(浙江专用)2020版高考数学一轮复习专题2函数概念与基本初等函数Ⅰ第5练分段函数练习

专题二函数概念与基本初等函数【真题典例】2.1函数及其表示挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的概念及其表示1.了解函数、映射的概念,会求一些简单的函数定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.2015浙江,7 函数的概念★★★分段函数及其应用了解简单的分段函数,并能简单应用.2018浙江,15分段函数及其应用函数的零点、不等式的解法★★★2015浙江文,12分段函数及其应用函数的最值2014浙江,15分段函数及其应用复合函数分析解读 1.考查重点仍为函数的表示法,分段函数等基本知识点,考查形式有两种,一种是给出分段函数表达式,求相应的函数值或相应的参数值(例: 2014浙江15题);另一种是定义一种运算,给出函数关系式考查相关的数学知识(例: 2015浙江7题).2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,能运用求值域的方法解决最值问题.3.函数值域和最值是高考考查的重点,常以本节内容为背景结合其他知识进行考查,如解析式与函数最值相结合(例:2015浙江7题).4.函数的零点也是常考的知识点,常常与不等式结合在一起考查(例:2018浙江15题).5.预计2020年高考试题中,考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大,特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查,复习时应重视.破考点【考点集训】考点一函数的概念及其表示1.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)= +,则f(0)+f(2 017)的最大值为()A.1-B.1+C.D.答案 B2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,17)已知a>0,函数f(x)=|x2+|x-a|-3|在区间[-1,1]上的最大值是2,则a=.答案3或考点二分段函数及其应用1.(2017浙江宁波二模(5月),6)设f(x)=则函数y=f(f(x))的零点之和为()A.0B.1C.2D.4答案 C2.(2018浙江台州高三期末质检,8)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上恰有两个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.[1,3)B.(1,3]C.[2,3)D.(3,+∞)答案 A炼技法【方法集训】方法1 求函数定义域的方法1.(2015湖北,6,5分)函数f(x)=+lg的定义域为()A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案 C2.已知函数f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是()A.(-∞,-2)∪(-2,3]B.[-8,-2)∪(-2,1]C.∪(-2,0]D.答案 C方法2 求函数解析式的方法(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R的函数f(x)满足f(f(x)+f(y))=2f(x)+4y-3,则当x>0时,函数f(x)的取值范围是.答案(-1,+∞)方法3 求函数值域的方法1.(2018浙江杭州重点中学第一学期期中,16)若函数f(x)=(-x2-2x+3)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的值域为.答案(-∞,16]2.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义:max{a,b}=已知函数f(x)=max{|2x-1|,ax2+b},其中a<0,b∈R.若f(0)=b,则实数b的取值范围为;若f(x)的最小值为1,则a+b=.答案[1,+∞);1方法4 分段函数的相关处理方法1.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数f(x)=若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则b+c=;方程f(x)=x的所有实根的和为.答案6;-12.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),12)已知函数f(x)=则f()+f=,若f(x)=-1,则x=.答案;-1或±过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一函数的概念及其表示(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有()A.f(sin 2x)=sin xB.f(sin 2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案 D考点二分段函数及其应用1.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)2.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))=, f(x)的最小值是.答案-;2-63.(2014浙江文,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=.答案4.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]5.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=思路分析(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.6.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的概念及其表示1.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为()A. B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)答案 C2.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1答案 A3.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=的定义域为.答案[2,+∞)4.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]5.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案①③④考点二分段函数及其应用1.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D2.(2017山东文,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4C.6D.8答案 C3.(2015湖北,6,5分)已知符号函数sgn x=f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgn xB.sgn[g(x)]=-sgn xC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]答案 B4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为.答案5.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x的取值范围是.答案C组教师专用题组考点一函数的概念及其表示(2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案 C考点二分段函数及其应用1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12答案 C2.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是()A. B.[0,1] C. D.[1,+∞)答案 C3.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案 D【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,7)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是()A.y=sin xcos x+cos2xB.y=ln x+e xC.y=2xD.y=x2-2x答案 B2.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知函数f(x)=且f=0,则不等式f(x)>m的解集为()A. B.C. D.(-1,+∞)答案 C3.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),8)已知函数f(x)=+bcosx+x,且满足f(1-)=3,则f(1+)=()A.2B.-3C.-4D.-1答案 D4.(2018浙江宁波模拟,9)已知a为正常数, f(x)=若存在θ∈,满足f(sin θ)=f(cosθ),则实数a的取值范围是()A. B.C.(1,)D.答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)5.(2019届浙江温州高三适应性检测,15)已知函数f(x)=当λ=5时,不等式f(x)<-1的解集是;若函数f(x)的值域是R,则实数λ的取值范围是.答案(-4,-1)∪(8,+∞);(-∞,-2]∪[2,+∞)6.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,16)已知函数f(x)=的最小值为a+1,则实数a的取值范围为.答案{-2-2}∪[-1,1]7.(2018浙江诸暨高三上学期期末,17)已知a,b∈R,f(x)=|2+ax+b|,若对于任意的x∈[0,4], f(x)≤恒成立,则a+2b=.答案-2三、解答题(共30分)8.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)=(1)求f及x∈[2,3]时函数f(x)的解析式;(2)若f(x)≤对任意的x∈(0,3]恒成立,求实数k的最小值.解析(1)f=-f=f=×=.当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],所以f(x)= [(x-2)-(x-2)2]= (x-2)(3-x).(2)要使f(x)≤,x∈(0,3]恒成立,只需k≥[xf(x)]max,x∈(0,3]即可.当x∈(0,1]时,f(x)=x-x2,则对任意的x∈(0,1],xf(x)=x2-x3.令h(x)=x2-x3,则h(x)max=h=;当x∈(1,2]时,xf(x)=-x[(x-1)-(x-1)2]=x(x-1)·(x-2)≤0;当x∈(2,3]时,xf(x)= x[(x-2)-(x-2)2],令x-2=t,则t∈(0,1],记g(t)= (t+2)(t-t2),t∈(0,1].则g'(t)=- (3t2+2t-2),令g'(t)=0,得t0=(负值舍去),故存在t0=使得函数g(t)在t=t0处取得最大值,为.又>,所以当k≥时, f(x)≤对任意的x∈(0,3]恒成立,故实数k的最小值为.9.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R恒有f(x)≤g(x)成立.(1)求证:g(x)>0恒成立;(2)设b=0时,记h(x)=(x∈[2,+∞)),求函数h(x)的值域;(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式g(c)-g(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值. 解析(1)证明:f(x)≤g(x)恒成立,即x2+(b-2) x+c-b≥0,∴Δ=(b-2)2-4(c-b)≤0,∴b2-4c+4≤0,∴b2-4c≤-4<0,∴g(x)>0恒成立.(2)∵b=0,∴h(x)=,由(1)知c≥1.当1≤c≤4时,h(x)在[2,+∞)上为增函数,∴h(x)的值域为;当c>4时,h(x)在[2,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数,∴h(x)的值域为[,+∞).综上,1≤c≤4时,h(x)的值域为,c>4时,h(x)的值域为[,+∞).(3)由(1)推得b2-4c+4≤0,∴4c-4b≥b2-4b+4=(b-2)2≥0,∴c-b≥0,同理,c+b≥0,又g(c)-g(b)≤M(c2-b2),即(c+2b)(c-b)≤M(c2-b2),当c2=b2时,(c+2b)(c-b)=0或-2b2,∴M∈R;当c-b>0且c+b>0时,M≥=1+恒成立,∴只需求当c>b>0时,的最大值即可,而=,∵>1,∴<,∴M≥,即M的最小值为.。

【步步高】（某某通用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3．对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a.4．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) (5)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( √ ) (6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )1．(2015·某某)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x答案 D解析 对于D ，f (x )＝e x－e －x的定义域为R ，f (－x )＝e －x－e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．故选D.2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．(2015·某某)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a 答案 B解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0，所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.4．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－f x，则f (7)＝________；f (2 014)＝________.答案 15 －5解析 由f (x ＋3)＝1－fx ，得f (x ＋6)＝1－fx ＋3＝f (x )，故函数f (x )是周期为6的周期函数．故f (7)＝f (1)＝15，f (2 014)＝f (6×335＋4)＝f (4)＝1－f 1＝1－15＝－5.5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．∴函数为奇函数．思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的X围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(2)函数f(x)＝log a(2＋x)，g(x)＝log a(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是( )A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数答案(1)C (2)B解析(1)易知f(x)|g(x)|定义域为R，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴f(x)|g(x)|为奇函数．(2)F(x)，G(x)定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )，G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数． 题型二 函数的周期性例2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)337 (2)2.5解析 (1)∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝337. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1fx ＋2＝－1－1f x＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ，②若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ， ③若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝________________________________________________________________________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)C (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.故选C.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)(2015·某某一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值X 围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 (1)A (2)D解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．(ii)若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e2ax ＋3x (e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0， 解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值X 围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误．解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x ) ＝k －2x2x ＋k ＋k ·2x－1·1＋k ·2x1＋k ·2x 2x＋k＝k 2－122x＋11＋k ·2x2x＋k. 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域． (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防X]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x －2－x2D ．y ＝log 22－x 2＋x答案 A解析 对于A ，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B ，函数y ＝cos 2x 在区间(1,2)上不是增函数；对于C ，函数y ＝2x－2－x2不是偶函数；对于D ，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数，故选A.2．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 D解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 A解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 答案 A解析 由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A. 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝122－1＋21－1＋20－1＝ 2. 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞答案 A解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53.12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.13．已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，如果直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝f (x )恰有两个不同的交点，则实数a 的值为( )A ．2k (k ∈Z )B ．2k 或2k ＋14(k ∈Z ) C ．0 D ．2k 或2k －14(k ∈Z ) 答案 D解析 ∵原函数是偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，所以f (－x )＝(－x )2，所以f (x )＝x 2，即当－1≤x ≤0时，f (x )＝x 2；当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.又f (x )的周期为2，故作出函数f (x )的图象，如图所示．观察可得a ＝2k 或2k －14. 14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确结论的序号是________． 答案 ①②⑤解析 对于①，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，故2是函数f (x )的一个周期，故①正确；对于②，由于函数f (x )是偶函数，且函数f (x )是以2为周期的函数，则f (2－x )＝f (x －2)＝f (x )，即f (2－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故②正确；对于③，由于函数f (x )是偶函数且在[－1,0]上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f (x )在[0,1]上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f (x )是以2为周期的函数且在[－1,0]上为增函数，由周期函数的性质知，函数f (x )在[1,2]上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f (x )是以2为周期的函数，所以f (2)＝f (0)，故⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值X 围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值X 围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

高考数学一轮复习学案：第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②a r as ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0且a ≠1) a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)指数函数y ＝a x 与y ＝b x的图象特征，在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a －x是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝a x 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )(5)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(6)若a m<a n(a >0，且a ≠1)，则m <n .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [诊断自测]1．化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2yB ．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2y解析：选D ．因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y |＝－2x 2y .2．已知当x >0时，函数f (x )＝(3a －2)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 解析：选C ．根据指数函数性质知3a －2>1，解得a >1.故选C ．3．若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________．解析：由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝ 2.答案： 24．已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则实数a 的值为________．解析：当0<a <1时，a －a 2＝a2，所以a ＝12或a ＝0(舍去)．当a >1时，a 2－a ＝a2，所以a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.答案：12或32指数幂的化简与求值(自主练透)1．若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a －14)4＝1a解析：选D ．对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a －14)4＝1a.2．计算：－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12＝________．解析：原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－323－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12＝－49＋49＋105＝10 5.答案：10 53．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )＝________． 解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a＝3， 所以(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f (2a )＝22a＋2－2a＝7.答案：74．化简：a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ·3a 25a ·3a ＝________(a >0)．解析：原式＝a 13[(a 13)3－(2b 13)3](a 13)2＋a 13·(2b 13)＋(2b 13)2÷a 13－2b 13a ×(a ·a 23)12(a 12·a 13)15＝a 13(a 13－2b 13)×aa 13－2b 13×a 56a 16＝a 2. 答案：a2[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．指数函数的图象及应用(典例迁移)(1)已知y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，y 2＝3x ，y 3＝10－x ，y 4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为( )(2)若函数y ＝|3x－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)y 2＝3x与y 4＝10x在R 上单调递增；y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 与y 3＝10－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在R 上单调递减，在第一象限内作直线x ＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A ．(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】 (1)A (2)(－∞，0] 【迁移探究】1．(变条件)本例(2)变为：若函数f (x )＝|3x－1|－k 有一个零点，则k 的取值范围为________．解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x －1|的图象如图所示，故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞)2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解1．函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：选D ．由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．解析：方程|a x－1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 比较指数幂的大小(2021·福建质量检测)已知a ＝0.30.6，b ＝0.30.5，c ＝0.40.5，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．c >b >a【解析】 方法一：由指数函数y ＝0.3x 在定义域内单调递减，得a <b ，由幂函数y ＝x 0.5在定义域内单调递增，得c >b ，故选D ．方法二：因为a b ＝0.365<1，且b c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5<1，又a ，b ，c 都为正数，所以c >b >a ，故选D ．【答案】 D比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．角度二 解指数方程或不等式若2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18 D ．[2，＋∞)【解析】 因为2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2＝24－2x，则x 2＋1≤4－2x ，即x 2＋2x －3≤0， 所以－3≤x ≤1，所以18≤y ≤2.【答案】 B解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．角度三 研究指数型函数的性质(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为________． (2)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．【解析】 (1)设u ＝－x 2＋2x ＋1，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， 所以函数f (x )的减区间为(－∞，1]．(2)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，m 2上单调递减．而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．【答案】 (1)(－∞，1] (2)(－∞，4]求指数型复合函数的单调区间和值域的方法(1)形如y ＝af (x )(a >0，且a ≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u ＝f (x )，先求出u ＝f (x )的值域，再利用y ＝a u 的单调性求出y ＝a f (x )的值域．(2)形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D ，再分两种情况讨论：当a >1时，若f (x )在区间(m ，n )上(其中(m ，n )⊆D )具有单调性，则函数y ＝a f (x )在区间(m ，n )上的单调性与f (x )在区间(m ，n )上的单调性相同；当0<a <1时，若f (x )在区间(m ，n )上(其中(m ，n )⊆D )具有单调性，则函数y ＝a f (x )在区间(m ，n )上的单调性与f (x )在区间(m ，n )上的单调性相反．1．若函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：选A ．由题意知a >1，所以f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由指数函数的单调性知a 3>a 2，所以f (－4)>f (1)．2．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －2|，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B ．将原函数看成复合函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ＝|x －2|，f (x )是关于u 的减函数，u 在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数的性质知，f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．3．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B ．如图是函数y ＝2|x |值域为[1，2]上的图象，使函数y ＝2|x |的值域为[1，2]的区间长度最小的区间为[－1，0]，[0，1]，区间长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.。

第练函数的概念及表示[基础保分练].(·杭州期中)设＝{≤≤}，＝{－≤≤}，函数()的定义域为，值域为，则()的图象可以是( ).给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()＝＋是函数；③函数＝(∈)的图象是一条直线；④()＝与()＝是同一个函数.其中正确的有( )个个个个.(·镇海中学月考)已知单调函数()，对任意的∈都有(()－)＝，则()等于( ).已知函数()＝则()的值为( ).设函数()＝＋，(＋)＝()，则()等于( )＋－－＋.(·宁波期中)如表定义函数()，()：()()则满足(())>(())的的值是( )或或或或.已知()＝则(－＋)等于( ).已知函数()＝满足对任意≠，都有<成立，则实数的取值范围是( ).(，＋∞).(·柳州调研)设函数()＝若(())≤，则实数的取值范围是..(·杭州二中期末)已知函数()＝若＝，则()的值域是；若()的值域是，则实数的取值范围是.[能力提升练].(·金华一中期末)设函数()＝(－)＋，则函数的定义域为( ).(] .(].[) .[).已知函数()＝的定义域为，则实数的取值范围是( ).(，＋∞) .(－∞，).(，＋∞) .(－∞，).已知函数()满足＋(－)＝(≠)，则(－)等于( ).－ .－.已知[]表示不超过实数的最大整数(∈)，如：[－]＝－，[]＝，[]＝，定义{}＝－[]，则＋＋…＋等于( ).(·绍兴一中期中)已知函数()同时满足以下条件：①定义域为；②值域为[]；③()－(－)＝.试写出一个函数解析式()＝..(·浙江省台州中学月考)已知函数()，()，()均为一次函数，若实数满足()－()＋()＝则()＝.答案精析基础保分练.(－∞，]能力提升练[()的定义域为⇒<≤，故<≤<≤，故选.][∵函数()＝的定义域为，∴对任意实数，()－·＋>且()－·＋≠，即>－＋·且≠－＋·＋，∵>，∴－＋·＝－(－)＋≤，则－＋·＋≤，∴>.][根据题意，函数()满足＋(－)＝(≠)，令＝，可得＋(－)＝，①令＝－，可得(－)－＝－，②联立①②解得(－)＝，故选.]()＝或或()＝(答案不唯一)解析函数()定义域为，值域为[]且为偶函数，满足题意的函数解析式()可以为：()＝或或()＝解析设三个函数的一次项系数都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且()，()的零点分别是－，，再进一步分析，可知解得结合零点以及题中所给的函数解析式，可求得()＝＋，()＝，()＝＋，所以可以求得()＝＋＝.。

【关键字】数学（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数教师用书1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数【知识拓展】1．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，)．2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝()n＝a.( ×)(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．( ×)(3)(－1)＝(－1)＝.( ×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( ×)(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．( ×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．( ×)1．(2016·临安中学期末)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( ) A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)答案 B解析由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．2．已知a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是( )A．c<a<b ．a<b<cC．b<a<c ．c<b<a答案 D解析∵y＝()x是减函数，∴()>()>()0，即a>b>1，又c＝()<()0＝1，∴c<b<a.3．计算：×0＋8×－＝________.答案 2解析原式＝×1＋2×2－＝2.4．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．题型一指数幂的运算例1 化简下列各式：(1)[(0.064)－2.5]－ －π0； (2)÷(a －)×.解 (1)原式＝{[()]}－()－1 ＝[()3]－[()3]－1 ＝－－1＝0. (2)原式＝÷× ＝a(a －2b)×× ＝a ×a ×a ＝a2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．化简(14)12-·4ab－130.1－1·a 3·b－312＝________.答案 85解析 原式＝2×23·a 32·b32-10·a 32·b32-＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a<2cD ．2a＋2c<2答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. (2)作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图， ∵a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a<1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c－1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c－1， ∴2a ＋2c<2，故选D.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)(2017·湖州调研)已知函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，则函数g (x )＝ax＋b 的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 (1)A (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )的单调性知0<a <1， 又x ＝0时，a －b>1，x ＝1时，a1－b<1，∴0<b <1，对照图象知g (x )的图象可能是A.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·绍兴模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ． B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)(－3,1)解析 (1)选项B 中，∵y ＝0.6x是减函数，∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， ∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. ∴0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3,1)． 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝22x m-(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221x x -+-的单调减区间为_____________________________________．答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝22x m-在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 引申探究 函数f (x )＝142x x +-的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝142xx +-的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 (1)B (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－1)[－8,1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 2．指数函数底数的讨论典例 (2016·金华模拟)已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________．错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a≤b ＋a t≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2,2 现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1,0]．①若a >1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为增函数， ∴a t∈[1a ，1]，b ＋22x x a +∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为减函数， ∴a t∈[1，1a]，则b ＋22x xa+∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2,2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论. 1．(2016·宁波模拟)设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27 答案 D 解析 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27. 2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A. 故选B.3．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x在R 上为减函数，所以，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝，所以a >b . 综上，a >b >c . 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)答案 C解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故选C.5．(2015·山东)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a ，整理得(a －1)(2x＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x＋12x －1＞3，当x >0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0<x <1； 当x <0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解． ∴x 的取值范围为(0,1)．*6.(2016·富阳模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(0,1] D ．(－∞，1]答案 B解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域为f (x )，x ∈[－2,2]的值域的子集． 经分析知f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]， 当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0.综上可得－1≤a ≤1.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8] 解析 当x <1时，由ex －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由x 13≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是(－∞，8]．8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 答案 (0，12)解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9．(2016·武汉模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．答案 [－14，14] 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]． 故函数的值域为[－14，14]． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2) 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值． 解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12．已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+，令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)． 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)． ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14， 不符合，舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3， 令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合，舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合，舍去． 综上所述，实数λ的值为 2.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲对数与对数函数练好题·考点自测1.[2019某某,5分]在同一直角坐标系中,函数y=,y=log a(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是(A B C D2.[2020全国卷Ⅰ,5分]设alog34=2,则4-a= (A. B. C. D.3.[2020全国卷Ⅱ,5分]设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (A.是偶函数,且在(,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(-,)单调递减C.是偶函数,且在(-∞,-)单调递增D.是奇函数,且在(-∞,-)单调递减4.[2020全国卷Ⅲ,5分]已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b5.[多选题]下列说法正确的是(A.若MN>0,则log a(MN)=log a M+log a NB.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数C.函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同D.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(,-1),函数图象只在第一、四象限6.[2019全国卷Ⅱ,5分]已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=.7.[2018全国卷Ⅲ,5分]已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.b=b a,则a=,b=.a b+logb a=,a拓展变式1.[2021某某省四校联考]已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab= (2.(1)[2019某某,5分]已知a=log52,b=log,则a,b,c的大小关系为(A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)[2020某某,5分]已知函数f(x)=lg(x2 -4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值X围是(A.(-∞,-1]B.(-∞,2]C.[2,+∞)D.[5,+∞)3.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.4.[多选题]设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则,,的大小关系可能是(A.<<B.<<C.==D.<<答案第五讲对数与对数函数1.D 解法一若0<a<1,则函数y=是增函数,y=log a(x+)是减函数且其图象过点(,0),结合选项可知,选项D可能成立;若a>1,则y=是减函数,而y=log a(x+)是增函数且其图象过点(,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D.解法二分别取a=和a=2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.2.B 解法一因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a==,故选B.解法二因为alog34=2,所以a===log49,所以4-a==,故选B.解法三令4-a=t,两边同时取对数得log34-a=log3t,即-alog34=log3t,即alog34=-log3t=log3,因为alog34=2,所以log3=2,所以=32=9,所以t=,即4-a=,故选B.3.D 由得函数f(x)的定义域为(-∞,-)∪(-,)∪(,+∞),其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当x∈(-,)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.当x∈(-∞,-)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln(1+),易知函数f(x)单调递减,故选D.4.A 55<84⇒ln 55<ln 84⇒5ln 5<4ln 8,所以>=log85=b;同理134<85⇒ln 134<ln 85⇒4ln 13<5ln 8,所以<=log138=c;34<53⇒ln 34<ln 53⇒4ln 3<3ln 5,所以>=log53=a;83<54⇒ln 83<ln 54⇒3ln 8<4ln 5,所以<=log85=b.综上可知,a<<b<<c,故选A.5.CD 对于A,当M<0,N<0时不成立;对于B,当0<a<1时,y=log a x在(0,+∞)上是减函数,故B 不成立;对于C,函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域均为(-1,1),故C正确;对于D,由对数函数的图象与性质可知D正确.故说法正确的是CD.6.-3 当x>0时,-x<0, f(-x)=-e-ax.因为函数f(x)为奇函数,所以当x>0时, f(x)=-f(-x)=e-ax,所以f(ln 2)=e-aln 2=()a=8,所以a=-3.7.-2解法一由f(a)=ln(-a)+1=4,得ln(-a)=3,所以f(-a)=ln(+a)+1=-ln+1=-ln(-a)+1=-3+1=-2.解法二因为f(x)=ln(-x)+1,所以f(x)+f(-x)=ln(-x)+ln(+x)+2=2.故f(a)+f(-a)=2,所以f(-a)=2-4=-2.8.4 2 因为a>b>1,所以log a b∈(0,1).因为log a b+log b a=,即log a b+=,所以log a b=或log a b=2(舍去),所以=b,即a=b2.所以a b==b2b=b a,所以a=2b,所以b2=2b,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b2=4.1.D 设log2a=log3b=t,则a=2t,b=3t,所以a+b=2t+3t=5.因为函数f(t)=2t+3t为增函数,且f(1)=5,所以t=1,所以a=2,b=3,所以ab=6,故选D.2.(1)A 因为a=log52<log5=1=,故a<c;因为b=log0.2>log0=1,故c<b.所以a<c<b.故选A.(2)D 由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).又函数y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5,故选D.3.6 10 000 根据题意,由lg 1 000-lg 0.001=6得此次地震的震级为6级,因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震的最大振幅为A9,则lg A9-lg 0.001=9,解得A9=106,同理可得5级地震的最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.4.ACD 取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知==,选项C可能成立.取x=4,则由log2x=log3y=log5z得y=9,z=25,此时易知<<,选项A可能成立.取x=,则由log2x=log3y=log5z得y=,z=,此时易知<<2x=log3y=log5z=k,则x=2k,y=3k,z=5k,所以=2k-1,=3k-1,=5k-1,无论k取何值,<<均不成立,即选项B不可能成立.综上可知,选ACD.。

【关键字】数学（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书1．函数与映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】1．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广．2．函数图象的特征：与x轴笔直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ×)(3)映射是特殊的函数．( ×)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( ×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ×)1．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )答案 B解析A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.2．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝答案 D解析函数y＝10lg x的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝，故选D.3．已知f()＝x2＋5x，则f(x)＝________.答案(x≠0)解析令＝t(t≠0)，则f(t)＝＋5＝，∴f(x)＝(x≠0)．4．(2016·诸暨期末)已知函数f(x)＝则f[f(0)]＝________；若f[f(x0)]＝2，则x0＝________.答案 6 2或－2解析由题意知f(0)＝4，f(4)＝6，设f(x0)＝t，则f(t)＝2，当t>0时，－t＋10＝2，得t＝8，当t<0时，t2＋4＝2，无解，当x0>0时，由－x0＋10＝8，得x0＝2，当x0≤0时，由x＋4＝8，得x0＝－2，所以x0＝2或－2.题型一函数的概念例1 有以下判断：①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f(x)定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f(x)的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f(x)的图象只有一个交点，即y ＝f(x)的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f ＝－＝0，所以f ＝f(0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列所给图象中函数图象的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2答案 (1)B (2)D解析 (1)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同．故选D.题型二 函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域例2 (2016·临安中学一模)(1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是________． 答案 (1)A (2)[0,1)解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.所以函数f (x )的定义域为(－3,0]． (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1， 又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)． 引申探究例2(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域为________________． 答案 [12，1)∪(1，32]解析 由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1,3]，令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32]．命题点2 已知函数的定义域求参数范围 例3 (1)若函数f (x )2221x ax a+--R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ， 所以22210x ax a+--≥对x ∈R 恒成立，即22022x ax a+-≥，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. (2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．(1)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝12(2)log (2)f x x -的定义域为( ) A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)(2)若函数y ＝ 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)答案 (1)B (2)D 解析 (1)要使函数y ＝12(2)log (2)f x x -有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，12log (2)0x ->⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝4m 2－4×m ×3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 4m －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 4m －3<0.解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34，故选D.题型三 求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x)·x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )·1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )·x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )． 解 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1， ∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1， 代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1， 可得f (x )＝－x ＋14.2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意．当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意．(2)由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)－34(2)C1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C解析 A 项中两函数的定义域不同；B 项、D 项中两函数的对应关系不同，故选C. 2．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]答案 D解析 要使函数f (x )有意义， 则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，x >1，x ≠2，解得1<x <2或2<x ≤10，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法) 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，故选B.4．(2015·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于( )A ．－1 B.14 C.12 D.32答案 C解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 5．(2016·余杭六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2答案 B解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2， 故选B.*6.(2016·嘉兴期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是[－1，12)．7．(2016·济南模拟)已知函数f (1－x1＋x )＝x ，则f (2)＝________.答案 －13解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x ，∴f (2)＝1－21＋2＝－13.8．(2017·金华十校调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (2))＝________，值域为______． 答案 2 (－1,2]解析 ∵f (2)＝f (1)＝2，∴f [f (2)]＝f (2)＝2. 又x >1时，f (x )＝f (x －1)，∴f (x )的值域即为x ≤1时函数值的范围．又x ≤1时，－1<3x－1≤2，故f (x )的值域为(－1,2]． 9．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3 解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. *10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋1，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值． 解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32， 当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4， 得a ＝5或a ＝－5(舍去)．综上所述，a ＝32或a ＝ 5. 12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1. (1)求f 2f 12的值；(2)求f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)的值． 解 (1)∵f (2)＝35，f (12)＝－35， ∴f 2f 12＝－1.(2)∵f (1x )＝1x 2－11x 2＋1＝1－x 2x 2＋1＝－f (x )， ∴f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…，f (2 017)＋f (12 017)＝0， 故f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝0. 13．(2016·嘉兴期末)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n 且f (0)＝f (1)，∴n ＝1＋m ＋n ，∴m ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋n .∵方程x ＝f (x )有两个相等的实数根，∴方程x ＝x 2－x ＋n 有两个相等的实数根，即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4n ＝0，∴n ＝1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由(1)，知f (x )＝x 2－x ＋1.此函数的图象是开口向上，对称轴为直线x ＝12的抛物线，∴当x ＝12时，f (x )有最小值f (12)． ∴f (12)＝(12)2－12＋1＝34， ∵f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，∴当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是[34，7]．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。