第七章随机振动的响应分析讲解

本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的 响应
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置 上同时受到激励，即有多个输入；其响应也可能有 很多个，而且不同位置处的响应也不同。
对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单 输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决
对输出的自相关函数作傅立叶变换，便得到响应 的自功率谱密度SY(ω)为
SY ()
RY
(
)e
j
d
e j
h(1)h(2 )RX
(
2
1 )]d1d 2
d
变换积分次序，并重新排列
SY ( )
h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2
d2
RX
(
2
1
)e j( 2 1
)d(
2
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1
H (0) y(t) x(t)
直流分量
E[Y (t)] Y =X H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为: E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t )] E[ X (t)] x
E[Y (t)] x
h( )d
H () h( )e j d
0
H (0) h( )d
E[Y (t)] x
h( )d
H (0) h( )d
输入与输出均值的关系式为：
E[Y (t)] Y =X H (0)
H(0)是一个常数，它表示输入X(t)与输出Y(t)中，频 率ω=0这一成分（即直流分量）之间的传递关系。
上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出 了输入、输出与系统动态特性三者之间的关系。
SY () H ()H ()SX () H () 2 SX ()
上式表明，若已知系统的增益因子|H(ω)|和输入的自 谱密度SX(ω)，则可确定输出的自谱密度SY(ω)。
事实上，若已知SX(ω) 、|H(ω)|和SY(ω) 三者中的任意 两个，就可以确定第三个。 此外，响应的自谱密度是与系统的相位因子无关的。
则响应的自相关函数可表示为:
RY ( ) E[Y (t)Y (t )]= h(1)h(2 )RX ( 2 1)]d1d2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。 该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机 过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定 是平稳的随机过程。
三、响应的自功率谱密度函数
对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般 用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的， 初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。
在随机振动中，一般激励与响应都必须用概率统 计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况 下，只能求出响应的一些统计特征，如期望（均 值）、相关函数、功率谱密度、均方值等。
四、响应的均方值
已知响应的自谱密度SY(ω)，则可计算出响应的均方 值E[Y2]:
E[Y
2
]
RY
(0)
1 2π
SY ()d
将随机输入与输出的自谱密度关系式代入上式
E[Y
2]
2 Y
1 2π
2
H ()
SX ()d
注意：当均值为零时，均方值就等于方差。
2 Y
2 Y
E[Y
2]
2 Y
1 2π
2
H ()
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数 则系统输出y(t) 是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数 设系统的脉冲响应函数h(t)， 则频率响应函数是H(ω)。
)
SY ( )
h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2 d2
RX (
2
1
)e j( 2 1 )d(
2
1
)
令ξ=τ-θ1+θ2，由维纳—辛钦关系式知，最后一个积 分就是激励X(t)的自谱密度：
SX ()
RX
(
)e
j
d
第二个积分就是脉冲响应函数h(θ2)的傅立叶变换， 即频率响应函数H(ω)。
H ()
h(
2
)e
j2
d
2
SY ( )
h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2
d2
RX
(
2
1
)e j( 2 1 )d(
2
1
)
前两个积分的不同在于指数中的正负号的差别。
H () H ()
h(1
)e
j
1
d1
经处理后得随机输入与输出的自谱密度关系式:
SY () H ()H ()SX () H () 2 SX ()
第七章 随机振动的响应分析
第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统 §7-2 多输入多输出的线性系统
本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下， 激励—系统—响应三者之间的关系。
系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性 模型可得到逼真的结果。本课程只讨论线性系统 问题。
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
一、响应的均值
对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式，可得 输出的一个样本函数
y(t) x(t )h( )d
y(t) x(t )h( )d
设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出
其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集
合平均为:
E[Y (t)]
E
X (t
)h(
)d
E[Y (t)] E[X (t )]h( )d
SX ()d
在输入为理想白噪声的情况下，由于输入的自谱密 度对于所有的频率都是常数，则响应的均方值公式 可得到简化:
2 Y
S0 2π
2
H () d
只要计算出如下的广义积分I值，便可求得响应的均 方值：
7-1 单输入单输出的线性系统
假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其 相应的响应(输出)为y(t)，如图所示。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法