基本考点：(1)在余数问题中，余数的范围是(0≤余数＜除数)，这是一个非常重要的考点；(2)被除数－余数＝除数×商，这个公式常结合整除的方法来解题。

真题一：四位数5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

( )A. 80B. 79C. 64D. 67【答案及解析】本题答案选B。

此题涉及余数问题的两个基本考点，可以借助排除法和代入法来快速求出结果。

根据考点(1)，可知这个两位数一定大于66，故答案C排除；根据考点(2)5122－66＝5056，这个结果应该是这个两位数的整数倍，将其余3个选项带入，发现只有B符合。

故答案选B。

二、同余定理的考察定理证明：假设正整数A分别被5、6、7去除，余数为以下几种情况，求A的值。

(1)余数均为1。

则可知：(A－1)能同时被5、6、7整除，因此(A－1)可以表示为5、6、7的公倍数210n，所以A＝210n＋1；由此可以总结：若被除数一样，且余数也一样，则“被除数＝除数的公倍数＋余数”。

(2)余数分别为3、2、1。

则可知：(A－3)是5的倍数，(A－3－5)仍然是5的倍数，故(A－8)是5的倍数；同理(A－8)也是6和7的倍数，所以A＝210n＋8；由此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的和一样，则“被除数＝除数的公倍数＋(除数＋余数)”。

(3)余数分别为1、2、3。

则可知：(A－1)是5的倍数，(A－1＋5)仍然是5的倍数，故(A ＋4)是5的倍数；同理(A＋4)也是6和7的倍数，所以A＝210n－4；由此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的差一样，则“被除数＝除数的公倍数－(除数－余数)”。

根据以上证明出来的结论，下面我们结合一些真题来进行练习。

真题二：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。

奥数余数和同余讲义及答案

数学教师解题能力培训之四数的整除（4）余数和同余教室姓名学号【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。

例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。

3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。

【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？解：因为：被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？解：被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。

例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？解：［3,4,5,6］=60, 60－1=59(人).例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？解：设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。

因为：171=m×q+r117= m×（q－3）+r于是171－117=（m×q+r）－（m×q－3 m+r）得m=18.【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？解：这个三位数除以5余4，所以它的个位数字是4或9，因为个位数字是百位数字的3倍，所以个位数字只能是9，百位数字是3.因为这个数除以11余3，所以它的十位数字=3+（9－3）=9，这个三位数是399.【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？解：由数的整除性质和同余性质可推知：（1）3的倍数的任何次方（0除外）除以3的余数为0，可知33+66+99除以3余0.（2）不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0，可知22+44+88除以3余1.（3）11除以3余1，55与25对于3同余，它们除以3余2. 77与17对于3同余，它们除以3余1.所以（1+2+1）÷3=1……1。

小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

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知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23X 19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a n与b n除以m的余数也相同.一、同余定理1、定义整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b 在模m下同余，即a=b (modm )2、同余的重要性质及举例。

〈1 > a=a(modm ) (a为任意自然)；〈2> 若a=b (modm)，贝U b=a (modm )〈3> 若a=b (modm), b=c (modm )贝9 a=cC modm );〈4> 若a=b (modm),贝U ac= bc(modm )〈5> 若a=b (modm), c=d (modm),贝U ac=bd (modm );〈6> 若a=b (modm )贝9 an三bm( modm )其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性, "性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc (modm )且(c, m) =1则a=b(modm )3、整数分类：〈1>用2来将整数分类,分为两类：1, 3, 5, 7, 9,……(奇数);0, 2, 4, 6, 8,……(偶数)〈2>用3 来将整数分类，分为三类：0, 3, 6, 9, 12,……(被3除余数是0)1, 4, 7, 10, 13,……(被3除余数是1)2，5，8，11 ，14 ，……(被3 除余数是2)3>在模6 的情况下，可将整数分成六类，分别是：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被 9除的余数相同。

同余在解答竞赛题中有着广泛的应用•在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法.【例1】 一个两位奇数除1477，余数是49,那么，这个两位奇数是多少这个两位奇数能被1477-49= 142S 整除，且必须丸于49t 142S=2x2x3x7xl71所以这岸的两位奇数只有5L【巩固】2024除以一个两位数，余数是 22 •求出符合条件的所有的两位数.| 2024 - 22 - 2002 ? 2002 - 2 x 7 x I J x 13 ,那么符合条件的所有的两位救有 I1.]3,14,22,26,77,91 ?因划涂毀小于除型所以舍去11J344.22,26 ,答案只有77^1【例2】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415,则被除数是因为祓除數减去S 后是除数的4您川以；艮据和倍问题_可知，除數为Ul5-4-«-N)^t4+l)=79 ,所以、被除數为79 x 4 “ X =眈4 °【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为 40,余数是16•被除数、除数、商、余数的和是 933，求这2个自然数各是多少本题为带余除法定义式的基本题型。

报携题意设两个自然数分别为可以得到(mod6): 0, 6, 12, 18, 24,……(mod6): 1, 7, 13, 19, 25,……(mod6): 2, 8, 14, 20, 26,……(mod6): 3, 9, 15, 21, 27,……(mod6): 4, 10, 16, 22, 29,……(mod6): 5, 11, 17,23, 29,……重难点；工 即5个自磁分别是皿21.0 1 2 3 4 5 例题精讲x —40^ + 16 x + y + 40 + 16 —【例3】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以争余】，就知四个岁数都是拆+】型的數，又是质数.只有7, 13,19, 31, 37, 43,就容易看出：父43岁，母37岁，兄口岁，妹7岁*【巩固】有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人.三校共有高中生2196人.有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的倍；还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是 __________ 人.】三所学校的高中生分别是：沖根742人，5^732人，匸校722人如果沖校或C校初中人数是高中人数的L5倍，该枚总人数是奇数，而按腮巻出条件得出其他两孩总人数款是偶数，与三校总人数54⑷是偶敗矛盾*因此只能是占校的初申人貌是高申人就的1.5倍+三校初中的蹙人数是54SO-2196 = 32M4 s被3余余2； 7垃被3整除，722 < 3除舍2/742被3除余L从余數来看【例4】C 2X2 + J-5 s ^2^2=4,就睁定初申人数是离中人数的2倍，只能是匚札所叭冲校总人数 >1,742 +742 = M84 （人）.求437 309 1993被7除的余数.1方法一：先将轩了H 30$ #1卿3算■出以后，即437 X 309 x 19V3 - 269120769 .再求得此数被了除的余数为L方法二:因为47釦余以了灼氽数为3, 309际叹7的余数为L由**同余的可来性”知：<437x309）除o 以7的余數为门“）*又固为1993 以7的余数为5,所以C437x309 U<I93 ）13>以7的余戟箏于<3x 1x5）即J5除以7的余救*算岀437 x 3O9x 1993^.7除的余数为L方这三：利闍全数判别淫⑹，算出朋了工刖山乂沖药="U山灯阳O ■谒■鍬节的般乏和乌禺麒节的數乏族的捷即£龙+环+ 9〕+1 了十44■如一门+2 +」）±］了+22-占三” ,36除叹7的余数为1,即437x3O9x 1^93^ 7 1^的余数为 L【巩固】一个数被7除，余数是3,该数的3倍被7除，余数是_。

I余数是3M3-S-7的余飯，为2【例5】若2836, 4582 , 5164, 6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_____________________ .I设除数为九因为2836, 4582, 5164, 6522除以A的余数相同，所以他们两两之差淤能被八整徐.5L因为余数是两位数，所以A至少建两位数* 4582-2836=1746 > 5164 - 582 , 6522-5164 = 135« t因为（5ftl b 1358）= 194 ,斯以A是194的大于10的约数.194的尢于H）的釣数只有97和194+如果A - J94 , 2和竹+ 194 - 14-- 120，余数不是两位数』与题意不符.如杲N =97 t 经检验，余数都是23；除数4余數=97十23= 121） T【巩固】一个大于1的数去除290, 235, 200时，得余数分别为 a , a 2 , a 5，则这个自然数是多少根据题意可知，这个自然数去除290 s 233, 195时，得到相同的余数（隸为“既然余歎相同，我们可以和用余数定理，可知其中任糞两数的雀除叹这个数肯定余0・那么这个 自然数^290- 233 = 57的約数，又是233-195 = 3S 的场數：因地就是57和38的公约数"因为57 和闘的公约數只有19和I,而这个數大于I,所以这个自然数是1*【例6】 有这样一类2009位数，它们不含有数字 0,任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都 有一个约数和20相差1,这样的2009位数共有 ___________________________ 个.I 第一个数确定，就能确定第二个数，以此类菲，蹩*歎栽定下嶷了.所以一共就？个数.■ ・【巩固】在两位数10, 11,…，98, 99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变•问：经过这样改变之后，所有数的和是多少共12个数”这些数按題中娶痕淋加小数点玖后’祁变为原数的，因此这一手缕使总和减少了所以.墟过改变之后，所有敬的和是49）5-5K8.6-43164除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2倍•求A 等于多少根据題意，逮三个敦除以A 郴有余鞭，则可以用带余除法的形式将它们表示出来；603十心丄禺 .. f j , 929十旳=心 ... 电,393»4 =心 ...... 电由于心=免珂、理二企、要消去余数’… 抵■我们只能先把余数处理成相同的、再两鞍相减.这样我扪是把第二个式子乘以1. 使得披除数和余批都扩女2倍，同理，第三个丸子熏以4.于是我们可以痔到下面的式子:603 4- A = K 「…I 号（今対乂2） +旳=2K 2 2r 3卩1H x 4）+ A = Z© “…"4匚ii 沖f 余数就处:理辰相同的*最后两两相减消去余救，意味着能被冲整除.93^< 2- 603- 127^, 393 x 4- 603-969 > （1275,969）=51 =3x17,予1的约数有1、3. 17. 51,其中1、3显然不满足*检验门和51可知 17满足，所以川寻于17. 原来 的 io + 11 + ・•・ + gg 放7除余2射两位数是7x2 *2190516 , 7x3 + 2 - 23 ,…，7x13 + 2 = 93 , (16 + 23 + + 93)x(! 58S.610【例7】 甲、乙、丙三数分别为 603, 939, 393 •某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的 2倍，A<16 + 93)x12【巩固】已知60,154, 200被某自然数除所得的余数分别是 a 1 , a2, a3 1，求该自然数的值.根据题養可知*自然数61, 154, 201裁该数除所得余数分别是「a2,由亍f m s所叹自然数613= 3721与1勺4同氽；由于/ =血x ,所以厲斗=射¥4与201 同余’所以除數是372J - 154 = 3567乘9394-201 =9193的公约數，运用辗转相除法可得到 (3567,9193)- 2Q ,该除数为29.经检豔成立*【例8】【答案】29已知n是正整数，规定n! 1 2 L n ,令m 1! 1 2! 2 3! 3 L 2007! 2007，则整数m除以2008的余数为多少I WT - I M + 2b< 2 + 3 +--- + 2«07!> 2007=1 tx(；2 - I) + - 1) + 3?«t4 -1) + -- +2007 !x(24mB - 1)=21-11+Jk 2k 41-3U-……4-20081-20071=200S I- 1200£能够整除霑3!,所以i的余数是2(XH.【巩固】已知n是正整数，规定n! 1 2 L n ,令Q 3! 3 4! 4 5! 5 L 2012! 2012，则整数Q除以2013的余数为多少c = 3lx3 + 4[x4 + 5Jx5 .. +20121x2012=+2!^<3-I>-F3J«<4-1>十............... +2012^(2013-1) -11-21x2=2!- 11+ 3!-21^45-3!+ ..... + 2013!-2012E-11-2h 2-20131- 62013能够整冷201刖，所以2013!- 6的余数是2007.【例9】设n为正整数，k 2004n, k被7除余数为2, k被11除余数为3，求n的最小值.21XJ4 k 7除余就为2,粧II除余數也为2>所以2”被7除余数为2,被1】除余數为3.由于21= 2被7除余2, ft ■&被7除命1 ,所以n险以3的余数为1;由于:■ 256被11除余3, -1024械11除余1, Ma n除以1(｝的余数対& 吁见，H+2是孑和1U的公倍數，儘4、曲[戈叫=刿，所以“的最小僅为2乩【巩固】试求不大于100，且使3n 7n 4能被11整除的所有自然数n的和.通过逐次计鼻，可以求岀r被1】除的余叙依次为：V为3,"为少F为影外为4,住为1,…，因而3”秋11除的余数5个构戒一个周期：為9、5, 4. 1, 3, 9、5, 4, I, _________________ ;类椒地*可以求出7"被II除的余歎H)个构成一个周期：7,5> 2, 31 10, 4 6, 9,去I, .. ；于是3*+7*+4被】1除的急数也是10个构麗一个周期：3, 7> 0 0, 4, 0,嘉7} 5t£ ........ ;这就表明，每一个周期中，只有第3、4. 6个这三个数满足题意，即>1 ^3,4,6,13.1446. 93,94.96时3ft+ 7ft + 4能祓11螯除，所久所有滴足条伴的自然数忆的和为:心3十4十&*13十14彳16 +…+ F3十94 ★刖6 = 13^i■吗3十…十2K3 = 148O ,【例10】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数击除9Q+ IM = 254后所得的余数，所以254 ?fp 220除以这个自然数后所得的命敦相同個此这个自然数是254-220-34的約数，又大于H),这人自然數只能是17或者是S4・如覺这个數是弭，那么它去除90、164、22()后所得的余数分别是22* 28. 16,不符合题目条件；如果这个数是17,那么它去除9<k 164. 220后所得的余數分别是灵1J. 16,捋合题目条件，所以这个自然数是1Z 【巩固】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b，求ab ba .ab —ba能械,7 整除，即(1 Oct 4-i) —{10fr 4- «) = 9x( a —b}7 整除* 所以只館有a —h = 7，那么ab可能为92和HI,脸算可得当= 92时：几二29满足题目要求，=<)2x 29 = 2668课堂检测【随练1】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个扎题为一道命敎与约数个數计算公式的小综含性题可*由题意所求的自然數一定是20()8-10即1纱苦的釣数，阿时还要滴足丸于10这令荼件。