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第二章 平面杆件体系的几何组成分析

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二章平面体系的几何组成分析

二章平面体系的几何组成分析
对结构进行分析计算时，必须首先分析判别它是否 是几何不变的，这一过程称为几何组成分析。
对结构进行几何组成分析的目的： （1）判断某一体系是否几何不变，从而确定它能否 作为结构，以保证结构的几何不变性。 （2）根据体系的几何组成，确定结构是静定结构的
（3）通过几何组成分析，明确结构各部分在几何组 成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序。
再见
（图中虚线所示），依次去掉二元体（DG、FG）、 （EF、CF），对余下部分，将折 杆ADE、杆BE和基础分别看 作刚片，它们通过不共线 的三个铰A、E、B两两相连 故为无多余约束的几何不 变体系。
图2.12
例4 试对图2.13所示体系进行几何组成分析。 解:体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完
相当于2（n-1）个约束。
(e)复刚结
相当于3（n-1）个约束。
图2.3
（2）支座约束 （a）辊轴支座 相当于一个约束。 （b）铰支座 相当于一个约束。 （c）固定支座 相当于一个约束。
2.2.3必要约束和多余约束
必要约束 体系中能限制体系自由度的约束； 多余约束 对限制体系自由度不起作用的约束。
成的，但并非杆系任意组成都能作为工程结构使用。如 图所示。
图a
图b
由上图可以看出，平面杆件体系可以分为两类： （1）几何不变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置保持不变的体系，如图(b)。 （2）几何可变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置可以改变的体系，如图(a)。
2.1.2 几何组成分析的目的
推论： 两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相 连，则组成无多余约束的几何不变体系。
规则三：三刚片规则
三刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约 束的几何不变体系。

2平面体系的几何构造分析解析

2平面体系的几何构造分析解析
6
.
(2,3)
1
2
3
5 4
6
试分析下图示各体系的几何构造
无多余约束的几何不变体系
瞬变体系
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
内部几何不变，无多余约束
无多余约束的几何不变体系
有一个多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
§2-4 平面杆件体系的计算自由度
称刚片。刚片可以等效替代。
2.自由度
确定物体位置时所需要的独立坐标的数目。 体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
y
A
x y
x
点的自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
3.约束
体系中能减少自由度的装置就称为约束。 装置能减少多少个自由度，就相当于多少个约束。
3.约束
1）链杆 单链杆：仅连结两个结点的杆件称为单链杆，一根单链
I
G
H
L J
K
A
B C DE F
.(1,2)
L J (2,3) I
(1,3)
G
H
K
无多余约束的几何不变体系
1
2
3
5 4
6
(1,2)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
瞬变体系
1
2

(完整版)第2章平面杆件体系的几何构造分析

(完整版)第2章平面杆件体系的几何构造分析
W = 2j-b
j—结点数 b—链杆数（包括支杆数）
山东大学土建与水利学院
2.2 平面杆件体系的计算自由度
例2-2 试求图示所示平面体系的计算自由度。
W=2j-b
(2)
(3)
(2)
=2×6-12=0
W=3m-2h-b
(1)
(1)
(1)
=3×8-2×10-4=0
山东大学土建与水利学院
2.2 平面杆件体系的计算自由度
A
Dx
0
x
平面内一个点的自由度是2
A'
B' D
AB
Dy
Dx
0
x
平面内一个刚片的自由度是3
一般工程结构都是几何不变的，自由度为零，自由度大 于零的是几何可变体系（机械中称为机构）。
山东大学土建与水利学院
2.1 几何构造分析的几个概念
2.1.4 约束(联系) ：对刚片运动起限制作用的装置。
◎支座约束： 约束数等于支杆数。
➢注意：只讨论平面杆件体系
山东大学土建与水利学院
2.1 几何构造分析的几个概念
2.1.1 几何不变体系和几何可变体系：
几何可变体系
不考虑材料的应变条件下，体系位置和形 状（位形）可以改变(或不改变)的体系。
几何不变体系
山东大学土建与水利学院
2.1 几何构造分析的几个概念
2.1.2 刚片：
刚体:不变形的物体
山东大学土建与水利学院
2.1 几何构造分析的几个概念
◎铰约束： 单铰-连接两杆的铰
一个单铰相当于2个约束
64
复铰-连接两杆以上的铰
95
◎刚结点约束：单、复刚结点
A Ⅱ
Ⅰ

平面杆件体系的几何组成分析

平面杆件体系的几何组成分析

平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系是一种复杂的结构，它由许多杆件组成，而每一种杆件的几何组成都是关键因素，如果要正确地分析平面杆件体系的结构及其性能，就必须对其几何组成进行分析。

二、杆件的几何组成1.杆件的长度所有杆件的长度都受到几何限制，它们必须符合系统的几何特征。

对于构件来说，长度是其基本组成特征，它是决定构件在结构中执行何种功能的重要因素。

因此，在分析平面杆件体系的几何组成时，必须准确测量杆件的长度，并计算它们的变化范围等。

2.杆件的相对位置杆件的相对位置也是重要的几何特征，它决定了杆件之间的关系，也影响了杆件的功能表现。

一般来说，当分析杆件间的几何组成时，必须正确测量杆件间的间距及其尺寸比例，以确定杆件间的相对位置。

3.杆件的角度角度是杆件或构件之间的重要几何参数，它影响着构件间的连接及它们的力学性能。

因此，在研究平面杆件体系的几何组成时，也必须对不同杆件的角度进行测量，并进一步计算出各杆件之间的角度关系。

三、杆件的几何组成分析1.力学分析力学分析是研究杆件几何组成的重要方法，它可以从多个维度来研究构件的性能，并从力学角度来分析平面杆件体系的组成及其性能。

例如，可以通过力密度法对平面杆件体系的几何组成进行分析，以确定某一构件在结构中所承受的载荷情况，以及各构件之间的荷载传递情况。

2.静力学分析静力学是研究杆件几何组成的另一种重要方法。

它可以通过计算构件的力学参数，如构件的弹性模量、强度及抗剪模量等，从而确定平面构件体系的几何组成情况以及它们的力学特性。

3.拓扑分析拓扑分析是研究杆件几何组成的一种特殊方法，它旨在通过测量某一构件的几何组成参数，如构件的节点数、轴线关系、长度比例等，来确定平面杆件体系的几何组成，以及它们在结构中的作用及其性能。

四、总结平面杆件体系是一种复杂的结构，它由许多杆件组成，而杆件的几何组成则是研究平面杆件体系结构及性能的重要因素。

本文从三个方面介绍了杆件几何组成分析的方法：即力学分析、静力学分析和拓扑分析。

第二章_平面体系的几何组成分析

第二章_平面体系的几何组成分析
三、三刚片组成规则
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A



O2 O1 O2 O3O1
O3

B
B

C
C


第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系

A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。

结构力学 2几何组成分析(第二、三课)

结构力学 2几何组成分析(第二、三课)
m＝9
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。

01-平面杆件体系知识点小结

第2章平面杆件体系的几何组成分析（知识点小结）一、几何组成分析的几个概念1、几何不变体系与几何可变体系几何不变体系是指受到任意荷载作用下，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。

几何可变体系是指即使不考虑材料的应变，在微小的荷载作用下也会产生刚体位移，而不能保持原有的几何形状和位置。

几何可变体系分为几何常变体系和几何瞬变体系。

几何可变体系在很小的荷载作用下会产生位移，经微小位移后仍能继续发生刚体运动，这样的几何可变体系称为几何常变体系。

若原为几何可变体系，经微小位移后即转化为几何不变体系，这类几何可变体系为几何瞬变体系。

工程结构绝不能采用几何瞬变体系，而且也应避免采用接近于瞬变的体系。

2、自由度指体系在所受限制的许可条件下独立的运动方式，即能确定体系几何位置的彼此独立的几何坐标数目。

平面内一点的自由度为2，一个刚片的自由度为3。

3、约束（联系）约束是指指限制体系运动的各种装置。

约束包括外部约束（支座约束）和内部约束。

（1）外部约束一个活动铰支座、固定铰支座和固定支座分别相当于1、2、3个约束。

（2）内部约束一根单链杆相当于1个约束；连接m(m>2)个结点的复链杆，相当于2m-3个单链杆，即相当于2m-3个约束；一个单铰相当于2个约束；连接m(m>2)个刚片的复铰，可折合成(m-1)个单铰，即相当于2(m-1)个约束作用；一单刚结点相当于三个约束；联结m(m>2)个刚片的刚结点称为复刚结点，可折合成(m-1)个单刚结点，即相当于3(m-1)个约束。

约束从能否减少体系的自由度方面来划分，可分为必要约束和多余约束。

为保持体系几何不变所必须具有的约束称为必要约束,不能使体系的自由度数目减少的约束称为多余约束。

4、瞬铰(虚铰)两个刚片间用两个不共线链杆相联，其约束作用相当于这两根链杆交点位置处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为虚铰或瞬铰（图2-1a）。

在几何组成分析中，尤其要注意这样特殊情况：两刚片间用两根相互平行的链杆相连，两根平行链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，如图2-1b所示。

第2章 杆件体系的几何组成分析


例2
C F
A
G B
D
E
§2.3II
无多余约束的 几何不变体系
瞬变体系
§2.3 分析举例
C B
A D H
G
F E
例4：
无多余约束的几何不变体系
§2.3 分析举例
例5：
几何可变 技巧一 体系与地面有简单联系，可直接 取体系内部进行几何构造分析。
§2.3 分析举例
试分析图示体系的几何组成。 例6：
机构
在一般荷载作用下，几何形状及位置将发生改变 的体系。（不考虑材料的变形）
§2.1 基本概念
几何可变体系
几何不变体系
§2.1 基本概念
几何不变体系
且无多余约束
几何不变体系
且有一个多余约束
§2.1 基本概念
结构体系的分类
结构体系
几何不变体系
几无 何多 不余 变约 体束 系的 几有 何多 不余 变约 体束 系的
（1）当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系； （2）当三个链杆平行但长度不全相等 时，是几何瞬变体系；
§2.2 几何组成规则
(c)
可变体系
(d)
瞬变体系
§2.2 几何组成规则
(3)当三个链杆的一端铰接于一点时，是 几何可变体系； (4)当三个链杆的延长线（或轴线搭接） 交于一点时，是几何瞬变体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多余 联系的几何不变体 系。
F
E
虚铰---连结两个刚片的两根相交链杆的作用，相 当于在其交点处的一个单铰（瞬时转动中 心），这种铰称为虚铰（瞬铰）。
§2.2 几何组成规则
(a)

第二章 平面体系的几何组成分析


(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B

第2章 杆件体系的几何构造分析


几何不变体系
二、研究体系几何组成的任务和目的 １、研究结构的基本组成规则，用来判定体系是否可作为结构以及选取结构的 合理形式。 ２、根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径。
§2-2 平面体系的自由度
一、 自由度的概念 体系可独立运动的方式称为该体系的自由度。或表示体系位置的独立坐标
数。 平面体系的自由度：用以确定平面体系在平面内位置的独立坐标数。
算法2：结点法---将体系视作由许多结点受链杆的约束而组成的。（对结点 进行约束）
j---结点个数，1个结点自由度为2，则总自由度为2j。
b---单链杆数，1个链杆相当1个约束，则总的约束数为1b。注：包括支座 链杆(固定支座3根）
则总的自由度W＝结点的自由度－约束数，即：
W＝2j-b 算法3：混合法---刚片法和结点法的混合应用。 W＝(3m+2j)-(3g+2h+b)

3.从几何不变单元开始
（1）从地基开始，组成一个或几个几何不变单元，再按组成规则组成整 体。当体系与地基之间的约束多于3个，一般从地基出发进行组装。
（2）从内部开始，选择几何不变单元，并视作刚片，再利用组成规则组 装。
4.进行简化
（1）利用二元体。对易于观察出的几何不变单元，增加或拆除二元体， 简化体系。
３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体 系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变 体系也可视为刚片。
刚片中任意两点间的距离保持不变，即由刚片中任意两点间的一条直线的位置 可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。
几何可变体系
多余约束的几何不变体系。
＊铰接三角形规则（简称三角形规则－推论2） 平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系。 以上三个规则可互相变换。之所以用以上三种不同的表达方式，是为了在具
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的直杆称为链杆。
一根链杆相当于一个约束。
O
一个固定铰支座相当于二个约束
I AA C
x
图2.4
一个固定端支座相当于三个约束。
连接两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两 个约束［图2.4(c)］ 一个铰同时连接两个以上刚片时，这种铰称为复 铰 图 2.4(d)连 接 n个 刚片 的 复 铰 ， 其 作 用相 当 于 （n1）个单铰
A
A
(a)
(b)
图2.6
四、平面体系的自由度计算
1. 计算公式 W=3m2hr W——体系的计算自由度；
m——刚片数；
h——单铰数；
W=2jbr
r——支座链杆数 j——铰结点数；
b——链杆数；
r——支座链杆数。
V=3m2h3 V ——体系内部的计算自由
V=2jb3
度(当体系不与基础相连时 )
【例2.5】 试对图2.17所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
W=3m2hr =3×42×36=0 2)几何组成分析。
图2.17
A II
A
Ⅲ
B
I
B
C CⅣ
D
E
D
E
A
B
C
D
E
Ⅴ
该体系是无多余约束的几何不变体系
【例2.6】试对图2.18所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
余约束的数目n，称为超静定次数。
静定结构
一次超静定结构
对静定结构进行内力分析时，只需考虑静 力平衡条件；而对超静定结构进行内力分析时， 除了考虑静力平衡条件外，还需考虑变形条件。
第五节 平面杆件结构的分类
平面杆件结构按其受力特征可分为以下几 种类型： （1） 梁
梁是一种以弯曲变形为主的构件，其轴线通常为直 线。梁可以是单跨的或多跨的（图2.23）。
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
内容提要
本章介绍平面杆件体系的几何组成分析， 内容包括几何组成分析的目的，刚片、自由 度与约束等基本概念，几何不变体系的组成 规则，判别体系是否几何不变，正确区分静 定结构和超静定结构，以及平面杆件结构的 分类。本章是以后进行结构内力计算的基础。
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
(a)
图2.2
（b）
二、几何组成分析的目的
1. 判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否 作为结构
2. 研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计 的结构是几何不变的
3. 正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内 力计算打下必要的基础
三、刚片、自由度和约束的概念
1. 刚片：一根杆件,平面体系中又把刚体称为刚片, 体系中已被肯定为几何不变的某个部分和 支承体系的基础都可看成是一个刚片
系的几何可变或不变性。
图2.14
四、对瞬变体系的进一步分析
如在图2.15(a)所示体系中，在荷载F作用下，铰C向 下发生一微小位移而到达C＇位置。
由图2.15(b)列出平衡方程
ΣX=0 FBCcosFACcos =0
得 FBC=FAC=FN
ΣY=0 2FNsinF=0 FN F
2 s in
第一节 概述
一、几何不变体系和几何可变体系
杆件结构是由若干杆件按一定规律互相连接 在一起而组成，用来承受荷载作用的体系。
图2.1
几何不变体系：在任意荷载作用下，其原有的几何 形状和位置保持不变［图2.2(a)］
几何可变体系：在任意荷载作用下，其几何形状和 位置发生变化［图2.2（b）］
工程结构必须 是几何不变体 系
第二节 几何不变体系的 基本组成规则
本节讨论平面杆件体系无多余约束的几何不 变体系的基本组成规则。
一、二刚片连接规则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互 连接，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连接， 组成无多余约束的几何不变体系。
图2.10
瞬变体系 发生微小位移后不再运动的体系 当两刚片之间用一个单铰及链杆连接时，若链
W=2jbr =2×15264=0
2)几何组成分析。
图2.18
B
A
C
D
E
O1
B
O2
A
I
II
C
D
E
III
体系为瞬变体系
【例2.7】 试对图2.19所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。 W=2jbr=2×8134=－1 2)几何组成分析。
图2.19
D
C
H G
O
II
E A
2. 自由度：体系在运动时，确定其位置所需的独立 坐标的数目
平面内一个点的自由度等于2 ［图2.3(a)］ 平面内一个刚片的自由度等于3 ［图2.3(b)］
y
y
x
y o

x
y
xo
x
图2.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3. 约束对自由度的影响
约束是刚片和刚片之间的某种
连接装置，是限制体系运动的
一种条件。
y
两端是铰链连接，中间不受力
第二章 平面杆件体系的几何 组成分析
学习要求
4. 了解体系的几何组成与静定性的关系， 能正确区分静定结构与超静定结构。
5. 了解平面杆件结构的分类。
第二章 平面杆件体系的几何组成分析
2.1 概述 2.2 几何不变体系的基本组成规则 2.3 几何组成分析举例 2.4 体系的几何组成与静定性的关系 2.5 平面杆件结构的分类
W=2jbr =2×573=0
2. 计算结果的讨论
W＞0。表明体系存在自由度，缺乏足够的约束，体系 一定为几何可变的。
W=0。 表明体系具有保证几何不变的最少约束数。如 约束布置得当，则体系为几何不变的；否则为几何可 变的。 W＜0。表明体系有多余约束。但有多余约束的体系不 一定为几何不变的，如约束布置不当，仍可为几何可 变的。 W≤0是保证体系几何不变的必要条件，但不是充分条 件。为了判别一个体系是否几何不变，还需进一步研 究几何不变体系的组成规则。
当θ→0时，不论F有多小，FN→∞，这 将造成杆件破坏。
图2.15
第三节 几何组成分析举例
1、若W＞0（或V＞0），则可判别
计算体系的 体系为几何可变的
自由度W ：
2、若W≤0（或V≤0），说明体系满 足几何不变的必要条件,应用基本组 成规则进行分析
注意: 在分析过程中，应用规则扩大可判别为几何不 变的部分作为刚片，逐一撤除二元体使分析简
图2.27
（5）拱
拱的轴线多为曲线，其特点是在竖向荷载作用下 能产生水平支座反力（图2.22）。这种水平支座 反力可减少拱横截面上的弯矩。
图2.22
本章完
图2.4
o o
y
杆的延长线的交点而形成的铰
称 为 虚 铰 ［ 图 2.5 （ a ） ］ 、 ［图2.5（b）］
O x
(a)
y
虚铰的作用与单铰一样，仍相 当于两个约束
I
o
II
O
x
(b)
图2.5
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度 并不因此而减少，则此约束称为多余约束 ［图 2.6(a)］［图2.6(b)］
杆通过铰心［图2.11(a)、（b）］，则体系是几何可 变或瞬变的。
几何可变体系
瞬变体系 几何可变体系 图2.11
瞬变体系
二、三刚片连接规则
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两 相连，组成无多余约束的几何不变体系。
图2.12
瞬变体系 图2.13
三、加减二元体规则
二元体 两根不共线的链杆连接一个结点的装置 在一个体系上增加或减少二元体，不改变体
F B
I
体系为瞬变体系
【例2.8】 试对图2.20所示体系进行几何组成分析。 【解】 1)计算自由度。
W=3m2hr=3×32×26=－1
2)几何组成分析。
图2.20
II
D
Ⅳ III
A
B
I
Ⅴ
C
体系为有一个多余约束的几何不变体系
第四节 体系的几何组成与 静定性的关系
无多余约束的几何不变体系是静定结构。 有多余约束的几何不变体系是超静定结构。多
图2.23
（2）刚架
刚架是由直杆组成，其结点全部或部分为刚结点 的结构（图2.24）。刚架各杆主要承受弯矩，也 承受剪力和轴力。
图2.24
（3）桁架
桁架是由直杆组成，其所有结点都为铰结点的 结构（图2.25）。在平面结点荷载作用下各杆主 要产生轴力。
图2.25
(4) 组合结构
组合结构是由桁架和梁或刚架组合在一起而形成 的结构（图2.27）。 其特点是一部分杆件只承受轴力，而另一部分杆 件则同时承受弯矩、剪力和轴力。
【例2.1】 试计算图2.7所示 体系的自由度
G
E
F
A
B
C
D
图2.7
【解】 该体系的刚片数m=6；铰E和F分别为连接三刚片 的复铰，各相当于二个单铰，铰G为单铰，故单 铰总数h=5，支座链杆数r=6。体系的自由度为
W=3m2hr =3×62×56=2
【例2.2】 试计算图2.8
A
B
所示体系的自由度。
C
D
E
F
图2.8
【解】 该体系的刚片数m=6；铰E和F各为连接三刚
片的复铰，各相当于二个单铰，铰A、B、C、
D各为单铰，故单铰总数h=8；支座链杆数r=3。 体系的自由度为
W=3m2hr =3×62×83= 1
【例2.3】 试计算图2.9所示体系的自由度。
D
E
A
C
B
图2.9
【解】 该体系全部由链杆而组成。结点数j=5，链 杆数b=7，支座链杆数r=3，体系的自由度为