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107484-概率统计随机过程课件-第八章(第四节)

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随机过程课件

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1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x


1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量，有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12

2．随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在，t∈T， X 称为X（t）的方差。 x (t) Dx (t) 称为X（t）的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度， 对每个t1∈T， EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义，比 较有用。均方值定义为： E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式： 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中，有时需要对随机现象的变化进 行研究，这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ，Xt 是随机变量。假设我们从 t ＝0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t ＝0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0，t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t ， 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。

随机过程的基本概念ppt课件

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求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0

随机过程课件PPT资料(正式版)

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应怎样分才合理呢➢？」
☞随机事件：样本空间的子集,常记为 A ,B ,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
排队和服务系统 ◙A∩勤B 奋⇔、A刻B ：苦A、与合➢B作的、积探事索件；； 更新过程 为从事科学研究打下坚实的基础；
☞抽取的是精装中➢文版数学书 ⇒
➢ 时间序列分析
➢ 鞅过程
绪论
《随机过程》基础
概率(或然率或几率) ——随机事件出现的可能 性的量度；
概率论其起源与博弈、 、天气预报等问题有 关
⊕16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；
⊕17世纪中叶，「现有两个赌徒相约赌若干 局，谁先赢S局就算赢了，当赌徒A赢K局(K<S)， 而赌徒B赢L局(L<S)时，赌博中止，赌资应怎 样分才合理呢？」
随机过程课件
《随机过程》
➢ 教材： ◙ 张卓奎,陈慧婵，随机过程.西安电子科技大 学.2003.
➢ 主要参考文献： ◙ 胡奇英编著,随机过程.西安电子科技大学.1998. ◙ 周荫清 ,随机过程习题集. 清华大学出版社, 2004. ◙ 林元纟金烈 ,应用随机过程. 清华大学出版社, 2002.
……
➢ 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计， 学、经 济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。
➢ 为从事科学研究打下坚实的基础；
绪论
教学目标
➢ 充分理解、熟练掌握教材的内容 ◙ 熟练掌握基本的数学概念和定理；
◙ 熟练掌握随机过程研究对象的数学描述；
Hale Waihona Puke ➢ 通过学习和练习，具备一定的分析、解决本专业具体 问题的能力；
☞拉普拉斯曾说：“生活中最重要的问题，其中 绝大多数在实质上只是概率的问题”。
☞概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某 一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就 是概率论中的随机过程。

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随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。

概率论与随机过程----第八讲

概率论与随机过程----第八讲
i 1 n n


E / B PB
i i i 1
n 则： E Bi E Bi E B E / B PB i 1 i 1

n

附注：（ 1 ）E / B 的实际意义为 在B上的平均值； E B B ＝ PB PB
R 1
R 1

B dP P
B
定理3.3.（随机变量函数的数学 3 期望问题）设是（Ω,F, P）上的随 机变量，其分布函数为 F x ，g是R 1上的有限实可测函数， 则 g 的数学期望存在 g x 在R 1关于PF （或F x ）的积分存在，且： E E g
n 即E E E / Bi Bi i 1

— —全数学期望公式
i i
当 A，P A
PA / B PB — —全概率公式
i 1
n
2、随机变量 关于随机变量 x的条件数学期望 前面给出了在 x条件下的条件分布函数为 F / y / x ，由F / y / x 可以构造 B 1 上的L S测度，记为 P B / x ，B B 1 。我们将F / y / x 简记为 F y / x ，考虑积分
13
i 1, , n，且Bi i 1, , n 是B的一个划分，则： PB E / B E / Bi PBi
i 1 n
定理3.5.2 ( 全数学期望公式) 设Bi F，PBi 0，
特别地，当 Bi ，有：
i 1 n


2017/2/27
g xdFx
北京邮电大学电子工程学院 7

随机过程PPT课件

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4、自相关序列性质
◆ 若平稳随机序列不含任何周期分量，则
lim
m
RX
(m)

RX
()

mX2
lim
m
K
X
(m)

K
X
()

0
◆ 如果Y (n) X (n n0 )，其中n0为某一个固定的离散时刻， 则有RY (m) RX (m)，KY (m) KX (m)
◆ K X (m) RX (m) mX2
概率密度函数
2020/2/18
fX (x1, x2,L
, xN ;1, 2,L
, N)

N FX (x1, x2,L , xN ;1, 2,L x1x2 L xN
, N)
3
4.1 离散时间随机过程基本概念
二、概率分布
4、相互独立
FX (x1, x2 ,L , xN ;1, 2,L , N ) FX (x1;1)FX (x2; 2)L FX (xN ; N )

FXn (xn; n) xn
概率分布函数 FXn (xn, xm;n, m) PXn xn, Xm xm
概率密度函数
3、n维情况
fXn
( xn
,
xm ;
n,
m)

2 FXn
(xn , xm; xnxm
n,
m)
概率分布函数 FX (x1, x2,L , xN ;1, 2,L , N) PX1 x1, X2 x2,L , XN xN
线性独立的含义是随机序列X n和Ym中的任意两个随机变量都互不相关。
统计独立一定线性独立，反之不一定
2020/2/18

随机过程

标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达式，间二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。

求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。

解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a aττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t tat at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !N k N N kkN N kkN N kN kq tqtN N kN kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t eeN N Nq t q t N k N →∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：()()()()!lim 1N k kk k k k N q t N qt qt -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=(){}()()()()!1lim 1!!!N k kN kqtP X t k N q t q t N k k qt e k -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。

随机过程 课件


fY
y
f
X
0
h
y
h
'
y , y
其它情况
，
h(y)是g(x)的反函数， min g x ， max g x 。
1.2 二维随机变量及其概率分布
1.2.1 分布函数
定义1：二维分布函数
设X，Y为定义在同一概率空间 S,, P 上的两个随机变量，
则（X，Y）称为二维随机变量，对任意 x, y R ，令
，则n维向量 Y Y1,,Yn 的概率密度函数为
fY
y
fX hy
h
y
h1
h
y
y1
hn
y1
hn yn
hn yn
1.4 随机变量的数字特征
1.4.1数字期望（expected value, probabilistic average, mean） 1、一维随机变量的数学期望
E
X
x xpX
xf
则
P n1
An
n1
P
An
则称P(A)为事件A出现的概率，称(S, Ω, P)为一个概率空间。
定义2：随机变量
设已知一个概率空间 S,, P ，对于 s S ， X(s)是一个取实数值的单值函数，若对于任意实数x，s : X s x 是一个随机事件，也就是 s : X s x ，则称X(s)为随机变量。
1.3.2 边沿分布
F xk F ,, xk ,,
1.3.3 独立性
定义2：如果 P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P Xn xn
，则 X1,, X n 是相互独立得。
离散型：
P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P X n xn

《概率论》ppt课件

xi R, i 1, 2, , n.
对于固定的 n ，我们称{FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ),ti T}
为随机过程{X (t),t T}的 n 维分布函数族。
注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件下 ，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函 数族决定。
（二）二维随机过程的联合分布函数
p
2 (1, )
2 1 2
(0, 1 ) 4
1
2
三 随机过程的数字特征
1.单个随机过程的情况
① 函数 X (t) E[X (t)], t T
为{X(t),tT}的均值函数.
②
2 X
(t)
E[ X
2
(t )]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t
)
DX (t) D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设 X是n 第n次 （n ）1 抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值, 是X不n 同的随机变量，因而 { Xn构, n成 1一} 随机过程，称为 贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次
抛掷中出现的最大点数，
也{是X一n , n随机1}过程。
例 4 在时间 [0,t]内某地段出现的交通事故次数
2. n维分布函数族
对 任 意 正 整 数 n 可 取 定 t1,t2, ,tn T 则 (X (t1), X (t2 ), , X (tn )) 是一个n 维随机变量，他的分 布函数为
FX (x1, x2 , , xn; t1, t2, , tn )
P( X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn ),

概率统计与随机过程.ppt

检验水平:(给定的小量)
双边检验
第一步 提出假设 H0: =0(原假设); H1: 0(备选假设).
第二步 构建检验统计量
U X 0 ~ N 0,1
/ n
第三步 确定拒绝域
P{| U
|
z1
2
}



u
(, z12
)
(z12
, )
第四步 由样本提供的信息计算出 u x 0 的值,
n 1 2
25
所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为 [66.1 , 71.1]
例1 某糖厂有一台自动打包机打包, 额定 标准每包质量为100kg. 设包质量服从正态 分布,且根据以往经验, 其方差2＝(0.4)2. 某天开工后, 为检查打包机工作情况, 随机 地抽取9包,称得质量(单位：kg)如下：
从性能上看, 估计折断力的方差不会发生变化, 问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的 折断力较大？(取=0.05)
解：(1)假设 H0 : 570 H1 : 570
(2)计算统计量 x 570 的值，
/ n
x 先算出 ＝575.2
x 570 575.2 570 2.055
由第七章定理四得 T x ~ tn 1 s/ n
所以在H0为真时,

T

x 0
~
tn 1
s/ n
类似于前面的讨论，采用双边检验，对于给
定的检验水平，查t(n-1)表得
t
n 1

1
2
使得
P{T t (n 1)} 1
1 2
2
P{| T | t1 (n 1)} 1
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第四节正态分布均值和方差的 区间估计我们知道，正态随机变量是最为常见的，特别是很多产品的指标服从或近似服从正态分布。

因此,我们主要研究正态总体参数的区间估计。

先研究均值的区间估计，然后再研究方差的区间估计。

这些在实际应用中是很重要的.一：均值EX 的区间估计 下面分两种情况进行讨论。

1． 方差DX 已知，对EX 进行区间估计设总体),(~2σμN X ，其中2σ已知。

又nx x x ,,,21为来自于总体的样本。

由第七章第三节中的结论可知),(~)x (121nN x nx nσμ++=-于是 )1,0(~/N nx U σμ-=-, 由标准正态分布可知， 对于给定的α， 可以找到一个数21α-z ，使21)(}{2121ααα-=Φ=≤--z z U P ,αα-=≤-1}|{|21z U P ,ασμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤---1/21z n x P , 即ασμσαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-----12121n zx nz x P ,也就是说，μ落在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n z x nz x σσαα2121,内的概率为α-1。

区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n zx nz x σσαα2121, , (8.11)即为μ的置信区间。

称21α-z 为在置信度α-1下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。

当α＝0.05时，查标准正态分布表得临界值975.021z z =-α＝1.96，此时μ的置信区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---n x n x σσ96.1,96.1 当α＝0.01时，查标准正态分布表得临界值995.021z z =-α＝2.58，此时μ的置信区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---n x n x σσ58.2,58.2 从上可知，α越大，则α-1越小,置信区间越小，(精度高,难于办到),μ落在区间内的把握也就越小。

因此，在实际应用中，要适当选取α。

例1：已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm ）为 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。

解 当α＝0.05时，95.01=-α,查表得975.021z z =-α＝1.96 ,95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=-x , 06.0,06.02==σσ, 6=n 于是nx σ96.1--＝14.95－1.9675.14606.0=， =+-nx σ96.114.95+1.9615.15606.0=，故所求置信区间为[]15.15,75.14。

对于不是服从正态分布的总体，只要n 足够大，则由中心极限定理，随机变量nDX EXX Y -=近似地服从标准正态分布，因此仍然可以用⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n DX z x nDXz x 2121,αα 作为EX 的置信区间，但此时仍然又多了一次误差。

2． 方差DX 未知，对EX 进行区间估计上面的讨论是在DX 已知的情况下进行的，但实际应用中往往是DX 未知的情况。

设nx x x ,,,21为正态总体),(2σμN 的一个样本，由于2σ未知，我们用样本方差2s 来代替总体方差2σ，),(~)(1221nN x x x n x n σμ+⋅⋅⋅++=, )1,0(~N nx U σμ-=,212)(11x x n s ni i--=∑=,)1(~)1(222--=n s n V χσ,独立与V U ,根据第七章定理四，统计量)1(~)1(/--=-=-n t n VU n s x T μ.于是，对给定的α，查t 分布表可得临界值)1(21--n t α，使得{}21)1(21αα-=-≤-n t T P ,αα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-1)1(21n t T P , αμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤---1)1(/21n t n s x P , 即αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≤≤------1)1()1(2121n s n t x n s n t x P ,故得均值μ的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------n s n t x n s n t x )1(,)1(2121αα,(8.12)当9,05.0==n α时，查t 分布表得临界值)8()1(975.021t n t =--α＝2.306。

因此，在方差2σ未知的情况下，μ的置信区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---9306.2,9306.2s x s x . 例2 设有某种产品，其长度服从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件，得样本均值-x ＝9.28（cm ），样本标准差s ＝0.36（cm ），试求该产品平均长度的90％置信区间. 解：当9,10.0==n α时，查t 分布表得)1(21--n t α＝86.1)8(95.0=t ，于是nsn t x )1(21----α＝9.28－1.8606.9336.0= 50.9)1(21=-+--nsn t x α,故所求置信区间为〔9.06，9.50〕。

例 3 设灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机地抽取6只，测得寿命的数据（单位：h ）为 1020 , 1010 ,1050 , 1040 ,1050 ， 1030.求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限。

解 由于总体方差未知，故统计量)1(~/--=-n t ns x T μ于是对给定的α，查t 分布表可得临界值)1(1--n t α，使得{}αα-=-≤-1)1(1n t T P ,αμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤---1)1(/1n t n s x P , 即αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≥--1)1(1n s n t x P ,由此得到μ的置信度为α-1的单侧置信区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞----,)1(1n s n t x αμ的置信度为α-1的单侧置信下限为nsn t x )1(11--=--αθ .本例中，α-1＝0.95,n=6, )1(1--n t α= ,1050.2)5(95.0=t,69.18,3.1033==-s x代入得单侧置信下限为1θ＝9.10170150.2669.183.1033=⨯-.实际应用 例4:收获前如何预测水稻总产量问题问题：某县多年来一直种植某种水稻品种并沿用传统的耕作方法，平均亩产600千克，今年换了新的稻种，耕作方法也作了一些改进，收获前，为了预测产量高低，先抽查了具有一定代表性的30亩水稻的产量，平均亩产642.5千克，标准差为160千克，如何估算总产量。

解：由于总产量是随机变量，因此最有参考价值的是估算出总产量在某一个范围内，因而这是一个区间估计问题，设水稻亩产量X 为一随机变量，由于它受众多随机因素的影响，我们可设它服从正态分布，即),(~2σμX 。

只要算出水稻平均亩产量的置信区间，则下限与种植面积的乘积就是对总产量最保守的估计，而上限与种植面积的乘积则是对总产量最乐观的估计。

根据正态分布关于均值的区间估计，在方差未知时，μ的置信度为95%的置信区间为()96.1,96.1nS X nS X n n +---，其中nS 为样本标准差。

在例中，n=30,.160,5.642==-ns x ，将这些数据代入，有5.6423016096.15.64296.1=±=±-nS x n 2.2996.1⨯±=642.525.57±因此得到μ的95%的置信区间为(582.25,699.75)。

置信下限约为585.25千克/亩，小于以往的常数――总体均值600千克/亩，置信上限约为700千克/亩，则大于以往总体均值600千克/亩，由此得出的结论是：今年的产量未必比往年高。

最保守的估计为亩产585.25千克，比往年略低；最乐观的估计为亩产可达到700千克，比往年高出100千克。

因上、下限差距太大，这将不能做出准确的预测，要解决这个问题，可在抽查70亩，前后共抽样100亩，设平均亩产量与标准差不变，即.160,5.642==-ns x ,n=100，则μ的置信度为95%的置信区间为5.64210016096.15.64296.1=±=±-nS x n ±31.4，即(611.1,673.9)。

置信下限比往年亩产600千克多11.1千克，这样就可以预测，在很大程度上，今年水稻平均亩产至少比往年要高出11千克。

二.方差DX 的区间估计设总体),(~2σμN X ，nx x x ,,,21是来自于总体的样本。

现利用样本给出2σ的置信区间。

考虑统计量22)1(σsn Y -=,212)(11x x n s ni i--=∑=,由第七章定理三可知， 统计量 22)1(σsn Y -=)1(~2-n χ。

于是，对给定的)10(<<αα，查2χ分布表，可得临界值)1(22-n αχ及)1(221--n αχ,使得{}21)1(221αχα-=-≤-n Y P ,{}2)1(22αχα=-≤n Y P ,{}αχχαα-=-≤≤--1)1()1(22122n Y n P ,αχσχαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--1)1()1()1(2212222n sn n P,αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤---1)1()1()1()1(22222212n s n n sn P , 因此，当总体),(2σμN 中的参数μ为未知的情况下，方差2σ的置信区间为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(2222212n s n n s n ααχχ , (8.13) 注意这里选取的临界值)1(22-n αχ,)1(221--n αχ不是唯一的。

例如可以选取)1(),1(232123---n n ααχχ等等。

顺便指出，σ的置信区间是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(2222212n s n n s n ααχχ ，(8.14)例3：某自动车床生产的零件，其长度X 服从正态分布，现抽取16个零件，测得长度（单位：mm ）如下：12.15 ,12.12, 12.01 , 12.08, 12.16 ，12.09，12.17 ,12.16,12.03,12.01,12.06, 12.18 12.13 12.07 , 12.11, 12.08 , 12.01 ,12.03 , 12.06 试求DX 的置信度为95%的置信区间。

解：经计算可得 00244.0,075.122==-s x 查2χ分布表得,26.6)15()1(2025.022/==-χχαn ， ,45.27)15()1(2975.022/1==--χχαn0058.026.600244.015)1()1(222=⨯=--n s n αχ,0013.045.2700244.015)1()1(2212=⨯=---n s n αχ,故DX 的置信区间为[]0058.0,0013.0 .例 设正态总体),(2σμN 的方差2σ为已知,问容量n 为多大的样本,才能使总体均值μ的α-1的置信区间的长度不大于L ？ 解 因为ασμσαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-----12121n z x nz x P ,所以, μ的α-1的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n z x nz x σσαα2121, , 欲使区间长度 L nz ≤-σα212, n Lz ≤-σα212,即要求 22221)(4Lzn σα-≥.。