2018版高中数学小问题集中营专题1.2突破点集合运算中的参数问题

集合含参问题的归纳及解法1. 什么是集合含参问题？好嘞，咱们今天聊聊集合含参问题，别担心，听起来复杂，其实就是个“调皮的小问题”。

首先，集合含参问题，顾名思义，就是在某个集合里，咱们要处理带参数的元素。

这就像是你在买衣服时，不仅要考虑款式，还得看看尺寸，颜色，这些都是参数，对吧？在数学里也是如此，咱们得考虑元素的各种属性。

就拿学校的班级来说，班级里的每一个小朋友都是集合里的元素，而他们的年龄、性别、爱好等等，就是那些让他们各具特色的参数。

想象一下，你去参加一个聚会，聚会里有各种各样的人。

有的爱唱歌，有的爱跳舞，还有的喜欢讲笑话。

这些“爱好”就是他们的参数，决定了他们在聚会中的角色。

集合含参问题就是要找到这些角色，了解它们是怎么工作的。

简而言之，就是把“人”放到“集合”里，然后分析他们的参数，看看能碰撞出怎样的火花。

2. 集合含参问题的特点2.1 多样性说到集合含参问题，首先映入脑海的就是多样性。

就像春天的花园，五颜六色的花朵争奇斗艳。

不同的集合有不同的特点，参数也是各式各样，真是让人眼花缭乱！比如说，你有一个水果集合：苹果、香蕉、橙子。

它们的颜色、味道、营养价值都不一样，这些都是参数。

处理这些问题时，咱们得考虑到各种因素，才能找到最合适的解决方案。

2.2 复杂性其次，复杂性也是个重要的特点。

说实话，集合含参问题就像做大菜一样，越复杂的菜，步骤越多，调料越杂。

想要把所有参数都考虑进去，简直是难上加难！有时候，咱们可能需要借助一些数学工具，比如集合论、概率论，甚至是图论，来帮助我们理清头绪。

可别怕，慢慢来，总能找到头绪的。

3. 如何解决集合含参问题3.1 确定目标那么，解决这些问题的第一步是什么呢？那就是确定目标！就像你去旅行前，得先决定去哪里，不然到时候就成了“东跑西颠”，毫无头绪。

明确你要解决的问题，或者说，想要找出哪些参数之间的关系，这样才能有的放矢，事半功倍。

3.2 选择工具接下来，咱们得选择合适的工具。

典型高考数学试题解读与变式2018版考点一：集合【考纲要求】（1）集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．（3）集合的基本运算．①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．【命题规律】集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）判断集合间的关系例1.【2015高考重庆】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A.A B =B.A B =∅C.A B ⊆D.B A ⊆【答案】D【变式1】【例题中的集合A 、B 改变，选项不变】已知集合2{|20}A x x x =-≤，{|B x x =<<，则（ ）A.A B =∅B.A B R =C.B A ⊆D.A B ⊆ 【答案】D【解析】因为2{|20}A x x x =-≤{|02}x x =≤≤ , 而{|02}x x ≤≤{|x x ⊆,故选D.【变式2】【例题的条件不变，结论变为，题型变为填空题】已知集合A ={}a ，B ={}2|560x x x -+=，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为_______.【答案】{}2,3【解析】因为B ={}2|560x x x -+={}2,3=，又A ={}a ，A B ⊆，所以实数a 的取值集合为{}2,3.（二）集合运算问题1.【2017新课标】已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则（ ）A.{|0}A B x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1A B x x x =<<=，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.【方法技巧归纳】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.【变式1】【例题中集合B 中的指数不等式改为对数不等式】已知集合}1|{<=x x A ，{|lg 0}B x x =≥，则（ ）A ．{|10}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】B【解析】由lg 0x ≥得1x ≥，所以{|1}B x x =≥，所以A B R =，故选B.【变式2】【例题的条件不变，结论变为求()R A C B ，题型改为填空题】已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则()R A C B =_______.【答案】{|01}x x ≤<【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|0}R C B x x =≥， 因为}1|{<=x x A ，所以(){|01}R A C B x x =≤<.（三）集合元素的个数问题例 3.【2015新课标】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A. 5B.4C.3D.2【答案】D【解析】由条件知，当2n =时，328n +=；当4n =时，3214n +=，故{8,14}A B =,故选D.【方法技巧归纳】集合中元素具有：互异性、确定性、无序性.有限集合A 的子集个数是2n ；真子集个数是21n -；非空子集个数是21n -；非空真子集个数是22n -．【变式1】【改变例题中的集合B ，结论不变】已知集合{32,},{|10}A x x n n N B x x ==+∈=≤，则集合A B 中的元素个数为_______.【答案】2【解析】由条件知，当1n =时，325n +=；当2n =时，328n +=；当3n =时，3211n +=， 故{5,8}A B =,故集合A B 中的元素个数为2.【变式2】【改例题中的条件和结论】已知集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则集合A B 中元素的个数为_______.【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，则集合A B 中元素的个数为5个.（四）集合中的创新题例4.【2015·湖北】已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B中元素的个数为( )A．77 B．49C．45 D．30【答案】C【解析】如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.【方法技巧归纳】解决集合创新型问题的方法：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．②用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．【变式1】对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a ⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．【答案】15【解析】m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M的元素共有15个．【变式2】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A#B为( ) A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}【答案】D【解析】因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， 所以A #B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.【数学思想】1.数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．2.转化与化归思想在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．【处理集合问题注意点】1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2.要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3.易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．【典例试题演练】1.【2017云南、四川、贵州百校大联考】设集合2{|20}M x x x =-≥，{|N x y ==，则M N 等于（ ）A ．(1,0]-B ．[1,0]-C ．[0,1)D ．[0,1]【答案】C【解析】 {|02}M x x =≤≤，{|11}N x x =-<<，[0,1)M N =.故选C.2.【2017湖北省黄石市调研】已知集合{}{}2|31,|20A x x B x x x =-<<=-≤，则A B =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|01x x ≤<C ．{}|32x x -<<D ．{}|32x x -<≤【答案】D【解析】A B ={}{}|31|02=x x x x -<<≤≤{}|32x x -<≤，故选D.3.【2017江西南昌市模拟】集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，3{|log (2)1}B x x =-≤，则()R A C B =（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x x <-≥或C ．{|2}x x ≥D ．{|12}x x x ≤->或【答案】B【解析】{|(1)(2)0}[2,)(,1]A x x x =+-≥=+∞-∞-，3{|log (2)1}[1,2)B x x =-≤=-，所以(,1)[2,)R C B =-∞-+∞，()R A C B ={|12}x x x <-≥或，故选B.4.【2017江西九江地区联考】已知集合2{|1}A x x =≤，{|}B x x a =<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】因为2{|1}[1,1]A x x =≤=-，A B B A B =⇒⊂U ,所以1a >，故选C.5.【2017广东海珠区测试】已知集合2{|16}A x x =<，{|}B x x m =<，若AB A =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[4,)-+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞-D ．(,4]-∞【答案】B6.【2017河北省衡水中学第三次调】已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ）A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥【答案】C【解析】因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．7.【湖北2017届百所重点校高三联考】已知集合{}{}21,,|540,A a B x x x x Z ==-+<∈，若Φ≠B A ，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或4【答案】C【解析】因为}3,2{},41|{=∈<<=Z x x x B 且Φ≠B A ，故3,2=a ,故选C.8.【2017四川巴中“零诊”】已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1,0{=A ，}2|{≥∈=x R x B ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A.1}{0， B ．{1}C ．2}{1，D ．2}1{0，，【答案】A【解析】由图可知，{0,1}U A C R =，故选A.9.已知全集U ，集合M ，N 是U 的子集，且U N C M ⊆，则必有（ ）A. U M C N ⊆B.M U C NC. U U C N C M =D.M N =【答案】A10.已知集合2{|320,}A x x x x R =-+=∈，{|05,}B x x x N =<<∈则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D11.【2017湖北百所重点校高三联考】已知集合(){}22,|,,1A x y x y R x y =∈+=， (){}2,|,,41B x y x y R y x =∈=-，则A B 的元素个数是___________．【答案】3【解析】由于集合A 是圆心在坐标原点，半径为1的圆周，集合是开口向上顶点在圆上的点)1,0(-上的抛物线，结合图象可知两个曲线的交点有三个.故应填3.12.【2017河北唐山模拟】已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B 中元素的个数是（ ）【答案】3【解析】当2x =±时，3y =；当1x =-时，0y =；当0x =时，1y =-；当3x =时，8y =，所以{1,0,3,8}B =-，所以{1,0,3}A B =-，故A B 中元素的个数是3．13.已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则=)B (R C A .【答案】}10|{<≤x x【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，因为}1|{<=x x A ，所以}0|{R ≥=x x B C ，所以=)B (R C A }10|{<≤x x .14.【2017江西九江地区联考】设A ，B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⊗=∈且}x A B ∉，已知2{|2,02}M y y x x x ==-+<<，1{|2,0}x N y y x -==>，则M N ⊗=_________. 【答案】1(0,](1,)2+∞【解析】2{|2,02}(0,1]M y y x x x ==-+<<=，11{|2,0}(,)2x N y y x -==>=+∞，1(0,),(,1]2M N M N =+∞=U I ，所以1(0,](1,)2M N ⊗=+∞U . 15.设集合{|26}A x x =≤≤，{|23}B x m x m =≤≤+，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】[1,)+∞。

专题01 集合1．已知集合{}0,1,2,3A =， {}1,2,4B =，那么集合A B ⋃=（ ）A ． {}0,1,2,3,4B ． {}1,2,3,4C ． {}1,2D ． {}0【答案】A【解析】∵集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，由并集的概念可得： {}0,1,2,3,4A B ⋃=，此题选择A 选项．2．设全集{}I 0,1,2,3=，集合{}0,1,2M =，{}0,2,3N =，那么I M C N ⋂=（ ）A ．{}1B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．∅【答案】A 【解析】全集{}{}{}0,1,2,3,0,2,3,1I I N N ==∴=，又{}0,1,2M =，那么{}1I M N ⋂=，应选A ．3．已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，那么（ ）A ．{}1AB ⋂= B ．A B R ⋃=C ．()(]0,1R C A B ⋂= D ．()R A C B A ⋂=【答案】D 4．已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，那么()R A B ⋂=（ ）A ． {}03x x ≤≤B ． {}1,0,1,2,3-C ． {}0,1,2,3D ． {}1,2【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤=，{}|13R A x x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R A B ⋂=故答案为C ．5．已知集合{|14}A x Z x =∈-≤≤， {}2,1,4,8,9B =--，设C A B =⋂，那么集合C 的非空子集的个数为（ ）A ． 8B ． 7C ． 4D ． 3【答案】D【解析】集合{|14}A x Z x =∈-≤≤ {}=-101234，，，，，，{}=-1-24A B ⋂，， ，故C = {}=-1-24A B ⋂，，，有3个元素．故答案为D ．6．设函数29y x =-的概念域为A ，函数()ln 3y x =-的概念域为B ，那么R A C B ⋂=（ ） A ． (),3-∞ B ． (),3-∞- C ． {}3 D ． [)3,3-【答案】C【解析】由290x -≥解得33x -≤≤，可得[]3,3A =-；由30x ->解得3x <，可得(),3B =-∞，因此[)3,R B =+∞． ∴()][){}3,33,3R A B ⎡⋂=-⋂+∞=⎣．选C ． 7．已知全集{}{}{0,1,2,3,4,5}2,4,0,1,2U A B ===，，那么如图阴影部份表示的集合为（ ）A ． {}0,2B ． {}0,13C ． {}0,1,4D ． {}0,2,4【答案】C8．设全集U ＝{x |x ∈N *，x<6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，那么C U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}【答案】D【解析】{}*|6U x x N x =∈<，，{}1,2,3,4,5U ∴=， {}1,3A =，{}3,5B =，{}135A B ∴=，，(){}2,4C A B ∴=，故答案选D9．集合2{|,}A y y x x R ==∈，{}2,1,1,2B =--，那么以下结论正确的选项是（ ）A ．()0,AB ⋃=+∞ B ．()(],0RC A B ⋃=-∞ C ．[)0,R A C B ⋂=+∞ D ．(){}2,1R C A B ⋂=--【答案】D【解析】因为[)2{|,}0,A y y x x R ==∈=+∞，{}2,1,1,2B =--，因此(){}2,1R C A B ⋂=--，应选D ． 10．已知全集{|22}U x x =-<<, {|20}A x x =-<<，那么u C A = （ ）A ．{|22}x x -<<B ．{|02}x x <<C ．{|12}x x <<D ．{|02}x x ≤<【答案】D11．已知集合{}1,0,1M =-, {}|,,,N x x ab a b M a b ==∈≠,那么集合N 的真子集个数为（ ）A ．8B ． 7C ． 4D ． 3【答案】D【解析】集合{}1,0,1,{| ,,M N x x ab a b M =-==∈，且}a b ≠，{}1,0,N N ∴=-的真子集个数为221=3-，应选D ．12．设全集U R =，集合{}2|2A y y x x ==-，{}|2x B y y ==，那么集合()U C A B ⋂=（ ）A ．{}0y yB ．{}|01y y <≤C ．{}1y yD ．{}|1y y ≥【答案】C【解析】全集U R =，集合{}2|2A y y x x ==- {}|01y y =≤≤，{| 0R A y y ∴=<或}1y >，{}{}|2,0x B y y x R y y ==∈= (){}1R A B y y ∴⋂=，应选C ．。

问题2 突破点集合运算中的参数问题一、问题的提出所谓集合中的参数问题，是指集合{|p p适合的条件}中“p适合的条件”里面含有参数的问题，已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)，一般常和方程、不等式、函数等知识结合在一起进行考查，综合性比较强，解法多样，故难度较大.对思维的严谨性要求较高.是同学们学习集合的一个难点。

二、问题的探源解含参数的集合运算问题，首先应分清集合中的元素是数集还是点集，然后根据元素的特点考虑对参数进行分类讨论。

下面总结集合中几类常见的参数问题1. 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．2.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围由集合间关系求解参数的三部曲第一步:弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形; 第二步:看集合中是否含有参数,若A B第三步:将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想,借助数轴解答.3.根据集合运算的结果确定参数的取值范围方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.方法二：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式（组）；(4)解不等式（组）；(5)检验.注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；(2)千万不要忘记考虑空集。

三、问题的佐证(一)根据元素与集合的关系求参数的值例1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3(二)根据集合与集合的关系求参数的值例2.已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3【解析】由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1，故选B.【评注】在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． (三)根据集合与集合的关系求参数的取值范围已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．例3.已知集合{|2A x =-≤x ≤5}，{|1B x m =+≤x ≤21}m -，满足B A ⊆，求实数m 的取值范围为。

【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第01讲如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x |x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．答案：{－1，4} 【例2】【2017广东省珠海市高三9月摸底考试】设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．【例3】【2017天津市耀华中学高三开学考试】全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cosx ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.阴影部分表示的集合是A ∩B .依题意知，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |－1≤y ≤1}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选D.招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |a ＋1<x <2a －1}，若错误!未找到引用源。

2018高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（01）集合及解析专题（01）集合 1．已知集合，集合，集合，则集合的子集的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】D2．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x ﹣2，x ∈A}，则A ∩B=（ ） A ． {1} B ． {4} C ． {1，3} D ． {1，4} 【答案】D【解析】B={1,4,7,10}，A∩B={1,4}，故选D ．3．若集合{}{}1,2,4,8,|25x A B x ==<，则A B ⋂=（ ） A ． {}1 B ． {}2 C ． {}1,2 D ． {}1,2,3 【答案】C【解析】{}|25x B x =< (){}2,log 51,2A B =-∞∴⋂=，选B ． 4．集合A={-1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( ) A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ． 8个 【答案】B【解析】含有元素0的子集有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},共4个． 故选B ．5．已知集合A={x│x -1>0}，B={y│y 2－2y －3≤0}，则A∩B=（ ） A ． （1，3） B ． [1，3） C ． [1，3] D ． （1，3] 【答案】D【解析】{}{}{}2|20|2|230{|13}A x x x x B y y y y y =+>=>-=≤=-≤≤，－－，所以A∩B= [1，3]． 故选D ．6．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x 2﹣x ﹣2=0}，则A∩B=（ ） A ． ∅ B ． {0} C ． {2} D ． {﹣2} 【答案】C点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 7．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x ＜1}，则A∩（C R B ）=（ ） A ． {x|x ＞1} B ． {x|x≥1} C ． {x|1＜x≤2} D ． {x|1≤x≤2} 【答案】D【解析】由{|12}{|1}A x x B x x =≤≤=<﹣，得：{}| 1 R C B x x =≥，则{}|1 2 R A C B x x ⋂=≤≤（），故选D ．8．已知全集{|08}U x Z x =∈<≤，集合{|2}(28)A x Z x m m =∈<<<<，若U C A 的元素的个数为4，则m 的取值范围为（ ）A ． (]6,7B ． [)6,7C ． []6,7D ． ()6,7 【答案】A【解析】若U C A 的元素的个数为4，则{}1,2,7,8,67.U C A m =∴<≤ 本题选择A 选项．9．设全集R U =，集合{}02A x x =<≤， {}1B x x =<，则集合A B ⋃=（ ） A ． ()2,+∞ B ． [)2,+∞ C ． (],2-∞ D ． (],1-∞ 【答案】C【解析】∵集合{}02A x x =<≤， {}1B x x =<， ∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集．10．若函数)32(log 22--=x x y 的定义域，值域分别是M 、N ，则=N M C R I )(（ ） A ．]3,1[- B ．)3,1(-C ．]3,0(D ．),3[+∞【答案】A考点：一元二次不等式，集合交并补．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．注意区间端点的取舍．11．设全集U 是实数集R ，2{4}M x x =>，{13}N x x =<≤，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A ．{21}x x -≤<B ．{22}x x -≤≤C ．{12}x x <≤D ．{2}x x <【答案】C考点：集合的运算．12．已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ） A ．5A ∈ B ．1.5A ∉C ．1A -∉D ．0A ∈【答案】A考点：集合与元素的关系．专题（1）集合1．已知集合(){}{}|lg 1,2,1,0,1A x y x B ==+=--，则()R C A B ⋂=（ ） A ． {}2,1-- B ． []2- C ． []1,0,1- D ． []0,1 【答案】A2．设集合2{|42},{|4}M x x N x x =∈-=＜＜＜Z ,则M N ⋂等于（ ） A ． ()1,1- B ． ()1,2- C ． {}1,1,2- D ． {}1,0,1- 【答案】D 【解析】{}{}{}{}{}2|423,2,1,0,1,,|4|221,0,1M x x N x x x x =∈-=---==-<<=-＜＜＜Z ．故选D ．3．设是全集，集合都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】观察图形得：图中的阴影部分表示的集合为，故选：B ．4．已知全集,，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意得，，所以，故选A ． 5．已知，，则的真子集个数为（ ）A ． 2B ． 3C ． 7D ． 8 【答案】B【解析】∵A={x|x 2-3x-4≤0，x∈Z}={x|-1≤x≤4，x∈Z}={-1，0，1，2，3，4}，B={x|2x 2-x-6>0，x∈Z}={x|x<，或x>2，x∈Z}，∴A∩B={3，4}，则A∩B 的真子集个数为22-1=3，故选：B ．点睛：1．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 6．已知集合，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A点睛：1．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 7．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C【解析】由题得，集合，所以．集合中元素的个数为3．故选C ．8．已知22{|230},{|3}A x x x B y y x =--≤==+，则A B ⋂=（ ） A ． 2⎡⎣ B ． 2,3 C ． 3,3⎤⎦D ． 3⎡⎣【答案】C【解析】2230x x --≤，解得13x -≤≤ {}|13A x x ∴=-≤≤，23x + 3≥{}|3B y y ∴=≥ 3,3A B ⎡⎤⋂=⎣⎦，故选C9．设集合{|32}M x Z x =∈-<<，{|13}N x Z x =∈-≤≤，则M N I 等于（ ） A ．{0,1} B ．{-1,0,1,2} C ．{0,1,2} D ．{-1,0,1} 【答案】D【解析】考点：1、集合的表示；2、集合的交集．10．已知集合2{|16}A x x =<，{|}B x x m =<，若A B A =I ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[4,)-+∞ B ．[4,)+∞ C ．(,4]-∞- D ．(,4]-∞ 【答案】B【解析】考点：1、集合的表示；2、集合的基本运算．11．设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31≤≤=x x B ，则=B A Y （ ） A ．]3,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1( D ．)3,1(- 【答案】A【解析】试题分析：因为{}{}(1)(2)0|12A x x x x x =+->=-<<， {}13B x x =<≤，所以，=B A Y {}13x x -<≤=(]1,3-，故选A ．考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集．12．已知集合2{|50},{|6},M x x x N x p x =-≤=<<且{|2},M N x x q ⋂=<≤ 则p q += （ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9【答案】B【解析】Q 集合{}{}2|50|05M x x x x x =-≤=≤≤， {}|6N x p x =<<，且{}|2M N x x q ⋂=<≤， 2,5,257p q p q ∴==∴+=+=，故选B ．。

第一章 集合与常用逻辑用语专题02 集合中的参数问题集合中的含参问题是一种较难的问题，也是学生容易出错的题型。

其要点在于学生不能正确判断端点值能否取到，忘记考虑空集这一情况。

高考关于集合中的含参问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、解不等式相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中．从近几年高考命题看，考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是分类讨论这种思想的理解和应用．【题型导图】类型一 元素与集合的关系中的含参问题例1：（2021·福建福州三中高一期中）已知集合M ＝{﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M ，求x 的值． 【思路解析】由已知2是集合M 的元素，分类讨论列出方程，求出x 的值，将x 的值代入集合，检验集合的元素需满足互异性．【解析】当3x 2+3x ﹣4＝2时，3x 2+3x ﹣6＝0，x 2+x ﹣2＝0， x ＝﹣2或x ＝1．经检验，x ＝﹣2，x ＝1均不合题意． 当x 2+x ﹣4＝2时，x 2+x ﹣6＝0，x ＝﹣3或2． 经检验，x ＝﹣3或x ＝2均合题意． ∴x ＝﹣3或x ＝2．【变式1】（2021·河北沧州市高一期中）已知集合{}2,21,21M a a a =--，若1M ∈，则M 中所有元素之和为（ ） A ．3 B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【分析】根据1M ∈，依次令{}2,21,21M a a a =--中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.【详解】若1a =，则211a -=，矛盾；若211a -=，则1a =，矛盾，故2211a -=，解得1a =（舍）或1a =-， 故{}1,3,1M =--，元素之和为3-，故选：C.【变式2】设集合A ＝{2，3，a 2+2a ﹣3}，集合B ＝{|a +3|，2 }，已知5∈A ，且5∉B ．求a 的值．【详解】由于5∈A ，且A ＝{2，3，a 2+2a ﹣3}， ∴a 2+2a ﹣3＝5，即a 2+2a ﹣8＝0解得a ＝2或﹣4，又当a ＝2时，B ＝{5，2}不符合条件5∉B ，所以a ＝2不符合题意； 当a ＝﹣4时，B ＝{1，2}，符合条件5∉B ，所以a ＝﹣4为所求． 故答案为a ＝﹣4．【变式3】已知集合A ＝{（x ，y ）|2x ﹣y +m ＞0}，B ＝{（x ，y ）|x +y ﹣n ≤0}，若点P （2，3） ∈A ，且P （2，3）∉B ，求m 、n 的取值范围． 【详解】将点（2，3）代入A 中的不等式得到： 4﹣3+m ＞0，解得：m ＞﹣1； 因为点（2，3）不在B 中，所以将点（2，3）代入B 中的不等式得到： 2+3﹣n ≤0不成立，即2+3﹣n ＞0，解得：n ＜5．【痛点直击】1. 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解2．要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验.类型二 集合中元素个数的含参问题例2.（2021·天津南开区四十三中高一月考）集合{}28160A xkx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________. 【答案】{}0,1【分析】分0k =和0k ≠两种情况，分别讨论集合A ，进而可求出答案.【详解】当0k =时，方程28160kx x -+=可化为8160x -+=，解得2x =，满足题意；当0k ≠时，要使集合{}28160A xkx x =-+=∣中只有一个元素， 则方程28160kx x -+=有两个相等的实数根，所以64640k ∆=-=，解得1k =，此时集合{4}A =，满足题意.综上所述，0k =或1k =，即实数k 的值组成的集合为{}0,1.故答案为：{}0,1.【变式1】若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，则a= ，b= ． 【答案】31； 91【详解】∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0 解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.【变式2】（2021·上海市莘庄中学高一期中）已知集合()()2{x |x 2x 2x a 0,x R}--+=∈中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集合为______． 【答案】{a |a 0=或a 1}>【分析】推导出2x 2x a 0-+=的解为x 0=或无解，由此能求出实数a 的取值集合．【详解】集合()()2{x |x 2x 2x a 0,x R}--+=∈中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素，2x 2x a 0∴-+=的解为x 0=或无解，a 0∴=或44a 0∆=-<，解得a 1>．∴实数a 的取值集合为{a |a 0=或a 1}>．故答案为{a |a 0=或a 1}>．【变式3】已知集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0，a ∈R }． （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【分析】（1）A 为空集，表示方程ax 2﹣3x +2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A 中只有一个元素，表示方程ax 2﹣3x +2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求出满足条件的a 值．（3）若A 中至多只有一个元素，则集合A 为空集或A 中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a 的取值并进来即可得到答案． 【详解】（1）若A 是空集， 则方程ax 2﹣3x +2＝0无解 此时△＝9﹣8a ＜0，即a ＞89 （2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根 当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件 当a ≠0，此时△＝9﹣8a ＝0，解得：a ＝89∴a ＝0或a ＝89 若a ＝0，则有A ＝{32}；若a ＝89，则有A ＝{34}； （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a ＝0或a ≥89 【痛点直击】1. 此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解. 2. 要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.类型三 集合基本关系中的含参问题例3.（2021·西安市经开一中高一月考）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a 的取值范围． 【详解】：B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1x a-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．【变式1】（2021·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ）A ．{}|27a a ≤≤B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅【答案】C【分析】考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.【详解】当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤.故选：C.【变式2】（2021·山东泰安一中高一月考）已知集合{}{}2,,22,,2A a b B b a ==，若A B =，则a b +=__________．【答案】1或34【分析】根据集合相等可得出关于实数a 、b 的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a 的值.【详解】集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，分以下两种情况讨论：（1）当22a ab b =⎧⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩. 当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性； 当0a =，1b =时，{}0,1,2A B ==，合乎题意； 此时011a b +=+=；（2）当22a b b a ⎧=⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性； 当14a =，12b =时，11,,242A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，合乎题意. 此时113424a b +=+=； 综上所述，1a b +=或34a b +=。

考点一 会合的观点与运算知识梳理1． 会合与元素(1) 会合元素的三个特点：确立性、互异性、无序性．(2) 元素与会合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．(3) 会合的表示法：列举法、描绘法、V enn 图法．(4) 常有数集的记法会合自然数集正整数集整数集有理数集实数集*符号N＋(或N )ZQRN(5) 会合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无穷集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特别而又重要的会合，假如一个会合不包括任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“? ”表示，规定：空集是任何会合的子集，是任何非空会合的真子集．解题时切勿忽略空集的情况．2.会合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图会合 A 中所有元素都在会合 B 中 (即若A? B子集x ∈ A ，则 x ∈ B)(或 B? A)会合 A 是会合 B 的子集，且会合B 中起码A B真子集有一个元素不在会合 A 中(或 BA)会合 A ，B 中元素完整同样或会合A ，B 互会合相等A ＝ B为子集子集与真子集的差别与联系： 一个会合的真子集必定是其子集，而其子集不必定是其真子集.3.全集与补集(1) 假如一个会合包括了我们所要研究的各个会合的所有元素，这样的会合就称为 全集 ，全集往常用字母 U 表示；(2) 关于一个会合 A ，由全集 U 中不属于会合 A 的所有元素构成的会合称为会合 A 相关于全集U 的补集，记作 ?U A ，即 ?U A ＝ { x|x ∈ U ，且 x?A} ．4.会合的运算会合的并集 会合的交集 会合的补集图形符号A∪ B＝ { x|x∈ A，或 x∈ B}A∩ B＝ { x|x∈ A，且 x∈B}?U A＝ { x|x∈ U ，且 x?A} 5.会合关系与运算的常用结论(1) 子集个数公式：如有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为2n个，非空子集个数为 2n － 1 个，真子集有 2n－ 1 个．(2) A∩ B＝ A? A? B， A∪ B＝ B? A? B．(3)(?U A)∩ (?U B)＝ ?U (A∪B)， (?U A) ∪(?U B)＝ ?U(A∩ B) ．典例分析题型一会合的基本观点例 1 已知会合A＝{0，1，2}，则会合B＝{ x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是答案 5分析列表依据会合中元素的互异性知， B 中元素有0，－ 1，－ 2， 1， 2，共 5 个．变式训练已知会合A＝ {0 ，1，2} ，B＝{( x，y)|x∈ A，y∈ A，x－ y∈ A} ，则会合B 中有 ________个元素．答案6分析由于 x－ y∈A，∴ x≥ y．当 x＝ 0 时， y＝ 0；当 x＝ 1 时， y＝ 0 或 y＝ 1；当 x＝ 2 时， y＝ 0，1， 2.故会合 B＝ {(0 ，0)， (1， 0)， (1， 1)， (2， 0)，(2，1)， (2， 2)} ，即会合 B 中有 6 个元素．解题重点研究会合问题，往常从代表元素下手，考察其所代表的是数仍是点，假如代表元素是数x，则是数集，假如代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举会合的元素时可借助表格，或依据元素特点分类列举，列举时应做到不重不漏．例 2 b， b，则 b －a ＝ ________.设 a ， b ∈R ，会合 {1 ， a ＋ b ， a} ＝ 0， a 答案 2b分析由于 {1 ， a ＋ b ， a} ＝ 0， a ， b ，且由 a 在分母的地点可知 a ≠0，因此 a ＋b ＝ 0，则 b＝－ 1，a因此 a ＝－ 1， b ＝1.因此 b － a ＝ 2.变式训练 已知会合 A ＝ { m ＋2,2m 2＋ m} ，若 3∈A ，则 m 的值为 ________．答案 －32分析由于 3∈ A ，因此 m ＋ 2＝3 或 2m 2＋ m ＝ 3.当 m ＋ 2＝ 3，即 m ＝ 1 时， 2m 2＋ m ＝ 3，此时会合 A 中有重复元素 3，因此 m ＝1 不切合题意，舍去；当 2m 2＋ m ＝3 时，解得 m ＝－ 32或 m ＝ 1(舍去 ) ，此时当 m ＝－3时， m ＋ 2＝ 1≠3切合题意， 2 23因此 m ＝－.解题重点 关于含字母参数的会合，应正确进行分类议论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要查验能否违犯了会合中元素的互异性． 题型二 会合间的基本关系例 3 会合 A={ － 1， 0， 1} ，A 的子集中，含有元素 0 的子集共有个答案 4分析依据题意，在会合A 的子集中，含有元素 0 的子集有 {0} 、{0，1} 、{0 ，－ 1} 、{ －1， 0，1}，共四个 .变式训练 设 M 为非空的数集， M? {1,2,3} ，且 M 中起码含有一个奇数元素，则这样的会合 M 共有 个答案 6分析会合 {1,2,3} 的所有子集共有 23＝ 8(个 )，此中一个奇数元素也没有的会合有两个：?和{2} ，故知足要求的会合 M 共有 8－ 2＝ 6(个 )．解题重点解题重点是弄清切合题意的会合其元素应知足的条件．在元素较少时能够采纳穷举法列出所有知足条件的会合．例 4设，若，则 a 的取值范围是 ．答案分析依据题意作图：由图可知，，则只需即可，即a的取值范围是．变式训练已知会合 A { x | x25x 4 0}, B, a , A B ，则a的取值范围是．答案(4,)分析21,，4∵，依据题意作图：A { x | x 5 x 4 0}由图可知，只需即可，即 a 的取值范围(4, ).解题重点关于这种用不等式表示的数集之间的包括关系时，经常借助数轴进行求解. 在解题时应注意端点能否能够取到 .题型三会合的基本运算例 5已知会合 A＝ {1,2,3} ，B＝ {2,4,5} ，则会合 A∪ B 中元素的个数为 ________．答案5分析A∪ B＝ {1,2,3,4,5} ，共有 5 个元素 .变式训练已知会合 A＝ { x|x2－ x－ 2≤ 0} ，会合 B 为整数集，则 A∩B 等于 ________．答案{ － 1,0,1,2}分析A＝ { x|x2－x－ 2≤ 0} ＝ { x|－ 1≤ x≤ 2} ， B 为整数集， A∩B＝ { －1,0,1,2}.解题重点求解会合交、并第一应付各个会合进行化简，正确弄懂会合中的元素，求并集时同样的元素只算一个．例 6已知全集 U＝R， A＝ { x|x≤ 0} ， B＝ { x|x≥ 1} ，则会合 ?U(A∪B) ＝ ________．答案{ x|0<x<1}分析∵ A＝ { x|x≤ 0} ，B＝ { x|x≥ 1} ，∴ A∪B＝ { x|x≤ 0 或 x≥1} ，在数轴上表示如图．∴?U(A∪ B)＝ { x|0<x<1} ．变式训练已知会合A＝ { x|x2－ 2x＞ 0} ， B＝ { x|－＜x＜} ，则 A∪ B＝ ________．答案R分析∵ x(x－ 2)＞ 0，∴ x＜ 0 或 x＞ 2.∴会合 A 与 B 可用数轴表示为：由图象能够看出A∪B＝R．解题重点会合的基本运算是历年高考的热门，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相联合命题，解题时先求出各个会合，而后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知会合U{1,2,3,4} ,会合 A={1,2} , B={2,3} ,则e U( A B)________．答案{4}分析由于 A∪ B＝ {1,2,3} ，全集 U＝ {1,2,3,4} ，因此e U(A∪ B)＝ {4} ．2．若会合 M={ －1， 0， 1} ， N={0 ，1， 2} ，则 M∩N 等于 ________．答案{0，1}分析由会合 M={ － 1， 0，1} ，N={0 ， 1， 2} ，获得 M∩N={0 ， 1} ．3．已知{菱形 }，{正方形 }，{ 平行四边形 } ，则之间的关系为 _______答案4．已知会合 A ＝ {( x，y)|－ 1≤x≤ 1，0≤ y<2，x、y∈Z } ，用列举法能够表示会合 A 为 ________．答案{( － 1， 0)， (－ 1，1)， (0， 0)， (0， 1)， (1，0)，(1， 1)}－ 1≤x≤ 1， x∈Z，分析会合 A 表示不等式组确立的平面地区上的格点会合，因此用列举法0≤ y<2 ， y∈Z表示会合 A 为 {( － 1， 0)， (－ 1， 1)， (0， 0)， (0， 1)， (1， 0)，(1， 1)} ．5．设会合 M＝ {0 ， 1， 2} ， N＝ { x|x2－ 3x＋ 2≤ 0} ，则 M∩ N＝．答案{1，2}分析由 x2－ 3x＋ 2＝ (x－1)(x－ 2)≤ 0，解得 1≤x≤ 2，故 N＝ { x|1≤ x≤ 2} ，∴M∩N＝ {1,2} ．课后作业1．已知会合A＝ { x|2＜ x＜4} ， B＝ { x|(x－1)( x－ 3)＜ 0} ，则 A∩ B 等于 ________．答案(2,3)分析∵ A＝ { x|2＜ x＜ 4} ， B＝{ x|(x－ 1)(x－ 3)＜ 0} ＝ { x|1＜ x＜ 3} ，∴A∩B＝ { x|2＜ x＜ 3} ＝ (2,3)．2．设会合M＝ { x|x2＋ 2x＝0， x∈R} ，N＝ { x|x2－ 2x＝ 0， x∈R} ，则 M∪N＝ ________．答案{ － 2,0,2}分析先确立两个会合的元素，再进行并集运算．会合M＝{0 ，－ 2} ，N＝ {0,2} ，故 M∪ N＝ { －2,0,2} ．3．已知会合M＝ { x|－ 3<x≤ 5} ， N＝ { x|x<－ 5 或 x>4} ，则 M∪ N 等于 ________．答案{ x|x<－ 5 或 x>－ 3}分析在数轴上表示会合M 和 N，如下图，则数轴上方所有“线”下边的部分就是M∪ N＝ { x|x<－5 或 x>－ 3} ．4．若会合 A={ x∈R|ax2+ax+1=0} 中只有一个元素 ,则 a=________ ．答案4分析a＝ 0 时， ax2 +ax+1=0 无解，此时， A=，不合题意；a≠0时，由题意得方程 ax＝ a2－ 4a＝02＋ax＋ 1＝ 0 有两个相等实根，则，解得 a＝ 4.a≠05．已知全集 U {0,1,2,3,4} ，会合 A{1,2,3}， B {2,4} ，则( e U A) B = ________．答案{0,2,4}分析∵ e U A ＝{0,4}，( e A) B ＝{0, 2,4}.U6．已知会合A {1,2,3, 4} , B{ x | x n2 , n A} ,则 A B ________．答案{1,4}分析∵ x＝ n2， n∈ A，∴ x＝ 1,4,9,16.∴B＝{1,4,9,16} ．∴ A∩B＝ {1,4} ．7．知足条件 {0,2} ∪M ＝ {0,1,2} 的所有会合M 的个数为 ________．答案4分析由题可知会合M 中必有 1，知足条件的M 能够为 {1} ， {0,1} ，{2,1} ， {0,1,2} 共 4 个．8．已知会合A＝ {1,3 ，m} ， B＝ {1 ， m} ，A∪ B＝A，则 m＝ ________．答案0 或3分析∵ A∪ B＝ A，∴ B? A，∵ A＝ {1,3 ，m} ， B＝ {1 ， m} ，∴ m∈ A，故 m＝m或 m＝ 3，解得 m＝ 0 或 m＝ 3 或 m＝ 1，又依据会合元素的互异性m≠1，因此 m＝ 0 或 m＝ 3.9．设全集 U＝ {1,2,3,4,5,6} ， A＝{1,2} ， B＝ {2,3,4} ，则 A∩ (?U B)等于 ________．答案{1}分析∵ ?U B＝ {1,5,6} ，∴A∩ (?U B)＝ {1,2} ∩ {1,5,6} ＝ {1}.10．已知 A＝ {3,5,6,8} 且会合 B 知足 A∩B＝ {5,8} ， A∪ B＝ {2,3,4,5,6,7,8}，则这样的会合 B 有________个．答案4分析∵ A∩B＝ {5,8} ，∴ 5,8∈ B，又∵ A∪ B＝ {2,3,4,5,6,7,8} 而 A＝ {3,5,6,8} ，∴ 2,4,7∈ B，∴ 3,6 能够属于 B，也可不属于 B．∴这样的 B 有 22＝ 4(个 )．11．若会合 A＝ { x|－ 5＜ x＜ 2} ， B＝ { x|－ 3＜ x＜ 3} ，则 A∩ B 等于．答案 { x|－ 3<x<2}分析由题意，得 A∩B＝ { x|－ 5< x<2} ∩ { x|－ 3< x<3} ＝ { x|－ 3<x<2} ．12．已知会合 A＝ { x|x＝ 3n＋ 2， n∈N } ， B＝{6,8,10,12,14} ，则会合 A∩B 中元素的个数为答案2分析A＝ { ， 5,8,11,14,17 } ， B＝ {6,8,10,12,14} ，会合 A∩B 中有两个元素．13．已知 A＝ { x|2a<x≤ a＋8} ，B＝ { x|x<－ 1 或 x>5} ，若 A∪ B＝R，则 a 的取值范围是 ________．答案－ 3≤ a<－12分析2a<－ 1，1∵ B＝ { x|x<－ 1 或 x>5} ， A∪ B＝R，∴解得－ 3≤ a<－2.a＋ 8≥5，。

专题对点练7导数与不等式及参数范围专题对点练第7页1.(2017全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,错误!未找到引用源。

·…·错误!未找到引用源。

<m,求m 的最小值.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f错误!未找到引用源。

=-错误!未找到引用源。

+a ln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f'(x)=1-错误!未找到引用源。

知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+错误!未找到引用源。

得ln错误!未找到引用源。

.从而ln错误!未找到引用源。

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+…+ln错误!未找到引用源。

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=1-错误!未找到引用源。

<1.故错误!未找到引用源。

<e.而错误!未找到引用源。

>2,所以m的最小值为3.2.设f(x)=ax2-a+错误!未找到引用源。

,g(x)=错误!未找到引用源。

+ln x.(1)设h(x)=f(x)-g(x)+错误!未找到引用源。

,讨论y=h(x)的单调性;(2)证明对任意a∈错误!未找到引用源。

,∃x∈(1,+∞),使f(x)<g(x)成立.(1)解由h(x)=f(x)-g(x)+错误!未找到引用源。

=ax2-ln x-a(x>0),则h'(x)=2ax-错误!未找到引用源。

.①a≤0时,h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)递减;②a>0时,令h'(x)>0,解得x>错误!未找到引用源。