九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3垂径定理第1课时垂径定理随堂练习(含解析)(新版)浙教版

知识提要1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是圆的对称轴．2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．注：用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造直角三角形求解．3．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．4．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(见了弧的中点常连结圆心，如第13题)5．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．例1：[2017·眉山]如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝8 cm ，DC ＝2 cm ，则OC ＝__5__cm.【解析】 如答图，连结OA ，∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝4 cm ，设⊙O 的半径为R ， 由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，∴R 2＝42＋(R －2)2，解得R ＝5，∴OC ＝5 cm.例2：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，AD ，△ACD 是边长为23的等边三角形，则⊙O 的半径为__2__．【解析】 如答图，连结OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ， ∵AC ＝CD ＝23，∴CE ＝3，∴AE ＝AC 2－CE 2＝（23）2－（3）2＝3.例题分析垂径定理设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，∴OE ＝AE －AO ＝3－r ，在Rt △OCE 中，由勾股定理得OE 2＋CE 2＝OC 2，∴(3－r )2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2， ∴⊙O 的半径为2.例3：如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：如答图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连结OB .∵AB ＝8 cm ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． ∵⊙O 的直径为10 cm ，∴OB ＝12×10＝5(cm)，∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3(cm)． ∵垂线段最短，半径最长，∴3 cm≤OP ≤5 cm.一、选择题1．下列命题正确的是( C )①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦的直线必过圆心；④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③2. 如图，已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长23cm ，则这条弦的中点C 到弦所对劣弧的中点D 的距离为( A)A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm3. 如图，⊙O 的半径是3，P 是弦AB 的延长线上一点，连结OP .若OP ＝4，∠APO ＝30°，则弦AB 的长为( A)A ．25 B.5 C ．213 D.134. 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论错误的是( D)A ．CE ＝ED B.BC ︵＝BD ︵ C ．∠BAC ＝∠BAD D ．OE ＝BE5. 如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2cm B.3cm C ．23cm D ．25cm同步练习6. [18 ·张家界]如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm 则AE ＝(A)A ．8 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm【解析】A ∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm ，又∵OC ＝5 cm ， ∴在Rt △COE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3 cm ，∴AE ＝OA ＋OE ＝5＋3＝8 cm.7. [2018·衢州]如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连结BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是( D )A ．3 cm B. 6 cm C ．2.5 cm D. 5 cm【解析】D 如答图，连结AB ，∵AC ⊥BD ，∴BE ＝ED ＝8÷2＝4，∵AE ＝2，根据勾股定理可得AB ＝25，又∵OF ⊥BC ，根据垂径定理可知BF ＝CF ，故可得知OF 为△ABC 的中位线，∴OF ＝12AB ＝ 5. 8. (甘南州中考)⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰直角三角形ABC 内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( C )A.10 B ．23 C.13 D ．3 2【解】C 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意，可知AD 必过点O ，连结OB ，如解图． ∵△BAC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝CD ＝3，∴OD ＝AD －OA ＝2. 在Rt △OBD 中，根据勾股定理，得OB ＝BD 2＋OD 2＝13.9. 已知⊙O 的半径OA ＝1，弦AB ，AC 的长分别是2，3，则∠BAC 的度数为( D )A ．15°B ．60°C ．75°D ．15°或75°【解】D 如解图①，过圆心O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，连结OA .∵AM ＝12AB＝22，OA ＝1，∴OM ＝22.∴AM ＝MO ，∴∠BAO ＝45°.同理，∠CAO ＝30°.∴∠BAC ＝15°. 如解图②.同理可知∠BAC ＝75°.综上所述，∠BAC 的度数是15°或75°.10．如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( C )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2【解析】C 如答图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ，连结OB ，OD . 由垂径定理、勾股定理，得OM ＝ON ＝52－42＝3.∵弦AB ，CD 互相垂直，∴∠DPB ＝90°.∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMP ＝∠ONP ＝90°， ∴四边形MONP 是矩形，∵OM ＝ON ，∴四边形MONP 是正方形，∴OP ＝2OM ＝3 2.二、填空题1. 已知在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD 于点E ，AB 被CD 分成长度分别为5 cm 和13 cm 的两段，则圆心O 到CD 的距离为4cm.2. 如图，M 是CD 的中点，EM 过圆心O .若CD ＝4，EM ＝8，则CED ︵所在圆的半径为174．3. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为__(3，2)__．【解析】 如答图，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连结OP .∵A (6，0)，PD ⊥OA ，∴OD ＝12OA ＝3.∵OP ＝13，OD ＝3，∴PD ＝OP 2－OD 2＝ （13）2－32＝2，∴点P 的坐标为(3，2)．4. 如图所示，某游乐场的摩天轮⊙P 的最高处A 到地面l 的距离是23m ，最低处B 到地面l 的距离是3m ，从B 处乘摩天轮绕一周需3分钟，小明从B 处乘摩天轮一周的过程中，当他到地面l 的距离恰好是18m 的时候应为第__1或2________分钟．5. 已知半径为2的⊙O 有两条互相垂直的弦AB 和CD ，其交点E 到圆心O 的距离为1，则AB 2＋CD 2＝__28 ______．6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝16 cm ，则球的半径为10cm.【解】 设圆心为O ，过点O 作OH ⊥EF 于点H ，延长HO 交BC 于点I ，连结OE ，设⊙O的半径为r (cm)．易知HI ＝CD ＝16，∴OH ＝16－r .易知EH ＝12EF ＝8，OE ＝r ， ∴由勾股定理，得r 2＝82＋(16－r )2，解得r ＝10(cm)．三、解答题1. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于E ，已知AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，∠DEB ＝30°，求：(1)CD 的弦心距OF 的长；(2)弦CD 的长．解：(1)∵BO ＝12(AE ＋BE)＝12(1＋5)＝3，∴OE ＝3－1＝2，在Rt △EFO 中，∵∠OEF ＝30°，∴OF ＝1，即CD 的弦心距OF 为1cm ；(2)连结OD ，如图，在Rt △DFO 中，OD ＝3，∴DF ＝OD 2－OF 2＝32－12＝22，∵OF ⊥CD ，∴CD ＝2DF ＝42，∴CD 的长为42cm .2. 已知：如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点，连结DE ，分别交AB 、AC 于点F 、G ，求证：AF ＝AG .解：连OD 、OE ，交AB 、AC 于M 、N ，∵OD ＝OE ＝r ，∴∠ODE ＝∠OED ，而D ，E 分别为弧AB ，弧AC 的中点，∴OD 、OE 分别垂直于AB 、AC ，则有∠DFB ＝∠EGC ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∴AF ＝AG .3. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上的一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于点A ，B 和点C ，D ，连结OA ，此时有OA ∥PE.(1)求证：AP ＝AO ；(2)若弦AB ＝12，求OP 的长．解：(1)证明：∵PG 平分∠EPF ，∴∠DPO ＝∠BPO.∵OA ∥PE ，∴∠DPO ＝∠POA ，∴∠BPO＝∠POA ，∴AP ＝AO.(2)如图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝HB.∵AB ＝12，∴AH ＝6.由(1)可知PA ＝OA ＝10，∴PH ＝PA ＋AH ＝16.在Rt △OAH 中，OH ＝OA 2－AH 2＝102－62＝8，∴OP ＝PH 2＋OH 2＝8 5.4. 如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长．【解】 过点O 作OF ⊥CD 于点F ，连结OC .∵AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∴AB ＝8cm ，∴OA ＝12AB ＝4 cm ，∴OE ＝AE －OA ＝2 cm. 在Rt △OEF 中，∵∠CEA ＝30°，∴OF ＝12OE ＝1 cm. 在Rt △CFO 中，∵OF ＝1 cm ，OC ＝OA ＝4 cm ，∴CF ＝OC 2－OF 2＝15 cm.∵OF ⊥CD ，∴DF ＝CF ，∴CD ＝2CF ＝215 cm.5. 如图，隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12m ，宽AB 为3m ，隧道的顶端E(圆弧AED 的中点)高出道路(BC)7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5m ，宽2.3m ，问这辆货运卡车能否通过该隧道．解：(1)设圆心为点O ，半径为R m ，连结OE 交AD 于F 点，连结OD ，由垂径定理，得OF 垂直平分AD ，DF ＝6，OF ＝R －(7－3)＝R －4，由勾股定理，得DF 2＋OF 2＝OD 2，即：62＋(R －4)2＝R 2，解得R ＝6.5，即圆弧AED 所在圆的半径为6.5m ；(2)能通过，但要小心．车宽GH ＝2.3，圆的半径OH ＝6.5，由勾股定理，得OG ＝ 6.52－2.32≈6.08，G 点与BC 的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．。

2020 九级数学上册圆圆的基本性质-垂径定理课堂测试卷一、选择题：1、如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（）A.8B.4C.10D.52、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB=DBC.∠ACD=∠ADCD.OM=MD3、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为（）A.4B.6C.8D.104、下列判断正确的是( )A.平分弦的直径垂直于弦B.平分弦的直径必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦5、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A.2B.4C.4D.86、一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（）A.4B.6C.8D.97、如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A.（0，0）B.（﹣2，1）C.（﹣2，﹣1）D.（0，﹣1）8、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜59、如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A. B. C. D.10、如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB,点D是弧ACB上的动点（不与A、B、C重合）,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别是E、F，则EF长度（）A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题:11、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm.12、如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是.13、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10,CD=8，则圆心O到弦CD的距离为.14、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB长是.15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的半径是米.16、如图，AB是⊙O的弦，AB=10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 .三、解答题:17、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长.18、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD.19、如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半径.20、每位同学都能感受到日出时美丽的景色.右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度.参考答案1、D2、D3、C4、C5、C6、D.7、C8、A9、D10、C11、512、213、答案为：3；14、答案为：10.15、答案为：0.516、答案为：5.17、解：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，∴AD=BD=AB.∵OC=5，CD=2，∴OD=OC－CD=3.在Rt△AOD中，OA=5，OD=3，∴AD===4，∴AB=2AD=8.18、证明：过圆心O作OE⊥AB于点E，在大圆O中，OE⊥AB，∴AE=BE.在小圆O中，OE⊥CD，∴CE=DE.∴AE﹣CE=BE﹣DE.∴AC=BD.19、连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.∵AC=4，CB=8，∴AB=12.∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，∴CD=2.在Rt△CDO中，∠CDO=90°，∴OD=2.在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理,得OA=4，即⊙O的半径是4.20、解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵AB=8厘米，∴AD=AB=4厘米，∵OA=5厘米，∴OD==3厘米，∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度==0.5厘米/分钟.。

∴OE＝ OB，即点E为1OB的中点． 2
1 2
(2)若AB＝8，求CD的长．
解：∵AB＝8，
∴OC＝OB＝ 1 AB＝4. 由(1)知BE＝O2E，∴OE＝2.
在Rt△OCE中，CE＝
∴CD＝2CE＝ . OC2－OE2＝ 16－4＝2 3，
43 返回
建模思想 15．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，
由垂径定理可知AB＝2BM，CD＝2CN.
设OB＝OC＝R，在Rt△BOM中，BM＝
在Rt△CON中，CN＝
OB2－OM2＝ R2－OM2；
∵OM，ON分别是Rt△MOCO2N－的ON斜2＝边、R2－直O角N边2 .，
∴OM>ON.∴R2－OM2<R2－ON2.
则BM＜CN，∴AB＜CD，即AB是⊙O内过M点的所有弦中
已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为 200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点 320 km处． (1)试说明台风是否会影响B市；
解：如图，过B作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由
已知条件易知BP＝320 km，∠BPQ＝30°.
∴BH＝ BP＝160 km<200 km.
D．∠D＝ ∠BEC
1
2
返回
10．(中考·临安)如图，⊙O的半径OA＝6，以点A为
圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，则
BC＝( ) A．6 A
B．6
C．3 3
D．3 2
3
2
返回
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CE
＝DE，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②BC＝
BD；③OE＝BE；④△CBE≌△DBE.

并使AB与半径OC垂直，垂足为小圆上的点D.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则 这个车轮的外圆半径是____50______． 9．如图是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8 m，净高CD为8 m，那么这个隧道 所在圆的半径OA的长是多少m？ 解：设OA长为x (m)，依题意得 OD⊥AB，则AD＝DB＝4 m，OD＝(8－x) m. 在Rt△OAD中，由勾股定理得 x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5. 故这个隧道所在圆的半径OA的长是5 m.
（第16题答图）
17．如图所示，将半径为 6 的⊙O 沿 AB 折叠，A︵B与 AB 垂直的半径 OC 交 于点 D 且 CD＝2OD，则折痕 AB 的长为_________________．
（第17题图）
（第11题图）
（第11题答图）
B
更上一层楼
14cm或2cm
C
（第14题图） （第15题图） （第15题答图）
C
开拓新思路
16．如图所示，MN 为⊙O 的直径，A，B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN＝20，AC＝8，BD＝6， 则 PA＋PB 的最小值是__________________．
精彩练习 九年级 数学
第三章 圆的基本性质
3.3 垂径定理 A 练就好基础 B 更上一层楼 C 开拓新思路
A
练就好基础
B
B
D
（第1题图） （第2题图）
Байду номын сангаас
C
D 3
（第3题图） （第5题图） （第6题图）
垂径定理
7．如图所示，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，

已知CD是直径，CD⊥AB， ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB，CD平分AB和ADB
如图∵ CD是直径， CD⊥AB， ∴AM ＝ BM，
C
A M└
B
●O
⌒⌒
⌒⌒
AC ＝BC
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
垂径定理是圆中一个重要的结论，三种形式要相互转化，形 成整体，才能运用自如.
教学目 标
例1、已知A⌒B如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦
AB的直径.而这条直径应在弦AB的
垂直平分线上.
A
E
B
作法:
1. 连结AB;
⌒ 2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒ ∴点E就是所求AB的中点.
教学目 标
练一练：
如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点.
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
教学目 标
合作学习
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然 后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C OD
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
注意： （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
3.3.1垂径定理
同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省 赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的 巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之 一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我 国古代劳动人民的创造智慧。
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？

第2课时垂径定理的推论1．下列命题中，正确的是( C )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦垂线平分弦所对的弧2．如图3－3－15，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( D )图3－3－15A．8 B．2 C．10 D．53．已知圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为2 3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A )A．1 cm B．2 cm C. 2 cm D. 3 cm第3题答图【解析】如答图，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D三点共线，连结OA.在Rt△AOC中，OC＝OA2－AC2＝22－（3）2＝1(cm)，∴CD＝OD－OC＝2－1＝1(cm)．故选A.4．如图3－3－16，在⊙O中(填写你认为正确的结论)：图3－3－16(1)若MN ⊥AB ，垂足为C ，MN 为直径，则__AC ＝BC ，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (2)若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则__MN ⊥AB ，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (3)若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则__MN 过圆心，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (4)若AM ︵＝BM ︵，MN 为直径，则__AN ︵＝BN ︵，AC ＝BC ，MN ⊥AB __．5．如图3－3－17，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD ＝4，EM ＝8，则CED ︵所在的⊙O 的半径为__174__．图3－3－17 第5题答图【解析】 如答图，连结OC . ∵M 是CD 的中点，EM ⊥CD ， ∴EM 过⊙O 的圆心点O . 设半径为x ，∵CD ＝4，EM ＝8， ∴CM ＝12CD ＝2，OM ＝8－OE ＝8－x .在Rt △OCM 中，OM 2＋CM 2＝OC 2，即(8－x )2＋22＝x 2，解得x ＝174，∴CED ︵所在圆的半径为174.6．[2017·东台期中]某市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为120 m ，A 到BC 的距离为4 m ，如图3－3－18所示．(1)请你帮他们求出该湖的半径；(2)如果在圆周上再另取一点P ，建造一座连结B ，C ，P 三点的三角形艺术桥，且△BCP 为直角三角形，问：这样的P 点可以有几处？如何找到？图3－3－18 第6题答图解：如答图，设圆心为点O ，连结OB ，OA ，OA 交线段BC 于点D ， ∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴OA ⊥BC ， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝60，∵DA ＝4 m ，在Rt △BDO 中，OB 2＝OD 2＋BD 2，设OB ＝x m ，则x 2＝(x －4)2＋602，解得x ＝452. ∴人工湖的半径为452 m ；(2)这样的P 点可以有2处，过点B 或点C 作BC 的垂线交圆于一点，此点即为P 点． 7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图3－3－19①)① ②图3－3－19阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO ⊥CD 于点A ，求间径就是要求⊙O 的直径．再次阅读后，发现AB ＝__1____寸，CD ＝__10__寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O 的直径． 解：如答图，连结CO .第7题答图∵BO ⊥CD ， ∴CA ＝12CD ＝5寸．设CO ＝OB ＝x 寸，则AO ＝ (x －1)寸，∵在Rt △CAO 中，∠CAO ＝90°， ∴AO 2＋CA 2＝CO 2.∴(x －1)2＋52＝x 2，解得x ＝13， ∴⊙O 的直径为26寸．8．一条排水管的截面如图3－3－20所示，已知排水管的半径OA ＝1 m ，水面宽AB ＝1.2 m ，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m ，则此时排水管水面宽CD 等于__1.6__m.图3－3－20 第8题答图【解析】 如答图，连结OD ，OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，与CD 交于点F ， ∵OB ＝1 m ，EB ＝0.6 m ，由勾股定理得OE ＝0.8 m ，∵EF ＝0.2 m ，∴OF ＝0.6 m ， ∵在Rt △ODF 中，OF ＝0.6 m ，OD ＝1 m ， ∴FD ＝0.8 m ，∴CD ＝1.6 m.9．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥弦CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，求AB ，CD 之间的距离． 解：当AB ，CD 如答图①所示时，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，连结OA ，OC . ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD ，∴OF ⊥AB .由垂径定理可知AF ＝12AB ＝12×24＝12(cm)，CE ＝12CD ＝12×10＝5(cm)．在Rt △CEO 中，OE ＝OC 2－CE 2＝132－52＝12(cm)， 同理，OF ＝OA 2－AF 2＝132－122＝5(cm)， ∴EF ＝OE －OF ＝12－5＝7(cm)；① ②第9题答图当AB ，CD 如答图②所示时，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长交AB 于点F ，连结OA ，OC ，可得OE ＝12 cm ，OF ＝5 cm ， ∴EF ＝OE ＋OF ＝12＋5＝17(cm)．综上所述，AB ，CD 之间的距离为7 cm 或17 cm.10．如图3－3－21，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在⊙O 的半径．图3－3－21解：由垂径定理，得BF ＝12AB ＝1.5(m)，OE ⊥AB .设⊙O 半径为x (m)，则OF ＝(x －1) m.在Rt △OBF 中，由勾股定理得x 2＝1.52＋(x －1)2， 解得x ＝1.625.∴弧AB 所在⊙O 的半径是1.625 m.11．如图3－3－22，隧道的截面由AED ︵和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12 m ，宽AB 为3 m ，隧道的顶端E (AED ︵的中点)高出道路(BC )7 m. (1)求AED ︵所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m ，宽2.3 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？图3－3－22 第11题答图解：(1)如答图，设圆心为点O ，半径为R (m)，连结OE 交AD 于点F ，连结OA ，OD ，则OF ＝R －(7－3)＝(R －4) m.由垂径定理的逆定理，得OF 垂直平分AD ，则AF ＝6 m.由勾股定理，得AF 2＋OF 2＝OA 2，即62＋(R －4)2＝R 2，解得R ＝6.5， 即AED ︵所在圆的半径为6.5 m ；(2)如答图，在ED ︵上取H ，过点H 作GH ⊥OE 交OE 于点G ，则车宽GH ＝2.3 m ，圆的半径OH ＝6.5 m ，由勾股定理，得OG ＝OH 2－GH 2＝ 6.52－2.32≈6.08(m)，∴点G 与BC 的距离为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5(m)， ∴这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．。

图 3－3－3
3.3 垂径定理
【解析】 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出 根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB＝2AM.
解：连结OA.由垂径定理，得AM＝BM. ∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm. 又∵OM∶OC＝3∶5， ∴OM＝4.5 cm. 在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM＝＝6(cm)，即AB＝12 cm
3.3 垂径定理
∴两弦之间的距离为 1 cm. 以上解法正确吗？若不正确，请改正．
图 3－3－8
弧的中点： 成相等的两
弦心距：_ 圆的一条弦
பைடு நூலகம்
3.3 垂径定理
反思
半径为 5 cm 的圆中有两条弦，弦长分别为 3 cm， 之间的距离．
解：如图 3－3－8，过点 O 作 OF⊥AB，垂足为 E，连结 OD，OB.
在 Rt△OED 中， OE＝ OD2－ED2＝ 52－42＝3(cm)， OF＝ OB2－FB2＝ 52－32＝4(cm)， ∴EF＝4－3＝1(cm)，
3.3 垂径定理
【解析】首先作出两弦 AB，CD 的弦心距 OE，OF，由垂径定理 CF＝12CD，然后利用全等三角形证明 AE＝CF.
证明：如图，过点 O 分别作 OE⊥AB 于点 E，作 OF⊥CD 于点 F CF＝12CD. ∵∠A＝∠C，∠AEO＝∠CFO＝90°，OA＝OC， ∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴AB＝CD.
图3－3
3.3 垂径定理
3．如图 3－3－2，在⊙O 中，半径 OB＝5 cm， OC＝3 cm，则弦 AB 的长为____8____ cm.
图 3－3－2
3.3 垂径定理
筑方法
类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题

第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。

【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。

（2）
（3）
（5） （1）（3） （3）（4） （4）
（1） （5）
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1） （2） （3） （5） （5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如何用语言表示？
B
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧
AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA，OB，则OA=OB.
在△OAM和△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
M└
●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
⌒⌒
⌒⌒
AC和BC重合，
(2) E
A O
D
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
练习
如图， △ABC的三个顶点在⊙O上，OE⊥AB于E
，OF ⊥AC于F.
求证：EF∥BC，EF=
1 2 BC
A
E
F
O
∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
B
C
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点
∴EF为三角形ABC的中位线
再来！你行吗？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A

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第3章圆的基本性质3.3 垂径定理第2课时垂径定理的逆定理知识点1 垂径定理的逆定理1．如图3－3－15所示，填写你认为正确的结论．（1)若MN⊥AB，垂足为C,MN为直径，则________,________,________；（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则________，________，________；(3）若MN⊥AB，AC＝BC,则________,________，________；(4）若错误!＝错误!,MN为直径,则_________，____________,____________．3－3－153－3－162．如图3－3－16，AB为⊙O的一条弦，OE平分劣弧AB，交AB于点D，OA＝13，AB＝24，则OD＝________.3．如图3－3－17，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝12 cm，DE＝2 cm,则AB的长为________cm.3－3－173－3－184．如图3－3－18，CD是⊙O的直径,AB是弦，AB与CD相交于点M.从以下4个条件中任取一个,其中能得到CD⊥AB的有( ）①AM＝BM；②OM＝CM;③错误!＝错误!；④错误!＝错误!。

教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！

3.3 垂径定理第1课时 垂径定理知识点一 圆的对称性圆是________图形，每一条____________都是它的对称轴． 1．圆有________条对称轴，它的对称轴是________． 知识点二 垂径定理垂直于弦的直径________，并且平分________． 圆心到圆的一条弦的距离叫做________．2．如图3－3－1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，连结BC ，BD ，则下列结论中不一定正确的是( )图3－3－1A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C.AC ︵＝BC ︵D ．OE ＝DE3．如图3－3－2，在⊙O 中，半径OB ＝5 cm ，OC ⊥AB ，OC ＝3 cm ，则弦AB 的长为________ cm.图3－3－2类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题例1 [教材补充例题] 如图3－3－3，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于点M ，CD ＝15 cm ，OM ∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长．图3－3－3【归纳总结】垂径定理的基本模型如图3－3－4，在⊙O 中，OC ⊥AB ⇒r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋h 2.图3－3－4类型二 运用垂径定理探索圆 中的证明问题例2 [教材补充例题] 如图3－3－5，AB ，CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C .求证：AB ＝CD .图3－3－5【归纳总结】利用垂径定理证明的常见辅助线作圆心到弦的垂线段，它在沟通半径与弦中起着桥梁的作用．类型三运用垂径定理解决实际问题例3 [教材例2变式] 要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10 mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图3－3－6)，求此小孔的直径d.图3－3－6【归纳总结】弓形问题的基本模型如图3－3－7，弓形的半径为r ，弦长为a ，弓高为h ，则：①r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋(h －r )2；②r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋(r －h )2.图3－3－7半径为5 cm 的圆中有两条弦，弦长分别为3 cm ，4 cm ，求两弦之间的距离． 解：如图3－3－8，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，交CD 于点E ，连结OD ，OB . 在Rt △OED 中，OE ＝OD 2－ED 2＝52－42＝3(cm)， OF ＝OB 2－FB 2＝52－32＝4(cm)，∴EF ＝4－3＝1(cm)， ∴两弦之间的距离为1 cm.以上解法正确吗？若不正确，请改正．图3－3－8课时作业(十七)[3.3 第1课时 垂径定理]一、选择题1．如图K －17－1，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论一定错误的是( )图K －17－1A ．CE ＝DEB ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵D ．△OCE ≌△ODE2．如图K －17－2所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON 的长为链接学习手册例1归纳总结( )图K －17－2A ．5B ．7C ．9D ．113．2017·金华如图K －17－3，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形的弦AB 的长为( )链接学习手册例3归纳总结A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm4．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．3 6 C.32 3 D.3265．如图K －17－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长为( ) 链接学习手册例1归纳总结图K －17－4A ．4 3B ．6 3C ．2 3D ．86．圆的半径为13 cm ，两弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则两弦AB ，CD 之间的距离是( ) A ．7 cm B ．17 cm C ．12 cm D ．7 cm 或17 cm 二、填空题7．2017·大连如图K －17－5，在⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC ＝3 cm ，则⊙O 的半径为________cm.图K －17－58．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图K －17－6所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1，AB ＝10，求CD 的长”. 同学们根据题意可得CD 的长为________.链接学习手册例3归纳总结9．在半径为2的圆中，弦AC的长为1，M为AC的中点，过点M的最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为________．10．2016·绍兴如图K－17－7①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.链接学习手册例3归纳总结图K－17－711．2017·雅安⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P是弦AB上一点，则OP长的取值范围是________．12．2017·遵义如图K－17－8，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D 两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________.链接学习手册例1归纳总结图K－17－8三、解答题13．如图K－17－9，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作OE⊥AC于点E，OD⊥AB于点D，连结DE，你认为DE 与BC有什么关系？写出你的结论和理由.链接学习手册例2归纳总结图K－17－914．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－17－10)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图K－17－1015．如图K－17－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，BC长为半径作圆交AB于点D，求AD的长．图K－17－11探究应用如图K－17－12所示，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求AB2＋CD2的值．图K－17－12详解详析【学知识】知识点一 轴对称 过圆心的直线 1．无数 过圆心的直线知识点二 平分这条弦 弦所对的弧 弦心距 2．[答案] D 3．[答案] 8 【筑方法】例1 [解析] 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出OM 的长，再根据勾股定理求得AM 的长，再由垂径定理得AB ＝2AM.解：连结OA.由垂径定理，得AM ＝BM. ∵CD ＝15 cm ，∴OC ＝7.5 cm. 又∵OM∶OC＝3∶5， ∴OM ＝4.5 cm.在Rt △AOM 中，由勾股定理，得AM ＝OA 2－OM 2＝6(cm)，即AB ＝12 cm.例2 [解析] 首先作出两弦AB ，CD 的弦心距OE ，OF ，由垂径定理得AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，然后利用全等三角形证明AE ＝CF.证明：如图，过点O 分别作OE⊥AB 于点E ，作OF⊥CD 于点F ，则AE ＝12AB ，CF ＝12CD.∵∠A ＝∠C，∠AEO ＝∠CFO＝90°，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF ，∴AB ＝CD.例3 解：如图，过点O 作OD⊥AB 于点D ，DO 的延长线交⊙O 于点C ，连结OB.由垂径定理得CD 垂直平分AB. CD ＝h ＝8 mm ，OD ＝CD －CO ＝3 mm.在Rt △ODB 中，BD ＝OB 2－OD 2＝52－32＝4(mm)， ∴AB ＝2BD ＝8 mm.答：此小孔的直径d 为8 mm. 【勤反思】[小结] 平分 弧 圆心[反思] 不正确．还有一种情况，即EF ＝OE ＋OF ＝7 cm.如图所示．故两弦之间的距离为1 cm 或7 cm.【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] A 3．[答案] C 4．[答案] C5．[解析] A 连结OA ，OC ，过点O 作OD⊥AC 于点D ，∵∠AOC ＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝12∠AOC，∴∠COD ＝∠B＝60°，∴∠OCD ＝30°.在Rt △COD 中，OC ＝4，∠OCD ＝30°， ∴OD ＝12OC ＝2，CD ＝OC 2－OD 2＝2 3，∴AC ＝2CD ＝4 3.6．[全品导学号：63422240][解析] D 分弦AB 和CD 在圆心O 的同侧和异侧两种情况进行讨论． 7．[答案] 5 8．[答案] 26[解析] 连结OA ，由垂径定理可知AE ＝12AB ＝5.若设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r －CE ＝r －1，于是由勾股定理可得r 2＝(r －1)2＋52，解得r ＝13，所以⊙O 的直径CD 的长为26.9．[全品导学号：63422241][答案] 2 10．[全品导学号：63422243][答案] 25[解析] 如图，设圆的圆心为O ，连结OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 的半径为R ，∵OC ⊥AB ，∴AD ＝DB ＝12AB ＝20 cm ，∠ADO ＝90°.在Rt △AOD 中，∵OA 2＝OD 2＋AD 2， ∴R 2＝(R －10)2＋202， 解得R ＝25.故答案为25. 11．[答案] 4≤OP≤5[解析] 当点P 与点A 或点B 重合时，OP 为半径，故OP 最大为5，当OP⊥AB 时，根据“垂线段最短”可得此时OP 最小．根据垂径定理可知AP ＝BP ＝3，结合勾股定理可得OP ＝52－32＝4.12．[答案] 14[解析] 如图，过点O作ON⊥CD于点N，连结OC，∵∠CMA＝45°，∠ONC＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．∵AB＝4，M是OA的中点，∴OM＝1，根据勾股定理解得ON＝22，在Rt△CON中，CN＝OC2－ON2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝142，∴CD＝2CN＝14.13．解：结论：DE綊12BC.理由：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝EC，∴DE綊12BC.14．解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E.易知AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)∵由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，连结OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝OC2－OE2＝2 7，AE＝OA2－OE2＝8，∴AC＝AE－CE＝8－2 7.15．解：过点C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为BD的中点．∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CM，∴CM＝2.4.在Rt△BCM中，根据勾股定理，得BC2＝BM2＋CM2，即9＝BM2＋2.42，解得BM＝1.8，∴BD＝2BM＝3.6，∴AD＝AB－BD＝5－3.6＝1.4.[素养提升][全品导学号：63422242][解析] 连结AO ，DO ，OE ，过点O 作OM⊥CD 于点M ，作ON⊥AB 于点N ，构造矩形ENOM ，然后利用勾股定理和垂径定理，推知OM 2＝DO 2－DM 2＝4－(DC 2)2，ON 2＝OA 2－AN 2＝4－(AB 2)2，所以OM 2＋ON2＝4－(DC 2)2＋4－(AB 2)2＝1，由此解得AB 2＋CD 2＝28.解：如图，连结AO ，DO ，OE ，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，作ON⊥AB 于点N.∵DC ⊥AB ，OM ⊥DC ，ON ⊥AB ， ∴四边形OMEN 为矩形．∵OM 2＋ME 2＝OE 2(勾股定理)，且ME 2＝ON 2， ∴OM 2＋ON 2＝OE 2.∵OM 2＝DO 2－DM 2＝4－(DC 2)2，ON 2＝OA 2－AN 2＝4－(AB 2)2，∴OM 2＋ON 2＝4－(DC 2)2＋4－(AB 2)2＝1，∴AB 2＋CD 2＝28.[点评] 本题考查的是垂径定理和勾股定理．解决本题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN ，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将AB 2＋CD 2联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．。

又∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD， ∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC. ∴OD＝6cm， ∴AD＝OA－OD＝14－6＝8(cm)．
在Rt△OBD中，BD2＝OB2－OD2＝142－62＝160.
在 Rt△ABD 中， AB＝ AD2＋BD2＝ 82＋160＝4 14(cm)． 综上可知，AB 的长为 4 35 cm 或 4 14 cm.
【答案】15°或75°
易错总结：在求两条弦的夹角时，容易忽略圆的轴对称性 而造成漏解．一般地，分类标准为圆心O在角的外部和圆 心O在角的内部．例如，本题分为圆心O在∠CAB的内部 和圆心O在∠CAB的外部两种情况．
︵ 12．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，
A︵C的中点，MN分别交AB，AC于点E，F.判断△AEF
6．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠AOB＝60°， AB＝AC＝2，则弦 BC 的长为( C ) A. 3 B．3 C．2 3 D．4
︵ 7．一种花边是由如图所示的弓形组成的，AB所在圆的半
径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为( ) B
A．1B．2 C．3D．4
8．如图，一条公路弯道处是一段圆弧 AB，点 O 是这段弧所
ZJ版九年级上
第3章圆的基本性质
3．3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理
提示：点击 进入习题
1D
2A
3D
4C
5A
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6C 7B
8C
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9 25
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13 见习题
10 8
14 见习题
11 15°或75° 15 见习题 12 见习题
1．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB与CD相交于点

3.3.1垂径定理
导入新课
同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省 赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的 巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之 一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我 国古代劳动人民的创造智慧。
导入新课 赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
答：在同一圆中，弦心距越长，所对应的弦就越短； 弦心距越短，所对应的弦就越长。
巩教固学提目升
标
1、下列说法正确的是（B ） A. 直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴 C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴
C
巩教固学提目升
标
3、如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么
巩教固学提目升
标
6、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，
CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长.
解：连结OA. 则由垂径定理，得AM=BM. ∵CD=15 cm， ∴OC=7.5cm， 又OM：OC=3：5， ∴OM=4.5cm.
课教堂学小目结 并且平分弦所对的两条弧. 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
新教课学讲目 解
标
解：如下图所示：
AB为跨度37.4m，CD为拱高7.2m 设半径OC=OB=x ∴OD=OC-CD=x-7.2，BD=0.5AB=0.5×37.4=18.7 ∴在RT△OBD中，OD²+BD²=OB² ∴（x-7.2)²+18.7²=x² ∴x≈27.9m 桥拱所在圆的半径为27.9m

3.3 垂径定理考查角度1：利用垂径定理求线段的长度【例1】如图所示，⓪O 的半径为2，弦AB=32，点C 在弦AB 上，且AC=41AB ，则OC 的长为（ ） A.2 B.3 C.332 D.27 检测1：如图所示，AB 是⓪O 的直径，AB 丄CD 于点E ，若CD = 6,则DE 等于（ ）A. 3B. 4C.5D.6检测2：如图所示，已知在⓪O 中，CD 是⓪O 的直径，弦AB 的长为8 cm ，AB 丄CD 于点E ，OE = 3cm ，则① 弧BC = ， =弧AD ；②⓪O 的半径为 cm.检测3：如图所示，DE 是⓪O 的直径，弦AB 丄ED ，垂足为C ，若AB = 6，CE= 1，则 OC= ，CD= . 考查角度2：利用垂径定理求角的度数【例2】如图，⓪O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，AE=5，BE=1，CD=42，则AED ∠= .检测4：如图所示，⓪O 中弦MN 的长为43，半径OM = 4，求圆心O 到弦MN 的距离及∠OMN 的度数. 考查角度3：利用垂径定理进行有关证明【例3】如图，在⓪O 中，AB 为⓪O 的弦，C ，D 是直线AB 上两点，且AC=BD ，求证：∆OCD 为等腰三角形. 检测5：如图所示，AB 是半圆O 的直径，CD 是弦，AE 丄CD ，BE ⊥CD ， 垂足分别为E ，F ，求证:EC = FD. 考查角度4：利用垂径定理作图【例4】如图，已知弧AB ，求作弧AB 的中点M ，并找出弧AB 所在圆的圆心.检测6：如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友作玩具？考查角度5：在运用垂径定理解题时思考问题不严密，出现漏解的情况【例5】用圆形纸片剪一个梯形ABCD ，AB ∕∕ CD ，若AB = 48，CD = 20，⓪O 的半径为26，则剪下的梯形ABCD 的面积是多少？检测7：已知⓪O 的半径为13 cm ，弦AB//CD ， AB = 10 cm ， CD = 24 cm,，求AB 与CD 间的距离.考查角度6：利用垂径定理的推论进行有关证明【例6】如图所示，在⓪O 中，已知C 是弧AB 的中点，且OA = AC ，AB ，OC 交于点P ，求证:四边形OACB 是菱形.检测8：如图①所示，AB ，CD 是⓪O 中的两条弦，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且ONM OMN ∠=∠.（1）求证：AB = CD ；（2）如图②，延长OM 交⓪O 于P ，延长ON 交⓪O 于Q ，求证：考查角度7：利用垂径定理的推论进行有关计算【例7】如图，⓪O 的弦AB = 8，M 是AB 的中点，且OM = 3，则⓪O 的半径等于（ ）A. 8B. 4C. 10D. 5检测9：如图所示，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经好经过圆O ，则折痕AB 的长为 .考查角度8：在运用垂径定理的推论时思考问题不严密，出现漏解的情况（易错点）【例8】已知等腰三角形的三个顶点都在半径为5的⓪O 上，如果底边BC 的长为8，求BC 边上的高.拔尖角度1：利用垂径定理及其推论进行证明【例9】如图所示，D ，E 分别是的弧AB ，弧AC 的中点，DE 交AB 于点M ，交AC 于N ，求证：AM = AN. 检测10：如图所示，P 是⓪O 外一点，PB 、PD 分别与⓪O 相交于点A ，B ，C ，D.①PO 平分BPD ∠②AB = CD;③ OE 丄CD ，OF 丄AB ；④OE = OF.从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明.拔尖角度2：利用垂径定理及其推论进行计算【例10】如图所示，⓪O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE = 5，CE = 1，∠AED = 30°.(1)求OE 和OA 的长；(2)求CD 的长.检测11：—座桥，桥拱是圆弧形（水面上的部分)，测童时，只测到桥拱下水面宽AB 为16 m ，如图所示，桥拱最高处离水面4 m.(1)求桥拱半径；(2)若大雨过后，桥下水面宽为12m ，问水面涨高了多少？拔尖角度3：利用垂径定理等知识解决动点问题【例11】如图所示，AB 是半圆O 的直径，BC 是弦，点P 从点A 开始，沿点B 以1 cm/s 的速度移动，若AB 的长为10 cm ，点O 到BC 的距离为4 cm.(1)求弦BC 的长；(2)问经过几秒后∆BPC 是等腰三角形（PB 不能为底边）？检测12：如图， AB 、CD 是半径为5的⓪O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB 丄MJV 于点E ，CD 丄MN于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA + PC 的最小值为 .拔尖角度4：利用垂径定理等知识解决实际问题【例12】课堂上，师生一起探究知识，可以用圆柱形管子的内径去测量球的半径，小明回家后把小皮球置于保温杯口上（内径AD 的长为8 cm)，经过思考找到了测量方法，并画出了草图，请你根据图中的数据，帮助小明计算小皮球的半径.检测13：某工厂准备建新的厂门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线。

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第3章圆的基本性质3。

3 垂径定理第1课时垂径定理知识点1 圆的轴对称性1．圆的对称轴有( ）A．1条 B．2条C．4条 D．无数条2．下列说法中，正确的是（)A．直径是圆的对称轴B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴D．与半径垂直的直线是圆的对称轴知识点2 垂径定理3．如图3－3－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则CE＝________,错误!＝________，错误!＝________,△OCE≌________.3－3－13－3－24．如图3－3－2,在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC的长为（) A．3 cm B．4 cmC．5 cm D．6 cm5．如图3－3－3，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．83－3－33－3－46．如图3－3－4，若⊙O的半径为13 cm，P是弦AB上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cm。

7．如图3－3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm,DC＝2 cm，则OC＝________cm.图3－3－58．如图3－3－6，已知AB,CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证:AB＝CD。