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函数的增减性PPT优选课件

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函数的增减性曲线的凹凸性与拐点优秀课件

函数的增减性曲线的凹凸性与拐点优秀课件

当 x 1时， f (x) 0 ， 则 (, 1) 是函数的单调增区间
当 1 x 0 时， f (x) 0 ，则 (1,0) 是函数的单调减区间；
当 x 0 时， f (x) 0 ， 则 (0, ) 是函数的单调增区间.
经验 x1 1, x2 0 是两个很重要的点，它们把 (, ) 分
2
所以
11x 1x, (x0)
2
12.10.2020
7
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二、函数的极值 1．极值定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内
有定义，若对该邻域内异于 x0 任意一点 x ，都有
f (x) f (x0 ) 或 f (x) f (x0 ) , 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值），点 x0 是 f (x) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、
f (x) 0 (图 1). 反过来，我们也可以用函数的导数的符号 来判定函数的单调性.
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定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
成了三个区间，完成了对函数单调性的判断，并且在 x1 1, x2 0 处均有 f (x) 0 .
12.10.2020
4
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一般地，使得函数 f (x) 的导数 f (x) 0 的点，称为该函数 的驻点. x1 1, x2 0 就是函数 f (x) (x 1) earctan x 的驻点.

函数的增减性课件

函数的增减性课件
增函数的几何意义
增函数在直角坐标系中的图像是单调 上升的曲线。
减函数的定义
减函数的定义
如果对于函数$f(x)$在区间$I$上的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$） ，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上是减函数。
减函数的几何意义
减函数在直角坐标系中的图像是单调下降的曲线。
研究方法的局限性
目前对函数增减性的研究方法相对 单一，需要探索更多元化的研究手 段和角度。
展望未来函数增减性的研究方向
拓展理论框架
未来研究可以尝试突破传统数学 分析理论框架的限制，探索更广 泛、更深入的函数增减性理论。
跨学科应用
进一步拓展函数增减性在各个领 域的应用，特别是与其他学科的 交叉应用，以解决更多实际问题
当$a > 0$时，开口向上，函数在对称轴左侧为减函数，右侧为增函数；当$a < 0$时 ，开口向下，函数在对称轴左侧为增函数，右侧为减函数。
高次函数的增减性
要点一
高次函数
一般形式为 $y = ax^n + bx + c$，其中 $n geq 3, a, b, c$ 是常数。
要点二
高次函数的增减性取决于系数$a$ 的正负和函数的导数
解决数学问题
利用函数的增减性，可以 解决代数、几何、概率统 计等领域的数学问题。
证明数学定理
通过分析函数的增减性， 可以证明数学定理和公式 的正确性。
优化算法性能
在算法设计和分析中，利 用函数的增减性可以优化 算法的性能，提高计算效 率。
05
增减性的实例分析
一次函数的增减性
一次函数：$y = ax + b$，其中$a$和$b$是常数，$a neq 0$。

九年级数学课件：函数的增减性

九年级数学课件：函数的增减性

x1
x2
x
函数f(x)在给定区间D 上为减函数.
给定区间、任意性 以y=x2为例：
2 1
f ( 2) 4
y
1 2
f 1 1 f 2 4
f (1) 1
-2
-1
1
2
x
试问：我们能不能说 y=x2增函数还是减函数？
内 涵
（1）函数是增函数还是减函数，是对定义 域内某个区间而言的，并且单调区间是函 数定义域的子集.
任意 x1 , x2 ∈ [0，+∞ ),且x1< x2，都有f(x1) < f(x2), 那么就说 y=x2 在[0，+∞ )上是增函数.
任意 x1 , x2 ∈ (-∞,0 ),且x1< x2，都有f(x1) > f(x2), 那么就说 y=x2 在（-∞，0 )上是减函数.
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,对于I内的某个区间D,
x 是减函数.
小结
1、函数的单调性——增函数和减函数、 函数的单 调区间.
函数y= f(x)在其单调递增区间上的图象是上升的， 在单调递减区间上的图象是下降的. 2、根据函数的图象确定函数的单调性、单调区间. 并注意写单调区间不要轻易用并集连接。
3、用定义判断函数的单调性
其步骤：作差—变形—定号—判断.
（2）函数单调性反映的是函数在相应
区间上函数值y随x而变化的趋势. 在单调区间上从左往右看增函数的图 象是上升的，减函数的图象是下降的. （3）函数的单调性也叫增减性.
外 f(x ) f(x ) D上任取 x , xx ,1 x2 延 在给定区间 f x1 f x2 0 1 等价形式

函数的单调性_PPT课件

函数的单调性_PPT课件

同理可得f（x）在（0, a］上是减函数.
当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）
在（-∞, a］上是增函数，在［ ,a0）上是 减函数.
综上，函数f（x）在［ a ,0）,（0, a］
上是减函数，在（-∞, ］a ,［ ,a+∞）上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定 义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是 一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号， 于是转化为判断“x ”的 符a 号，自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是（-4,4］.
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点， 一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义 域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视 u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中， ［ a ,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致； （32）注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u（2）>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f（x）的定义域为
（0，
+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正
数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函 数；

《函数的增减性》课件

《函数的增减性》课件

增减函数的图像特征
增函数图像特征
增函数的图像从左至右上升，即随着$x$的增大，$y$的 值也相应增大。
减函数图像特征
减函数的图像从左至右下降，即随着$x$的增大，$y$的 值相应减小。
判断增减性的方法
通过观察函数的图像特征，可以判断函数的增减性。如果 图像从左至右上升，则是增函数；如果图像从左至右下降 ，则是减函数。
二次函数的增减性分析
二次函数
$y = ax^2 + bx + c$
增函数实例
$y = x^2$，在区间$(0, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$增 大。
减函数实例
$y = -x^2$，在区间$(0, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$减 小。
对数函数的增减性分析
对数函数
$y = log_a x$
在数学领域的应用
解决数学问题
增减函数是数学中常见的一种函 数类型，通过研究增减函数的性 质可以解决一些数学问题，例如 ，求函数的极值、判断函数的单
调性等。
建立数学模型
在数学建模中，可以利用增减函 数来建立数学模型，例如，在微 积分中利用增减函数来描述物体
的运动轨迹。
探究数学规律
通过研究增减函数的性质，可以 探究数学规律，例如，利用增减 函数的性质探究函数的极限和连
续性等。
04 增减函数的实例分析
一次函数的增减性分析
一次函数
$y = ax + b$
增函数实例
$y = x$，在区间$(-infty, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$也增 大。
减函数实例
$y = -x$，在区间$(-infty, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$减 小。

函数的基本性质ppt课件

函数的基本性质ppt课件
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.

《函数单调性的性质》课件

《函数单调性的性质》课件

单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。

函数的基本性质 复习课件.ppt

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优秀课件
29
规律方法总结
(3)①若f(x)是偶函数，则f(x)＝ f(|x|)，反之亦真．
②若f(x)为奇函数，且0在定义域 内，则f(0)＝0.
③若f(x)＝0且f(x)的定义域关于 原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶 函数．
优秀课件
30
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－ f(x2))，并通过通分、配方、因式分解 等方法，向有利于判断差的符号的方 向变形．
优秀课件
18
课堂互动讲练
(3)定号：根据给定的区间和x2－ x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1) －f(x2))的符号．当符号不确定时，可 以进行分类讨论．
优秀课件
27
规律方法总结
2．理解函数的奇偶性应注意的问题 (1)定义域在数轴上关于原点对称是 函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充 分条件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定 义域上的恒等式．
优秀课件
28
规律方法总结
(2)奇偶函数的定义是判断函数奇偶性 的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性 有时需要先将函数进行化简，或应用定义 的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝ 0⇔f(f－(xx) )＝±1(f(x)≠0)．
13
三基能力强化
3．(教材习题改编)函数f(x)＝x2－ 2x，x∈[a2＋1,4]的最大值为________．
答案：8
优秀课件
14
课堂互动讲练
考点一 函数单调性的判断与证明
函数的单调性用以揭示随着自 变量的增大，函数值的增大与减小 的规律．在定义区间上任取x1、x2， 且x1<x2的条件下，判断或证明 f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，这一过程 就是实施不等式的变换过程．

函数单调性,增函数,减函数,单调区间课件.

函数单调性,增函数,减函数,单调区间课件.

结论
证明函数单调性的一般步骤:
取值 作差变形
定号
结论
1 1.证明函数在 y x 上 ,0 是减函数.
证明
2.证明函数在y 2 x 1上 , 是减函数.
探究
证明
k (1)反比例函数 y ( x 0) 的单调性？ x (可分k>0,k<0讨论) (2)一次函数 y kx b(k 0) 的单调性又如何?
k 1 y (k 0, x 0) y 若将 改为 ,则函数的单调性又 x x
如何?
k p 例2.物理学中的玻意耳定律 V (k为正常数)告诉我们,对于
一定量的气体,当其体积减小时,压强 p将增大,试用函数的单调
性证明之.
则 证明：设 V1 , V2是定义域
0, 上任取两个实数,且V
那么就说在fx这个区间上是单调减函数d称为fx的单调如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值xfx在区间d是单调增函数或单调减函数那么就说函数fx在区间d上具有单调性
上图是我国1949年至1995年的人口，粮食总产量以及人均 粮食的变化从上图的数据我们可以看出人口和粮食总产量和 人均粮食是逐年增加的。
1 3、证明函数 f（x）= x 在 x
的。(选做)
0,1
上是单调递增
返回
证明：在区间
,0 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
x2 x1 x1 x2
则
1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1, x2 ,0 ，且 x1 x2 x1 x2 0, x2 x1 0

函数单调性课件(公开课)ppt

函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。

二次函数增减性的专题复习PPT课件

二次函数增减性的专题复习PPT课件
• 完成学案二
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
三点, 则对应的函数值 y1, y2 , y3 的大小关
系正确的是 ( y1>y2>y3 )
题组训练一
• 2变. 若二次函数 yx2 6xc 的图象经 过点 A ( 1 ,y 1 ),B (2 ,y 2),C (3 2 ,y 3 ) 三点,则
y1, y2 , y3 的大小关系正确的是
( y1>y3>y2)
题组训练一
希望通过题组一的训练,你能利用二次函数 的增减性来比较二次函数值的大小.
题组训练一
• 1.在二次函数 yx22x1的图象中,若y随x
的增大而增大,则x的取值范围是( A)
A. x≤1 B. x＜1 C.x≤-1 D. x＞-1
• 1变. 在二次函数 y(xb)21的图象中
,若当x<1时,y随x的增大而增大,则b的取值
时,有最小值,求a的值. 解:当a>2时,是x=2时,y有最小值即22-2a-1=-5,求
得a=2(舍去) 当0≤a≤2时,是x=a时, y有最小值即a2-2a2-1
=-5,求得a=-2(舍去),a=2. 当a＜0时, 是x=0时, y有最小值即02-2a×0-1
=-5(舍去) 综上所述:a=2
当堂训练
已知二次函数则对应的函数值的大小关系正确的是若该二次函数的图象经过三点则对应的函数值的大小关系正确的是若二次函数的图象经过三点则的大小关系正确的是题组训练二希望通过题组训练二的练习你能利用二次函数的增减性来求二次函数的最值
二次函数增减性
专题复习
知识回顾
• 已知二次函数y＝ax²+bx+c(a≠0)

函数的单调性公开课课件

函数的单调性公开课课件

教学目标与要求
教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握函数单调性的定 义、判断方法以及应用。
教学要求
学生能够理解函数单调性的概念，掌握判断函数 单调性的方法，并能够运用所学知识解决与函数 单调性相关的问题。
02
函数单调性的判断方法
导数法
01 导数与函数单调性的关系
当函数在某区间内可导时，若导数大于0，则函数 在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该 区间内单调递减。
反函数单调性判断方法
首先确定原函数的单调性，然后根据反函数的定 义和性质判断反函数的单调性。
3
反函数单调性应用
在解决一些涉及反函数的问题时，可以利用反函 数的单调性来简化计算或证明过程。
单调性与连续性的关系
单调性与连续性的关系定理
若函数$y = f(x)$在区间$X$上是单调的，则它在该区间内至多只有第一类间断点。
02 导数的计算
通过求导公式和求导法则，计算出函数的导数表 达式。
03 导数法判断函数单调性的步骤
首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数， 最后根据导数的正负判断函数的单调性。
差分法
01 差分的定义
差分是函数在两个相邻点的函数值之差，即 Δy=f(x+Δx)−f(x)。
02 差分与函数单调性的关系
针对某些复杂的不等式，可以通过构 造辅助函数，利用函数的单调性进行 证明。
在函数值比较中的应用
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区间内单调，则可 以通过比较自变量的大小来推断函数值的大小关系。
确定函数值的范围
通过函数的单调性，可以确定函数在某一区间内的取值范围，进而 对函数值进行比较和估算。

一函数的上升与下降单调性PPT课件

一函数的上升与下降单调性PPT课件

Th. 5' 若f (x)在 点x0具 有 直 到n阶 连 续 导 数 ， 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) f (x0 ) f (n1) (x0 ) 0, 而 f (n) (x0 ) 0, 那 么
(1) 当n是奇数时, f (x0)非极值; (2) 当n是偶数时, f (x0)是极值, 且
所以当x 0时, f (x) f (0) 0.
另 证 ：f (x) cosx 1 x2 2sin2 x x2
2
22
2(( x )2 (sin x )2 ) 0.
2
2
第9页/共68页
例5. 证明方程 x 1 sin x＝0 只有一个根. 2
证明：令 f (x) x 1 sin x, 则 2
由Th.4判 别 极 值 属 性.
第18页/共68页
Th.5 （极值判别法之二）
设f (x0 ) 0, 而f (x0 ) 0,
(1) 若f (x0) 0, 则f (x0)是极大值; (2) 若f (x0) 0, 则f (x0)是极小值.
证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.
第19页/共68页
－
＋
f (x)
＋
－
＋
＋
－
－
f (x)在点x0 取局部极小值 取局部极大值 不取局部极值 不取局部极值
第17页/共68页
注4. Th4 对f (x0)存在与否都成立. Th4 给出了求函数 f (x)的局部极值的步骤： （1）求f (x)的导数f (x);
（2）令f (x) 0求解稳定点，并求f (x)不存在的点; （3）判别f (x)在每个稳定点和不可点 导两侧的符号.
则在(a,b)内有 f (x) g(x).

高教版基础模块 3.3.1 函数的单调性 课件(共27张PPT).ppt

高教版基础模块 3.3.1 函数的单调性 课件(共27张PPT).ppt

符号相同为增，符号相反为减．
课后作业
1.书面作业：完成《学习指导与练习》；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
= ()的单调区间.
增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．
知识归纳
如何判断函数的单调性呢？
分析：
根据函数单调性的定义，需要考察当₁ < ₂时，(₁) < (₂)
还是 ₁ > (₂) . 根据实数大小关系的基本事实，只要考察
₁ − (₂)与 0 的大小关系.
知识探究
增函数
设函数 = ()的定义域为D，区间 ⊆ ．
如果对于区间上的任意两点₁，₂，当₁ <
₂ 时 ， 都 有 ₁ < (₂) ， 那 么 就 称 函 数
()在区间 上单调递增.
当函数()在它的定义域上单调递增时，我
们就称它是增函数.
知识探究
减函数
设函数 = ()的定义域为D，区间 ⊆ ．
减的定义
严谨地构建证明
知识导入
下图为一天中气温随时间变化的曲线，请描述温度的升降情况.
平
升
降
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知识导入
下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.
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升
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知识导入
该图是湖泊或水库在一年水位的变化曲线，请描述水位的升降情况.
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知识导入
观察下列函数的图象

在 ∈ (−∞, +∞)上,
如果对于区间上的任意两点₁，₂，当₁ <

人教A版高中数学必修1课件1.3.1增函数与减函数课件

人教A版高中数学必修1课件1.3.1增函数与减函数课件
1 ) 函数 y x 在其定义域 (, 0) U (0, 上是减函数吗？
解：该命题是假命题； 例如 x1 1, x2 1 时， f ( x1 ) 1, f ( x2 ) 1 1 ，显 然 x1 x2 且 f ( x1 ) f ( x2 ) ，所以“函数 y x 在其定 义域 (,0) (0, ) 上是减函数”是不成立的.
增函数与减函数
【单调减函数的定义】 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A ，区间I A 。 如果对于区间I内的任意两个值 x1 ，x2 ，当x1 x2 时 ，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说y＝f(x)在区间I 上 是单调减函数， I称为y＝f(x)的单调 减区间.
知识点—— 增函数与减函数
增函数与减函数
【单调增函数的定义】
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A ，区间 I A . x2 ，当 x1 x2时 如果对于区间 I内的任意两个值 x1 ， ，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说y＝f(x)在区间I上是 单调增函数， I称为y＝f(x)的单调增区间. 注意：（1）“任意”、“都有”等关键词； （2）单调性、单调区间是有区别的；
增函数与减函数
【知识网络】 单调性定义
证明函数单调性 求函数单调区间
函数单调性
单调区间定义 单调性与图像
增函数与减函数
【函数图像与单调性】
函数在单调增区间上的图像是 上升 图像； 而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像. （填＂上升＂或＂下降＂）
增函数与减函数
【典型例题】 分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明， 如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定 义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要 举一组不满足定义的x1,x2 ，并加以说明.
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f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)
作差
= 3( x1- x2)
变形
由x1<x2 ，得 x1- x2 <0
于是 f(x1)-f(x2)<0
定号
即 f(x1)<f(x2) 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
判断
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例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。
f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
2020/10/18
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课堂小结
1. 函数单调性定义、图象特征、范围。
设定义域为I。在I内某个区间上的任意两个 自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) ， 那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
多媒体辅助教学数学课件：函数的单调性
2020/10/18
1
波阳一中数学教研组 陈建文
2020/10/18
2
革新教育模式、推进教育改革！
2020/10/18
3
波阳一中数学教研组 陈建文
2020/10/18
4
多媒体辅助教学数学课件：函数的单调性
2020/10/18
5
向各位数学界的同仁们学习！
2020/10/18
2020/10/18
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例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。
证明： 设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数， 且 x1<x2，
f(x1)-f(x2)=1/x1 – 1/ x2
=(x2 - x1 )/ x1 x2
取值
作差 变形
由x1<x2 <0，得 x2 - x1 > 0 而x想1 x2一>0想？
课外作业
1. 课本60页练习4
2. 2.Байду номын сангаас求y=-x2-6x+10的单调增区间、单调减区 间。
3. 3. 研究函数 f ( x ) = x +1/x 在其定义域内的
单调性 2020/10/18
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答：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中 单调减区间是 [-5, -2), [1,3) ， 单调增区间是 [-2,1), [3, 5] 。
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例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明： 设x1,x2是R上的任意两个实数，且 x1<x2，取值
图像特征： 增函数
y
y = f (x)
f(x1)
f(x2)
a
x1 O x2 b
x
减函数
y
y = f (x)
f(x1) f(x2)
a x1 O x2 b
x
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例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) 的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在 每一个单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个 自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ， 那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
2. 单调性的证明步骤。
取值 作差 变形
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定号
判断
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3.可利用函数的图象直接判断函数的增 减性。
4.用特殊的反例可否定函数的增减性
解答：如果下雨仍不止，8月10日0时水库水位将
达到警戒线。最迟8月9日0时，全市将发布紧急
动员令。 2020/10/18
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函数的单调性
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研究下列函数的图象：
（1）y = x 2
（2） y = x 3
1 （3）y =x
X -2 -1 0 1 2 y 41014
X -2 -1 0 1 2 y -8 -1 0 1 8
于是 f(x1)-f(x2)>0
定号
即 f(x1)>f(x2)
所以，函数f(x)= 1/x在(-∞,0)上是单调减函数。判断
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例3：证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：在课本59页例3已
证明函数f(x)=1/x在(0，+∞) 上也是减函数。
在整个定义域内
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
X -2 -1 0 1 2 y -0.5 -1 1 0.5
y
x1 x2 o
x
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y
x1
o x2 x
y
o
x
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如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量值x1和x2，
当x1 < x2 时，都有f (x1) < f (x2) , 则 y = f (x) 叫做增函数，
当x1 < x2 时，都有f (x1) > f (x2) , 则 y = f (x) 叫做减函数。
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实例分析
我市某水库8月1日0时的水位距警戒线4.5米。 据气象部门预报8月1日后我市区域仍将持续降雨， 水库水位将以每天0.5米的速度上涨，若全市抗洪 紧急动员后，全体抗洪人员到位还需1天。
问：最迟到几号如果下雨仍不止，全市将发布紧 急动员令？
分析：可应用函数 y=0.5x，当x增大时、y随之增大。 故 x= 9（天）时，y= 4.5（米）