第七章窄带随机过程

一、模拟产生一个窄带随机过程。

首先产生两个相互独立的随机过程Ac(t)和As(t)，用两个正交载波进行调制得到窄带过程。

绘出其波形、相关函数及功率谱（1000数据点）。

（陈超然）程序代码：clear all;clc;N=1000;X1 =0.2*randn(1,N);X2 =0.2*randn(1,N);fs=200;t =-0.5:1/N:(0.5-1/N);A=[1 -0.9];B=1;Xc=filter(B,A,X1);Xs=filter(B,A,X2);for n=1:NY(n)=Xc(n)*cos(2*pi*fs*t(n))- Xs(n)*sin(2*pi*fs*t(n));end[R,lags]= xcorr(Y,N);%计算序列的自相关NFFT=2^nextpow2(N); %求得最接近总点数的2^n，这里是1024Pxx=abs(fft(R,NFFT)/N); %对自相关函数进行fft变换f=fs*linspace(0,1,NFFT);figure(1)n=1:N;plot(t(n),Y(n));title('输出波形');figure(2)plot(lags,R);title('自相关函数');figure(3);plot(f,Pxx);%绘制功率谱曲线title('功率谱密度');运行结果输出波形相关函数功率谱密度二、如果信号X(t)的表达式为：X (t) = sin c(100t) cos(2p *200t)1、绘出信号及其幅度频谱曲线；2、当中心频率向左搬移f0＝200Hz时，求出其低通等效信号，并绘出其幅度频谱、信号的同相、正交分量及包络；3、当中心频率向左搬移f0＝100Hz时，求出其低通等效信号，并绘出其幅度频谱、信号的同相、正交分量及包络。

（郭静）程序代码：clcclearN=512;fs=N/0.5;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%信号的产生及可视化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%t=-0.25:0.5/N:(0.25-0.5/N);for n=1:NX(n)=sinc(100*t(n))*cos(2*pi*200*t(n));h_t(n)=1/(pi*t(n));endn=1:N;figure(1)plot(t(n),X(n));grid;axis([-0.15 0.15 -1 1]);title('信号曲线');Xw=abs(fft(X,N)); %fft变化，除以信号的点数看原信号的幅值f=fs*linspace(0,1,N);%频率轴的产生figure(2)plot(f,Xw)title('信号幅频曲线') axis([0 1024 0 6])运行结果-0.1-0.050.050.10.15-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81信号曲线01002003004005006007008009001000123456信号幅频特性%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%频率左移100%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for n=1:NXc_1(n)=sinc(100*t(n))*cos(2*pi*100*t(n)); %信号频率左移100Ac_1(n)=sinc(100*t(n));endAs_1=hilbert(Ac_1); %信号的hilbert变换for n=1:NXs_1(n)=As_1(n)*sin(2*pi*100*t(n));endX_hil_1=hilbert(Xc_1);X_1_hil_fft=abs(fft(X_hil_1,N)); %信号的fft变换for n=1:NX_1_enve(n)=sqrt(Ac_1(n)^2+As_1(n)^2); %求信号的包络endfigure(3)subplot(221)plot(f,X_1_hil_fft)axis([0 512 0 12]);title('信号频率左移100hilbert变换的频谱')subplot(222)plot(t,Xc_1)title('f0=100低通等效同相分量')axis([-0.15 0.15 -0.6 1]);subplot(223)plot(t,Xs_1)axis([-0.15 0.15 -0.6 1]);title('f0=100低通等效正交分量')subplot(224)plot(t,X_1_enve)axis([-0.15 0.15 0 1.5]);title('f0=100低通等效包络')运行结果：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%信号频率左移200%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for n=1:NXc_2(n)=sinc(100*t(n))*cos(2*pi*0*t(n));Ac_2(n)=sinc(100*t(n)); endAs_2=hilbert(Ac_2); for n=1:NXs_2(n)=As_2(n)*sin(2*pi*0*t(n)); endX_hil_2=hilbert(Xc_2);X_2_hil_fft=abs(fft(Xc_2,N)); for n=1:NX_2_enve(n)=sqrt(Ac_2(n)^2+As_2(n)^2); end figure(4) subplot(221) plot(f,X_2_hil_fft) axis([0 512 0 12]);title('信号频率左移200hilbert 变换的频谱') subplot(222) plot(t,Xc_2)title('f0=200低通等效同相分量') axis([-0.15 0.15 -0.6 1]); subplot(223) plot(t,Xs_2)axis([-0.15 0.15 -0.6 1]); title('f0=200低通等效正交分量') subplot(224) plot(t,X_2_enve)hilbert 变换后信号左移100的频谱f0=100低通等效同相分量f0=100低通等效正交分量f0=100低通等效包络axis([-0.15 0.15 0 1.5]); title('f0=200低通等效包络')运行结果：hilbert 变换后信号左移200的频谱f0=200低通等效同相分量f0=200低通等效正交分量f0=200低通等效包络。

窄带随机过程的两种表达式
随机过程是有关概率的一个抽象概念，它指的是一系列随机变化的事件序列，可以通过某种数学形式来描述。

窄带随机过程是指在一定的时间和频率内的随机过程，它是不断变换的快速信号序列，可以被压缩表示为一维或二维的图像。

窄带随机过程的表达式可以主要分为两类：
一、谱密度函数表示法
谱密度函数可以定义为：S(f),是指窄带随机过程中，每一种频率f处的功率谱密度，即根据频率f得到每一次过程的变化情况，它可以用来预测窄带随机过程所属的分布，如正态分布、均方差和偏差等。

举例来说，以正态分布为例，谱密度函数S(f)的表达式可以表示为：S(f) = σ^2 / (2πf^2)
其中，σ代表窄带随机过程的均方差，f为频率。

二、功率谱密度函数表示法
功率谱密度函数可以定义为：P(f),是指窄带随机过程中，随机变量的模方差的函数，它可以用来描述窄带随机过程的功率谱特性，估计窄带
随机信号的能量。

举例来说，功率谱密度函数P(f)的表达式可以表示为：
P(f) = 2πf^2σ^2
其中，σ代表函数的模方差，f为频率。

总的来说，窄带随机过程的两种表达式主要是谱密度函数表达法和功率谱密度函数表达法，它们各有特点，可以根据不同的窄带随机信号类型选择不同的表达方式，以达到最佳的谱性能效果。

实验报告实验题目：窄带随机过程的模拟窄带随机过程的模拟一、实验目的（1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。

二、实验原理（1）任意功率谱的正态随机过程的模拟假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱满足()X G f 。

为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。

即0201()()j f k k k dXt X e f T π∞=-∞==∑由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{}()Xt 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。

即 2220()()(())kk k X k G f g f kf gE X δ∞=-∞=- =∑通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。

假定()X G f 是带限的，即()0()X G f f B = >那么，{}2k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。

因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。

然后据此构造时域样本函数即可，有02()[]()Mj f k i t k k MX i X i t X e π∆=-=∆=∑其中t ∆为任意小的时间间隔。

（2）窄带随机过程的模拟对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=-其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。

计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。

2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。

3、掌握窄带随机过程的分析方法。

二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理基于随机过程的莱斯表达式00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1)实验过程框图如下：理想低通滤波器如图所示：图1 理想低通滤波器()20AH ∆ω⎧ω≤⎪ω=⎨⎪⎩其它(3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（）,则系统输出的物理谱为 220=()=20Y X N AG H G ∆ω⎧0≤ω≤⎪ωωω⎨⎪⎩（）（）其它(3.3) 输出的自相关函数为:01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰ /221cos 2N A d ωωτωπ∆=⎰ (3.4) 20sin 242N A ωτωωτπ∆∆=⋅∆ 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。

计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。

四、MATLAB 实验程序function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程%--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p;w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C;[b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a（t）y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b（t）yt=y_at-y_bt; %产生一个p个点的高斯窄带随机过程subplot(211)plot(yt)title('高斯窄带随机过程y(t)')subplot(212)pdf_ft=ksdensity(yt) ;plot(pdf_ft)title('y(t)的概率密度图')disp('均值如下')E_Xt=mean(y_at)E_at=mean(y_at)E_bt=mean(y_bt)E_ft=mean(yt)%-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2)R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt的自相关函数R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt的自相关函数R_ft=xcorr(yt);subplot(2,2,1);plot(R_Xt);title('高斯白噪声的自相关函数R_Xt'); %并绘制图形subplot(2,2,2)plot(R_at);title('限带白噪声的自相关函数R_a_bx'); %并绘制图形subplot(2,2,3)plot(R_y_bt);title('随机过程b(t)的自相关函数R_y_bt');subplot(2,2,4)plot(R_ft);title('高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R_yt');%------------------------功率谱密度代码如下---------------------------% figure(3)subplot(1,2,1)periodogram(Xt);title('高斯白噪声功率谱密度S_Xt');subplot(1,2,2)periodogram(at);title('限带白噪声功率谱密度S_a_bt');figure(4)subplot(3,1,1)periodogram(y_at);title('随机过程a(t).coswt概率密度概率密度S_y_at');subplot(3,1,2)periodogram(y_bt);title('随机过程b(t).sinwt功率谱密度S_y_bt');subplot(3,1,3);periodogram(yt);title('高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S_yt');五、实验结果将上述random 函数放在Path 中后，在Commaod Window 中输入：random(1000,10,0.001)时，输出结果如下：01002003004005006007008009001000-0.50.5高斯窄带随机过程y(t)0102030405060708090100246y(t)的概率密度图0500100015002000-50005001000高斯白噪声的自相关函数R X t 0500100015002000-101020限带白噪声的自相关函数R ab x 0500100015002000-50510随机过程b(t)的自相关函数R yb t 0500100015002000-101020高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R y t00.51-40-30-20-10010Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯白噪声功率谱密度S X t 00.51-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )限带白噪声功率谱密度S ab t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程a(t).coswt 概率密度概率密度S ya t00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程b(t).sinwt 功率谱密度S yb t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-40-30-20-10Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S y t在Commaod Window 中输出的结果如下：E_Xt = 0.0020 E_at= 0.0020 E_bt= -0.0020 E_ft = 0.0040六、实验结果分析：1、由于高斯白噪声Xt是标准正态的，所以均值趋近于零，而at，bt是由Xt通过一个线性系统（低通滤波器）得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，Xt，at，bt均值都趋近于零。

随机信号分析目录CONTENTSCONTENTS窄带随机过程的定义窄带随机过程的莱斯表示窄带随机过程的莱斯表示证明小结⚫定义：一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称此随机过程为窄带平稳随机过程，以下简称窄带随机过程。

2c ωω∆=0ωω∆<<窄带随机过程的功率谱密度图)(ωX S O ωω∆ω∆000 c c ωωωωω−+000 - -c c ωωωωω−−+窄带随机过程的一个样本函数缓慢变化的包络[B(t )]频率近似为ω0有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的莱斯表示⚫窄带随机过程的莱斯表示式：其中：00ˆ()()cos ()sin a t X t t X t t ωω=+00ˆ()()sin ()cos b t X t t X t t ωω=−+将X(t)表示成解析过程：0000ˆˆ()cos ()sin ()sin ()cos X t t X t t j X t t X t t ωωωω⎡⎤⎡⎤=++−+⎣⎦⎣⎦ˆ()()()X t X t jXt =+[]000ˆ()()()cos sin j t X t e X t jX t t j t ωωω−⎡⎤=+−⎣⎦0()()()j tX t e a t jb t ω−=+证明：()a t =()b t ==+ωX t a t jb t e j t()()()0][=−++ωωωωa t t b t t j a t t b t t ()sin ()cos ()sin ()cos 0000][][=−ωω()()sin ()cos 00X t a t t b t t =+ωωa t X t t X t t ()()cos ()sin ˆ00=−+ωωb t X t t X t t ()()sin ()cos ˆ00取实部：=X t ()=Xt ()ˆ窄带随机过程的莱斯表示有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的定义：一个是平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称其为窄带随机过程。