九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3垂径定理第1课时垂径定理随堂练习(含解析)(新版)浙教版

知识提要1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是圆的对称轴．2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．注：用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造直角三角形求解．3．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．4．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(见了弧的中点常连结圆心，如第13题)5．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．例1：[2017·眉山]如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝8 cm ，DC ＝2 cm ，则OC ＝__5__cm.【解析】 如答图，连结OA ，∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝4 cm ，设⊙O 的半径为R ， 由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，∴R 2＝42＋(R －2)2，解得R ＝5，∴OC ＝5 cm.例2：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，AD ，△ACD 是边长为23的等边三角形，则⊙O 的半径为__2__．【解析】 如答图，连结OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ， ∵AC ＝CD ＝23，∴CE ＝3，∴AE ＝AC 2－CE 2＝（23）2－（3）2＝3.例题分析垂径定理设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，∴OE ＝AE －AO ＝3－r ，在Rt △OCE 中，由勾股定理得OE 2＋CE 2＝OC 2，∴(3－r )2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2， ∴⊙O 的半径为2.例3：如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：如答图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连结OB .∵AB ＝8 cm ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． ∵⊙O 的直径为10 cm ，∴OB ＝12×10＝5(cm)，∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3(cm)． ∵垂线段最短，半径最长，∴3 cm≤OP ≤5 cm.一、选择题1．下列命题正确的是( C )①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦的直线必过圆心；④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③2. 如图，已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长23cm ，则这条弦的中点C 到弦所对劣弧的中点D 的距离为( A)A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm3. 如图，⊙O 的半径是3，P 是弦AB 的延长线上一点，连结OP .若OP ＝4，∠APO ＝30°，则弦AB 的长为( A)A ．25 B.5 C ．213 D.134. 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论错误的是( D)A ．CE ＝ED B.BC ︵＝BD ︵ C ．∠BAC ＝∠BAD D ．OE ＝BE5. 如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2cm B.3cm C ．23cm D ．25cm同步练习6. [18 ·张家界]如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm 则AE ＝(A)A ．8 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm【解析】A ∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm ，又∵OC ＝5 cm ， ∴在Rt △COE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3 cm ，∴AE ＝OA ＋OE ＝5＋3＝8 cm.7. [2018·衢州]如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连结BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是( D )A ．3 cm B. 6 cm C ．2.5 cm D. 5 cm【解析】D 如答图，连结AB ，∵AC ⊥BD ，∴BE ＝ED ＝8÷2＝4，∵AE ＝2，根据勾股定理可得AB ＝25，又∵OF ⊥BC ，根据垂径定理可知BF ＝CF ，故可得知OF 为△ABC 的中位线，∴OF ＝12AB ＝ 5. 8. (甘南州中考)⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰直角三角形ABC 内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( C )A.10 B ．23 C.13 D ．3 2【解】C 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意，可知AD 必过点O ，连结OB ，如解图． ∵△BAC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝CD ＝3，∴OD ＝AD －OA ＝2. 在Rt △OBD 中，根据勾股定理，得OB ＝BD 2＋OD 2＝13.9. 已知⊙O 的半径OA ＝1，弦AB ，AC 的长分别是2，3，则∠BAC 的度数为( D )A ．15°B ．60°C ．75°D ．15°或75°【解】D 如解图①，过圆心O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，连结OA .∵AM ＝12AB＝22，OA ＝1，∴OM ＝22.∴AM ＝MO ，∴∠BAO ＝45°.同理，∠CAO ＝30°.∴∠BAC ＝15°. 如解图②.同理可知∠BAC ＝75°.综上所述，∠BAC 的度数是15°或75°.10．如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( C )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2【解析】C 如答图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ，连结OB ，OD . 由垂径定理、勾股定理，得OM ＝ON ＝52－42＝3.∵弦AB ，CD 互相垂直，∴∠DPB ＝90°.∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMP ＝∠ONP ＝90°， ∴四边形MONP 是矩形，∵OM ＝ON ，∴四边形MONP 是正方形，∴OP ＝2OM ＝3 2.二、填空题1. 已知在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD 于点E ，AB 被CD 分成长度分别为5 cm 和13 cm 的两段，则圆心O 到CD 的距离为4cm.2. 如图，M 是CD 的中点，EM 过圆心O .若CD ＝4，EM ＝8，则CED ︵所在圆的半径为174．3. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为__(3，2)__．【解析】 如答图，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连结OP .∵A (6，0)，PD ⊥OA ，∴OD ＝12OA ＝3.∵OP ＝13，OD ＝3，∴PD ＝OP 2－OD 2＝ （13）2－32＝2，∴点P 的坐标为(3，2)．4. 如图所示，某游乐场的摩天轮⊙P 的最高处A 到地面l 的距离是23m ，最低处B 到地面l 的距离是3m ，从B 处乘摩天轮绕一周需3分钟，小明从B 处乘摩天轮一周的过程中，当他到地面l 的距离恰好是18m 的时候应为第__1或2________分钟．5. 已知半径为2的⊙O 有两条互相垂直的弦AB 和CD ，其交点E 到圆心O 的距离为1，则AB 2＋CD 2＝__28 ______．6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝16 cm ，则球的半径为10cm.【解】 设圆心为O ，过点O 作OH ⊥EF 于点H ，延长HO 交BC 于点I ，连结OE ，设⊙O的半径为r (cm)．易知HI ＝CD ＝16，∴OH ＝16－r .易知EH ＝12EF ＝8，OE ＝r ， ∴由勾股定理，得r 2＝82＋(16－r )2，解得r ＝10(cm)．三、解答题1. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于E ，已知AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，∠DEB ＝30°，求：(1)CD 的弦心距OF 的长；(2)弦CD 的长．解：(1)∵BO ＝12(AE ＋BE)＝12(1＋5)＝3，∴OE ＝3－1＝2，在Rt △EFO 中，∵∠OEF ＝30°，∴OF ＝1，即CD 的弦心距OF 为1cm ；(2)连结OD ，如图，在Rt △DFO 中，OD ＝3，∴DF ＝OD 2－OF 2＝32－12＝22，∵OF ⊥CD ，∴CD ＝2DF ＝42，∴CD 的长为42cm .2. 已知：如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点，连结DE ，分别交AB 、AC 于点F 、G ，求证：AF ＝AG .解：连OD 、OE ，交AB 、AC 于M 、N ，∵OD ＝OE ＝r ，∴∠ODE ＝∠OED ，而D ，E 分别为弧AB ，弧AC 的中点，∴OD 、OE 分别垂直于AB 、AC ，则有∠DFB ＝∠EGC ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∴AF ＝AG .3. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上的一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于点A ，B 和点C ，D ，连结OA ，此时有OA ∥PE.(1)求证：AP ＝AO ；(2)若弦AB ＝12，求OP 的长．解：(1)证明：∵PG 平分∠EPF ，∴∠DPO ＝∠BPO.∵OA ∥PE ，∴∠DPO ＝∠POA ，∴∠BPO＝∠POA ，∴AP ＝AO.(2)如图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝HB.∵AB ＝12，∴AH ＝6.由(1)可知PA ＝OA ＝10，∴PH ＝PA ＋AH ＝16.在Rt △OAH 中，OH ＝OA 2－AH 2＝102－62＝8，∴OP ＝PH 2＋OH 2＝8 5.4. 如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长．【解】 过点O 作OF ⊥CD 于点F ，连结OC .∵AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∴AB ＝8cm ，∴OA ＝12AB ＝4 cm ，∴OE ＝AE －OA ＝2 cm. 在Rt △OEF 中，∵∠CEA ＝30°，∴OF ＝12OE ＝1 cm. 在Rt △CFO 中，∵OF ＝1 cm ，OC ＝OA ＝4 cm ，∴CF ＝OC 2－OF 2＝15 cm.∵OF ⊥CD ，∴DF ＝CF ，∴CD ＝2CF ＝215 cm.5. 如图，隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12m ，宽AB 为3m ，隧道的顶端E(圆弧AED 的中点)高出道路(BC)7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5m ，宽2.3m ，问这辆货运卡车能否通过该隧道．解：(1)设圆心为点O ，半径为R m ，连结OE 交AD 于F 点，连结OD ，由垂径定理，得OF 垂直平分AD ，DF ＝6，OF ＝R －(7－3)＝R －4，由勾股定理，得DF 2＋OF 2＝OD 2，即：62＋(R －4)2＝R 2，解得R ＝6.5，即圆弧AED 所在圆的半径为6.5m ；(2)能通过，但要小心．车宽GH ＝2.3，圆的半径OH ＝6.5，由勾股定理，得OG ＝ 6.52－2.32≈6.08，G 点与BC 的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．。

2020 九级数学上册圆圆的基本性质-垂径定理课堂测试卷一、选择题：1、如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（）A.8B.4C.10D.52、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB=DBC.∠ACD=∠ADCD.OM=MD3、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为（）A.4B.6C.8D.104、下列判断正确的是( )A.平分弦的直径垂直于弦B.平分弦的直径必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦5、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A.2B.4C.4D.86、一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（）A.4B.6C.8D.97、如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A.（0，0）B.（﹣2，1）C.（﹣2，﹣1）D.（0，﹣1）8、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜59、如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A. B. C. D.10、如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB,点D是弧ACB上的动点（不与A、B、C重合）,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别是E、F，则EF长度（）A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题:11、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm.12、如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是.13、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10,CD=8，则圆心O到弦CD的距离为.14、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB长是.15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的半径是米.16、如图，AB是⊙O的弦，AB=10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 .三、解答题:17、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长.18、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD.19、如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半径.20、每位同学都能感受到日出时美丽的景色.右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度.参考答案1、D2、D3、C4、C5、C6、D.7、C8、A9、D10、C11、512、213、答案为：3；14、答案为：10.15、答案为：0.516、答案为：5.17、解：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，∴AD=BD=AB.∵OC=5，CD=2，∴OD=OC－CD=3.在Rt△AOD中，OA=5，OD=3，∴AD===4，∴AB=2AD=8.18、证明：过圆心O作OE⊥AB于点E，在大圆O中，OE⊥AB，∴AE=BE.在小圆O中，OE⊥CD，∴CE=DE.∴AE﹣CE=BE﹣DE.∴AC=BD.19、连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.∵AC=4，CB=8，∴AB=12.∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，∴CD=2.在Rt△CDO中，∠CDO=90°，∴OD=2.在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理,得OA=4，即⊙O的半径是4.20、解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵AB=8厘米，∴AD=AB=4厘米，∵OA=5厘米，∴OD==3厘米，∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度==0.5厘米/分钟.。

第2课时垂径定理的推论1．下列命题中，正确的是( C )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦垂线平分弦所对的弧2．如图3－3－15，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( D )图3－3－15A．8 B．2 C．10 D．53．已知圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为2 3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A )A．1 cm B．2 cm C. 2 cm D. 3 cm第3题答图【解析】如答图，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D三点共线，连结OA.在Rt△AOC中，OC＝OA2－AC2＝22－（3）2＝1(cm)，∴CD＝OD－OC＝2－1＝1(cm)．故选A.4．如图3－3－16，在⊙O中(填写你认为正确的结论)：图3－3－16(1)若MN ⊥AB ，垂足为C ，MN 为直径，则__AC ＝BC ，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (2)若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则__MN ⊥AB ，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (3)若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则__MN 过圆心，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (4)若AM ︵＝BM ︵，MN 为直径，则__AN ︵＝BN ︵，AC ＝BC ，MN ⊥AB __．5．如图3－3－17，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD ＝4，EM ＝8，则CED ︵所在的⊙O 的半径为__174__．图3－3－17 第5题答图【解析】 如答图，连结OC . ∵M 是CD 的中点，EM ⊥CD ， ∴EM 过⊙O 的圆心点O . 设半径为x ，∵CD ＝4，EM ＝8， ∴CM ＝12CD ＝2，OM ＝8－OE ＝8－x .在Rt △OCM 中，OM 2＋CM 2＝OC 2，即(8－x )2＋22＝x 2，解得x ＝174，∴CED ︵所在圆的半径为174.6．[2017·东台期中]某市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为120 m ，A 到BC 的距离为4 m ，如图3－3－18所示．(1)请你帮他们求出该湖的半径；(2)如果在圆周上再另取一点P ，建造一座连结B ，C ，P 三点的三角形艺术桥，且△BCP 为直角三角形，问：这样的P 点可以有几处？如何找到？图3－3－18 第6题答图解：如答图，设圆心为点O ，连结OB ，OA ，OA 交线段BC 于点D ， ∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴OA ⊥BC ， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝60，∵DA ＝4 m ，在Rt △BDO 中，OB 2＝OD 2＋BD 2，设OB ＝x m ，则x 2＝(x －4)2＋602，解得x ＝452. ∴人工湖的半径为452 m ；(2)这样的P 点可以有2处，过点B 或点C 作BC 的垂线交圆于一点，此点即为P 点． 7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图3－3－19①)① ②图3－3－19阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO ⊥CD 于点A ，求间径就是要求⊙O 的直径．再次阅读后，发现AB ＝__1____寸，CD ＝__10__寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O 的直径． 解：如答图，连结CO .第7题答图∵BO ⊥CD ， ∴CA ＝12CD ＝5寸．设CO ＝OB ＝x 寸，则AO ＝ (x －1)寸，∵在Rt △CAO 中，∠CAO ＝90°， ∴AO 2＋CA 2＝CO 2.∴(x －1)2＋52＝x 2，解得x ＝13， ∴⊙O 的直径为26寸．8．一条排水管的截面如图3－3－20所示，已知排水管的半径OA ＝1 m ，水面宽AB ＝1.2 m ，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m ，则此时排水管水面宽CD 等于__1.6__m.图3－3－20 第8题答图【解析】 如答图，连结OD ，OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，与CD 交于点F ， ∵OB ＝1 m ，EB ＝0.6 m ，由勾股定理得OE ＝0.8 m ，∵EF ＝0.2 m ，∴OF ＝0.6 m ， ∵在Rt △ODF 中，OF ＝0.6 m ，OD ＝1 m ， ∴FD ＝0.8 m ，∴CD ＝1.6 m.9．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥弦CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，求AB ，CD 之间的距离． 解：当AB ，CD 如答图①所示时，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，连结OA ，OC . ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD ，∴OF ⊥AB .由垂径定理可知AF ＝12AB ＝12×24＝12(cm)，CE ＝12CD ＝12×10＝5(cm)．在Rt △CEO 中，OE ＝OC 2－CE 2＝132－52＝12(cm)， 同理，OF ＝OA 2－AF 2＝132－122＝5(cm)， ∴EF ＝OE －OF ＝12－5＝7(cm)；① ②第9题答图当AB ，CD 如答图②所示时，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长交AB 于点F ，连结OA ，OC ，可得OE ＝12 cm ，OF ＝5 cm ， ∴EF ＝OE ＋OF ＝12＋5＝17(cm)．综上所述，AB ，CD 之间的距离为7 cm 或17 cm.10．如图3－3－21，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在⊙O 的半径．图3－3－21解：由垂径定理，得BF ＝12AB ＝1.5(m)，OE ⊥AB .设⊙O 半径为x (m)，则OF ＝(x －1) m.在Rt △OBF 中，由勾股定理得x 2＝1.52＋(x －1)2， 解得x ＝1.625.∴弧AB 所在⊙O 的半径是1.625 m.11．如图3－3－22，隧道的截面由AED ︵和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12 m ，宽AB 为3 m ，隧道的顶端E (AED ︵的中点)高出道路(BC )7 m. (1)求AED ︵所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m ，宽2.3 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？图3－3－22 第11题答图解：(1)如答图，设圆心为点O ，半径为R (m)，连结OE 交AD 于点F ，连结OA ，OD ，则OF ＝R －(7－3)＝(R －4) m.由垂径定理的逆定理，得OF 垂直平分AD ，则AF ＝6 m.由勾股定理，得AF 2＋OF 2＝OA 2，即62＋(R －4)2＝R 2，解得R ＝6.5， 即AED ︵所在圆的半径为6.5 m ；(2)如答图，在ED ︵上取H ，过点H 作GH ⊥OE 交OE 于点G ，则车宽GH ＝2.3 m ，圆的半径OH ＝6.5 m ，由勾股定理，得OG ＝OH 2－GH 2＝ 6.52－2.32≈6.08(m)，∴点G 与BC 的距离为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5(m)， ∴这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．。

第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。

【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。

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第3章圆的基本性质3.3 垂径定理第2课时垂径定理的逆定理知识点1 垂径定理的逆定理1．如图3－3－15所示，填写你认为正确的结论．（1)若MN⊥AB，垂足为C,MN为直径，则________,________,________；（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则________，________，________；(3）若MN⊥AB，AC＝BC,则________,________，________；(4）若错误!＝错误!,MN为直径,则_________，____________,____________．3－3－153－3－162．如图3－3－16，AB为⊙O的一条弦，OE平分劣弧AB，交AB于点D，OA＝13，AB＝24，则OD＝________.3．如图3－3－17，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝12 cm，DE＝2 cm,则AB的长为________cm.3－3－173－3－184．如图3－3－18，CD是⊙O的直径,AB是弦，AB与CD相交于点M.从以下4个条件中任取一个,其中能得到CD⊥AB的有( ）①AM＝BM；②OM＝CM;③错误!＝错误!；④错误!＝错误!。