(浙江专版)高考数学一轮复习 坐标系限时集训 理

小题专项集训?十?　直线与圆(建议用时：40分钟　分值：75分) 1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )． A．1 B. C. D．2 解析　直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0间的距离d＝＝，故应选B. 答案　B 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )． A．D＋E＝2 B．D＋E＝1 C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，－－＝1，即D＋E＝－2，故应选D. 答案　D 3．(2012·济南二模)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( )． A．－3或－1 B．3或1 C．－3或1 D．－1或3 解析　l1l2?k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0(1－k)(k＋3)＝0k＝1或k＝－3. 答案　C 4．圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )． A．2x－y－5＝0 B．x－2y－1＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y－4＝0 解析　由已知条件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，此时圆x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，则直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即得x＋y－4＝0，故应选D. 答案　D 5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )． A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析　依题意得圆心坐标是(0,2)，因此所求圆的方程是x2＋(y－2)2＝1，选A. 答案　A 6．(2012·乌鲁木齐三模)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )． A. B. C. D. 解析　易知圆的圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是. 答案　B 7．(2013·安徽省江南十校联考)若点P(1,1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )． A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 解析　易知圆的圆心为C(3,0)；据圆的垂径定理知MNPC.∵kPC＝－，kMN＝2.直线MN方程为：y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案　D 8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A．30 B．18 C．6 D．5 解析　由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3.则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：＋3＝5＋3，最小距离为：5－3，故最大距离与最小距离的差为6. 答案　C 9．(2012·宁德模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )． A．4 B．2 C. D. 解析　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，由直线被圆截得的弦长为4可知直线通过圆心，即2a·(－1)－b·2＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案　A 10．(2013·豫东、豫北十所名校联考)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )． A．(x－2)2＋2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－3)2＝2 D．(x－)2＋(y－)2＝9 解析　设所求圆的圆心坐标是(a>0)，则点(a>0)到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝≥＝3，当且仅当3a＝，即a＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是，半径是3，所求圆的方程为(x－2)2＋2＝9，选A. 答案　A 11．(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________． 解析　分两种情况：(1)直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；(2)l不过原点时，设方程为＋＝1，将x＝－2，y＝3代入得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上：l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0. 答案　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0 12．(2012·长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________． 解析　l1∥l2，可设直线l1：3x＋4y＋b＝0. l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，＝1， b＝9或b＝－1， l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 答案　3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 13．过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________． 解析　易知PA的斜率kPA＝＝－1，PB的斜率kPB＝＝1，又直线l与线段AB没有公共点． 直线l的斜率k的取值范围为k1， 结合正切函数图象得倾斜角的范围是. 答案 14．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为________． 解析　由题意得，当CMAB时，ACB最小，从而直线方程y－1＝－，即2x－4y＋3＝0. 答案　2x－4y＋3＝0 15．(2013·苏州一模)过直线y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________． 解析 如图，据题意， 1＝2，3＝4； 1＋2＋3＋4＝180°， 2∠2＋23＝180°， 2＋3＝90°， CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝＝3. 答案　3。

限时集训 (三十八 ) 数学概括法(限时：50 分钟满分： 106 分 )一、选择题(共8 个小题，每题5 分，共40 分)1．假如命题 P(n)对n ＝k建立，则它对n ＝ k ＋ 2 也建立，若P(n)对n ＝ 2 也建立，则下列结论正确的选项是 ( )A ． P(n)对所有正整数 n 都建立B ． P(n)对所有正偶数 n 都建立C ． P(n)对所有正奇数 n 都建立D ． P(n)对所有自然数 n 都建立n ＋22n ＋ 11－ a2．用数学概括法证明“ 1＋ a ＋ a ＋ ＋ a＝(a ≠ 1)”，在考证 n ＝ 1 时，左端计算所得的项为 ()A ． 1B ． 1＋ a223C ． 1＋ a ＋aD ． 1＋ a ＋ a ＋ a1 11*3．利用数学概括法证明不等式 1＋ 2＋ 3＋ ＋2n － 1<f(n)(n ≥ 2，n ∈ N ) 的过程， 由 n ＝ k到 n ＝ k ＋ 1 时，左侧增添了 ( )A ．1项B ． k 项C ． 2k －1 项D ． 2k 项4．关于不等式 n 2＋ n<n ＋ 1(n ∈ N * )，某同学应用数学概括法的证明过程以下：(1)当 n ＝ 1 时，12＋ 1<1 ＋ 1，不等式建立．(2)假定当 n ＝ k(k ∈ N * )时，不等式建立，即k 2＋k <k ＋ 1 ， 则 当n ＝ k ＋ 1时 ，k ＋ 1 2 ＋ k ＋1 ＝k 2＋ 3k ＋2<k 2＋ 3k ＋ 2 ＋ k ＋2 ＝ k ＋ 2 2＝( k ＋ 1)＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式建立． 则上述证法 ( )A ．过程所有正确B ． n ＝ 1 验得不正确C ．概括假定不正确D ．从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理不正确5．用数学概括法证明“当n 为正奇数时， x n ＋y n 能被 x ＋ y 整除”的第二步是 ()A ．假定 n ＝ 2k ＋ 1 时正确，再推 n ＝ 2k ＋3 时正确 ( 此中 k ∈ N * )B ．假定 n ＝2k － 1 时正确，再推 n ＝ 2k ＋1 时正确 (此中 k ∈ N *)C ．假定 n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋ 1 时正确 (此中 k ∈ N *)D ．假定 n ≤ k(k ≥ 1)时正确，再推n ＝k ＋ 2 时正确 ( 此中 k ∈ N * )6．用数学概括法证明 1＋ 2＋22＋ ＋ 2n －1＝ 2n － 1(n ∈ N * )的过程中， 第二步假定当 n ＝ k时等式建立，则当n ＝ k ＋ 1 时应获得 ( )A ． 1＋ 2＋22＋ ＋ 2k － 2＋2k － 1＝2k ＋1－ 1B ． 1＋ 2＋22 ＋ ＋ 2k ＋ 2k ＋ 1＝ 2k － 1－ 1＋2k ＋1 C ． 1＋ 2＋22 ＋ ＋ 2k － 1＋ 2k ＋ 1＝ 2k ＋1－1D ． 1＋ 2＋2 2＋ ＋ 2k － 1＋2k ＝ 2k － 1＋ 2k7．在数列 { a n } 中， a 1＝1，且 S n ＝ n(2n －1)a n ，经过求 a 2， a 3，a 4 ，猜想 a n 的表达式为3()11A. n － 1 n ＋ 1B.2n 2n ＋ 1C.2n － 1 112n ＋ 1D.2n ＋ 1 2n ＋ 2n ＋1**8．设函数 f(n)＝ (2n ＋9) ·3 ＋ 9，当 n ∈N 时， f(n)能被 m(m ∈ N )整除，猜想 m 的最大值为()A ． 9B ． 18C ． 27D ． 36二、填空题 (共 6 个小题，每题4 分，共 24 分)9．用数学概括法证明“ 2n >n 2＋1 关于 n ≥ n 0 的正整数 n 都建立”时，第一步证明中的开端值 n 0 应取 ________．10．二维空间中圆的一维测度(周长 )l ＝ 2πr ，二维测度 (面积 )S ＝πr 2 ，察看发现 S ′＝ l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝ 4πr 2，三维测度(体积 )V ＝4πr 3，察看发现3V ′＝ S.则四维空间中“超球”的三维测度V ＝ 8πr 3，猜想其四维测度W ＝ ________.11．察看以下等式：12＋22＝2 2＋ 12× 2＋1，612＋ 22＋ 32＝3 3＋12× 3＋ 1，622＋ 3 2＋ 4 2＝ 4 4＋1 4×2＋1， ，依据上述规律可得12 222＝1 ＋2 6＋ 2 ＋ 3＋ ＋ n________.12．以下图案由边长相等的黑白两色正方形按必定规律拼接而成，依此规律， 第 n 个图案中白色的正方形的个数为________．13．对大于或等于2 的自然数m 的 n 次方幂有以下分解方式：222333＋ 15＋ 17＋ 19.2 ＝ 1＋3,3 ＝ 1＋ 3＋5,4 ＝ 1＋ 3＋5＋ 7； 2 ＝3＋ 5,3 ＝ 7＋ 9＋ 11,4 ＝ 13 依据上述分解规律， 若 n 2＝ 1＋ 3＋ 5＋ ＋ 19, m 3(m ∈ N *)的分解中最小的数是21，则 m＋ n 的值为 ______．14．若数列 { a n } 的通项公式a n ＝ 12，记 c n ＝ 2(1－ a 1)(1 － a 2) (1－ a n )，试经过计算n ＋ 1c 1，c 2， c 3 的值，推断 c n ＝ ________.三、解答题 (共 3 个小题，每题14 分，共 42 分)15．用数学概括法证明： 1 2＋ 32＋ 52＋ ＋ (2n － 1)2＝12n(4n － 1)．31*116．设 0< a<1，定义 a 1＝ 1＋ a ， a n ＋1＝ a n ＋ a ，求证：对随意 n ∈ N ，有 1<a n <1－a .a n ＋ 1＋ a n － 117．已知数列 { a n } ，此中 a 2＝ 6 且a n ＋ 1－ a n ＋ 1＝n.(1)求 a 1， a 3， a 4；(2)求数列 { a n } 的通项公式；(3)设数列 { b n } 为等差数列，此中b n ＝a n且 c 为不等于零的常数，若S n ＝ b 1＋ b 2＋ ＋n ＋ cb n ，求1＋1＋ ＋ 1.S 1 S 2S n答 案[ 限时集训 (三十八 )]1． B 2.C 3.D4.D5.B6.D7.C8.D 9． 5 4n n ＋ 1 2n ＋ 1 10.2 πr11. 6n ＋ 212． 5n ＋ 313.1514.n ＋ 12115． 证明： (1) 当 n ＝1 时，左侧＝ 1 ＝ 1，右侧＝× 1× (4－ 1)＝ 1，等式建立．(2)假定当 n ＝ k(k ∈N *)时等式建立，即 12＋ 32＋ 52＋ ＋(2k － 1)2＝13k(4k 2－1)．2222212 212则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ＋ (2k － 1) ＋ (2k ＋ 1) ＝ 3k(4k － 1)＋ (2k ＋ 1) ＝ 3k(4k －1)＋ 4k 2＋ 4k ＋ 11212＝ 3k[4(k ＋ 1) － 1] － 3k ·4(2k ＋ 1)＋ 4k ＋4k ＋ 1＝ 3k[4(k ＋ 1)2－ 1]＋13(12k2＋ 12k ＋ 3－ 8k 2－ 4k)1＝ 12－1]＋12－ 1]3k[4(k ＋ 1)3[4(k ＋ 1)12－ 1]＝ 3(k ＋ 1)[4( k ＋ 1) ．即当 n ＝ k ＋ 1 时等式也建立．由 (1)， (2) 可知，对全部 n ∈N * ，等式都建立．16． 证明： (1) 当 n ＝1 时， a 1＝ 1＋a>1 ，又 a 1＝1＋ a< 1，明显命题建立．1－ a*1(2)假定 n ＝k(k ∈N )时，命题建立，即 1< a k <.即当 n ＝ k ＋ 1 时，由递推公式，知 a k ＋ 1＝ 1＋ a ，a k1由假定可得 (1－ a)＋ a<a k ＋ a<11＋ a< .1－ a于是当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也建立，1即 1<a k ＋1<.1－ a由 (1)(2)可知，对随意 n ∈N *，1有 1<a n <.1－ aa2＋ a 1－ 1 3＋ a 2－ 1 a4＋ a 3－ 1 17． 解： (1)∵a 2＝ 6， ＝ 1，a＝3，解得＝ 2，a 2－ a1＋ 13－ a2＋ 1a 4－ a3＋ 1aa 1＝ 1，a 3＝15， a 4＝ 28.(2)由上边的 a 1， a 2， a 3， a 4 的值能够猜想 a n ＝ n(2n － 1)．下边用数学概括法加以证明：①当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1× (2－ 1)＝ 1，结论建立．②假定当 n ＝ k 时，结论正确，即a k ＝ k(2k － 1)，k ＋ 1＋ a k －1 则当 n ＝ k ＋ 1 时，有a＝ k ，k ＋1－ a k ＋ 1a∴(k － 1)a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)a k － (k ＋1)＝ (k ＋ 1) ·k(2k － 1)－ (k ＋ 1)＝ (k ＋ 1)(2k 2－ k － 1)＝ (k ＋ 1)(2k ＋ 1)(k － 1)(k － 1≠ 0)．∴a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)[2( k ＋ 1)－ 1]．即当 n ＝ k ＋ 1 时，结论也建立．由①②可知， { a n } 的通项公式a n ＝ n(2n －1) ．(3)∵{ b n } 是等差数列，∴ 2b 2＝ b 1 ＋ b 3，即 2a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 . 2＋ c 1＋ c 3＋ c∵a 1＝ 1，a 2＝ 6， a 3＝ 15 且 c ≠ 0，1由上式解得 c ＝－ 2，b n a n n 2n 11 12n. n2 22n 1S n b1 b2b n n(n 1)111111 S1S2S n1× 2 2×3n n 11 1 112231 1n n 111 n . n1 n 1。

限时集训(三) 函数及其表示 (限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(20xx·南昌模拟)函数y ＝ x (x －1)－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )4．(20xx·温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－145．(20xx·武汉模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1(x ≥0)，1x (x <0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－26．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋37．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]8．(20xx·余姚模拟)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(20xx·福州模拟)函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为________________．10．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 11．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则函数f (3)＝________. 12．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 013)f (2 012)＝________. 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．14．(20xx·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围．16．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．17．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．答 案[限时集训(三)]1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B9．解析：要使函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． 答案：(－∞，－1)∪(－1,1] 10．解析：∵x －4有意义， ∴x －4≥0，即x ≥4.又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)11．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：1112．解析：令b ＝1，∵f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1，∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 013)f (2 012)＝2 012.13．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1) 14．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈(1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6]15．解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1， g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 16．解：(1)令x ＝1，y ＝0，得 f (1)－f (0)＝2. 又因为f (1)＝0，(2)令y ＝0，则 f (x )－f (0)＝x (x ＋1)， 由(1)知，f (x )＝x (x ＋1)＋f (0) ＝x (x ＋1)－2 ＝x 2＋x －2.17．解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0 ⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0 ⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0. ∴g (a )＝2－a |a ＋3| ＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)， 即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.。

限时集训(二十二)解三角形应用举例(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．如图所示，已知两船A和B与海洋观察站C的距离相等，船A在观察站C的北偏东40°，船B在观察站C的南偏东60°，则船A在船B的() A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m5．(2012·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是() A．2 2 km B．3 2 kmC．3 3 km D．2 3 km6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.67．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( ) A.4003m B.2003 m C ．100 m D.400 23m 8.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·南通模拟)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图的一块三角形空地上种植草皮(单位：m)，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要________元．10.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.11．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是______ m.12．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．13．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．14．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距3 2海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．16．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝15 2 m ，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？17.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．答 案[限时集训(二十二)]1．B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.A 8.C9．解析：三角形空地的面积S ＝12×12 3×25×sin 120°＝225，故共需225×120＝27 000元．答案：27 00010．解析：∵由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴x sin 45°＝10sin 60°. ∴x ＝1063m. 答案：1063m11．解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063m. 答案：206312．解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10海里/小时．答案：1013．解析：连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝50 7.答案：50 714．解析：连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝3 2，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝ 13.答案：1315．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2 ＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2 ＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2 ＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 16．解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， 解得AC ＝15 m.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC， 解得BC ＝15(6＋2)2m. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3 m ，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30m ，155＋3m.17．解：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时．(2)法一：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°. 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC， 即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314. 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2 α＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.。

限时集训(十) 函数与方程(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．02．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．73．(2013·宁波模拟)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 5．(2013·金华模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)6．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 3(x ≤0)，⎝⎛⎭⎫13x －log 2x (x >0)，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于08．(2013·洛阳模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x >0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1(－1≤x ≤1)，－|x －2|＋1(1<x ≤3)，若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正实数a 的取值范围是________．10．(2013·杭州七校联考)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在区间为(k ，k ＋1)，(k ∈Z)，则k ＝________.11．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)·x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．16．若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．17．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．限时集训(十一)函数模型及其应用(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()2．(2013·济南模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元3．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m24．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台5．某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，则销售价应定为每件()A．100元B．110元C．150元D．190元6．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是()A．不能确定B．①②同样省钱C．②省钱D．①省钱7．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是()8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()A．[2,4]B．[3,4]C．[2,5]D．[3,5]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·郑州模拟)一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．10．(2013·江南十校联考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是______万元．11．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．12．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________ cm 2.13．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠； 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．14．某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n 年的保养维修费为2 000 (n －1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为________年．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2013·嘉兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？16．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．17．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？限时集训(十二) 变化率与导数、导数的计算(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2．(2013·绍兴模拟)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定3．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角D ．钝角4．已知f (x )＝x (2 011＋ln x )，f ′(x 0)＝2 012，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －16．已知曲线y ＝ln x ，则过点(0，－1)的曲线的切线方程为( ) A ．x －2y －2＝0 B ．x －y －1＝0C ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0D ．2x －3y －3＝07．(2013·临沂模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1B.1eC.2eD.2e8．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝e x －e ，则f ′(1)＝________. 10．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 11．已知三次函数y ＝x 3－x 2－ax ＋b 在(0,1)处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.12．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．13．(2013·杭州七校联考)过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切线的方程为________． 14．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y＝f (x )的解析式．16．(2013·杭州模拟)如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.17．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.限时集训(十三) 导数的应用(Ⅰ)(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点4．(2013·济南模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a <－1eD ．a >－1e5．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6436．(2013·丽水模拟)函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．57．(2013·咸宁模拟)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1D ．－3或18．(2012·福建高考)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝2x －4，则函数f (x －1)的单调递减区间是________． 10．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．12．(2013·温州模拟)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．13．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (1－x )，⎝⎛⎭⎫x －12f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．14．已知a >0，设函数f (x )＝a ln x －2a ·x ＋2a ，g (x )＝12(x －2a )2.则函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．16．已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a ＞0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．17．(2012·天津高考)已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．限时集训(十四) 导数的应用(Ⅱ)(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对3．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3D ．ln 3－14．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．球的直径为d ，其内接正四棱柱体积V 最大时的高为( ) A.22d B.32d C.33d D.23d 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[3，2)D ．(3，2)7．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件8．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若对于区间[－3,2]上任意的x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．0B ．10C ．18D ．20二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数f (x )＝x 3－3x 的极大值与极小值的和为________．10．函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，设t >－2，f (－2)＝m ，f (t )＝n .函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数时，t 的取值范围是________．12．(2013·东北三省四市质检)设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________．14．若函数f (x )＝13x 3－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上不是单调函数，求m 的取值范围．16．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论当a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．设函数f (x )＝x －1x－a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值； (2)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ≤2时，设函数g (x )＝x －ln x －1e ，若在[1，e]上存在x 1，x 2使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．在第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．在第三或第四象限2．已知tan α>0，且sin α＋cos α>0，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．sin 2cos 3tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D ．26．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－27．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 8．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．3二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是________． 10．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为________．11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角有________．13．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．14．(2013·菏泽模拟)已知函数f (x )＝x 2cos θ－ 2 x sin θ＋34，对于任意的实数x 恒有f (x )>0，且θ是三角形的一个锐角，则θ的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求α的三角函数值．16．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .17．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．限时集训(十六) 同角三角函数的基本关系与诱导公式(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．已知tan α＝－a ，则tan(π－α)的值等于( ) A ．a B ．－a C.1aD ．－1a2．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45B.35 C ．－45D ．－353．已知sin 34°＝－m ，则sin 2 014°＝( ) A ．－1－m 2 B.1－m 2 C ．－mD ．m4．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－455．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.536．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.137．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－128．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin (－210°)＝________.10．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.11．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 12．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________. 13．(2013·绍兴模拟)已知tan α＝－12，π2<α<π，则sin α＝________.14．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π.则 sin α－cos α＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．17．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．限时集训(十七) 三角函数的图象与性质(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数2．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．13．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 (x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 4．(2013·杭州模拟)设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关5．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎫ω＞0，|φ|＜π2，且其图象相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数6．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π37．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |8．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数y ＝1tan x －3的定义域为________．10．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 11．(2013· 台州模拟)设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________.12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．14．(2013·义乌模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．16．设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；17．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．限时集训(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )2．(2013·温州模拟)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位3．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．94.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h ⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则f (x )＝( ) A ．4sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋2B ．－4sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋2 C ．2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋4 D ．－2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋45．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 36．(2013·广州模拟)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且直线AB 的斜率为1，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝27．(2013·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD ―→在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π68．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 10．(2013·龙泉模拟)函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．11．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.12．若把函数y ＝3cos x －sin x 的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．14．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求函数f (x )的解析式及x 0的值； (2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．16．已知函数f (x )＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．17．已知函数f(x)＝2a cos2x＋b sin x cos x－32，且f(0)＝32，f⎝⎛⎭⎫π4＝12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？限时集训(十九) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(2013·厦门模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则tan α等于( ) A ．－65B ．－1C ．－34D.652．(2013·舟山模拟)sin 20° 1＋cos40°cos 50°＝( )A.12B.22C. 2D ．23．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．14．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.125．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.536．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π67．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．48．(2013·合肥模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 10.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 11．已知sin (π－α)＝－1010，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.12．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．13．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.14．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则 cos β＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．16．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．17．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213， 求f (2α－β)的值．限时集训(二十) 简单的三角恒等变换(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(2013·济南模拟)函数y ＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π2．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－433．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a log a 13(a ＞0，且a ≠1)，则cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α的值为( ) A.1010B ．－1010C.31010D ．－310104．已知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A. 1－a2 B ．－ 1－a2 C.1＋a2D ．－1＋a25．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．16．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.457．函数y ＝sin x cos x ＋ 3 cos 2 x 的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，－32B.⎝⎛⎭⎫2π3，－32C.⎝⎛⎭⎫2π3，32 D.⎝⎛⎭⎫π3，328．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 3αcos α＋cos 3αsin α的最小值为( ) A.2764 B.325C.536D ．1二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·温州模拟)化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果为________． 10．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.11．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.12．(2013·青岛模拟)在△ABC 中，若sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________.13．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．14．如图，圆O 的内接“五角星”与圆O 交于A i (i ＝1,2,3,4,5)点，记弧A i A i ＋1在圆O 中所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3,4)，弧A 5A 1所对的圆心角为α5，则cos 3α1·cos (α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．(1)化简4cos 4x －2cos 2x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ；(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]· 2sin 280°.16．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．17．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点⎝⎛⎭⎫5π12，0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．限时集训(二十一) 正弦定理和余弦定理(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定2．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.323．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋3945．(2013·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 36．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－127．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.24258．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．(2012·福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．11．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角分别为角A ，B ，C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．12．(2012·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．14．(2013·南昌模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .16．(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ―→·AC ―→＝3BA ―→·BC ―→. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．17．(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．限时集训(二十二)解三角形应用举例(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．如图所示，已知两船A和B与海洋观察站C的距离相等，船A在观察站C的北偏东40°，船B在观察站C的南偏东60°，则船A在船B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m5．(2012·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()。

限时集训(一)集合(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()A．{5,8}B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}2．(2013·绍兴模拟)已知集合M＝{1,2}，N＝{2a－1|a∈M}，则M∪N等于()A．{1} B．{1,2}C．{1,2,3} D．∅3．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝() A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)4．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1}C．(1,1) D．{(1,1)}5．(2013·余姚模拟)已知集合A＝{x∈R|f(x)≠0}，集合B＝{x∈R|g(x)≠0}，全集U＝R，则集合{x|f2(x)＋g2(x)＝0}＝()A．(∁U A)∩(∁U B) B．(∁U A)∪(∁U B)C．∁U(A∩B) D．A∩∁U B6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或37．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．48．(2013·金华模拟)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·湖州模拟)已知集合A ＝{－1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．10．若1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －3，9a 2－1，a 2＋1，－1，则实数a 的值为________． 11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |x <a }，若A 与B的关系如图所示，则实数a 的取值范围是________．12．(2013·台州模拟)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤a }，且(A ∪B )⊆(A ∩B )，则实数a ＝________.13．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.14．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n 2，当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．A ＝{x |－2<x <－1或x >1}，B ＝{x |a ≤x <b }，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |1<x <3}，求实数a ，b 的值．16．(2013·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R}，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．17．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围．答 案[限时集训(一)]1．B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D 8.D9．(0,1) 10.4911.[2，＋∞) 12.1 13.－1 1 14.17 15．解：∵A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴b ＝3，又A ∪B ＝{x |x >－2}，∴－2<a ≤－1，又A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴－1≤a <1，∴a ＝－1.16．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为 {a |a ≥3}．17．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}， ∴A ＝{x |2<x <4}．(1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立； 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎨⎧a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }， 应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解， ∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2. (2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4. ∴a <0时成立，综上所述，a ≤23或a ≥4时， A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a ＝3.。

第06节空间直角坐标系、空间向量及其运算【考纲解读】【知识清单】1.空间向量的线性运算1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．(2)几种常用特殊向量①单位向量：长度或模为1的向量．②零向量：长度为0的向量．③相等向量：方向相同且模相等的向量.④相反向量：方向相反而模相等的向量．⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．2.空间向量的线性运算(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．设a ，b 是空间任意两向量，若,OA AC a AB b ===，P ∈OC ，则OB OA AB a b =+=+，BC AC AB a b =-=-，()OP a R λλ=∈.（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a ＋b ＝b + a .②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a +（b ＋c ）． ③数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa+λb.④数乘结合律：λ(μa )＝(λμ)a .(λ∈R ，μ∈R )． 对点练习：【人教A 版，P117复习题第1题】如图，空间四边形OABC 中，,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A.121232a b c -+ B.211322a b c -++ C.111222a b c +- D.221332a b c +-【答案】B2. 共线向量定理、共面向量定理的应用(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+. (3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++.把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++.其中x ＋y ＋z ＝1. 对点练习：已知(2,1,3)a →=-，(1,4,2)b →=--，(7,5,)c λ→=，若c b a ,,三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．627 B ．637 C ．647 D ．657【答案】D【解析】由题三个向量共面可设：c ma nb =+，则：(7,5,)(2,,3)(,4,2)m m m n n n λ=-+--得：725432m n m n m nλ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得：337177m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，993465777λ=-=. 3.空间向量的数量积及其应用 1．两个向量的数量积(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉； (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； (3)|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. 2．向量的坐标运算a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) 数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R) 垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23对点练习：已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值为（ ） A ．1 B ．15 C ．35 D ．75【答案】D4.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x 轴的正方向，食指指出y 轴的正方向时，中指指向z 轴的正方向．(3)空间一点M 的坐标用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则||AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 对点练习：【2017届某某某某,某某,某某,某某,崇左五市高三5月联考】如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC 与BCD 均为等腰直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，2BC =．点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30︒的角，则线段PA长的取值X围是（）A.20,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭B.60,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.2,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.6,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()22234110m t s s t =---->，结合1t s -=可得()222412231s s s ->+⇒<，所以13s <，则()()22226123PA s t s s s =-+-=+=<，即603PA <<，应选答案B.【考点深度剖析】本部分内容较少单独考查，主要考查向量数量积的坐标表示、空间向量方法在在证明平行与垂直及计算夹角与距离的应用．【重点难点突破】考点一 空间向量的线性运算【1-1】空间四边形ABCD 中，若向量(3,5,2)AB =-，(7,1,4)CD =---，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF 的坐标为（ ）A ．(2,3,3)B ．(2,3,3)---C ．(5,2,1)-D ．(5,2,1)-- 【答案】B【1-2】在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，某某数x ，y ，z 的值．【答案】（1）1D B a b c =--，EF =1()2a c -；（2）11,,122x y z ==-=-. 【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c =+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.【领悟技法】1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决. 【触类旁通】【变式一】如图，在空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =( )A. 121232a b c -+B. 211322a b c -++C. 112223a b c +-D. 221332a b c +-【答案】B【变式二】【百强校】2015-2016学年】某某省某某市一中如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC BD 与的交点．若11=A B a 11A D b =，1A A c =，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++-B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+D ．1122a b c -+-【答案】A【解析】由题意知，111111112B M B A A A AM B A A A AC =++=++111()222a c ab a bc →→=-+++=-++，故应选A ．考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用 【2-1】【某某省某某市萧山区第一中学】已知，，若，则（ ）A.，B.，C.，D.，【答案】A【2-2】有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立，③正确，④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．故选B. 【领悟技法】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+，在解题时可以直接使用． 3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (1)PA PB λ=；(2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++=．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1)MP xMA yMB =+；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++=； (4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )． 【触类旁通】【变式一】若，，不共线，对于空间任意一点都有，，，四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线 【答案】B【变式二】【某某慈溪中学】已知(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，若OC AB ⊥，则x =________；若O ，A ，B ，C 四点共面，则x =__________．【答案】16，8．【解析】由题意得，(,8,8)OC x =-，(3,2,4)AB =-，∴316320OC AB OC AB x ⊥⇒⋅=--=，∴16x =；若O ，A ，B ，C 四点共面，∴存在唯一的实数λ，μ使得，OC OA OB λμ=+，∴(,8,8)(2,2,2)(1,4,6)x λμ-=--+-，∴28248826x x λμλμλμ=-+⎧⎪-=+⇒=⎨⎪=--⎩．考点3 空间向量的数量积及其应用【3-1】已知A （2，3，－1），B （2，6，2），C （1，4，－1），则向量AB 与AC 的夹角为（ ）A B C O 311488OP OA OB OC=++P A B CA ．45°B ．90°C ．30°D ．60°【答案】D【解析】因为31(0,3,3),(1,1,0),cos ,2322AB AC AB AC ==-<>==⨯，所以,60AB AC <>=︒，故选D. 【3-2】【2018届某某省某某三中高三上学期第二次考试】已知半径为1的球O 内切于正四面体A BCD -，线段MN 是球O 的一条动直径(,M N 是直径的两端点),点P 是正四面体A BCD -的表面上的一个动点,则PM PN AB BD ⋅+⋅的取值X 围是______________________．【答案】[]12,4-- 而又()(22cos ABD 26cos 123AB BD AB BD ππ∠⋅=⋅-==- 由题意M ，N 是直径的两端点，可得0OM ON +=,•1OM ON =-,()()()222••••11PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO PO =++=+++=-=-而 由此可知，要求出PM PN AB BD ⋅+⋅的取值X 围，只需求出2•1PM PN PO =-，的X 围即可．当P 位于E （切点）时，OP 取得最小值1；当P 位于A 处时，OP 取得最大值3．综上可得21PO -的最小值为1-1=0，最大值为9-1=8．则•PM PN 的取值X 围是[0，8]．再由12PM PN AB BD PM PN ⋅+⋅=⋅-，知PM PN AB BD ⋅+⋅取值X 围是[]12,4-- 故答案为：[]12,4--．【领悟技法】 1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；2. 当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是(0,]2πα∈，[0,]θπ∈，所以||cos |cos |||||a b a b αθ⋅==⋅ 3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2转化为向量求解．【触类旁通】【变式一】已知向量()1,1,0a =，()1,2,2b =-，且ka 与a b +互相垂直，则k 的值为（）A. 2B. 0C. -1D. 1【答案】B【变式二】【2017届某某省某某、某某、某某市高三二模】已知空间四边形ABCD ，满足3AB =，7BC =，11CD =，9DA =，则AC BD ⋅的值（ ）A. 1-B. 0C.212 D. 332【答案】B【解析】考点4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算【4-1】【2017届某某省某某一中、某某一中等八所重点中学高三4月联考】已知动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且线段(03)PA r r =<<，记点P 的轨迹长度为()f r .给出以下四个命题：①()312f π=； ②()23f π=； ③232333f π⎛⎫√= ⎪⎝⎭④函数()f r 在()0,1上是增函数，()f r 在()2,3上是减函数. 其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）【答案】①④【解析】2312333231233l f ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案③不正确；由于01r <<时，单调递增且当1r =时，()l f r =最大；当()2,3r ∈，单调递减，故答案④正确；应填答案①④。

限时集训 (九 )函数的图象(限时： 50 分钟满分：106分)一、选择题 (本大题共8 个小题，每题 5分，共 40 分)x2 x<0 ，1．函数 y＝的图象大概是 ()2x－1 x≥02．函数 y＝ lg1的大概图象为 ()|x＋ 1|3．(2013 舟·山模拟 )已知函数f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≥ 0 时，f(x)＝ 3x＋ m(m 为常数 )，则函数 f(x)的大概图象为 ()4．已知函数y＝f(x)与 y＝ g(x)的图象如下图，则函数y＝ f( x) ·g(x) 的图象可能是 ()5．已知函数f(x)＝ a x－2，g(x)＝ log a|x|(a>0，且 a≠ 1)，且 f(2 011) g(·－ 2 012)<0 ，则 y＝ f(x)，y＝ g(x) 在同一坐标系内的大概图象是()6．已知函数f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后对于y 轴对称，当x2 >x1>1 时， [f(x2)－ f(x1)]( x2－ x1)<0 恒建立，设 a＝f －1， b＝ f(2)， c＝ f(3) ，则 a， b， c 的大小关系为 () 2A． c>a>b B． c>b>aC． a>c>b D． b>a>c7．我们定义若函数f(x)为 D 上的凹函数须知足以下两条规则：(1) 函数在区间 D 上的任何取值存心义；(2) 对于区间 D 上的随意 n 个值 x1， x2，， x n，总知足 f(x1 )＋ f(x2)＋＋x1＋ x2＋＋ x n，那么以下四个图象中在πf(x n)≥ nf n0，上知足凹函数定义的是 ()28．设函数 f(x)＝x－ [x]， x≥ 0，x 的最大整数，如 [ － 1.5] ＝－ 2此中 [x]表示不超出，f x＋ 1 ， x<0 ，[1.5] ＝1，若直线 y＝ k(x＋ 1)(k>0) 与函数 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，则k 的取值范围是()1， 11 A. 43 B. 0，41111C. 4，3 D. 4，3二、填空题 (本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24分)ax＋ b， x≤0，9．函数 f( x)＝1的图象如下图，则a＋ b＋c＝ ________.log c x＋9， x>010．已知 y＝ f(x)是 R 上的增函数， A(0，－ 1)， B(3,1)是其图象上两个点，则不等式|f(x ＋ 1)|<1 的解集是 ________．11．若对随意x∈R，不等式 |x|≥ ax 恒建立，则实数 a 的取值范围是________．12． (2013 平·湖模拟 )若对于 x 的不等式 2－x2>|x－ a|起码有一个负数解，则实数 a 的取值范围是 ________．13．若方程2a＝ |a x－ 1|(a>0，a≠ 1)有两个实数解，则实数 a 的取值范围为 ________．14．已知函数y＝ f(x)(x∈ R)知足 f( x＋ 1)＝f(x－ 1)，且 x∈ [－ 1,1]时， f(x)＝ x2，则函数y ＝f(x)与 y＝ log 5x 的图象交点的个数为 ________．三、解答题 (本大题共 3 个小题，每题14 分，共 42 分 )15．设函数f(x)＝ x＋1x的图象为C1，C1对于点A(2,1)对称的图象为C2， C2对应的函数为 g(x) ．(1)求 g(x)的分析式；(2)若直线 y＝m 与 C2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．16．当 x∈ (1,2)时，不等式 (x－ 1)2<log a x 恒建立，务实数 a 的取值范围．17．(1)已知函数＝ f(x)的图象对于直线y＝ f(x)的定义域为x＝ m 对称；R，且当x∈ R 时， f(m＋ x)＝ f(m－ x)恒建立，求证y(2)若函数y＝log 2|ax－ 1|的图象的对称轴是x＝ 2，求非零实数 a 的值．答案[限时集训 (九)]1． B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D7.A8.D9．分析：由图象可求得直线的方程为y＝ 2x＋ 2.1又函数 y＝ log c x＋9的图象过点 (0,2)，将其坐标代入可得c＝1 3，113因此 a＋ b＋ c＝ 2＋ 2＋3＝3 .答案：13 310．分析： |f(x＋ 1)|<1? － 1<f(x＋ 1)<1? f(0)< f(x＋ 1)<f(3)，又 y＝ f(x)是R上的增函数，∴0<x＋ 1<3.∴－1<x<2.答案： { x|－1< x<2}11．分析：如下图由图可知，当－1≤ a≤ 1 时不等式恒建立．答案： [－ 1,1]12．分析：在同一坐标系中画出函数f(x)＝ 2－x2，g(x) ＝|x－ a|的图象，如下图．若 a≤0，则其临界状况为折线g(x)＝ |x－ a|与抛物线f(x) ＝ 2－ x2相切，由2－x2＝ x－ a可得2x＋x－a－2＝0，由＝ 1＋ 4·(a＋2) ＝0，解得9a＝－ 4；若a>0，则其临界状况为两函数图象的交点为(0,2) ，此时a＝ 2.联合图象可知，实数 a 的取值范围是9－4，2 .9答案：－，213．分析：当 a>1 时，函数y＝ |a x－ 1|的图象如图①所示，明显直线y＝ 2a 与该图象只有一个交点，故a>1 不适合；当 0<a<1 时，函数y＝ |a x－ 1|的图象如图②所示，要使直线 y＝ 2a 与该图象有两个交点，则0<2a<1，1即 0<a<2.1综上所述，实数 a 的取值范围为0，2 .答案：0，1 214．分析：依据 f(x＋ 1)＝ f(x－ 1)，得 f(x)＝ f(x＋ 2)，则函数 f(x)是以 2 为周期的函数，分别作出函数y＝ f(x)与 y＝ log5x 的图象 (如图 )，可知函数 y＝f(x)与 y＝ log 5x 的图象的交点个数为 4.答案： 415．解： (1)设点 P(x， y)是 C2上的随意一点，则 P(x，y) 对于点 A(2,1)对称的点为 P′ (4－ x,2－ y)，代入 f(x)＝x＋1，可得 2－ y＝ 4－ x x＋1 ，即4－ x1y＝ x－2＋.1∴g(x)＝ x－ 2＋.y＝ m，(2)由y＝ x－ 2＋1，消去y，x－ 4得 x2－ (m＋ 6)x＋ 4m＋ 9＝0，＝(m＋6)2－4(4m＋ 9)，∵直线y＝m 与C2只有一个交点，∴Δ＝ 0，解得 m＝ 0 或 m＝ 4.当 m＝ 0 时，经查验合理，交点为 (3,0) ；当 m＝ 4 时，经查验合理，交点为 (5,4) ．16．解：设 f(x)＝ ( x－1) 2，g(x) ＝log a x，在同向来角坐标系中画出f(x)与 g(x)的图象，要使 x∈(1,2) 时，不等式 (x－ 1)2<log a x 恒建立，只要函数f(x)的图象在g(x) 的图象下方即可．当 0<a<1 时，由两函数的图象知，明显不建立；当 a>1 时，如图，使 x∈(1,2) 时，不等式 ( x－1) 2<log a x 恒建立，只要 f(2)≤ g(2)，即 (2－ 1)2≤ log a2，解得 1< a≤ 2.综上可知， 1<a≤ 2.17．解： (1)设 P(x0， y0)是 y＝ f(x)图象上随意一点，则 y0＝ f(x0 )．又 P 点对于 x＝ m 的对称点为 P′，则P′的坐标为 (2m－x0， y0) ．由已知 f(x＋m)＝ f( m－ x)，得 f(2m－ x0)＝ f[m＋(m－ x0)]＝f[m－ (m－ x0)]＝ f(x0)＝ y0.即 P′ (2m－x0， y0 )在 y＝ f(x)的图象上．∴y＝f(x)的图象对于直线x＝m 对称．(2)对定义域内的随意x，有 f(2－ x)＝ f(2＋ x)恒建立．∴|a(2－ x)－ 1|＝ |a(2 ＋x)－1|恒建立，即 |－ax＋ (2a－ 1)|＝ |ax＋ (2a－ 1)|恒建立．1又∵a≠ 0，∴2a－ 1＝ 0，得 a＝2.。

小题专项集训(四)　三角函数、解三角形(建议用时：40分钟　分值：75分)1．计算sin 68°sin 67°－sin23°cos 68°的值为( )． A．－ B. C. D．1 解析　原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝. 答案　B 2．函数y＝2cos2－1是( )． A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析　因为y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x，故T＝π，选A. 答案　A 3．(2013·湖北八校联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于( )． A．135° B．105° C．45° D．75° 解析　由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由题知0°0，故ω＝＝，排除选项C，D；又因为函数图象过点，代入验证可知只有选项B满足条件． 答案　B 5．(2013·衡阳六校联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin|x| 解析　注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①②. 答案　B 6．(2013·浙江五校联考)若△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝( )． A．5 B．25 C. D．5 解析　由S△ABC＝acsin 45°＝2，得c＝4. 所以b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝1＋32－2×1×4×＝25.∴b＝5. 答案　A 7．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出下面四个命题： ①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确命题的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)＝sin＝－cos 2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在上是增函数，故④正确．综上可知，选C. 答案　C 8．(2013·泉州质检)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B等于( )． A．30° B．60° C．90° D．120° 解析　依题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，根据正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，则sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，所以cos B＝，又0°<B0)图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点，若·＝0，则ω＝( )． A．8 B. C. D. 解析　依题意得PM＝PN，PM⊥PN，所以△PMN是等腰直角三角形，又斜边MN上的高为2，因此有MN＝4，即该函数的最小正周期的一半为4，所以＝8，ω＝，选C. 答案　C 11．(2012·济南模拟)已知sin x＝，x∈，则tan＝________. 解析　∵sin x＝，x∈，∴cos x＝－＝－，∴tan x＝－. ∴tan＝＝＝－3. 答案　－3 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则A＝________. 解析　S＝×2bccos A＝bcsin A?tan A＝1A＝. 答案 13．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是________． 解析　f(x)＝＋sin 2x＝＋sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，所以f(x)max＝＋1＝. 答案 14．(2013·九江调研)若将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为________． 解析　依题意，将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y＝sin(ω>0)，它的图象与函数y＝sinωx＋的图象重合，所以－ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．因为ω>0，所以ωmin＝. 答案 15．给出下列命题： ①存在实数x，使得sin x＋cos x＝；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y＝sin的最小正周期为5π；④函数y＝cos是奇函数；⑤函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)． 解析　对于①，因为sin x＋cos x＝sin∈[－，]，而>，因此不存在实数x，使得sin x＋cos x＝，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y＝sin的最小正周期是T＝＝5π，因此③正确；对于④，令f(x)＝ cos＝sin ，显然f(－x)＝－f(x)，即原函数为奇函数，因此④正确；对于⑤，函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④. 答案　③④。

限时集训(六十六) 坐 标 系(限时：40分钟 满分：50分)1．(满分10分)(2012·江西高考改编)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．2．(满分10分)已知伸缩变换表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x ′24＋y ′2＝1，求曲线C 的方程．3．(满分10分)已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．4．(满分10分)(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．5．(满分10分)在极坐标系中，动点P (ρ，θ)运动时，ρ与sin 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π4成反比，动点P 的轨迹经过点(2,0)．(1)求动点P 的轨迹的坐标方程；(2)将(1)中极坐标方程化为直角坐标方程，并指出轨迹是何种曲线．答 案[限时集训(六十六)]1．解：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.2．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，∴将其代入方程x ′24＋y ′2＝1， 得(2x )24＋⎝⎛⎭⎫13y 2＝1， 即x 2＋y 29＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 29＝1. 3．解：原方程化为ρ2－42ρ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＋6＝0， 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.圆心为M (2,2)，半径为 2.故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.4.解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.5．解：(1)设ρ＝k sin 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π4， ∵2＝k sin 2π4，∴k ＝1. ∴ρ＝11－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＝21＋sin θ. (2)∵ρ＋ρsin θ＝2， ∴x 2＋y 2＋y ＝2.整理得y ＝－14x 2＋1. ∴轨迹为开口向下，顶点为(0,1)的抛物线．。