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高等流体力学 讲义

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高等流体力学课件

高等流体力学课件
静止流体满足力的平衡条件，即合力为零。
流体静力学的基本概念
流体静力学是研究流体平衡和压力分布的学 科。
压力分布
静止流体的压力分布与重力场和其他外力场 有关，可以通过静力学方程求解。
流体动力学
总结词
流体动力学的基本概念、一维流动、层流与湍流
一维流动
一维流动是指流体沿着一条线的流动，可以用于 描述长距离管道内的流动或某些对称的流动。
水利工程
机械工程
流体动力学在水力发电、水利枢纽设计、 灌溉系统优化等方面具有广泛应用，为水 利工程提供了重要的技术支持。
流体动力学在机械工程领域的应用也十分 广泛，如内燃机、通风 system等的设计和 优化。
流体在自然界中的应用
气候变化
流体动力学在气候变化研究中发挥着重要作用，如风场、洋流等 对气候的影响研究。
详细描述
连续性方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了单位时间内流经某一封闭 曲面微元体的流体质量的增加等于该微元体所受质量源的净增量，用于描述流 体运动的连续性。
动量方程
总结词
描述流体动量守恒的方程
详细描述
动量方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了流体动量的变化率等于作用在 流体上的外力之和，包括重力、压力、摩擦力等。
方法
02
常用的线性稳定性分析方法包括特征值分析、傅里叶分析和庞
加莱截面法等。
应用
03
线性稳定性分析在气象、海洋、航空航天等领域有广泛应用，
用于预测和控制流体运动的稳定性。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是研究流体运动在较大扰 动下的响应，需要考虑非线性效应对流体运 动的影响。
方法
非线性稳定性分析需要求解非线性偏微分方程，常 用的方法包括数值模拟和近似解析法。

高等计算流体力学讲义(3)

高等计算流体力学讲义(3)

高等计算流体力学讲义（3）§2 Riemann 问题1．预备知识：Euler 方程解的结构我们讨论Euler 方程解的结构。

在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有const R =±，沿au dt dx±= （1） 其中 a u R 12-±=±γ。

且全场 S const =。

（2）在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。

1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均不为常数。

这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。

2）均匀流：Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均为常数。

此时，令R R ±±=， 有：0000()/21()4u R R a R R γ+-+-=+-=-，可见，此时流动是均匀的。

3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++--==）。

以0R R ++=的情况为例。

此时021R u a R γ++=+=-。

（3） 且沿dxu a dt=-，有 21u a const γ-=-。

这个常数具体的数值与特征线的起点有关。

由此我们知道，沿dxu a dt=-，有00()/21()4u R const a R const γ++=+-=-。

这说明，沿dxu a dt=-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。

由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线dx u a dt =-也为常数。

参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt=（或流体质点）从左侧穿过特征线dxu a dt=-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。

简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。

设流线与dxu a dt=-交点处，流线的切线方向为ξ 。

把（3）式沿ξ求方向导数，得：201u a ξγξ∂∂+=∂-∂ 当0uξ∂>∂，有()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。

高等流体力学讲义

高等流体力学讲义

高等流体力学授课提纲第一章概论§1.1 流体力学的研究对象§1.2 流体力学发展简史§1.3 流体力学的研究方法§1.3.1 一般处理途径§1.3.2 应用数学过程§1.3.3 流体力学方法论：一般方法§1.3.4 流体力学方法论：特殊方法●Lagrange描述和Euler描述●无量纲化●线性化●分离变量法●积分变换法●保角映射法●奇点法（孤立奇点法、分布奇点法、Green函数法）●控制体积法●微元法第一章概论§1.1 流体力学的研究对象（1）物质四态：●四态：固态—液态—气态—等离子态；等离子体=电离气体●界限：彼此无明确界限（高温下的沥青；冰川），取决于时间尺度；●流体力学的具体研究对象：液体、气体、等离子体（电磁流体力学、等离子体物理学）；●液体与气体的差别：液体—有固定容积、有自由面、不易压缩、有表面张力；气体—无固定容积、无自由面、易压缩、无表面张力。

（2）流体的基本性质：易流动性：静止流体无剪切抗力；压缩性（膨胀性）：压差、温差引起的体积改变，判据：马赫数；粘性：运动流体对剪切的抗力，判据：雷诺数；热传导性：温差引起的热量传递，普朗特数。

（3）流体的分类：i）按有无粘性、热传导性分：真实流体（有粘性、有热传导、与固体有粘附性无温差）；理想流体（无粘性、无热传导、与固体无粘附性有温差）；ii）按压缩性分：不可压缩流体，可压缩流体；iii）按本构关系分：牛顿流体（牛顿粘性定律成立），非牛顿流体（牛顿粘性定律不成立），下分纯粘性流体（拟塑性流体，涨塑性流体）；粘塑性流体（非宾汉流体、宾汉流体）；时间依存性流体（触变流体、振凝流体）；粘弹性流体拟塑性流体（剪切流动化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉浆糊、玻璃溶液、高分子流体、纤维树脂；涨塑性流体（剪切粘稠化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉中加水、某些水-砂混合物；粘塑性（非宾汉和宾汉流体）：存在屈服应力，小于该应力无流动，如粘土泥浆、沥青、油漆、润滑脂等，所有粘塑性流体为非宾汉流体，宾汉流体为近似；触变流体（摇溶流体）：粘性或剪切应力随时间减小，如加入高分子物质的油、粘土悬浊液；振凝流体：粘性或剪切应力随时间增大，如矿石浆料、膨润土溶胶、五氧化钒溶液等；粘弹性流体：兼有粘性和弹性性质的流体，能量不像弹性体守恒，也不像纯粘性体全部耗散。

高等流体力学讲义二维势流

高等流体力学讲义二维势流
u = 0 Φ = 0
在不可压缩流体条件下Φ满足拉普拉斯方程
势流基本方程组
2Φ = 0 Φ + p + 1 Φ Φ + gz = f(t) t ρ 2
边界条件
在静止固壁上 ，
Φ = 0 n
无穷远处， r , u u
势流方程组与一般理想不可压缩流动方程组相比在数学上有了较大旳简化：
•后者有四个方程，而前者只有两个方程。
ln
z
-
z0
点汇
以－m 替代 m 就得到点汇旳复位势，
F(z) -m ln z 2π
或
F( z )
-m 2π
ln
z
-
z0
4.4 点源（汇）和点涡
点涡：势函数 流函数
F(z) ic ln z ic ln(Reiθ )
cθ ic ln R
Φ = c θ Ψ = - c ln R 等势线 c ， 从圆点出发旳射线族； 流线 R＝c， 同心圆族。
点源： 速度场
4.4 点源（汇）和点涡
W(z) =
dF dz
=
c z
=
c R
e-iθ
=
uR
-i
uθ
e-iθ
uR
=
c R
uθ = 0
可看作在原点有一点源释放流体向四面均匀流出，速度只有R方向分量，离 开原点愈远速度愈小。根据连续方程，经过每个同心圆旳流体流量相等。
原点是奇点，速度无穷大 R 0, uR
F(z)=Φ+ iψ
z= x + i y F(z) 旳实数部分是速度势函数Φ，虚数部分是流函数Ψ。 Φ,Ψ 满足柯西－黎曼条件，根据复变函数理论，F(Z) 是解析函数。

高等流体力学讲义课件_第 三 章 特殊方程

高等流体力学讲义课件_第 三 章 特殊方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D u u 1 p (h G) Dt 2 t
从能量方程出发推导的伯努利方程
设定常流，
D u u (h G) 0 Dt 2
上式表示一个流体质点在它的运动轨迹的所有点上总能量保持不变，
u u h G C 2
u u e G C 2 p
均能流动
在理想流体、绝热定常流动条件下，忽略质量力作用时，由伯努利方程知 滞止焓沿流线不变， u u h G C （沿流线） 2 h0 const. 在无穷远均匀来流条件下，及其他一些条件下，滞止焓沿每一条流线相 同，滞止焓在流场中处处为常数，是为均能流动。克罗柯方程简化为
u T s
C (t )
A(t )
式中A(t)是涡管截面,根据开尔文定理，
D D u dr Dt C (t ) Dt
A( t )

ndA 0
涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量, 即涡管强度, 不随时 间改变. 在运动过程中, 涡管会发生变形：当涡管被拉伸时, 涡量增大, 涡管 被压缩时, 涡量减小, 以保持通过横截面的总的涡通量不变。
设在封闭的物质线C(t) 上张一曲面A(t),则由STOKES 定理,

A(t )

ndA
D Dt
A( t )

ndA 0
对于正压 , 体积力单值有势的理想流体流动 , 沿任意封闭的物质周线上的速度 环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒.
讨论1
§3.1 开尓文定理
第 三 章 特殊方程
3.1 开尓文定理
欧拉方程
u 理想流体, (u )u p f t f G 设质量力有势且为单值函数, u p (u )u G 代入欧拉方程得 t

高等计算流体力学讲义(8)

高等计算流体力学讲义(8)

高等计算流体力学讲义（8）第三章 不可压缩流动的数值方法§1 基本方程及其性质一、基本方程考虑不可压缩NS 方程： 0∇=u（1）()p tρρρτ∂+∇=-∇+∇∂u uu f（2）其中粘性应力为， 2τμ=S（3）12()T=∇+∇S u u如果粘性系数为常数，τμ∇=∆u （4）经无量纲化，常粘性系数不可压缩NS 方程可以写为：()p tυ∇=∂+∇=-∇+∆∂u u uu f u，其中/υμρ=为运动粘性系数。

NS 方程也可以写为无量纲化形式01()R ep t∇=∂+∇=-∇+∆∂u u uu f u其中ρ已经吸收到p 中（p 代表/p ρ）。

不可压缩方程的边界条件为：固体壁面：wall =u u ， 进口条件：in =u u ，出口条件：n∂=∂u 0。

不可压缩方程中的压力场可以相差任一常数而对速度场无影响，所以压力场只是在相差任意常数的条件下是确定的。

为了确定全场压力值，还应指定流场中某一点的压力。

二、不可压N －S 方程的特点：（1） 方程为二阶偏微分方程，二阶项中包含参数μ（粘性系数）。

边界层、分离、湍流…（2） 方程是非线性的，表现为对流项()∇uu 。

对一维问题，非线性项为u ux∂∂。

假定u 的波数为k 的Fourier 分量为()s i n u u t k x = （5） 则：21sin 22u uukx x∂=∂ 。

即振幅由212u u→ ；波数由2k k →。

也就是说，振幅呈现非线性变化，且可以产生高频成分。

粘性的作用，使得解的结构进一步复杂化，考虑模型方程221Re u u tx∂∂=∂∂把（5）式带入模型方程，得2(/Re)()k tut e -=可见，雷诺数越大，或频率越低（流动结构的尺度越大），振幅衰减越慢。

综上所述：由于非线性的作用，会产生高频的流动结构；在大雷诺数的条件下，这些高频结构有较长的生命周期，并且与衰减缓慢的低频结构相互作用，使得流动表现出复杂的的非线性、多尺度特征。

高等计算流体力学讲义(1)

高等计算流体力学讲义(1)

(8)
∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ = ξ xx + η xx + ξ x [ 2 ξ x + ηx ] +ηx[ ξx + 2 ηx ] ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 = ξ xx + η xx + 2 (ξ x ) + 2 ξ xη x + 2 (η x ) 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2、度量系数及其计算方法
在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数： ξ x , ξ y ,η x ,η y 。这些系数 称为坐标变换公式(5)对应的度量系数（metrics）。我们看到，为了求解计算平 面中的偏微分方程，如(9)式，必须确定度量系数（有时还包括 ξ xx , ξ xy , ξ yy ,η xx ,η xy ,η yy 等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一 般情况下，我们只知道坐标变换关系(5)、(6)的离散表达式，度量系数一般也要 通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造 ξ x , ξ y ,η x ,η y 的差分近似是不容易 的。以 ξ x 为例，根据偏导数的意义， ξ x 为 y 保持不变时 ξ 随 x 的变化，如图 2 所示，网格点 P 处的 ξ x 的计算公式应为：
不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型 N－S 方程可以写为下列 向量形式： ∂U ∂ ( F − Fv ) ∂ (G − G v ) ∂ ( H − H v ) + + + =0， (1) ∂t ∂x ∂y ∂z 其中
ρu ρv ρw ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρu + p ⎟ ⎜ ρ vu ⎟ ⎜ ρ uw ⎟ F = ⎜ ρ uv ⎟ G = ⎜ ρ v 2 + p ⎟ H = ⎜ ρ vw ⎟ ， ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρ uw ⎟ ⎜ ρ vw ⎟ ⎜ ρw + p ⎟ ⎜ ( ρ E + p)u ⎟ ⎜ ( ρ E + p )v ⎟ ⎜ ( ρ E + p) w ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎛ ⎞ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ xy τ xx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ ⎜ ⎟ τ xy yy G = Fv = ⎜ v ⎜ ⎟， ⎟ τ τ yz xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ∂ ∂T ⎜ uτ xy + vτ yy + wτ yz + k ⎟ ⎜ uτ xx + vτ xy + wτ xz + k ⎟ ∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ τ xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ zy Hv = ⎜ ⎟。 τ zz ⎜ ⎟ ⎜ ∂T ⎟ ⎜ uτ xz + vτ zy + wτ zz + k ⎟ ∂z ⎠ ⎝ 如果忽略 N－S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为 Euler 方程：

高等流体力学-第二讲

高等流体力学-第二讲

14
第二章 流体运动基本方程
当流体不可压时， 当流体不可压时，有：
∂ 1 ∂v i ∂v j 1 ∂ ∂v j r r ∇⋅s = = [ ( + )] = ( ) = (∇ ⋅ ∇)v = ∆v ∂x i ∂x i 2 ∂x j ∂x i 2 ∂x i ∂x i
∂s ij
N—S方程为 方程为
1 ∂p µ ∂ ∂v j 张量表示： 张量表示： = fj − + + vi ( ) ∂xi ∂t ρ ∂x j ρ ∂xi ∂xi
2
第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem） 、雷诺输运定理（ ）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 ） 对一物理量Φ x,y,z,t ,z,t）， 对一物理量Φ（x,y,z,t）， 质量体体积为： 质量体体积为：VM； 时刻，对应控制的体积为： t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面： 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量： 质量体内总量：
r r d r ma = (mv ) = ΣF dt
r ρv dτ
r ∫∫∫ ρv dτ
VM
动量平衡的表示： 动量平衡的表示：
r D r r ∫∫∫ ρ v d τ = ∫∫∫ ρ f d τ + ∫∫ p n ds V S Dt V
M M
8
第二章 流体运动基本方程
（3）动量矩平衡的概念 ） 动量矩对时间的导数： 动量矩对时间的导数： d
2）微分形式 ） 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。

高等流体力学课件

高等流体力学课件
T
单位 阵
23
e2
x2
24
4
ij 的置换特性：
A ijik A kj
例 2: 将实体式写为指标式
坐标变 换矩阵
ij 符号相当于单位矩阵，与任意指标量作用时， ij 自身消失，同时改变作用指标量的符号. 规则是若 有一指标与作用指标量的某一指标相同，则用 ij另一 指标置换作用指标量的相同指标, 同时自身消失。
剪应力

du U dy h
变形(速 度梯度) 问题3？
无滑移条件 y h
u(0) = 0 u(h) = U
U

y o
du dy
2. 粘性的度量 —— 粘性系数(viscosity
牛顿内摩擦定律只能 用于平行直线流动 粘性是流体的固有特性
1

u(y)
h
x
-h 牛顿平板试验
0.2 粘性的概念
Poiseuille 流动
2
0.2 粘性的概念
气体分子动量输运
流体的变形(deformation) 若流体质点间的距离发生了改变，则表明流 体产生了变形。
如何判断变形？ 答：根据微元形状的变化
A
uA

B
uB 问题1？
角变形 线变形


0.2 粘性的概念
du dy
0.2 粘性的概念
3
4
粘性的度量—— 粘性系数
20
e1
e2
x2
x1
A A 21
A
31
19
A 11
A 12 A A
22 32
这是老坐标系
1.1 张量表示法
A A
A 13 A ij 23 A ij 33

高等流体力学：01第1讲_绪论

高等流体力学：01第1讲_绪论
26脉动性扩散性多尺度性湍流的统计量系综平均速度脉动速度其他平均每次的实验28湍流的统计量时间自相关函数联合概率空间自相关函数29频谱波谱时间平稳态中的频谱均匀湍流中的波谱逆变换傅里叶变换30谱函数的推广广义谱对非定常均匀湍流对定常非均匀湍流31平均流统计理论1877年布森涅斯克提出涡流粘度理论1925年普朗特提出混合长理论1930年卡门提出的相似理论1932年泰勒提出的涡量传递理论四五十年代周培源提出模式理论泰勒1935卡门1938和柯尔莫戈洛夫1941等为湍流统计理论奠定了基础
Reynolds O. 1895. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and determination of the criterion. Philos. Trans. R. Soc. 186: 123-164
普朗特
33
1883年《在平行槽道中，决定水流为直线或弯曲运动的条 件以及阻力定律的实验研究》，以实验表明流动分为层流 与湍流两种形态，提出以无量纲数Re作为判据
1895年《关于不可压缩粘性流体的动力学理论和准则的确 定》，在湍流中引入平均量和脉动量，以及有关雷诺应力 的概念．
Reynolds O. 1883. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water in parallel channels shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels. Philos. Trans. R. Soc. 174: 935-982

高等流体力学 讲义

高等流体力学 讲义
（表面力） 表面力）
•按短程力的作用方向分 按短程力的作用方向分
法向应力 σnn 切向应力 τnt
σ xx τ xy τ xz − − x平面上的应力 τ yx σ yy τ yz − − y平面上的应力 τ zx τ zy σ zz − − z平面上的应力
返回
δxδyδz
6
aN
现让四面体在维持原有形状下无限缩小，趋近于 点为极限 点为极限。 现让四面体在维持原有形状下无限缩小，趋近于O点为极限。 则，
σ NN = σ xxl 2 + σ yy m2 + σ zz n 2 + 2τ xylm + 2τ yz mn +上的法向应力之和不随坐标的旋转而
单位面积上的内摩擦力 H
u y
U
流速梯度
du dy
实验表明，内摩擦应力（粘滞应力） 实验表明，内摩擦应力（粘滞应力） τ ∝ 牛顿内擦定律
τ =η
du dy
动力粘度， 动力粘度，简称粘 度
作层流运动的液体， 作层流运动的液体，相邻液层间单位面积上所作用的 内摩擦力与流速梯度成正比，同时与液体的性质有关。 内摩擦力与流速梯度成正比，同时与液体的性质有关。
根据理论力学（ 根据理论力学（Shamed,1966）得 ）
M z = I z a z + ω xω y ( I y − I x )
式中:Mz为各作用力对 轴的力矩；Ix、Iy、Iz为隔离体对 为各作用力对z轴的力矩 为隔离体对x,y,z 式中 为各作用力对 轴的力矩； 为隔离体对 轴的惯性矩； 为隔离体的角加速度在 方向分量； 和 为隔离体的角加速度在z方向分量 轴的惯性矩；az为隔离体的角加速度在 方向分量；ωx和ωy 为隔离体角速度在x和 轴的分量 轴的分量。 为隔离体角速度在 和y轴的分量。

高等流体力学第二部分讲义

高等流体力学第二部分讲义

p y
dxdydz
z方向，微元流体所受合压力
C
D.Βιβλιοθήκη NBp zdxdydz
微元流体所受合压力
A ZY
∂p ∂p ∂p
X
- ( ∂xi + ∂yj+ ∂zk)dxdydz
G
H
.M
.
OF
E
第二章 流体静力学
2、微元体所受的质量力：
F=F i +F j+F k=(Xi +Yj+Zk)ρdxdydz
绝对真空
则：绝对压强=相对压强＋大气压强 p´=p+pa
第二章 流体静力学
绝对压强总是≥0，但相对压强不一定。若某流体
点处在B点，从图可知，B点相对压强为负。
pv=pa- p´
p
2、压强的度量单位
（1） 以压强的基本定义出
A.
. A点相对压强 大气压强pa
B
真空度
发即单位面积上的压力，单位 A点绝对压强 B点绝对压强 绝对真空
hD hC h
o α
a y
左侧受水压力，水面大 气压强为pa，在平板表面所在 y b 的平面上建立坐标，原点o取在平板
. .dA C
.
yC yD
x
D
表面与液面的交线上，ox轴与交线重合，oy轴沿平
板向下。
第二章 流体静力学
则微元面dA所受压强p=γh
压力dP=pdA=γhdA=γysinαdA
整个平面由无数dA组成， 则整个平板所受水静压力 由dP求和得到。
第二章 流体静力学
第五节 压强的计算基准和度量单位
1、 计算基准
（1) 绝对压强：
以无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压

高等流体力学讲义课件-流体力学基本概念

高等流体力学讲义课件-流体力学基本概念

和对流导数联系起来。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
例1. 拉格朗日变数 (x0,y0,z0) 给出的流体运动规律为 x x0e2t , y y0 (1 t)2 ,
z z0e2t (1 t)2
1) 求以欧拉变数描述的速度场； 2) 问流动是否定常； 3) 求加速度。
解: 1) 设速度场的三个分量是 u, v, w
t
d
CV
undA
CS
CV
t
d
undA
CS
D Dt
V dV
V [ t
(u)]dV
D
Dt
dV
V
V
[ tห้องสมุดไป่ตู้
（ xk
uk
)]dV
高斯公式，
undA (u)dV
CS
CV
1 . 3 雷诺输运定理
例2. 一流场中流体的密度为 1,速度分布为 u ax, v ay, w 2az
t t 时刻， (x x, y y, z z,t t)
泰勒级数展开，
(x x, y y, z z,t t)
(x, y, z,t) t x y z
t x
y
z
D lim 1 (x x, y y, z z,t t) (x, y, z,t)
(x, y, z,t) x(x0, y0, z0,t), y(x0, y0, z0,t), z(x0, y0, z0,t),t
D
x
x y
z
Dt
t x0 , y0 ,z0
t x t y t z t x,y,z
y , z ,t
x0 , y0 ,z0
x , z ,t
x0 , y0 ,z0
1.1 连续介质假说

高等计算流体力学讲义(4)

高等计算流体力学讲义(4)

高等计算流体力学讲义（4）§5. Riemann 问题的近似求解器(Ⅰ)：HLL 方法一．Godunov 格式和Riemann 问题考虑下列Euler 方程：()0t x U F U += （1）要求在适当的初边值条件下求（1）式的数值解。

前面已经讲过，求解(1)式的显式格式可以写为：11221n ni i ii t U U F F x ++-∆⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∆ （2） 在采用Godunov 格式时：()1122(0)i i F F U ++= （3）其中12(0)i U +是Riemann 问题的精确解12(/)i U x t +在/0x t =时的值。

而12(/)i U x t +是下列初值问题（Riemann 问题）的解：()00(,0)0t x LR U F U U ifx U x U ifx +=⎫⎪<⎧⎬=⎨⎪>⎩⎭（4）在采用零阶重构时：1,i L i R U U U U +== （5） 为了使以后的讨论适用于多维问题，我们考虑多维问题的x-分裂形式，即在（1）中，认为：2u u u p U F v uv E uH ρρρρρρρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）（这里只考虑二维问题，但容易推广到三维问题）。

由于Riemann 问题须迭代求解计算量很大；而且一般的非线性双曲型守恒律的Riemann 问题可能不存在解析解，所以有必要发展Riemann 问题的近似解法。

近似解法可以分为两大类（1）在Riemann 问题的提法是准确的条件下求近似解；（2）求近似的Riemann 问题的精确解。

二．Riemann 问题的HLL 近似(Harten-Lax-van Leer)Harten 等提出，（4）式的解可以近似写为下列形式：(,)xtLL hll x t L Rx tRRU if D U x t U if D D U ifD ⎧≤⎪=≤≤⎨⎪≤⎩ （7）其中L D 、R D 是Riemann 问题的解中左波和右波运动速度的近似值。

高等计算流体力学讲义(2)

高等计算流体力学讲义(2)
由此可知
⎧1 ⎪1 − x ⎪ u ( x, t ) = ⎨ ⎪1− t ⎪ ⎩0
参见图 1
x≤t t < x ≤1 x >1
u
t=1/2
t=1
5
即t → 1时
⎧1, x < 1 u ( x, t ) |t →1 = ⎨ ⎩0, x > 1
可见,对于非线性问题,即使初始值是连续的,其解仍然可能出现间断。 对于 Euler 方程， 其解的结构中可能出现激波或接触间断，此时，不存在古典意义下的解（古典解要求解是充 分光滑的） 。为此，必须拓展双曲型守恒律解的概念。 定义（广义解或弱解） ： 设 U( x , t )是分片连续可微的函数，在 t ≥ 0 的半平面，如果对于与 U( x , t )的间断线 只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线 Γ ，都有:
S = const
4. 广义解(弱解)
考虑 Bergers 方程
ut + uu x = 0
G x ∈ R, t > 0
(26)
u ( x, 0) = u0 ( xx) = ⎨1 − x ⎪0 ⎩
当存在连续解时,
x≤0 0 < x ≤1 x >1
u ( x, t ) = u ( x − ut , 0) = u0 ( x − ut )
特征相容关系为
Dp Du ± ρa = 0， Dt Dt dx =u±a dt
（24）
4
DS =0， Dt
dx =u dt
（25）
其中 S = C v ln
p
ργ
为熵。对于均熵流动， （24）式可以积分出：
R ± = const ，沿 dx =u±a dt
其中 R ± = u ±

高等流体力学Lectures_Part 3

高等流体力学Lectures_Part 3

Index Notation (aka Tensor Notation) Free Indices A free index is an index that appears exactly once in a term. Each term in an equation must have the same free indices. Examples: aijk bj= cik aijbjk = clm
same piece of fluid piece of fluid time: t0 location: x(t0) time: t0+δt location: x(t0+δt)
Continuity Equation (aka COM for a differential CV )
Notes: 1. For a constant density fluid:
σ 22 +
x1
dx1
Momentum Equations (aka the LME for a differential CV)
Fluid Element Deformations
=
+
+
+
general deformation
translation
dilation
angular deformation
ˆ n
surface area, dA viscous force, dFviscous
Fv2 Fv1 streamlines
Example:
In a proposed jet propulsion system for an automobile, air is drawn in vertically through a large intake in the roof at a rate of 3 kg/s, the velocity through this intake being small. Ambient pressure and temperature are 100 kPa (abs) and 30 °C. This air is compressed and heated and then discharged horizontally out of a nozzle at the rear of the automobile at a velocity of 500 m/s and a pressure of 140 kPa (abs). If the rate of heat addition to the air stream is 600 kW, find the nozzle discharge area and the thrust developed by the system.
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0.01775
式中水温t /s计 式中水温t以°C计，ν以cm2/s计
前进
牛顿流体与非牛顿流 （3）牛顿流体与非牛顿流体 一般把符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流 一般把符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体（属于水力学 研究的范畴），反之称为非牛顿流体（属于流变学研究的范畴）。 研究的范畴），反之称为非牛顿流体（属于流变学研究的范畴）。 ），反之称为非牛顿流体 A线为牛顿流体，当流体种类一定、温 线为牛顿流体，当流体种类一定、
前进
Hale Waihona Puke 绪 论主要内容： 主要内容：
气体、 气体、液体和固体 连续介质 作用于流体上的力 流体的传递特性 液体的表面特性 边界条件
前进 结束
固体、液体、 固体、液体、气体
固体：具有固定的形状和体积。 ◆宏观状态的不同 固体：具有固定的形状和体积。 液体：具有固定的体积，没有固定的形状。 液体：具有固定的体积，没有固定的形状。 气体：没有固定的形状和体积。 气体：没有固定的形状和体积。 凝聚态
根据理论力学（ 根据理论力学（Shamed,1966）得 ）
M z = I z a z + ω xω y ( I y − I x )
式中:Mz为各作用力对 轴的力矩；Ix、Iy、Iz为隔离体对 为各作用力对z轴的力矩 为隔离体对x,y,z 式中 为各作用力对 轴的力矩； 为隔离体对 轴的惯性矩； 为隔离体的角加速度在 方向分量； 和 为隔离体的角加速度在z方向分量 轴的惯性矩；az为隔离体的角加速度在 方向分量；ωx和ωy 为隔离体角速度在x和 轴的分量 轴的分量。 为隔离体角速度在 和y轴的分量。
以δxδyδz 除之,上式可简化成 除之 上式可简化成
(δx) 2 + (δy ) 2 (δx) 2 + (δy ) 2 τ xy − τ yx = ρ az + ρω xω y 12 12
得：
τ xy = τ yx
同理得： 同理得：
τ yz = τ zy
（表面力） 表面力）
•按短程力的作用方向分 按短程力的作用方向分
法向应力 σnn 切向应力 τnt
σ xx τ xy τ xz − − x平面上的应力 τ yx σ yy τ yz − − y平面上的应力 τ zx τ zy σ zz − − z平面上的应力
返回
σ NN δA − σ xx (OBC )l − τ xy (OBC )m − τ xz (OBC )n
− τ yz (OAC )l − σ yy (OAC )m − τ yz (OAC )n − τ zx (OAB)l − τ zy (OAB) m − σ xx (OAB) +ρ
δxδyδz
6
gN = ρ
τ B C A D η 1 du/dy
度一定时， 度一定时，η=const ，切应力与剪切 变形速度成正比 B线是理想宾汉流体，如泥浆、血浆等 线是理想宾汉流体，如泥浆、 C线是伪塑性流体，如尼龙、橡胶的溶液、 线是伪塑性流体，如尼龙、橡胶的溶液、 颜料、 颜料、油漆等 膨胀性流体，如生面团、 D线膨胀性流体，如生面团、浓淀粉糊等
δxδyδz
6
aN
现让四面体在维持原有形状下无限缩小，趋近于 点为极限 点为极限。 现让四面体在维持原有形状下无限缩小，趋近于O点为极限。 则，
σ NN = σ xxl 2 + σ yy m2 + σ zz n 2 + 2τ xylm + 2τ yz mn + 2τ zx ln
证明： 证明：三个互相垂直面上的法向应力之和不随坐标的旋转而
= lδA 2 δxδz 表面积OAC = = mδA 2 δxδy 表面积OAB = = nδA 2 表面积OBC =
δyδz
方向的牛顿第二定律： 四面体写出Ｎ方向的牛顿第二定律：
证明：任何面上的应力分量均可通过三个互相垂直面上的6 证明：任何面上的应力分量均可通过三个互相垂直面上的
个应力分量确定。 个应力分量确定。
2 2 σ y ' y ' = σ xxl22 + σ yy m2 + σ zz n2 + 2τ xyl2m2 + 2τ yz m2 n2 + 2τ zxl2n2
2 2 σ z ' z ' = σ xxl32 + σ yy m3 + σ zz n3 + 2τ xyl3m3 + 2τ yz m3n3 + 2τ zxl3n3
τ xz = τ zx
证明：任何面上的应力分量均可通过三个互相垂直面上的6 证明：任何面上的应力分量均可通过三个互相垂直面上的
个应力分量确定。 个应力分量确定。 ABC面的方向余弦为 cosθ=l, cosφ=m, cosψ=n 四面体其它三个互相垂直的表面积与ABC面积 面积δ 四面体其它三个互相垂直的表面积与 面积 Ａ之间的关系为
值大， （2）粘度 ——反映液体的性质对摩擦力的影响 。粘性大的液体 值大， ） 反映液体的性质对摩擦力的影响 粘性大的液体η值大 粘性小的液体η值小。单位： 粘性小的液体 值小。单位：Ns/m2或PaS ，称为动力粘度 值小
ν =η 工程中常用， 工程中常用， ρ
单位： /s， 单位：m2/s，称为运动度
（压缩性小） 压缩性小）
流体
（流动性） 流动性）
◆微观分子结构和分子力性质的不同 。——内因
物质三态的转化： ◆物质三态的转化：物态只能在一定的压强和温度范围内存在。 物态只能在一定的压强和温度范围内存在。
前进
返回
连续介质
假设液体是一种连续充满其所占据空间的毫无空隙 的连续体。 的连续体。水力学所研究的液体运动是连续介质的连 续流动。 续流动。 意义： 意义：使描述液体运动的一切物理量在空间和时间上 连续，故可利用连续函数的分析方法来研究液体运动。 连续，故可利用连续函数的分析方法来研究液体运动。 根据长期的生产和科学实验证明： 根据长期的生产和科学实验证明：利用连续介质的假 定所得出的有关液体运动规律的基本原理与客观实际 是十分符合的。 是十分符合的。
∂ τ xy δ x δx τ xy + δ y δ x + ∂x 2 z ∂ τ yz δ y δy δ x δ z − τ yz + ∂y 2 2 ∂ τ xy δ x δx τ xy − δ y δ x ∂x 2 z ∂ τ yz δ y δy δ x δ z − τ yz − ∂y 2 z (δ x ) 2 + ( δ z ) 2 (δ y ) 2 + (δ z ) 2 ( δ x ) 2 + (δ y ) 2 = ρδ x δ y δ z az + ρδ x δ y δ z − ω x ω y 12 12 12
变化。 变化。 设有两个坐标系如图所示。 设有两个坐标系如图所示。 l1,m1,n1为x’轴的方向余弦； 轴的方向余弦； 为 轴的方向余弦 l2,m2,n2为y’轴的方向余弦； 轴的方向余弦； 为 轴的方向余弦 l3,m3,n3为z’轴的方向余弦； 轴的方向余弦； 为 轴的方向余弦
σ x ' x ' = σ xxl12 + σ yy m12 + σ zz n12 + 2τ xyl1m1 + 2τ yz m1n1 + 2τ zxl1n1
得，
σ xx + σ yy + σ zz = const
流体的传递特性
•质量的传递：分子扩散 质量的传递： 质量的传递 •热量的传递 ：热传导 热量的传递 •动量的传递：矢量传递 动量的传递： 动量的传递
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动量的传递——流体的粘滞性 流体的粘滞性 动量的传递
又称为粘滞力
当液体处在运动状态时， 当液体处在运动状态时，若液体质点之间存在着 相对运动，则质点间要产生内摩擦力抵抗其相对运动， 相对运动，则质点间要产生内摩擦力抵抗其相对运动， 内摩擦力抵抗其相对运动 这种性质称为液体的粘滞性。 这种性质称为液体的粘滞性。 牛顿平板实验： 牛顿平板实验：
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液体的表面特性
◆液体曲面两侧的压强
1 1 ∆p = σ + r r 1 2
◆毛细管现象
设毛细管半径为r 水面的曲率半径为r0， 如液 设毛细管半径为 ，水面的曲率半径为 ，,如液 体和管壁的接触角为θ，则可得 体和管壁的接触角为 ， r
r0 =
cosθ
2σ = πr 2 ρgh r0
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作用于流体上的力
•长程力是指通过液体质量而起作用，其大小与 长程力是指通过液体质量而起作用， 长程力是指通过液体质量而起作用 质量成正比的力，如重力、惯性力、电磁力； 长程力 质量成正比的力，如重力、惯性力、电磁力； 作用于单位质量液 总质量力 体上的质量力 (质量力、体积力) 质量力、体积力 质量力 •质量力大小的度量 质量力大小的度量 单位质量力 按作用的特点分 •短程力是作用于液体的表面上，并与受作 短程力是作用于液体的表面上， 短程力是作用于液体的表面上 短程力 用的表面面积成正比的力
由于负压p所形成的一个垂直向上的力应等于毛 由于负压 所形成的一个垂直向上的力应等于毛 细管中上升的水柱重量， 细管中上升的水柱重量，即，
πr 2 p = πr 2
故，
2σ 2σ cosθ = h= r0 ρg rρg
O
（4）流体的粘滞性是流体运动产生能量损失的主要根源 ）
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液体的表面特性
表面张力是自由表面上液体分子由于受两侧分子引 力不平衡，使自由面上液体受有极其微小的拉力， 力不平衡，使自由面上液体受有极其微小的拉力，它 是一种局部受力现象。 是一种局部受力现象。 表面张力的大小可用表面张力系数σ来表示， 表面张力的大小可用表面张力系数σ来表示，σ是指 自由面上单位长度上所受拉力的数值，单位：N/m，其随 自由面上单位长度上所受拉力的数值，单位：N/m， 液体种类和温度变化而变化。对于20℃的水， 液体种类和温度变化而变化。对于20℃的水， 20℃的水 σ=0.074N/m，对于水银σ=0.54N/m。 σ=0.074N/m，对于水银σ=0.54N/m。 σ=0.54N/m