(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

知识点最新考纲不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质.一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)及其应用.绝对值不等式会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0，0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若ab>1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修5P74练习T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2， 但由a 2－b 2>0⇒/ a －b >0. 2．(必修5P75A 组T2改编)15－2______16－5(填“>”“<”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5. 答案：<3．(必修5P75B 组T1改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．解析：令a ＝13，b ＝23，则2ab ＝2×13×23＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59，故a <2ab <12<59＝a 2＋b 2<b .答案：a <2ab <12<a 2＋b 2<b[易错纠偏](1)乱用不等式的相乘性致错； (2)命题的必要性出错；(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．1．若a >b >0，c <d <0，则下列结论正确的是( ) A.a c －bd >0 B.a c －b d <0 C.a d >b cD.a d <b c解析：选D.因为c <d <0，所以0<－d <－c ， 又0<b <a ，所以－bd <－ac ，即bd >ac ， 又因为cd >0，所以bd cd >ac cd ，即b c >ad.2．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0. 答案：(－π，0)用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】 设甲、乙两种产品的月产量分别为x ，y ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .用不等式(组)表示不等关系(1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y ，再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．[提醒] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.不等式的性质及应用(高频考点)不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)判断命题的真假；(2)与充要条件相结合命题的判断； (3)求代数式的取值范围． 角度一 判断命题的真假(1)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3(2)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d【解析】 (1)A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确； B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；D项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故正确．(2)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；C ：因为a c 2<bc 2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c ＝2，b ＝d＝1，可知D 错误，故选C.【答案】 (1)D (2)C角度二 与充要条件相结合命题的判断(1)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 (1)(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．(2)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b >0时，由a >b 有|a |>|b |， 所以a >b ⇔a |a |>b |b |.综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. 【答案】 (1)A (2)C 角度三 求代数式的取值范围(2020·台州高三模拟)若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．【解析】 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 所以α＋3β的取值范围是[1，7]． 【答案】 [1，7](1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．(2)充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解．(3)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b，则ba的取值范围是________．解析：因为b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b ，c ＞a －b ，c ＞b －a ， 所以问题等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜c ，b －a ＜c ，c ≤2a －b ，c ≤2b －a 有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜2a －b ，a －b ＜2b －a ，b －a ＜2a －b ，b －a ＜2b －a ⇒23＜b a ＜32，即ba 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，32. 答案：⎝⎛⎭⎫23，32比较两个数(式)的大小(1)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]．证明：f (x )≥1－x ＋x 2；(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，比较a 与b 的大小．【解】 (1)证明：因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x≤1x ＋1， 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，所以a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 8 9＞1，所以a ＞b .1．设m ＝(x ＋2)(x ＋3)，n ＝2x 2＋5x ＋9，则m 与n 的大小关系为( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ≥nD ．m ≤n解析：选B.m －n ＝x 2＋5x ＋6－(2x 2＋5x ＋9) ＝－x 2－3<0，所以m <n .故选B.2．比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b (a >0，b >0)两个代数式的大小．解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab ≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .[基础题组练]1．(2020·嘉兴期中)若x ＞y ，m ＞n ，下列不等式正确的是( ) A ．m －y ＞n －x B ．xm ＞yn C.x n ＞y mD ．x －m ＞y －n解析：选A.对于B ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立， 对于C ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立，因为x ＞y ，m ＞n ，所以x ＋m ＞y ＋n ，所以m －y ＞n －x .A 正确， 易知D 不成立，故选A.2．(2020·义乌质检)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，5π6B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，所以－π6≤－β3≤0，所以－π6<2α－β3<π.3．设实数x ，y 满足0＜xy ＜1且0＜x ＋y ＜1＋xy ，那么x ，y 的取值范围是( ) A ．x ＞1且y ＞1 B ．0＜x ＜1且y ＜1 C ．0＜x ＜1且0＜y ＜1D ．x ＞1且0＜y ＜1解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧xy ＞0，x ＋y ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0.又x ＋y ＜1＋xy ，所以1＋xy －x －y ＞0，即(x －1)(y －1)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1(舍去)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1.4．(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是( ) A ．若|a |＜b ，则a 2＞b 2 B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2 C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解析：选D.若|a |＜b ，则a 2＜b 2，故A 错误；若a ＝b ＜0，则|a |＞b ，则a 2＝b 2，故B 错误；若－a ＝b ＜0，则a ＞b ，则a 2＝b 2，故C 错误； 若a ＞|b |，则a 2＞b 2，故D 正确．故选D.5．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a c ＞bc，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b解析：选C.当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．6．已知实数a ，b ，c .( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100解析：选D.取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.故选D.7．(2020·严州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 18．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b. 所以a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是a ＜0＜b .答案：a ＜0＜b9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎫15－x2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥21610．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．解析：因为f (x )过原点，所以设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4，所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[6，10]．答案：[6，10]11．(2020·嘉兴期中)已知a ，b 是正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解：(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )，因为a ≠b ，a ＞0，b ＞0，所以(a －b )2(a ＋b )＞0，所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.12．已知a ＞b ＞0，m ＞0且m ≠a .试比较：b a 与b －m a －m的大小． 解：b a －b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ）a （a －m ）. 因为a >b >0，m >0.所以a －b >0，m (a －b )>0.(1)当a >m 时，a (a －m )>0，所以m （a －b ）a （a －m ）>0， 即b a －b －m a －m>0， 故b a >b －m a －m. (2)当a <m 时，a (a －m )<0.所以m （a －b ）a （a －m ）<0， 即b a －b －m a －m <0，故b a <b －m a －m. [综合题组练]1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.由a b >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <0；由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，b <0，又a >0且a ≠1，所以“a b >1”是“(a －1)b >0”的充要条件．2．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b ) B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a 解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2a . 3．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，无解． 综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)4．已知1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2y的取值范围是________． 解析：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5. 答案：[－1，5]5．(2020·金华十校联考)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．6．设不等式x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立，求实数a 的最小值． 解：原题即a ≥x ＋y x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立， 设A ＝x ＋yx ＋y ，A 2＝x ＋y ＋2xy x ＋y ＝1＋2xy x ＋y≤2， 当x ＝y 时等号成立，因为A ＞0，所以0＜A ≤ 2，即A 有最大值 2.所以当a ≥ 2时，x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立．所以a 的最小值为 2.。

浙江专用2021版高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式（浙江专用）2021版高考数学大一轮复习第七章不等式 7.1 不等关系与不等式教师用书1．两个实数比较大小的方法?(1)作差法?a－b>0?a > b?a－b＝0?a ＝ b??a－b1?a > b(2)作商法?a＝1?a ＝ b>0)．?b?abb?bb，b>c?a>c ? 可加性 a>b?a＋c>b＋c ? a>b??c>0????ac>bc 可乘性注意c的符号 a>b??cb??c>d????a＋c>b＋d ? 同向同正可乘性a>b>0??c>d>0????ac>bd ? 可乘方性 a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数可开方性 a>b>0?na>nb(n∈N，n≥2) 【知识拓展】1不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质①a>b，ab>0?1ab>0,0bcd. ④0 bb>0，m>0，则①bab－ma－m(b－m>0)．②a>a＋mbb＋m；ab0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ×(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × ) (5)a>b>0，c>d>0?a>bdc.( √ ) (6)若ab>0，则a>b?1a1b B.1a－b>1a C．|a|>－b D.－a>－b答案 B解析由题设得a 1a－b不成立． a－ba222．(教材改编)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a－b>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A 解析a－b>0?a>b22?a>b?a>b，但由a－b>022a－b>0.3．若a，b∈R，且a＋|b|0 C．a－b|b|，当b≥0时，a＋b1且2a0 D．a＋b1－＝，22221即a＋b>，2a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，3又2b－1>0，b－1N C．M＝ND．不确定(2)若a＝ln 3ln 4ln 53，b＝4，c＝5，则( )A．a0，即M－N>0. ∴M>N.(2)方法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln 44ln 3＝log8164b；bc＝5ln 44ln 5＝log6251 024>1，所以b>c.即ce时，函数f(x)单调递减．因为ef(4)>f(5)，即cB(2)若a＝18，b＝16，则a与b的大小关系为________．答案 (1)B (2)a0,16>0，∴180ab①a＋b|b|；③a。

专题 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式一、题型全归纳题型一 不等式性质的应用命题角度一 判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 【例1】(2020·石家庄质量检测)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．(12)a >(12)b【解析】：通解：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b，所以A ，B ，D 不一定成立，因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.优解：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立．故选C.【例2】若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；①|a |＋b >0；①a －1a >b －1b ；①ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【解析】因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a >－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b<0<1ab ，综上知，①①正确，①①错误．命题角度二 比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【解析】：法一：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1.所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1.所以b >c .即c <b <a .法二：对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .【例2】已知a ，b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 与b a 的大小关系是 ．【解析】：令f (x )＝ln xx ，x >0，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x >e 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在x >e 时是减函数． 因为e<a <b ，所以ln a a >ln bb，即b ln a >a ln b ，所以ln a b >ln b a ，则a b >b a .命题角度三 求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 【例1】(2020·长春市质量检测(一))已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是 ．【解析】：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.【例2】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.题型二一元二次不等式的解法【题型要点】一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；①若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；①对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．【易错提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．命题角度一不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤【例1】不等式0<x2－x－2≤4的解集为．【答案】：[－2，－1)①(2，3]【解析】：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．命题角度二 含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解析】 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0无解；①当a >1时，1a <1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1a <x <1；①当0<a <1时，1a >1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11； 当a ＝1时，解集为①；当a >1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x.命题角度三 已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<31-21-x x ，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】(2020·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)①(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)①(2，＋∞)【解析】因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－ba＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎪⎭⎫⎝⎛+a b x (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}． 命题角度四 分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)①f (x )·g (x )>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)①⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.【例5】不等式1－x 2＋x≥1的解集为( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21-2-，C ．(－∞，－2)①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- D ．(－∞，－2]①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- 【解析】：1－x 2＋x ≥1①1－x 2＋x －1≥0①1－x －2－x 2＋x ≥0①－2x －12＋x ≥0①2x ＋1x ＋2≤0①⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0①－2<x ≤－12.故选B.【例6】不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．【解析】：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －4）（x －5）≥0，x －5≠0，解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><534x x x 或. 题型三 一元二次不等式恒成立问题类型一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围【题型要点】一元二次不等式在R 上恒成立的条件【例1】若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ①R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ①R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2，a 的取值范围是(－2，2]．类型二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围【题型要点】形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ①R )恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围； (2)数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．【例2】(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0， 所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f （1）≥0，f （5）≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.类型三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围【题型要点】形如f (x )>0或f (x )<0(参数m ①[a ，b ])的不等式确定x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．【例3】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 【解析】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)．题型四 转化与化归思想在不等式中的应用【题型要点】(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c >0的x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c <0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【例1】(2020·内蒙古包头)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.【例2】a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( ) A ．－494B ．18C ．8D ．－6【解析】：因为关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，解得m ≥3或m ≤－2.所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10取得最小值，最小值为8.故选C.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·潍坊模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2] C ．[－1,1]D ．[1,2]【解析】A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．2．若正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，则( )A.1a >1bB ．a 2<b 2C ．ab ＋1>a ＋bD ．lg a ＋lg b >0【解析】由已知得a >b >1或0<b <a <1，因此必有1a <1b，a 2>b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确．3．已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【解析】：法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，ba⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立，故选C.4.(2020·安徽淮北一中（文）模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．[－4，－3) C ．[－4，0) D ．(－3，4]【解析】：由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，函数y ＝(x ＋1)(x －3)的图象的对称轴是直线x ＝1，故函数在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，在x ＝1处取得最小值，最小值为－4，在x ＝3处取值为0，在x ＝0处取值为－3，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4，0)．5．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]①[5，＋∞)C ．(－∞，－1]①[4，＋∞)D ．[－2，5] 【解析】：.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.6．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f (x )<0的解集为( ) A ．(－2，2)①(2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)【解析】：因为函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4，所以不等式(x －2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2.故原不等式的解集为(－2，2)①(2，＋∞)．故选A. 7.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式 (ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)①(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)①(3，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，①a ＝b ＜0，①不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，①所求解集是(－1,3)．故选C. 8.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2【解析】：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.9.(2020·天津市新华中学模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：①x ①R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，10.设a ，b ①R ，定义运算“①”和“①”如下：a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ①n ≥2，p ①q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4【解析】：.结合定义及m ①n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4； 结合定义及p ①q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4. 11．(2020·安徽蒙城五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]【解析】：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ①[－2，4]，故选D. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ①R ，b ①R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ①[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)①(2，＋∞)D ．不能确定【解析】：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ①[－1，1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立解得b ＜－1或b ＞2.二、填空题1.设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c 2；①1a <1b ；①|a |>|b |；①a |c |≥b |c |，则一定成立的有________．(填正确的序号)【解析】：对于①，1c 2>0，故①成立；对于①，a >0，b <0时不成立；对于①，取a ＝1，b ＝－2时不成立；对于①，|c |≥0，故①成立．2．已知实数a ①(1，3)，b ①⎪⎭⎫⎝⎛4181，，则a b的取值范围是________．【解析】：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24，故答案为(4，24)．3．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．【解析】：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.4．(2020·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是 ． 【解析】：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.6.已知①ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．【解析】：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >ba ，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为(0，2)．7．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；①a ＋x >b ＋y ；①ax >by ；①x －b >y －a ；①a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．【解析】：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此①不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx，因此①不成立．由不等式的性质可推出①①成立．8.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9.(2020·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )＝x ln (3－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为________．【解析】因为f (x )＝x ln (3－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln (3－x )>0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100)．10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ①R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【解析】：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x ＋b －a 24，f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝(x ＋a 2)2.又f (x )<c ，所以(x ＋a 2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ①.①－①，得2c ＝6，所以c ＝9.三 解答题1.求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 【解析】：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【解析】：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0，解得0<a ≤1， 综上可知，a 的取值范围是[0，1]．(2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a （x ＋1）2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛2321-，.3已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. (1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．【解析】：(1)因为当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. 所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18， f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞1225--， 4．(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值；(2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2①⎥⎦⎤⎢⎣⎡10101，，试求a 的取值范围． 【解析】：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. 所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1.(2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1. (3)由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a①（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a .因为x 1x 2①⎣⎡⎦⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2①⎣⎡⎦⎤4，12110①a ①⎣⎡⎦⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0①0<a ≤14， 所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121，14.。

第1讲 不等关系与不等式1．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔□01a >b ；a －b ＝0⇔□02a ＝b ；a －b <0⇔□03a <b ．另外，若b >0，则有a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b<1⇔a <b . 2．不等式的性质(1)对称性：□04a >b ⇔b <a ； (2)传递性：□05a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c □06>b ＋c ；a >b ，c >d ⇒□07a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒□08ac >bc ；a >b ，c <0⇒□09ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒□10ac >bd ； (5)可乘方性：a >b >0⇒□11a n >b n(n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a >b >0⇒□12n a >nb (n ∈N ，n ≥2).1．a >b ，ab >0⇒1a <1b.2．a <0<b ⇒1a <1b.3．a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d. 4．0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.5．若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .故选A.2．(2021·天津河北区模拟)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0. 3．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A.－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n D ．m <－n <n <－m答案 D解析 (取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确．4．(2022·东北育才学校高三模拟)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c |D ．a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B错误；对于C ，若c ＝0，则a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．故选D. 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<bc2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c>b ·2c.其中正确的是 (请把正确命题的序号都填上). 答案 ②③解析 ①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －bc 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③由2c>0知命题正确．故正确命题的序号为②③.考向一 不等式的性质例1 (1)已知条件甲：a >0，条件乙：a >b 且1a >1b，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由a >0不能推出a >b 且1a >1b ，故甲不是乙的充分条件．若a >b 且1a >1b ，即a >b 且b －aab>0，则ab <0，所以a >0，b <0.所以由a >b 且1a >1b能推出a >0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件.(2)若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2中，正确的是 ．答案 ①③解析 解法一：由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．解法二：因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln (－1)2＝0，ln b 2＝ln (－2)2＝ln 4＞0，所以④错误；因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，所以①正确；因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，所以a －1a ＞b －1b，所以③正确．解决不等式是否成立问题常用的方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)利用特殊值法排除错误答案．(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．1.(2022·长治模拟)下列选项中，a >b 的一个充分不必要条件是( )A ．1a >1bB ．lg a >lg bC ．a 2>b 2D ．e a>e b答案 B解析 由函数y ＝lg x 的单调性知lg a >lg b ⇔a >b >0⇒a >b ，但a >b⇒/lg a >lg b ，如a ＝1，b ＝0.故选B.2．(2021·兰州模拟)若a <b <0，给出下列不等式：①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b －1|；③1a ＋b >1a >1b. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 因为a <b <0，所以|a |>|b |>0，所以a 2>b 2，所以a 2＋1>b 2，故①正确．又因为－a >－b >0，所以1－a >1－b >0，所以|1－a |>|b －1|，故②正确．因为a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，故③正确．所以三个不等式都正确．故选D.精准设计考向，多角度探究突破 考向二 比较两个数(式)的大小 角度作差法例2 (1)已知x <1，则x 3－1与2x 2－2x 的大小关系是 ． 答案 x 3－1<2x 2－2x解析 x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .(2)已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为 ． 答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5.当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1（1－q 3）a 1q 2（1－q ）－a 1（1－q 5）a 1q 4（1－q ）＝q 2（1－q 3）－（1－q 5）q 4（1－q ）＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知，S 3a 3<S 5a 5.角度作商法例3 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 ∵a ，b ，c ∈(0，1)，a b ＝log 53log 85＝lg 3lg 5×lg 8lg 5＜1（lg 5）2×⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 82lg 52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 24lg 252＜1，∴a ＜b .由b ＝log 85，得8b ＝5，由55＜84，得85b ＜84，∴5b ＜4，可得b ＜45.由c ＝log 138，得13c ＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c ＞4，可得c ＞45.综上所述，a ＜b ＜c .故选A.(2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0，7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a<1，7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，当0<a <7时，7a>1，7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1.综上，知77a a >7a a 7.角度特殊值法例4 (1)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B ．b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a答案 B解析 根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252∈(1，2)，因此b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.(2)已知a >b ，则不等式：①a 2－b 2≥0；②ac >bc ；③|a |>|b |；④2a >2b中，不成立的是 ．答案 ①②③解析 ①中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，②不成立；当0>a >b 时，③不成立．④中，由指数函数的单调性知2a ＞2b成立．角度中间量法例5 (1)(2022·成都模拟)已知实数a ＝ln (ln π)，b ＝ln π，c ＝2ln π，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b 答案 A解析 因为e<π<e 2，所以ln π∈(1，2)，即b ∈(1，2).由ln π∈(1，2)，得a ＝ln (ln π)∈(ln 1，ln 2)，而ln 2<ln e ＝1，所以a ∈(0，1).由2ln e<2ln π<2ln e2，得c ∈(2，4).所以a <b <c .故选A.(2)若0<a <b <1，则a b，log b a ，log 1ab 的大小关系是 ．答案 log 1ab <a b<log b a解析 ∵0<a <1，∴1a>1.又0<b <1，∴log 1ab <log 1a1＝0.∵0<a b <a 0＝1，log b a >log b b ＝1，∴log 1ab <a b<log b a .角度单调性法例6 (1)(2021·安阳模拟)已知实数a ，b ∈(0，1)，且满足cos a π<cos b π，则下列关系式成立的是( )A ．ln a <ln bB ．sin a <sin bC ．1a <1bD ．a 3<b 3答案 C解析 因为a ，b ∈(0，1)，所以a π，b π∈(0，π)，而函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，cos a π<cos b π，所以a π>b π，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝x 3在(0，1)上均为增函数，知只有C 正确.(2)(2022·广西柳州模拟)若b >a >3，f (x )＝ln xx，则下列各结论中正确的是( )A ．f (a )<f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2B ．f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (b )C ．f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (a )D ．f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (ab )答案 D解析 因为b >a >3，所以3<a <ab <a ＋b2<b .又f ′(x )＝1－ln xx2，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，又3>e ，则有f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (ab )<f (a )，故选D.(1)作差法的步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法的步骤：①判断两式同号；②作商；③变形；④判断商与1的大小关系；⑤结论．(3)特殊值法比较大小的思路利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选择项两数(式)大小是确定的，如果出现两数(式)大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值进行检验；赋值应该满足前提条件；当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．(4)中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f (x )＝log a x 的单调性判断其与f (1)，f (a )的大小．(5)①利用函数的性质比较数、式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；②通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较；③导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式，同时增大了解题难度，值得我们关注和重视．3.(2022·西安模拟)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a 答案 A解析 ∵a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，∴a >b ，又log 23>0，log 32>0，b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，∴b >c ，故a >b >c .故选A. 4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos (1－α)，则T 1与T 2的大小关系为 ． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sinα<0，所以T 1<T 2.5．已知a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b与(ab )a ＋b2的大小.解 ∵a >0，b >0，a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，若a >b >0，则ab>1，a －b >0.由指数函数的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b2>1；若b >a >0，则0<a b<1，a －b <0.由指数函数的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1. ∴a ab b（ab ）a ＋b 2>1，∴a a b b>(ab ) a ＋b2． 考向三 不等式性质的应用例7 (1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2解析 因为－π2<α<β<π2，所以－π2<α<π2，－π2<β<π2，－π2<－β<π2，而α<β，所以－π<α－β<0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 (答案用区间表示).答案 (3，8)解析 解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ， 对应系数相等，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52． ∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3，8).解法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b 2．∴2x －3y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3，8). 利用不等式的性质求代数式的取值范围由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围．6.若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是 ．答案 27解析 解法一：由3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y2≤81，得2≤x 3y 4≤27，故x 3y4的最大值是27.解法二：设x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y m(xy 2)n，则x 3y －4＝x2m ＋n y 2n －m，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又16 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y4的最大值为27.7．已知12<a <60，15<b <36，求a －b 与ab的取值范围． 解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. ∵15<b <36，∴136<1b <115，∴1236<a b <6015，∴13<a b<4. ∴a －b 和a b 的取值范围分别是(－24，45)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a c >b d B ．a c <b d C ．a d >b cD ．a d <b c答案 D解析 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以ad<b c，故选D.2．(2022·安徽蚌埠开学考试)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .故选B.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式不一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>0答案 C解析 由题意知c <0，a >0，则A ，B ，D 一定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C. 4．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －bB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －bD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b答案 D解析 解法一：(特殊值法)取a ＝2，b ＝1，代入验证，可得D 选项中⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b<1.故选D.解法二：∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1，0<b a<1.由指数函数的性质知，2a －b >20＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 0＝1.故选D.5．(2021·四川南充模拟)已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a 答案 D解析 由于每个式子中都有a ，故先比较1，b ，b 2的大小．因为－1<b <0，所以b <b 2<1.又因为a <0，所以ab >ab 2>a .故选D.6．设x ，y ∈R ，则“x >y >0”是“x y>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为x >y >0，所以1y >0，所以x ·1y >y ·1y ，即x y >1，所以“x >y >0”是“xy>1”的充分条件；当x ＝－2，y ＝－1时，x y >1，但x <y <0，所以“x >y >0”不是“x y>1” 的必要条件．故选A.7．(2022·武汉一中月考)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b 答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又因为d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .8．(2021·江苏南京建邺区中华中学模拟)若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a b<1 B ．b a ＋a b>2 C ．1ab 2<1a 2bD ．a 2＋a <b 2＋b答案 C解析 当a ＝－4，b ＝－2时，满足a <b ，A 显然不成立；当a ＝－4，b ＝2时，满足a <b ，B 显然不成立；因为1ab2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b，C 成立；a 2＋a －b 2－b ＝(a －b )(a ＋b )＋(a －b )＝(a －b )(a ＋b ＋1)符号不确定，D 不成立．故选C.9．有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；∵ab >0，c a －d b >0，即bc －adab>0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，c a －db>0，即bc －adab>0，∴ab >0，∴③正确．故选D. 10．(2021·长春模拟)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <y <zB ．z <y <xC ．y <z <xD ．y <x <z答案 D解析 显然0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>0.90＝1，所以y <x <z ，故选D.11．下面四个条件中，使a >b 成立的充要条件是( ) A ．|a |>|b | B ．1a >1bC ．a 2>b 2D ．2a>2b答案 D解析 a >b ⇒/ |a |>|b |，如a ＝2，b ＝－5，故A 错误；a >b ⇒/ 1a >1b，如a ＝2，b ＝1，故B 错误；a >b ⇒/ a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－3，故C 错误；∵y ＝2x 是单调增函数，∴a >b ⇔2a >2b.故选D.12．(2022·合肥模拟)已知a ＝x 2＋x ＋2，b ＝lg 3，c ＝e －12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 答案 D解析 a ＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋2－14>1，b ＝lg 3<lg 10＝12，c ＝e －12＝1e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.所以b <c <a .故选D.13．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的是 ．答案 ①④ 解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.14．(2021·河南三市三模)已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则x ，y ，z 的大小关系为 ．答案 y ＞x ＞z解析 由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴y ＞x ＞z .15．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为 ．答案 [1，7]解析 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.所以α＋3β的取值范围是[1，7].16．已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2y的取值范围为 ．答案 [－1，5]解析 令lg x 2y ＝m lg (xy )＋n lg xy＝lg (x m y m)＋lg x n y n ＝lg x m ＋nyn －m .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得m ＝12，n ＝32.∴lg x 2y ＝12lg (xy )＋32lg xy.∵1≤lg (xy )≤4，∴12≤12lg (xy )≤2.又－1≤lg x y ≤2，∴－32≤32lg xy≤3，∴－1≤12lg (xy )＋32lg x y ≤5，∴－1≤lg x2y≤5.故lg x 2y的取值范围是[－1，5].。