二次根式的加减 课件

16.2.4二次根式的加减
沪科版 八年级下
新知导入
3 与 27 俩兄弟上次乘坐乘法快车 3 27 327 81 9 到有理 数王国游玩后，回到无理数王国，他们的国王问道：“你们 兄弟俩这次出访有理数王国有何收获？”兄弟俩异口同声的 答道：“加法！”并请国王欣赏：“ 3 27 3 27 30 ”， 两兄弟正在等待国王的嘉奖，谁知国王大发雷霆：“胡说！ 你俩本为同类，可以相加，合二为一，但不能用有理数那一 套，坏了我国的规矩，罚你二人到藏书阁学习二次根式的加 减法。”
作业布置
习题16.2 第3、4、5题
（3）合并同类二次根式；
（4）在二次根式的运算中实数的运算性质和法则同 样适用。
一化
二找 三合并
课堂练习
1.在下列各级根式中，是同类二次根式的是（B）
A. 2, 12 B. 2, 1 C. 2ab, ab2 D. a 1, a 1 2
课堂练习
2.与 12 是同类二次根式的是（D）
A. 32 B. 24 C. 125 D. 1 27
(1)( 3 1)( 3 1), (2)( 6 2 3)2 6(3 3)
解: (1)( 3 1)( 3 1) ( 3)2 12 3 1 2
(2)( 6 2 ຫໍສະໝຸດ )2 6(3 3)( 6)2 2 6 2 3 (2 3)2 6 3 6 3
6 12 2 12 18 6 3 6 3 12 2
中考链接
1．(2018上海)下计算 18 2 的结果是( C )
–
A.4 B.3 C. 2 2 D. 2
2．(2018长沙，)下计算正确的是( D )
A.a2 a3 a5 C.( x2 )3 x5
B.3 2 2 2 1 D.m5 m3 m2

这几个二次根式就叫做同类二次根式。 2可、直下接面根哪据些分根配式律是进最行简加二减次运根算式。，哪些不是？不是最简二次根式的，把它化简成最简二次根式。
几观个察二 下次列根式式子化各成是什__么__运__算___?__以后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 。
（4）
（）
若二式次子 根式加减和运算的步是骤同: 类二次根式，求x的值。
1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
（1） 50与 0.5 1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
(只能合并被开方数相同的二次根式）
（是 ）
如果所给的二次根式不是最简二次根式，
判断:下列计算是否正确?为什么?
判断几个二次根式是
（2） 12与 18 （不是 ） 同类二次根式的方法
几个二次根式化成___________以后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 。 同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
二同次类根 二式次加根减式运的算定的义基：本几方个法二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
同二类次二 根次式根加式减的运定算义的：基几本个方二法次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
12、判 下断面下哪列些各根组式二是次最根简式二是次否根为式同，类哪二些次不根是式？不? 是最简二次根式的，把它化简成最简二次根式。
练习
152871820 2
2 8 4 12 =1
2
3 80 20 5 3 5
练习
4 18( 98 27) 1023 3

第一课时 二次根式的加减
返回目录
归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：


+


；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
返回目录
方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
返回目录
考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
返回目录
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.

归纳总结：
二次根式的加减法： 二次根式的加减运算，其实就是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化为最并.
一化简二找相同的被开方数三合并.
例2 计算下列各式：
二次根式的加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
15.3 二次根式的加减运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式加减法法则.2.熟练进行二次根式的加减混合运算.
学习重难点
掌握二次根式加减法法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的加减混合运算.
复习巩固
最简二次根式需要满足的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
归纳总结：
随堂练习
C
.
6
拓展提升
D
D
归纳小结
1.二次根式的加减运算步骤：一化简二找相同的被开方数三合并.
2.二次根式加减法 首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
新知引入
知识点 二次根式的加减运算
做一做
1.计算下列各式：2.请将你的做法和大家进行交流.
含相同二次根式
合并
就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式也可以合并.
归纳：
可合并的二次根式的条件：（1）最简二次根式；（2）被开方数相同.
例题解析
例1 计算下列各式：

3
2
团风初中数学培训
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2 , 75 ,
1 ,
1 ,
2 3,
8ab3 ,6b
a ,3 2
50 27 3
2b
团风初中数学培训
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3x 5x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 D. 14a 22b 7a 11b
2
团风初中数学培训
1.同类二次根式的定义?
2.二次根式加减运算的步骤? 3.如何合并同类二次根式?
合并同类二次根式与合并同类项类似.
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小结
1．同类二次根式是相对于一组二次根 式而言的．判断几个二次根式是否为同 类二次根式，首先要把这几个二次根式 化为最简二次根式，然后再看它们的被 开方数，如果被开方数相同，那么原来 的几个二次根式就是同类二次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根
42 35 23 3
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下列3组根式各有什么特征?
(1) 2，3 2， 2 2，15 2，2 2 3
(2) 3,5 3,6 3,17 3, 2 3 13
(3) 2, 8,5 18 , 32 , 1 2
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几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
2. 80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3. 9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a

×
（2）如果两个正方形的面积分别是 18 和 8 ，那么大正方形的边
长比小正方形的边长大多少？
− = − = ( − ) =
几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开方
数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式.
练习：下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
， ，

（） −
+

= + + −
= − +
= +
=
练习 计算：
解：
（1）( − ) − ( + ��)= − − −
=− −
（2） − (
（3）


+


=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= + −
=
例 计算：


解：
− (
+ )




=
−
−


= − −
=−
练习 计算：
（1）


−
= − = −


（2） − (
= −


+
−



)

=

知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1

3 5 7 13.7
如图：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，E 点在AB上，DE=AE=EB=5。求平行四边形 D C ABCD的周长？
解：∵ DE⊥AB
2
A
2 2
E
2
B
∴ AD= AE DE 5 5 5 2 ∴周长 =AB+BC+CD+AD= 10+10+ 5 2 5 2 = 20+ 10 2 答：周长为２０＋10 2
2、利用二次根式解决实际问题
再见
8m + 18m
∴在这块木板上可以截出两个分别是8m2和18m2的正方形木板．
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次 根式 (2)把被开方数相同的二次根式合 并.(只能合并被开方数相同的二次
根式）
例1 计算
12
2 3 2
2 3 2 5 2
25
34
a 6 a 5 6 a a
21.3二次根式的加减
(第1课时)
1、什么是最简二次根式？
被开方数不含分母
被开方数不含能开得尽方的因数或因式
2、下面哪些根式是最简二次根式，哪些不是？ 不是最简二次根式的，把它化简成最简二次根 式。
9 5
最简
20
2 5
1 5
5 5
80 4 5
5a a 0
2
a 5
问题引入：
有一个三角形,它的 两边长分别为 20 和 80 ,
9 5 ( 1)( 80 1 ) ( 3 45 ) 5 5 5 5
4
1
4
ab 3 a (2 ) 2 a 3ab ( 27 a 2 ab a) 2 6 4

八年级数学上（XJ） 教学课件
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加减运算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地 对二次根式进行加减运算；（重点、难点）
2. 通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运 算的基本步骤．
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根 式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不 同的栅栏里吗？
能力提升： 6. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
课堂小结
例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆 心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). 解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，
面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得 R
S1，r π
二次根 式的加
减
法则 注意
一般地，二次根式的加减 时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并.
运算原理 运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运 算顺序一样
S2 . π
d
则 d R r S1 S2
ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3

$frac{sqrt{8}}{4sqrt{3}} = frac{2sqrt{2}}{4sqrt{3}} =
frac{sqrt{6}}{6}$
$frac{sqrt{2}}{sqrt{3} times sqrt{6}} =
frac{sqrt{2}}{sqrt{18}} = frac{sqrt{2}}{3sqrt{2}} =
除法示例
加减示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$，由于$sqrt{2}$ 和$sqrt{3}$不是同类项，不能直接合 并。但可以先化简为最简形式，再进 行加减运算。
$frac{sqrt{12}}{sqrt{3}} = sqrt{frac{12}{3}} = sqrt{4} = 2$。
THANKS
[ 感谢观看 ]
乘法法 则
公式
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$b geq 0$ ）。
解释
两个二次根式相乘，等于将它们的被开方数相乘。
乘法运算举例
例子1
$sqrt{3} times sqrt{4} = sqrt{3 times 4} = sqrt{12} = 2sqrt{3}$。
性质
二次根式具有非负性，即$sqrt{a} geq 0$（当$a geq 0$）。此外，当$a > 0$时，$sqrt{a}$有两个 实数解，通常取正值。
混合运算法 则
乘法法则
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（当$a geq 0$，$b geq 0$）。
例子2
$sqrt{8} times sqrt{12} = sqrt{8 times 12} = sqrt{96} = 4sqrt{6}$。