2016版《步步高》高考数学大二轮总复习：专题八 系列4选讲第3讲

第3讲导数的综合应用一、选择题1．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为________米时，容器的容积最大．解析由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x米，则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解15x2－11x－4＝0，得x＝1，x＝－415(舍去)．答案 12．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()．A．12 cm3B．72 cm3C．144 cm3D．160 cm3解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x∈(0，5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160 x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或203(舍去)，∴y max＝6×12×2＝144 (cm3)．答案 C3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是()．A．(－∞，7] B．(－∞，－20]C．(－∞，0] D．[－12，7]解析令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.答案 B4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x ＋1的解集为()．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 A5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f （n ）g （n ）的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ( )．A ．8B ．7C ．6D ．9解析 构造函数h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，由已知条件可知h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2>0，则h (x )在R 上为增函数，得a >1，又a ＋a－1＝52，解得a ＝2或a ＝12(舍去)． 所以f （n ）g （n ）＝2n ，其前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，由2n ＋1－2>62，解得2n ＋1>26，∴n >5，故n 的最小值为6，选C. 答案 C6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1，0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是 ( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，95 解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(x )≤0在x ∈(－1，0)上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈(－1，0)上恒成立，∴⎩⎨⎧2a －b －3≥0，b ≤0，∴a ，b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离d ＝35，∴a 2＋b 2≥d 2＝95，∴a 2＋b 2的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞. 答案 C 二、填空题7．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点． 答案 (－2，2)8．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________． 解析 ∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则1＋a cos x ≥0对任意实数x 都成立． ∵－1≤cos x ≤1，①当a >0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0<a ≤1； ②当a ＝0时适合；③当a <0时，a ≤a cos x ≤－a ， ∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]9．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析 (构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0，即x ∈[－1，0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1，0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 410．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析 如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝x m ， ∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)，又S △ADE ＝34x 2(m 2)，∴梯形的面积为34－34x 2(m 2)，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0＜x ＜1)，∴s ′＝－833×（3x －1）（x －3）（1－x 2）2，令s ′＝0，得x ＝13或3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′＜0，s 递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233.答案 3233 三、解答题11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)记一星期多卖商品kx 2件，若记商品在一个星期的获利为f (x )， 则f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)． 又由条件可知24＝k ·22，解得k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12).故，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 12．已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．思维启迪：(1)求导数f ′(x )→判断f ′(x )>0或f ′(x )<0→确定单调性． (2)根据单调性→求f (x )在[1，e]上的最小值→列方程求解． (3)f (x )<x 2→a >x ln x －x 3→求x ln x －x 3的最大值． 解 (1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax 2. ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0， 即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32， ∴a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0， 即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32， ∴a ＝－ e.综上所述，a ＝－ e. (3)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x . ∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数． g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．故a 的取值范围是[－1，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0， 即⎩⎨⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x 3－3x .(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， ∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，∴点A (1，m )(m ≠－2)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. ∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，∴切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1，整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0.∵过点A (1，m )可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根． 设g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0，由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或1.∴g (x 0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．∴函数g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0和1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是⎩⎨⎧g （0）>0，g （1）<0，解得－3<m <－2.故所求实数m 的取值范围是(－3，－2)． 14．已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a >1.(1)求证函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F （x ）－b ＋1b －3有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x 1，x 2∈[－1，1]时，都有|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，求a 的取值范围．(1)证明 ∵F (x )＝f (x )－g (x )＝a x ＋x 2－x ln a ， ∴F ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . ∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0，2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，即函数F (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． (2)解 由(1)知当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴F (x )取得最小值为F (0)＝1.由⎪⎪⎪⎪⎪⎪F （x ）－b ＋1b －3＝0， 得F (x )＝b －1b ＋3或F (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F （x ）－b ＋1b －3有四个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧b －1b ＋3>1，b －1b －3>1，即b －1b >4，即b 2－4b －1b>0， 解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞)．(3)解 ∵任意x 1，x 2∈[－1，1]，由(1)知F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴F (x )min ＝F (0)＝1.从而再来比较F (－1)与F (1)的大小即可． F (－1)＝1a ＋1＋ln a ，F (1)＝a ＋1－ln a ， ∴F (1)－F (－1)＝a －1a －2ln a . 令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝（x －1）2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0.∴F (1)>F (－1)． ∴|F (x 2)－F (x 1)|的最大值为|F (1)－F (0)|＝a －ln a ， ∴要使|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立， 只需a －ln a ≤e 2－2即可．令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a >0， ∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－2，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.故a的取值范围是(1，e2].。

第3讲 圆锥曲线的综合问题1．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 22．(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．思维升华 解决范围问题的常用方法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．思维升华 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．跟踪演练2 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．热点三探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)．(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．思维升华 解决探索性问题的注意事项：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．提醒：完成作业 专题六 第3讲二轮专题强化练专题六第3讲 圆锥曲线的综合问题A 组 专题通关1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1b C ．0<a <b D ．0<b <a2．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B.2C.32D. 3 3．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．42B ．8C ．82D ．164．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．86．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为_______________________________________________________________．7．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．9．已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过点M (0，m )的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点P .(1)求证：两条切线的斜率之积为定值；(2)当p ＝m ＝4时，求△P AB 面积的最小值．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点．B组能力提高11．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．12．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则|AB||CD|的值为________．13．已知P 、Q 、M 、N 四点都在以中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F (－1,0)的椭圆C 上，已知PF →与FQ →共线，MF →与FN →共线，PF →·MF →＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)试用直线PQ 的斜率k (k ≠0)表示四边形PMQN 的面积S ，并求S 的最小值．学生用书答案精析第3讲 圆锥曲线的综合问题高考真题体验 1．D[如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62， 故选D.]2．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.热点分类突破例1 解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2 ＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.跟踪演练1 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合， 当直线PQ 与x 轴垂直时， |PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， 1PFQ S ＝3； 当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2.1PFQ S ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴1PFQ S ＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴1PFQ S ∈(0,3)， ∴当直线PQ 与x 轴垂直时1PFQ S 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则1PFQ S ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3. 即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.例2 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2， 则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又由题意知(2＋c )2＋12＝10， 解得c 2＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.则⎩⎨⎧Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1 ＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当m 2＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0. 跟踪演练2 (1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.例3 解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程为x ＝－1. (2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1， 可知M (－1，－2k )．又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ， 即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －2(2k 2＋4k 2－2)1－2k 2＋4k 2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．跟踪演练3 解 (1)由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3. 高考押题精练解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 4＝2k 2＋4k 2，x 1x 4＝1，所以|PN |＝1＋k 2· (x 1＋x 4)2－4x 1x 4＝4(1＋k 2)k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k 2.若|PN ||MQ |＝2， 则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2，解得k ＝±62.故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.二轮专题强化练答案精析第3讲 圆锥曲线的综合问题1．C [由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b .]2．D [由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.]3．C [依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2| ＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.] 4．A [∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－ca.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．] 5．C [设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.] 6．－2解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2. 7．(1,2)解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0， 即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2a a 2＋b 2>1，即2ac >1，所以e ＝ca <2，又e >1，故1<e <2.8．(0,2)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB恒过定点(0,2)．9．(1)证明 依题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －2pm ＝0， 则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2pm .对抛物线y ＝x 22p 求导，得y ′＝x p， 设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝x 1p ，k 2＝x 2p， 所以k 1k 2＝x 1p ·x 2p ＝－2pm p 2＝－2m p， 即两条切线的斜率之积为定值－2m p. (2)解 因为p ＝m ＝4，所以抛物线方程为x 2＝8y ，y ′＝x 4，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－32， 则直线P A 的方程为y －x 218＝x 14(x －x 1)， PB 的方程为y －x 228＝x 24(x －x 2)． 将两方程联立，得P 点的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 28)，所以P (4k ，－4)． 于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝81＋k 2·k 2＋2，又点P 到直线AB 的距离d ＝4(k 2＋2)1＋k 2， 所以S △P AB ＝16k 2＋2·(k 2＋2)．当k 2＝0，即k ＝0时，所求面积最小为32 2. 10．(1)解 由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22， 得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2， x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2. 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)．令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1， 故直线AN 恒过定点(1,0)．11．[1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 12.116解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝14，y D ＝4. 直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5， ∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116. 13．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a 2＝b 2＋c 2，又依题意，知c ＝1，c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题意，易知PQ 与MN 垂直于点F .设PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，消y ， 得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， 所以|PQ |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22(1＋k 2)1＋2k 2. 同理，可得|MN |＝22(1＋1k 2)1＋2k 2＝22(1＋k 2)2＋k 2， 所以四边形PMQN 的面积为S ＝12|PQ |·|MN |＝4(1＋k 2)2(1＋2k 2)(k 2＋2)＝2－2k 22k 4＋5k 2＋2＝2－22k 2＋2k2＋5≥169. 当且仅当k 2＝1时，取等号．所以四边形PMQN 的面积S 的最小值为169.。

【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________． 9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．10．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为________________．12．若x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．二、解答题13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1 (a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )． 答 案1．(－2,2] 2. 3 3.－112，0 4．323或16 3 5.5或52 6．43或83 3 7.12或2 8.32或6 9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 10．[0,4] 11．a >0且b ≤0 12．(1,2] 13．解 设t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1.(1)当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ， 而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上，y 单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，故a ＝3.(2)当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]， 所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上，y 单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，故a ＝13.综上知a ＝3或a ＝13.14．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.因此，由f (x )的值域为[－5,1]可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a ×－12＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×－12＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1. 15．解 f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋18.(1)若m <n ≤－14，必有⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝2m ，f n ＝2n .解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，m ＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝0，n ＝－32，与m <n ≤－14矛盾．(2)若－14≤m <n ，必有⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝2n ，f n ＝2m ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2m 2－m ＝2n ， ①－2n 2－n ＝2m . ② 两式作差得m ＋n ＝12，将其代入①式，得2m 2－m ＋1＝0，Δ＝－7<0，∴方程无实根．(3)若m <－14<n ，则必有：2n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝18，∴n ＝116. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－916＝－9128，故①当－916≤m <－14时，也有2m ＝－9128.∴m ＝－9256，与m <－14矛盾．②当m <－916时，有f (m )＝2m .解得m ＝－32或m ＝0(舍去)．综上可知，m ＝－32，n ＝116.。

2016年高考自由复习步步高系列第8天 错题重做1、若指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[答案] 12或2[错因]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案．2．求函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在闭区间[s ，t]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t]上的增函数，最小值为a s，最大值为a t.当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t]上的减函数，最大值为a s，最小值为a t.[正解] 当0<a<1时，f(x)＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a>1时，f(x)＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2.故a 2＝2a ，解得a ＝2.综上，a ＝12或a ＝2.2、已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，则x 的取值范围为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32[错因]1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得到不等式x －2<1－x ，从而得出x<32的错误答案．3、[典例] (1)已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a 的值是( )A ．1或2B ．2或4C ．2D ．1(2)集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－2x ＋a －1＝0}，A∩B＝B ，则a 的取值范围为________． [答案] (1)C (2)a≥2[错因]1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M ，N 的元素；②集合M ，N 只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．2．在本例(2)中，A∩B＝B ⇔B ⊆A ，B 可能为空集，极易被忽视．[正解] (1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5} 不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．(2)由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a≥2.4、[典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．[答案] －1.[错因]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．5、某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )[答案] A[错因]1．易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错．2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．[正解] 该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.6、如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[答案]（1）（3）（4）（5）[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[解析] (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．7、已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.[答案] 12[错因]本题若不能利用sin(α＋β)＝5314<32将α＋β的范围进一步缩小为0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，误认为α＋β∈(0，π)，则会得出cos(α＋β)＝±1114，进而得出cos β＝12或7198的错误答案．8、设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. [错因]1．本题易混淆两非零向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于零的关系，忽视向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为π时，也有数量积小于0的情况，从而得出t ∈⎝⎛⎭⎪⎫－7，－12的错误答案．2．由于a ²b <0包含了其夹角为180°的情况；a ²b >0包含了其夹角为0°的情况，在求解时应注意排除． [解析] 由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得 2te 1＋7e 2 ² e 1＋te 2|2te 1＋7e 2|²|e 1＋te 2|<0.即(2te 1＋7e 2)²(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)²(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角，设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 9、已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．y 轴的非负半轴上B ．y 轴的非正半轴上C ．x 轴上D ．y 轴上[答案] D10、下列说法中正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ²360°(k ∈Z )，则α和β终边相同 [答案] D[错因]1．若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y 轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．如380°角为第一象限角，但它不是锐角；若混淆这两个概念，则易误选B.3．当角的范围扩充后，相差k ²360°(k ∈Z )的角的终边相同．若忽视此点，易错选C. 4．解决好此类问题应注意以下三点：①弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．②弄清锐角和象限角的区别．③对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.[解析] 90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A ，B ，C 均不正确．对于D ，由终边相同的角的概念可知正确．11、已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是A.72 B ．4 C.92 D ．5 [答案] C[错因]1．解答本题易两次利用基本不等式，如∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴ab ≤ a ＋b 24＝1.又y ＝1a ＋4b ≥24ab＝41ab，又ab ≤1，∴y ≥411＝4.但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a ，这显然是不能同时成立的，故不正确．2．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．3．在运用重要不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件． [解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2a b ²b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立.，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 12、等比数列{a n }(a n ＞0)满足a 1－a 5＝90，a 2－a 4＝36，求a 5，a 7的等比中项．【答案】±3.[错因]1．误认为a 5，a 7的等比中项是a 6，故a 6＝a 1q 5＝96³⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝3.2．要明确同号两数的等比中项G 有两个且互为相反数，若G 为a ，b 的等比中项，则G ＝±ab .13、设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q .【答案】1或－12.[错因] 1．易忽视q ＝1这一情况，从而得出错解．2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q ，若其中含有字母，就应按q ＝0，q ＝1，q ≠0且q ≠1讨论．[解析]当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件；当q ≠1时，a 1 1－q 3 1－q ＝3a 1q 2，因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2，2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12.综上所述，公比q 的值是1或－12.14．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2016届高三下学期四模数学（理）试题）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) (A) 94 (B)31 (C) 92 (D)91【答案】D【错因】本题易出现的错误主要有两个方面：(1)基本事件弄错，由于0与1,2,3，…,9这十个数字被取到不是等可能的，因此误认为本题不是古典概型；(2)寻找基本事件时，误认为0与1,2,3，…,9的地位是一样的，致使基本事件个数不正确.15、（黑龙江省大庆第一中学2016届高三下学期第二阶段考试数学（理）试题）如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) (A)π21- (B)π121- (C) π2 (D)π1【答案】A【错因】本题易出现的错误主要有两个方面(1)误以为阴影部分的面积为一个四分之一圆的面积减去两个半圆的面积. (2)分不清各部分的构成，造成多加或少减的现象.【正解】选A.如图所示：不妨设扇形的半径为2a ，记两块白色区域的面积分别为21,S S ，两块阴影部分的面积分别为43,S S ，则224321)2(41a a S S S S S OAB ππ===+++扇形①,而31S S +与32S S +的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即23231a S S S S π=+++ ②.由①－②得34S S =；又由图可知=-+=OEDC COD EOD S S S S 正方形扇形扇形322a a -π，所以S 阴影222a a S -=π阴影.故由几何概型的概率公式可得，所求概率πππ212222-=-=a a a P . 16. （黑龙江省大庆第一中学2016届高三下学期第二阶段考试数学（理）试题）观察下列不等式：,47413`1211,353`1211,23211222222 <+++<++<+照此规律，第五个不等式为_________. 【答案】,6116151413`121122222<+++++【错因】本题在解答中容易出现以下错误：(1)对于给定的式子，只观察其结果，而不去继续探究下面几个式子，从而找不到正确的规律而误解.(2)错误地以为：第几个式子，其左边的最后一项的分母就是几的平方，从而，错误地得到第五个不等式为,5951413`12112222 <++++17.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) (A)46 45 56 (B)46 45 53 (C)47 45 46 (D)45 47 53 【答案】A【错因】本题易出现的错误主要有两个方面：(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.【正解】选A. 茎叶图中共有30个数据，所以中位数是第15个和第16个数字的平均数，即 ³(45+47)=46，排除C ，D ；再计算极差，最小数据是12，最大数据是68，所以68-12=56，故选A.18. （湖北省稳派教育2016届高三一轮复习质量检测数学试题）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：(1)至少有1株成活的概率；(2)两种大树各成活1株的概率．4题【答案】54，254 【错因】本题在解答中容易出现以下错误：弄错了“至少有1株成活”的对立事件，理解错了两种大树各成活一株的意义．如：(1)设至少有1株成活为事件A ，90015161)(22=⨯=A P ，∴P (A )＝)(1A P -=＝899900.(2)设两种大树各成活1株为事件B ，P (B )＝56³45＝23.19（吉林省吉林市第一中学2016届高三3月“教与学”质检试题）已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ; 【答案】12a e≥【错因】少数学生没有导数研究函数的意识，多数学生的错误在于单调增转化为在这个区间上大于零还是大于等于零的纠结．20. （天津市南开中学2016届高三第三次月考（理）试题）关于x 的实系数方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上，则2a+3b 的最大值为 。

1.已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ; 【答案】12a e≥【错因】少数学生没有导数研究函数的意识，多数学生的错误在于单调增转化为在这个区间上大于零还是大于等于零的纠结．2.关于x 的实系数方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上，则2a+3b 的最大值为 。

【答案】9【错因】面对的是一个一元二次方程的根的分布问题，不少学生总想用求根公式求出它的根，进而使问题变得复杂，而想到合理的运用三个二次的关系转化为函数问题求解． 【正解】令，椐题意知，方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上等价于在直角坐标中作出关于不等式组的点(a ，b)的可行域，则2a+3b 的最大值即为目标函数的最优解，结合图形可知，时， 目标函数的最大值为93.已知函数1()()e x a f x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ，使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ． 【答案】1(0,).e【错因】多数学生对此题无法入手，头脑中没有函数，方程与不等式的关系的体系，更没有数形结合的意识从而导致对问题理解的偏差． 【正解】由题意得方程10x a e x -=有两个不等的非零根，方程变形得xxa e =，则由1()0x x x x e e -'==得1x =，因此当1x <时，1(,),a e ∈-∞当1x >时，1(0,),a e∈因此a 的取值范围为111(0,)(,)(0,).ee e-∞=4.已知函数4411()11sin cos f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的最小值为 . 【答案】9【错因】面对此题很多学生被它的形式所吓倒，这其实体现出了学生三角公式的记忆和理解较薄弱的事实，如果解决公式这一题，此题就是一个三角函数的范围问题．5.已知ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，60,2,B b a x ∠=︒==，若c 有两组解，则x 的取值范围是 ．【答案】2,⎛⎝． 【错因】少数学生想不到运用余弦定理构建等式关系，多数学生得到c 和x 的关系后就无法处理了，这实际是一个谁是主元的问题．【正解】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22224,40,x c cx c cx x =+-∴-+-=c 有两解224160x x ∴∆=-+>，解得x <．画图：以边AC 为半径，点A 为圆心作圆弧，要使c 有两解，必有斜边2,2x x >∴<<．6.设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.【错因】江苏对三角公式的要求并不是很多，且不学反三角函数，故不少学生看到此题中并非特殊角时就感到很困难．7.如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n+的最大值为____________．【答案】5【错因】多数学生对向量中三点共线则系数和为1这个结论不清楚，更不说还要灵活运用了，另外学生对此题中动圆的理解和运用与存在问题．【正解】我们知道当点'P 在直线BF 上时，若'AP mAB nAF =+，则1m n +=，因此我们把直线BF 向上平移，则m n +在增大（只要点'P 在与BF 平行的同一条直线上，m n +就不变，也即m n +的值随直线到点A 的距离的变化而变化），当Q 与D 重合，这时圆Q 上有一点到A 的距离最大为5，而点A 到直线BF 的距离为1，故m n +最大值为5.8.如图ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．【答案】1344m << 【错因】面对本题中向量的关系，很多学生想不到揪住一些特殊的位置加以思考问题，这实质上就是填空题中的特值法的运用．【答案】34【错因】有些学生一看到函数与数列的结合题就感到害怕，还有部分学生解题的目标意识不强，得到了11,4n n a a ++=-又不能将问题转化到函数了．【正解】因为1(1)2f x +=+，所以222211((1))()(),(1)(1)()(),24f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-++=-即11,4n n a a ++=-因此数列}{n a 任意相邻两项和为1,4-因为151517()4S a =+⨯-=3116-，153.16a =-因此23(15)(15),16f f -=-所以3(15)4f =或1(15)4f =，又由1(1)2f x +=+1,2≥(15)f =34.10.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=….若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】915,44⎛⎫⎪⎝⎭【错因】不少学生不会处理213(2)n n S S n n -+=≥这个条件，部分学生得到了361+=++n a a n n ，不能想到再写出一个类似的式子就有突破口了．11.已知函数12()416mx f x x =+，21()()2x mf x -=，其中m ∈R ． （1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f 1 (x)+f 2 (x)()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论；（2）设函数12(),2,()(), 2.f x x g x f x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围． 【答案】（1）单调减函数，（2）（0，4）.【错因】第一问中学生首先不知道要将绝对值去掉，更多的学生求出导数后不知道如何判断出导数的符号，第二问中大多数学生无法正确的对m 进行分类讨论，绝大多数学生没有想到先显然可以排除m 小于等于零这种情形． 【正解】（1）f (x)为单调减函数． 证明：由0<m≤2，x≥2，可得12()()()f x f x f x =+=21()4162x m mx x -++=212()4162mx mx x +⋅+． 由 2224(4)11()2()ln (416)22m x m x f x x -'=+⋅=+222(4)12()ln 2(28)2m x m x x --⋅+， 且0<m≤2，x≥2，所以()0f x '<．从而函数f(x)为单调减函数．（亦可先分别用定义法或导数法论证函数12()()f x f x 和在[2,)+∞上单调递减，再得函数f(x)为单调减函数．）（b ）若0＜m ＜2，由于x ＜2时，||21(),,12()()()12(), 2.2m xx m x m x m g x f x m x ---⎧<⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩≤ 所以g(x)在(,]m -∞上单调递增，在[,2)m 上单调递减． 从而22()(0,()]g x f m ∈，即2()(0,1]g x ∈．要使g (x1) = g (x2)成立，只需21,161()162mmm -⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤成立，即21()162m m -≤成立即可．由0＜m ＜2，得2111,()16824m m -<>． 故当0＜m ＜2时，21()162m m -≤恒成立．综上所述，m 为区间（0，4）上任意实数．12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =．（1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．【答案】(1) ⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【错因】第一问中少数学生不知道运用正弦定理将条件化角为边，但很多学生出现了少一组解的问题;第二问中不少学生不能想到正确运用余弦定理求出p 的表达式，角的范围是一个很大的错误．13.已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-,设函数()()f x m n m =+⋅. (1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,c =()f A 恰是函数f(x)在[0,]2π上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.【答案】（1）π；（2）6A π=，1=b 或2=b，S =或S =.【错因】第一问中的错误主要集中在运用用三角公式时，所引入的辅助角是6π还是3π的问题;第二问中所考查的知识点比较多，故部分学生出现了乱用的现象．14.已知函数23()3x f x x +=， 数列{}n a 满足1111,(),n na a f n N a *+==∈． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11211(2),3,n n n n nb n b S b b b a a -=≥==++⋅⋅⋅+，若20042n m S -<对一切n N *∈成立，求最小正整数m ．【答案】（1）2133n a n ∴=+；（2）2013m =最小． 【错因】第一问中学生代入后无法灵活运用等差数列的定义，使得问题无法进行下去了，也有出现不作任何交代直接就用的问题，第二问中部分学生不知道运用裂项相消的方法进行数列求和，多数学生不能将数列问题和函数问题结合起来研究问题．15.设()xf x e ax a =--.(Ⅰ)若()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立,求a 的取值范围; (Ⅱ)设()()xag x f x e =+,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点,若对任意的1a ≤-,直线AB 的斜率恒大于常数m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)求证:*13(21))()n n n n n n n N +++-<∈. 【答案】（Ⅰ) 1a ≤；（Ⅱ）3m ≤；（Ⅲ）详见解析【错因】第一问中这个恒成立问题学生的主要问题主要出现在一个细节上：运用参数分离时不知道一定要单独考虑一下端点问题;第二问中绝大多数学生无法想到去构建一个新的函数：mx x g x F -=)()(，第三问中不等于的证明绝大多数学生无法想到第一问中的结论再结合放缩法进行对不等于的证明．(Ⅲ)由(Ⅰ) 知1(0xe x x ≥+=时取等号）,取2ix n =-,,12,3,1-=n i 得212i ni e n --<即22()2inn i e n--< 累加得。

2016年高考自由复习步步高系列第8天错题重做1、若指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为________．2、已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围为________．3、[典例] (1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )A．1或2 B．2或4C．2 D．1(2)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，则a的取值范围为________．4、[典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．5、某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )6、如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．7、已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.8、设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．9、已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．y 轴的非负半轴上B ．y 轴的非正半轴上C ．x 轴上D ．y 轴上10、下列说法中正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则α和β终边相同11、已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是A.72 B ．4 C.92D ．512、等比数列{a n }(a n ＞0)满足a 1－a 5＝90，a 2－a 4＝36，求a 5，a 7的等比中项．13、设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q .14．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2016届高三下学期四模数学（理）试题）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) (A) 94 (B)31 (C) 92 (D)9115、（黑龙江省大庆第一中学2016届高三下学期第二阶段考试数学（理）试题）如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) (A)π21- (B)π121- (C) π2 (D)π116. （黑龙江省大庆第一中学2016届高三下学期第二阶段考试数学（理）试题）观察下列不等式：,47413`1211,353`1211,23211222222 <+++<++<+照此规律，第五个不等式为_________.17.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )(A)46 45 56 (B)46 45 53 (C)47 45 46 (D)45 47 5318. （湖北省稳派教育2016届高三一轮复习质量检测数学试题）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：(1)至少有1株成活的概率；(2)两种大树各成活1株的概率．19（吉林省吉林市第一中学2016届高三3月“教与学”质检试题）已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ;20. （天津市南开中学2016届高三第三次月考（理）试题）关于x 的实系数方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上，则2a+3b 的最大值为 。