八年级数学下册16.2.2第1课时二次根式的加减课件新版沪科版

《16.2二次根式的运算》
2.二次根式的加减
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数，也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0， a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式 (2)被开方数相同,根指数相同
例题解析
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
48
18
50
3
4
x
例3.细心算一算
(1)( 8 2 0.25) ( 11 50 2 72)
8
3
(2)( 80 14) ( 31 4 45) 5 55
(3)2a 3ab2 (b 27a3 2ab 3 a)
பைடு நூலகம்
6
4
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减法的步骤：
交流 归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式 （2）找出其中的同类二次根式 （3）合并同类二次根式
一化 二找 三合并
例2计算：
(1)2 12 6 1 3 48 3
(2)( 12 20) ( 3 5)
(3) 2 9x 6 x 2x 1
23 43 32 52
1
22
32 42
1
45
1 3
35 23
2

(2) 36 ; 5
(4)x2 y ; x
(5) x x2 y 4xy2 4y3(x 0,y 0 ).
x2y
x
3．化简步骤：
（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式 的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化 成质因数（或因式）的幂的积的形式；
（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因 式），用它的算术平方根代替，移到根号外， 其中把根号内的分母中的因式移到根号外时， 要注意写在分母的位置上；
3
3

2a
a 3Biblioteka 3 32a
3a 3
.
最简二次根式：
定义：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简 二次根式．
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
例１．判断下列各式哪些是最简二 次根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a3b; (3) x2 y2 ;
（3）“三化”，即化去被开方数中的分母．
例3．把下列各式化成最简二次根式：
(1) 45 3 5;
(2) 36 6 5 ; 55
(3) 4x3y 2 x xy;
(4)x2 y x xy; x
(5) x x2y
＝ xy.
x2 y 4xy2 4y3(x 0,y 0 ) x
同类二次根式：
1．定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如 果被开方数相同，这几个二次根式就叫做 同类二次根式．
2．注意：判断几个二次根式是否是同类二次根式时： 第一步，将它们化成最简二次根式； 第二步，看它们的被开方数是否相同．
二次根式的加减法：
(1) 45＋ 36 ＝ 3 5＋ 6 5＝ 21 5;

4 x3 x
( x
4 53 5 (43) 5
7 x
5
(1)2 81 181 32 24
解：原式= 4 23 2 2 化简 2
如果结果中 有分数，用 假分数表示
(431) 2
2 9 2
别漏了“1”.
2
(2) 24 12 2 1 6 2 38
解：原式= 261 2261 26 234
(221) 6(11) 2
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么疑惑？
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
简单地说：一化，二找，三合并。
3．判断：下列计算是否正确？ Zx xk 如有错误，说出错误原因并改正。
1 8 2 6
22 2 2
2235275
2 3与5 2不是同类二次根式， 所以不能合并。
例题讲解Z x xk
计算: (1 )1x6 9x (2 )8 045
解：(1) 16x 9x (2) 80 45
解：原式= 55 22 5
先化 简

化成最简 二次根式
合并被开方 数相同的二
次根式
新知探究
例2 计算： （1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
解：（1）（ 2+3）（ 2-5）=（ 2）2 +3 2-5 2-15 =2-2 2-15= -13-2 2 ；
思考:（1）中, 每一步的依据是什么？ 第一步的依据是: 多项式乘多项式法则; 第二步的依据是: 二次根式化简, 合并被开方数 相同的二次根式(依据是: 分配律); 第三步的依据是: 合并同类项．
八年级数学沪科版·下册
第十六章 二次根式
16.2.2.1二次根式的加减
新课引入
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板, 能否采用如图所 示的方式, 在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和 18 dm2的正方形木板?
能截出两块正方形木
7.5 dm
板的条件是什么? 能用数 学式子表示吗?
8
18
5 dm
用分配 律合并
整式 加减
这里的两个二次根式有什么特征？ 被开方数相同, 即为同类二次根式．
新知探究
算式 8+ 18 与算式3 2- 2 有什么相同点与不同 点？
请化简算式 8+ 18 , 并说出每一步化简的理由.
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 二次根式
用分配 律合并
整式 加减
新知探究
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 二次根式
用分配 律合并
整式 加减

形式上都是二次根式，实质上
5 0 不是最简二次根式，可以化简：5 2
但4 2 是最简二次根式
50 18 32和523242
还可以化简吗？二次根式的加减
50 5 2 18 3 2 32 4 2
50 18 32
几个经二过次化根简式以化 成最后简有二什次么根共式 后，如同果特被征开？方 数相同，这几个 二次根式就叫做 同类二次根式。
解：212+348-475 =43+123-203 =-4 3
例5：计算：
1 3+1 3-1
2
2
6-23 -63-
3
解：1
3 + 1
2
3 -1=3-1 2= 3 -1 = 2
2
2
6-23 -63-
3
2
2
= 6 -2 623+23 -63+63
= 6-122+ 12-18+ 63
一化 二找 三合并
计算 不是同类二
(1)
2
81 2
1次8 根1 4式3不2能
?
(2) 合并 24 12 2 1 6 2 38
解：(12)原式＝26412232 262126
22 3 4
23 24 1326 121 21 4
2 不要写 成带分
5
9
62
2 3
2
数
34
一路下来，我们结识了很多新知识， 也有了很多的新想法。
16.2 二次根式的运
算
八年级数学沪科版
—
二次根式的加减
开始上课
温故知新
二次根式计算、化简 最
的结果应符合什么要求？ 简
（1）被开方数的因数是

沪科版八年级下册
（第1课时）
二次根式
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
x≥3
x≤6
∴3≤x≤6
x≥1
x≤1
∴x=1
x为任何实数.
x为任何实数.
这个结果能否化简？如何化简？
你发现了什么？用你发现的规律填空：
10
10
2、计算:
=
=
不成立！
例1 计算：
解：
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数.
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘.
计算：
解：
解：
计算：
有什么发现？
=
=
根据你发现的规律填空：
例2 计算：
解:
1、被开方数的因数是整数，因式是整式；
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的情势.
下列根式中，哪些是最简二次根式？
√
×
×
×
×
×
√
√
√
例
3
化
简
:
解:
计算：
解：（1）
解法一：
解法二：
在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式.
计算：
二次根式的混合运算,从左向右依次计算.最简二次根式源自1、化简：2、计算：

2
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式 运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法 则、乘法公式仍然适用.
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab＋b2.
例5 计算：
（1） 3 1 3 1 ；
解
3 1
2
3 1 = 3 12 =3 1=2.
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式 进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式 进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
计算： （1）（ 8+ 3） 6 ； （2）（4 2-3 6） 2 2 ． （1）（ 8+ 3） 6 = 8 6 + 3 6 = 48+ 18 = 4 3 + 3 2 ； （2）（4 2-3 6 ） 2 2 =4 2 2 2-3 6 2 2=2- 3 3 ．
= 37 2 6 5 3 5
=7 6 6 3
= 20 6. 3
随堂练习
1.二次根式：① 12 ；② 23 ；③ 2 ；④ 27中，能
3
与 3 合并的二次根式是( C ) A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④
2. 计算(
24 - 3
15 2
2 2) 3
2 的结果是( A )．
A．20 3-3 30
2. 二次根式的加减
复习导入
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
观察
下列二次根式有什么共同特征：
（1） 2,3 2, 2 2, 1 2,… 53
（2） 3,17 3, 5 3, 2 3,… 13

2
3
注意：判断一组式子(shìzi)是否为同类二次根式，只需看
化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次根
式前面的因式及符号无关．
第四页，共11页。
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2, 1
2
C. 4ab , ab2 D. a 1, a 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
3.如果最简二次根式 mn2 2与 m n 是同类二次根式,求m、n 的值.
第五页，共11页。
例1计算： （1）12 75
比较二次根式的加减 (jiā jiǎn)与整式的加减 (jiā jiǎn)，你能得出什 么结论？
（2） 80 45
二次根式的加减实质(shízhì) 是合并同类二次根式．
计算 8 18 4 2
(jì suàn ):
2 23 24
2 3 4 2
2
如何合并 同类二次
9 2
根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果(jiē guǒ)的系数,根号及根 号内部都不变,
总结二次根式加减(jiā jiǎn)运算的步 骤
第七页，共1Βιβλιοθήκη 页。二次根式(gēnshì)加减法的步骤：
（3） 9a 25a
整式的加减的实质(shízhì)是
合并同类项．
解：
1 12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
2 80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3 9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并

2 1 1 2 3 6 (4)原式＝ 1 ＝ 6 ＝ 5 5 2 6 5 2
把系数相除 ，仍旧作为 二次根号前 的系
1
3
25 4
3 5
2 2
2
4
0.01 0.49
9 25
1 5 1 2
6
5 8
总结
• 在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式 (2) 最后结果中的二次根式要求写成最简的二 次根式的形式
2
2
2 • 10
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简
补充练习
8 2 (1)化简 13 13
2 2
(2)若b>0，x<0，化简：
b 2 ( x)
4
练习：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立 （ 2 ）＝ 4 （ 1 ）8 •
2 _____, 2 3
3 3 3 3 3 3 6 6 3 _____, 3 _____; 4 4 8 8 8 8 4 4 15 15 4 _____, 4 _____; 15 15 15 15 5 5 5 5 30 30 5 _____, 5 _____; 12 12 24 25
（2） 2 5• （ 5 ）＝ 10
3 2 （3） a－1 • （ a－ 1）＝ a－1 （4） ＝ 6
2.把下列各式的分母有理化：

3

－8 3 （1） 8
3.化简：
3 2 （2） 27
（3）
5a 10a
（4）
2y 2 4 xy
（1）－ 19 ÷ 95
1 3 1 （2） 9 ÷ （－ 2 ） 48 2 4

二次根式运算也适用整式的运算律
四、合作探究
练一练
1.计算 (2 5)2020 (2 5)2021 2 | 5 | ( 2)0的结果是（ C ）
2
A. 3 2 5
B.2 2
C.1
D. 5
五、当堂检测
1.二次根式： 12、 3、18、27 中，与 3 能进行合并的是（ C ）
2
A. 12与 3
27 2 3 3 32 3 5 3
(4)( 72 16) 8 ( 3 3)( 3 3)
原式= 72 8 16 8 [( 3)2 32 ]
= 72 8 16 8 (3 9) = 9 26 3 2 6 9 2
五、当堂检测
3.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b ，求（2*3）－
将几个二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根 式可以合并，并把他们称为同类二次根式.
三、自主学习
二次根式加减运算法则： 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，
再将同类二次根式进行合并.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被 开方数(式)不变.如：
3 3 5
四、合作探究
总结： 加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式化简； (2)找——找出同类二次根式； (3)并——把同类二次根式合并.
四、合作探究
练一练
1.下列计算正确的是 A. 2 2 2 C. 12 3 3
（ C） B. 3 2 3 2 D. 3 2 5
2.已知一个矩形的长为 48 ，宽为 12 ，则其周长为 12 3 .
四、合作探究
探究一 同类二次根式的应用
例1.如果最简二次根式 4a 5 与 13 2a 是同类二次根式. (1)求出a的值； (2)若a<x<2a，化简：| x 2 | x2 12x 36 解：(1)依题意有：4a-5=13-2a