下载文档原格式
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考点梳理】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R 考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型归纳】题型一：两角和与差的余弦公式一：用和差余弦公式进行化简求值1．（2022·四川泸州·高一期末）已知πcos cos 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．23C ．33D ．222．（2022·全国·高一）已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+的值为（）A ．79B ．79-C ．19D ．19-3．（2022·全国·高一）已知()2cos 22αβ-=-，()2sin 22αβ-=，且ππ42α<<，π04β<<，则()cos αβ+=（）A ．1B ．0C ．-1D ．22-二：逆用和差余弦公式进行化简求值4．（2022·全国·高一）13sin15cos1522-︒︒的值为（）A ．22B ．22-C ．12D ．12-5．（2022·甘肃酒泉·高一期末）cos72cos 27sin 72sin 27︒︒+︒︒的值是（）A ．22B ．32C ．12D ．12-6．（2022·内蒙古·赤峰二中高一）已知1sin sin 3-=αβ，22cos cos 3αβ-=-，α，(0,)2πβ∈，则αβ-=（）A ．3π-B ．6π-C ．3πD ．3π±题型二：两角和与差的正弦公式一：用和差正弦公式进行化简求值7．（2022·全国·高一课时练习）已知π0π2αβ<<<<，3sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值为（）A ．2425或0B ．0C ．3365D ．24258．（2022·全国·高一课时练习）已知α，β均为锐角，且5sin 5α=，10cos 10β=，则αβ-的值为（）A ．π4B ．π4-C ．3π4D ．3π4-9．（2022·陕西汉中·高一期末）已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．63B ．33C ．±2D ．±22二：逆用和差正弦公式进行化简求值10．（2022·北京·中关村中学高一阶段练习）若3sin sin 10αβ-=，2παβ+=，则cos α=（）A ．31010B ．31010-C ．1010D ．1010-11．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）sin10cos 50sin100cos 40︒︒+︒︒=（）A ．22B ．264+C ．32D ．1212．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高一期中）31sin15cos1522︒+︒的值为（）A ．12B ．32C ．22D ．1题型三：两角和与差的正切公式一：用和差正切公式进行化简求值13．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，tan tan tan 33A B C ++=，2tan tan tan B A C =，则角B =（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒14．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为（）A ．16B ．322C ．2213D ．131815．（2022·辽宁抚顺·高一期末）若()tan 804sin420α+︒=︒，则()7tan 20α+︒的值为（）A ．3B ．23C ．3-D ．37二：逆用和差正切公式进行化简求值16．（2022·甘肃兰州·高一期末）1tan151tan15+︒=-︒（）A ．33B ．1C ．3D ．313-17．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）已知()()1tan 211tan 22a =+︒+︒，()()1tan 231tan 24b =+︒+︒，则（）A ．2a b ==B ．4ab =C ．229a b +=D ．2225a b =-18．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知α，β均为锐角，且()()13tan 13tan 4αβ--=，则αβ+=（）A ．3πB ．23πC ．34πD ．2π题型四：两角和与差的三角函数综合应用19．（2022·全国·高一单元测试）已知1tan ,tan()222ααβ=-=．(1)求sin α的值；(2)求tan(2)βα-的值．20．（2022·云南昭通·高一期末）（1）知tan 3α=，计算2sin cos 5cos sin αααα+-；（2）已知,αβ都是锐角，()45sin ,cos 513ααβ=+=，求cos β的值.21．（2022·四川成都·高一期末）（1）已知1cos 7α=，()13cos 14αβ-=，且02πβα<<<，求β；（2）若()1cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=，求tan tan αβ的值．题型五：二倍角公式的运用22．（2022·江西省丰城中学高一期中）若1sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2cos αα+=（）.A ．3132B ．3132-C ．49-D ．7823．（2021·湖北黄石·高一期中）已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求tan α；(2)求1cos2sin21cos2sin2αααα++-+的值.24．（2022·湖北·高一期末）已知2sin cos222αα-=(1)求sin α的值；(2)若αβ，都是锐角，()3cos 5αβ+=，求sin β的值.【双基达标】一、单选题25．（2022·贵州六盘水·高一期末）若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin(π)5θ-=，则sin 2θ=（）A ．35B ．1225C ．255D ．242526．（2022·甘肃张掖·高一期末）若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A ．－2425B ．725C ．－725D ．242527．（2022·浙江·高一期中）若tan 3θ=，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--=（）A ．25-B ．25C ．15-D ．1528．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）下列各式中，值为12的是（）A ．sin15cos15︒︒B ．22ππcos sin 1212-C ．cos 42sin12sin 42cos12︒︒-︒︒D ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒29．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））已知1cos 43x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2cos 4xx π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（）A ．23-B ．23C ．23-D ．2330．（2022·江西省万载中学高一）求值：()()()sin 120cos570cos 300sin 1050-︒⋅︒+-︒⋅-︒31．（2022·全国·）已知tan ,tan αβ是一元二次方程23520x x +-=的两个根，且0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ．(1)求tan()αβ-的值；(2)求αβ+的值．【高分突破】一、单选题32．（2022·甘肃·卓尼县柳林中学高一期末）21tan(),tan()54αβαβ+=-=，则tan 2α=（）A ．16B ．2213C ．322D ．131833．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α满足2cos 2cos αα=，且,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．1B ．33C ．33-D ．1-34．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）若ππ22α-<<，ππ22β-<<，且tan α，tan β是方程23340x x ++=的两个根，则αβ+=（）A ．π3B ．2π3-C ．π3或43πD ．π3或2π3-35．（2022·江西九江·高一期末）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．3436．（2022·山东临沂·高一期末）sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-37．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A ．210-B ．210C ．7210D ．7210-二、多选题38．（2022·全国·高一）下列计算中正确的是（）A ．132sin15cos15222-︒=-︒B ．1sin 20cos10cos160sin102-︒︒︒=︒C ．sin 3cos 21212ππ-=-D ．62sin1054+︒=39．（2022·全国·高一单元测试）下列选项中正确的有（）A ．若α是第二象限角，则21tan 11sin αα-=-B ．212sin100cos 2801cos3701cos 170︒-︒-︒︒-=C ．2cos10sin 203sin 70︒-︒=︒D ．1tan1531tan15+︒=-︒40．（2022·全国·高一）设θ的终边在第二象限，则1sin cossin22θθθ--的值可能为（）A ．1B ．-1C ．-2D ．241．（2022·全国·高一课时练习）下列各式中，值为32的是（）A ．2sin15cos15︒︒B ．212sin 15-︒C ．22sin 15cos 15︒+︒D ．23tan151tan 15-︒︒42．（2022·江苏·南京市中华中学高一期中）下列各式中值为1的是（）A ．sincos1212ππB ．sin 72cos18cos 72sin18︒︒+︒︒C ．tan12tan 331tan12tan 33︒︒︒︒+-D ．222(cossin )88ππ-43．（2022·贵州黔东南·高一期中）下列化简正确的是（）A ．22sin 18cos 18cos36︒-︒=︒B ．tan 57tan1211tan 57tan12︒-︒=+︒︒C ．1sin15sin 754︒︒=D ．22tan1tan 88ππ=-44．（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）已知函数()3sin 4cos f x x x =+，则（）A ．π是函数()f x 的一个周期B ．直线()Z 2k x k π=∈为函数()f x 的对称轴C ．函数()f x 的最大值是5D ．()4f x =在[]0,π有三个解三、填空题45．（2022·天津南开·高一期末）cos 66cos84sin 66sin 84︒︒︒︒-的值是_____.46．（2022·江西九江·高一期末）化简：sin 2cos sin 1cos21cos 1cos αααααα⋅⋅=++-__________．47．（2022·全国·高一课时练习）计算：tan 35tan 251tan 35tan 25+=-︒︒︒︒______________．48．（2022·全国·高一课时练习）若5π7π22α<<，则1sin 1sin αα++-=_______________．49．（2022·全国·高一课时练习）tan 70tan10tan120tan 70tan10︒-︒︒︒+︒=______．50．（2022·全国·高一课时练习）设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______．51．（2022·全国·高一课时练习）已知tan θ是方程2610x x -+=的一根，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____.52．（2022·全国·高一专题练习）设1tan 2α=，()4cos 5πβ+=-，()0,βπ∈，则()tan 2αβ-的值为____.53．（2022全国·高一专题练习）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,5sin 5θ=,则cos 2tan θθ=____.四、解答题54．（2022·陕西·延安市第一中学高一）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．55．（2022·全国·高一单元测试）已知cos α55=，sin （α﹣β）1010=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．56．（2021·江苏·高一）已知α为第二象限角，且sin 2cos 0αα+=.（1）求cos α，tan 2α的值；（2）求1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+的值.57．（2020·全国·高一）已知sin 22sin sin 4242απαπα=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求25sin 23sin cos ααα-的值．58．（2022·全国·高一）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若02πβ-<<，3cos 243βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求αβ-的值．59．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()0a R θπ∈∈，，.（1）求a θ，的值；（2）若2452f απαπ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案详解】1．C【分析】根据两角和的余弦公式可得π3cos 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】πcos cos 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭133331πcos cos sin cos sin 3(cos sin )3cos()12222226θθθθθθθθ∴+-=-=-=+=，π3cos 63θ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.故选：C 2．B【分析】由,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，结合已知及和差角余弦公式可得12coscos223αβαβ+-=，进而可得1cos 23αβ+=，最后由倍角余弦公式求值.【详解】因为1cos cos 3αβ+=，所以12cos cos 223αβαβ+-=，因为23παβ-=，所以1cos22αβ-=，于是1cos 23αβ+=，所以27cos()2cos 129αβαβ+⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭．故选：B 3．B【分析】判断2αβ-，2αβ-的范围，求得()2sin 22αβ-=，()2cos 22αβ-=，将()cos αβ+化为()()cos 22αβαβ⎡⎤---⎣⎦，利用两角差的余弦公式即可求得答案.【详解】因为ππ42α<<，π04β<<,所以π2π4αβ<-<，ππ242αβ-<-<,因为()2cos 22αβ-=-，所以()2sin 22αβ-=,因为()2sin 22αβ-=，所以()2cos 22αβ-=,所以()()()cos cos 22αβαβαβ⎡⎤+=---⎣⎦()()()()cos 2cos 2sin 2sin 2αβαβαβαβ=--+--222202222=-⨯+⨯=,故选：B 4．B【分析】利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】解：1331sin15cos15cos15sin152222︒⎛⎫--︒-︒ ⎪ ⎪⎝⎭︒=()2cos 3015cos452=-︒+︒=-︒=-.故选：B.5．A【分析】根据余弦的差角公式即可化简求值.【详解】()2cos72cos 27sin 72sin 27cos 7227cos 452︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．故选：A 6．C【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.【详解】因为1sin sin 3-=αβ，22cos cos 3αβ-=-，所以222222cos cos 1(sin )sin ))(()3(3αβαβ--+-=+，2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos 1αβαβαβαβ⇒+-++-=，112sin sin 2cos cos 2cos()1cos()2αβαβαβαβ⇒=+⇒-=⇒-=，因为α，(0,)2πβ∈，所以22ππαβ-<-<，因为1sin sin 03αβ-=>，而α，(0,)2πβ∈，所以αβ>，因此02παβ<-<，故αβ-=3π，故选：C 7．D【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求解即可.【详解】∵π0π2αβ<<<<，∴π3π22αβ<+<，∵3sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，∴4cos 5α=，()3sin 5αβ+=±.则()()()24sin sin sin cos cos sin 25βαβααβααβα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦或0.∵ππ2β<<，∴24sin 25β=.故选：D 8．B【分析】利用同角三角函数的平方关系求出α余弦、β正弦，再由两角差的正弦展开式计算可得答案.【详解】∵α，β均为锐角，且5sin 5α=，10cos 10β=，∴225cos 1sin 5αα=-=，2310sin 1cos 10ββ=-=，∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-5102531025105102=⨯-⨯=-.又∵α，β均为锐角∴ππ22αβ-<-<.∴π4αβ-=-.故选：B.9．D【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的关系求解即可.【详解】sin sin()13πθθ++=，则13sin sin cos 122θθθ++=，即33sin cos 122θθ+=，故313sin cos 223θθ+=，所以3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故236cos 1633πθ⎛⎫⎛⎫+=±-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以323tan 6263πθ⎛⎫+==± ⎪⎝⎭±故选：D 10．D【分析】利用诱导公式、逆用差角的正弦公式将已知变形为sin()1αϕ-=，再求出αϕ-即可求解作答.【详解】由2παβ+=得2πβα=-，3sin sin 10αβ-=化为：3sin cos 10αα-=，即31sin cos 11010αα-=，令cos ,sin 113100ϕϕ==，于是有sin()1αϕ-=，则有π2π,Z 2k k αϕ-=+∈，即π2π,Z 2k k αϕ=++∈，所以10cos sin 10α=-ϕ=-.故选：D 11．C【分析】利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.【详解】3sin10cos50sin100cos 40sin10cos50cos10sin 50sin 602︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=.故选：C 12．C【分析】根据两角和正弦公式，化简即可求解.【详解】由两角和正弦公式，可得31sin15cos15cos30sin15sin 30cos1522︒+︒=︒︒+︒︒()2sin 1530sin 452=︒+︒=︒=.故选：C.13．C【分析】由180A B C ++=︒可知()tan tan A C B +=-，即tan tan 1tan t tan an A CB A C+=--，再将题干等式代入化简，即可得出答案.【详解】因为180A B C ++=︒，所以()tan tan A C B +=-，因为tan tan tan 33A B C ++=，所以tan tan 33tan A C B +=-.又2tan tan tan B A C =，所以由()tan tan tan 1tan tan A CA C A C++=-得233tan tan 1tan B B B--=-所以()2tan 1tan 33tan B B B --=-，所以3tan 33B =，所以tan 3B =.又0180B ︒<<︒，所以60B =︒.故选：C.14．B【分析】根据()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，所以()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()tan tan 41tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯.故选：B 15．A【分析】()()tan 80tan 2060αα⎡⎤+︒=+︒+︒⎣⎦，结合诱导公式、正切和公式化简展开，可解得()tan 20α+︒，即可求解【详解】由题4sin4204sin6023︒=︒=，故()()()()()()tan 20+tan60tan 20+3tan 80tan 2060231tan 20tan601tan 203αααααα+︒︒+︒+︒=+︒+︒===-+︒⋅︒-+︒⋅，可解得()3tan 207α+︒=，故()7tan 203α︒+=，故选：A 16．C【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解.【详解】()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒.故选：C.17．B【分析】根据两角和的正切可求4ab =，再根据tan1523︒=-得到()2367434a <-<，从而可得正确的选项.【详解】因为tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒+︒=︒=-︒︒，故tan 21tan 241tan 21tan 24︒+︒=-︒︒，故()()21tan 211tan 24=+︒+︒，同理()()21tan 221tan 23=+︒+︒，故4ab =，故B 成立.而tan15tan 21tan 231,0tan 22tan 241,︒<︒<︒<<︒<︒<故a b <，故A 错误.而tan 45tan 30tan15231tan 45tan 30︒-︒︒==-+︒︒，故()233a >-因()2343,a b ab <<=-，故()2323a -<<，所以()2367434a <-<，又若229a b +=，则22169a a +=，解得29172a -=，因为()()367433674 1.733 2.448->-⨯=，9179 4.123 2.438522--<=，故22169a a +=无解，故D 错误.若2245a b =-，则221645a a=-，则26256222a =-<-⨯=，这与()22.448367443a -<<<矛盾，故D 错误.故选：B.18．B【分析】对已知的式子化简，然后利用两角和的正切公式可求出结果【详解】由()()13tan 13tan 4αβ--=，得13tan 3tan 3tan tan 4βααβ--+=，所以13tan 3tan 3tan tan 4βααβ--+=所以()()3tan tan 31tan tan βααβ-+=-，所以tan tan 331tan tan 3αβαβ+=-=--，所以tan()3αβ+=-，因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()0,αβπ+∈，所以23παβ+=，故选：B19．(1)45；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答.（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计算作答.（1）因1tan 22α=，则222212sincos2tan242222sin 2sin cos 1225sin cos tan 1()12222ααααααααα⨯=====+++.（2）因1tan 22α=，则2212tan2422tan 131tan 1()22ααα⨯===--，又tan()2αβ-=，所以42tan()tan 3tan(2)tan[()]241tan()tan 123αβαβααβααβα+-+-=--+=-=-=---⨯．20．（1）72；（2）6365.【分析】（1）对原式弦化切后求值即可；（2）由已知()sin ,cos ααβ+及同角三角函数平方和是1求出()cos ,sin ααβ+，对β变形成()βαβα=+-，再利用两角差的余弦公式计算.【详解】解：（1）tan 3α=，2sin cos 2tan 175cos sin 5tan 2αααααα++∴==--；（2）4sin 5α=且α是锐角，3cos 5α∴=，()5cos 13αβ+=且()0,αβπ+∈，()()212sin =1cos 13αβαβ∴+-+=，()()()5312463cos cos cos cos sin sin 13513565βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++=⨯+⨯=⎣⎦.21．（1）3π；（2）12．【分析】（1）根据1cos 7α=及α的范围，可得sin α的值，同理可得sin()αβ-的值，由题意()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的余弦公式，展开化简，结合β的范围，即可得答案.（2）根据两角和、差的余弦公式，展开化简，可得sin sin αβ、cos cos αβ的值，两式相除，即可得答案.【详解】（1）因为1cos 7α=，02πα<<，所以243sin 1cos 7αα=-=，又13cos()14αβ-=，02πβα<<<，所以02παβ<-<，所以233sin()1cos ()14αβαβ-=--=所以()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-113433317147142=⨯+⨯=，因为02βπ<<，所以3πβ=（2）1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，3cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，解得1sin sin 5αβ=，2cos cos 5αβ=，所以1sin sin 15tan tan 2cos cos 25αβαβαβ===．22．C【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.【详解】由已知1sin cos 23παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以22114cos 2cos 2cos 1cos 21339αααα⎛⎫+=-+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，故选：C.23．(1)34；(2)43.【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.（1）由πtantantan 1π1242tan()222tan π24231tan tan 1tan 242αααααα+++=⇒=⇒=⇒=--，所以22122tan332tan 141tan 1()23ααα⨯===--；（2）221cos 2sin 212cos 12sin cos 2cos (cos sin )14.1cos 2sin 21(12sin )2sin cos 2sin (sin cos )tan 3ααααααααααααααααα+++-++====-+--++24．(1)12(2)43310-【分析】（1）两边同平方，根据二倍角公式和同角平方关系，即可求解.(2)通过凑角()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦和差公式，即可求解.(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a αααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，1sin 2a =.(2)因为αβ，都是锐角,所以0αβ<+<π，()()24sin 1cos 5αβαβ+=-+=，13sin cos 22a a =⇒=，()()()43sin cos c 0s 31433si o 55n sin sin 221αβααβααββα-=-+=+-=+-=⨯⨯⎡⎤⎣⎦25．D【分析】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.【详解】4sin(π)sin 5θθ-==，由于π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5θθ=-=，所以4324sin 22sin cos 25525θθθ==⨯⨯=.故选：D 26．C【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C 27．D【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.【详解】()cos 1sin 2sin cos θθθθ--()()222cos sin cos 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ+--==--()()222cos sin cos tan 121cos sin cos sin cos tan 1105θθθθθθθθθθ--=-====++.故选：D.28．D【分析】根据三角函数的和差公式、倍角公式逐一算出每个选项对应式子的值，然后可选出答案.【详解】11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=，22πππ3cos sin cos 121262-==，()1cos 42sin12sin 42cos12sin 1242sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-，2tan 22.511tan 451tan 22.522=︒=-︒︒，故选：D.29．A【分析】利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式对已知式子化简，然后代值求解即可.【详解】因为1cos 43x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22cos 2cos sin cos cos sin sincos 444x x x x x x πππ-=⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()cos sin cos sin 2cos sin 2x x x x x x -+=+cos sin 22x x-=2cos 422x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1223322⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故选：A 30．1【分析】利用诱导公式进行化简，在逆用正弦和角公式求出答案.【详解】()()()sin 120cos570cos 300sin 1050-︒⋅︒+-︒⋅-︒()()()()sin 60180cos 570360cos 300360sin 10501080=︒-︒⋅︒-︒+-︒+︒⋅-︒+︒sin 60cos 210cos60sin 30=-︒︒+︒︒()sin 60cos 18030cos60sin 30=-︒︒+︒+︒︒sin 60cos 30cos 60sin 30=+︒︒︒︒()sin 6030sin 901=︒+︒=︒=.31．(1)7(2)34π【分析】（1）根据0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ，得到1tan ,tan 23αβ==-，再利用两角差的正切公式求解；（2）利用两角和的正切公式求解.（1）解方程23520x x +-=得121,23x x ==-．因为0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ，所以1tan ,tan 23αβ==-，则12tan tan 3tan()711tan tan 1(2)3αβαβαβ+--===++⨯-．（2）1(2)tan tan 3tan()111tan tan 1(2)3αβαβαβ+-++===---⨯-．因为0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ，所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而34αβπ+=．32．D【分析】根据正切函数的和角公式，由()()2ααβαβ=++-，可得答案.【详解】21tan()tan()1354tan 2tan[()()]211tan()tan()18154αβαβααβαβαβαβ+++-=++-===-+--⨯．故选：D.33．A【分析】利用余弦的二倍角公式对已知式子化简可求得答案【详解】由2cos 2cos αα=，得222cos 1cos αα-=，2cos 1α=，因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 1α=，故选：A 34．B【分析】根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．【详解】解：tan α、tan β是方程23340x x ++=的两个根，tan tan 33αβ∴+=-，tan tan 40αβ=>，tan 0α∴<，tan 0β<，即α、π(2β∈-,0)，则tan tan 33tan()31tan tan 14αβαβαβ+-+===--，则2π3αβ+=-，故选：B ．35．A【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.【详解】因为3sin sin 5αβ+=，所以22sin sin 2sin sin 259αβαβ++=（1），因为4cos cos 5αβ+=，所以22cos cos αβ+162cos cos 25αβ+=（2），（1）+（2）得22cos()1αβ+-=，∴1cos()2αβ-=-.故选：A ．36．C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos70︒=︒-︒=-︒；∴原式sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()3cos 7040cos 302=︒-︒=︒=.故选：C 37．B【分析】利用同角三角函数的基本关系求出πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式可求得sin α的值.【详解】因为π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ442α<+<，所以，2ππ3cos 1sin 445αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，ππππππ2sin sin sin cos cos sin 44444410αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.38．ABCD【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解【详解】解：对于A ，13sin15cos15sin15cos 6022︒︒︒-=︒-()sin 60cos15sin 1560︒︒-︒=︒()2sin 452︒=-=-，故正确；对于B ，sin 20cos10︒︒-cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10=+︒︒︒︒︒︒=1sin(2010)sin 302︒︒︒+==，正确；对于C ，sin3cos2sin cos sin cos 2sin 2sin 212121233121234πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确；对于D ，()321262sin105sin 6045sin 606022224cos 45cos sin 45︒︒︒︒︒+︒︒+=+=⨯+⨯==，正确.故选：ABCD 39．ABCD【分析】对于A ，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B ，可利用()2sin cos 12sin cos αααα-=-及同角三角函数基本关系化简；对于C ，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D ，可利用二倍角的正切公式化简.【详解】对于A ，因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，从而21cos tan 1tan 1sin sin ααααα-==-，所以A 正确；对于B ，212sin100cos 28012sin 80cos80sin 80cos801cos10sin10cos10sin10cos3701cos 170---===--︒-︒︒︒︒︒-︒︒，所以B 正确；对于C ，()2cos 3020sin 202cos10sin 203cos 203sin 70cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒---==︒=，所以C 正确；对于D ，()1tan15tan 45tan15tan 451531tan151tan 45tan15++==+=--⋅︒︒︒︒，所以D 正确.故选：ABCD.40．AB 【分析】先求得2θ的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.【详解】∵θ的终边在第二象限，∴π2π2ππ2k k θ+<<+，Z k ∈，∴ππππ24222k k θ+<<+，Z k ∈，222sin cos sincos sin cos 2sin cos 221sin 222222cos sin cos sin cos sincos sin22222222θθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫--+- ⎪-⎝⎭===----，故当ππ2π2π422k k θ+<<+，Z k ∈时，sin cos 022θθ->，sincos1sin 221cos sin cos sin 2222θθθθθθθ--==---当5π3π2π2π422k k θ+<<+，Z k ∈时，sin cos 022θθ-<，cossin1sin 221cos sin cos sin 2222θθθθθθθ--==--.故选：AB 41．BD【分析】利用二倍角正弦公式可判断A;利用二倍角余弦公式判断B;利用同角三角函数的关系判断C;利用二倍角的正切公式判断D.【详解】对于A ，12sin15cos15sin 302︒︒=︒=,错误；对于B ，2312sin 15cos 302-︒=︒=,正确；对于C ，22sin 15cos 151︒+︒=,错误；对于D ，223tan1532tan1533tan 301tan 1521tan 1522︒︒=⋅=︒=-︒-︒，正确,故选:BD.42．BCD【分析】利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．【详解】解：对于A ：1111sincossin 121226224πππ==⨯=，选项A 错误；对于B ：sin 72cos18cos 72sin18sin(7218)sin 901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，选项B 正确；对于C ：tan12tan 33tan(1233)tan 4511tan12tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒，选项C 正确；对于D ：2222(cos sin )2cos218842πππ-==⨯=，选项D 正确．故选：BCD ．43．BCD【分析】利用二倍角公式公式及和差角公式计算可得；【详解】解：对于A ：()2222sin 18cos 18cos 18sin 18cos 36︒-︒=-︒-︒=-︒，故A 错误；对于B ：()tan 57tan12tan 45tan 571211tan 57tan12︒-︒︒=︒-︒==+︒︒，故B 正确；对于C ：11sin15sin 75sin15cos15sin 3024︒︒=︒︒=︒=，故C 正确；对于D ：22tan8tan141tan 8πππ==-，所以22tan 1tan 88ππ=-，故D 正确；故选：BCD 44．ABC【分析】利用周期函数定义判断A ；利用轴对称的意义推理判断B ；求出函数()f x 的最大值判断C ；探讨()4f x =在[0,]2π上的解的情况判断D 作答.【详解】对于A ，因()()3sin()4cos()3sin 4cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，π是函数()f x 的一个周期，A 正确；对于B ，Z k ∈，()3sin()4cos()3|sin |4|cos |()f k x k x k x x x f x πππ-=-+-=+=，因此，直线()Z 2k x k π=∈为函数()f x 的对称轴，B 正确；对于C ，当02x π≤≤时，()3sin 4cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，锐角ϕ由4sin 53cos 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，(,)43ππϕ∈当2x ϕπ=-时，()max 5f x =，由选项B 知，()f x 在[]0,π上的最大值为5，由选项A 知，()f x 在R 上的最大值为5，C 正确；对于D ，当02x π≤≤时，由选项C 及()4f x =得4sin()5x ϕ+=，此时0x =，或2(0,)2x ππϕ=-∈，即()4f x =在π[0,)2上有两个解，由选项B 知，()4f x =在(,]2ππ有两个解，因此，()4f x =在[]0,π有四个解，D 不正确.故选：ABC 45．32-##132-【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.【详解】()cos 66cos84sin 66sin 8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos302=︒-︒=-︒=-.故答案为：32-.46．1【分析】使用二倍角公式及同角三角函数平方关系化简求值.【详解】因为sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=+，22sin cos 1αα+=，所以222sin 2cos sin 2sin cos cos sin sin 11cos21cos 1cos 2cos 1cos 1cos 1cos ααααααααααααααα⋅⋅=⋅⋅==++-+--．故答案为：147．3【分析】由正切和差角公式即可得到答案.【详解】原式()tan 3525tan 603=︒+︒︒==．故答案为:3.48．2sin2α-【分析】利用同角关系“221sincos 22αα=+”，以及二倍角的正弦公式sin 2sincos 22ααα=，把根号配成完全平方式，开出来，根据α的范围去绝对值整理得答案.【详解】1sin 1sin 12sin cos 12sin cos2222αααααα++-=++-22sin cos sin cos 2222αααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincossincos2222αααα=++-，由于5π7π22α<<，所以5π7π424α<<，当25π3π42α<<时，sin cos 022αα<<，原式sin cos sin cos 2sin 22222ααααα⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当432π7π2α≤<时，sin cos 022αα->>，原式sin cos sin cos 2sin 22222ααααα⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，原式2sin 2α=-．故答案为：2sin 2α-.49．3【分析】利用两角差的正切公式化简求值即可.【详解】解：()()tan 70101tan 70tan103tan 70tan10tan120tan 70tan10tan 70tan10︒-︒+︒︒-︒-︒+︒︒︒=︒︒33tan 70tan1033tan 70tan10+︒︒-==︒︒．故答案为：3.50．0【分析】判断函数的奇偶性，转化为函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，进而利用二倍角余弦公式转化为二次函数最值问题即可.【详解】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.故答案为：0.51．13【分析】依题意可得2tan 6tan 10θθ+=-，再根据同角三角函数的基本关系将切化弦，整理得22sin 6sin cos cos 0θθθθ-+=，即可求出sin 2θ，再根据二倍角余弦公式及诱导公式计算可得.【详解】解：tan θ是方程2610x x -+=的一根，2tan 6tan 10θθ∴+=-，则22sin s 0co in 61co s s θθθθ-+=，可得22sin 6sin cos cos 0θθθθ-+=，可得1sin cos 6θθ=，1sin 22sin cos 3θθθ∴==，211cos 211sin 2123cos 42223πθπθθ⎛⎫++-⎪-⎛⎫⎝⎭∴+==== ⎪⎝⎭．故答案为：1352．724【分析】首先求出tan 2α，再根据同角三角函数的基本关系求出tan β，最后利用两角差的正切公式计算可得.【详解】解：1tan 2α=，222tan 14tan 21tan 3112ααα∴===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()4cos cos 5πββ+=-=-，()0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()tan 2tan 7tan 21tan 2tan 24αβαβαβ-∴-==+．故答案为：72453．65##1.2【分析】根据同角公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin 5θ=，所以2125cos 1sin 155θθ=-=-=，5sin 15tan cos 2255θθθ===，则2241cos 2cos sin 6551tan tan 52θθθθθ--===.故答案为：6554．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665-或1665.【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=.点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.55．（Ⅰ）210；（Ⅱ）4π．【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴α﹣β∈（2π-，2π），∵5cos 5α=，()10sin 10αβ-=，∴sin α2251sin 5α=-=，cos （α﹣β）()23101cos 10αβ=-+=，∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α31051025210510510=⨯-⨯=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sinαsin （α﹣β）5310251025105102=⨯+⨯=，又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键.56．（1）5cos 5α=-,4tan 23α=；（2）4.【分析】（1）根据22sin cos 1αα+=，解出cos α，sin α，求出tan α，根据正切的二倍角公式求出tan 2α；（2）化简得到1sin 1sin 2tan 1sin 1sin ααααα+--=--+，从而求出答案.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=且22sin cos 1αα+=，解方程组得到5cos 5α=，25sin 5α=-（舍去）或5cos 5α=-，25sin 5α=所以tan 2α=-()()22222tan 4tan 21tan 312ααα⨯-===---；（2）()()()()1sin 1sin 1sin 1sin 2sin 2tan 1sin 1sin cos 1sin 1sin ααααααααααα+--+--===--+-+=4.【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
