(京津鲁琼版)高考物理总复习第四章第2节抛体运动检测(含解析)

2021年高考物理一轮复习第四章第2课抛体运动练习考点一抛体运动1．平抛运动．(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下(不考虑空气阻力)的运动．(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．(3)条件：①v0≠0，且沿水平方向．②只受重力作用．2．斜抛运动．(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．考点二抛体运动的基本规律平抛运动．(1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．(2)基本规律(如图所示)：1．如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速v a和v b 沿水平方向抛出，经时间t a和t b后落到与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，则(A)A．t a>t b，v a<v bB．t a>t b，v a>v bC．t a<t b，v a<v bD．t a<t b，v a>v b解析：根据在竖直方向上两个小球都做自由落体运动的规律可知，只有当t a>t b时，两个小球才可以在P点相遇．而s a＝v a t a，s b＝v b t b，s a＝s b，故v a<v b.2．如图，滑板运动员以速度v0从离地高度h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是(B)A ．v 0越大，运动员在空中运动时间越长B ．v 0越大，运动员落地瞬间速度越大C ．运动员落地瞬间速度与高度h 无关D ．运动员落地位置与v 0大小无关解析：运动员竖直方向上做自由落体运动，故运动员做平抛运动的时间t ＝2hg，只与高度有关，与初速度无关，A 错误；运动员的末速度是由初速度和竖直速度合成的，合速度v ＝v 20＋v 2y ，初速度越大，合速度越大，B 正确；物体的竖直速度v y ＝2gh ，高度越高，竖直速度越大，故合速度越大，C 错误；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x ＝v 0t ＝v 02hg，故落地的位置与初速度有关，D 错误． 3．如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径．若在a 点以初速度v 0沿ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c 点．已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径．解析：小球做平抛运动，水平位移x ＝R ＋32R ，竖直位移y ＝12R ，根据平抛运动特点知小球在水平方向做匀速直线运动，有x ＝v 0t ，即：R ＋32R ＝v 0t ，① 小球在竖直方向做自由落体运动，有y ＝12gt 2，即：12R ＝12gt 2，② 联立①②得圆的半径R ＝4v 2（7＋43）g.答案：4v 20（7＋43）g课时作业 一、单项选择题1．从水平飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是(C )A ．从飞机上看，物体静止B ．从飞机上看，物体始终在飞机的后方C ．从地面上看，物体做平抛运动D ．从地面上看，物体做自由落体运动解析：在匀速飞行的飞机上释放物体，物体有一水平速度，故从地面上看，物体做平抛运动，C 对D 错；飞机的速度与物体水平方向上的速度相同，故物体始终在飞机的正下方，且相对飞机的竖直位移越来越大，A 、B 错．2．如图所示，某同学为了找出平抛运动物体的初速度之间的关系，用一个小球在O 点对准前方放置一块竖直的挡板，O 与A 在同一高度，小球的水平初速度分别是v 1、v 2、v 3，打在挡板上的位置分别是B 、C 、D ，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5.则v 1、v 2、v 3之间的正确关系是(C )A ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1B ．v 1∶v 2∶v 3＝5∶3∶1C ．v 1∶v 2∶v 3＝6∶3∶2D ．v 1∶v 2∶v 3＝9∶4∶1 解析：在竖直方向上，由t ＝2yg得小球落到B 、C 、D 所需的时间比t 1∶t 2∶t 3＝AB ∶AC ∶AD ＝1∶（1＋3）∶（1＋3＋5）＝1∶2∶3；在水平方向上，由v ＝xt 得：v 1∶v 2∶v 3＝x t 1∶x t 2∶xt 3＝6∶3∶2.3．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(D )A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θC ．tan φ＝tan θD ．tan φ＝2tan θ解析：竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝gtv 0，竖直位移与水平位移之比为：tan θ＝0.5gt 2v 0t，故tan φ＝2tan θ，D 正确．4．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s 的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m 至15 m 之间，忽略空气阻力，取g ＝10 m/s 2，球在墙面上反弹点的高度范围是(A )A ．0.8 m 至1.8 mB ．0.8 m 至1.6 mC ．1.0 m 至1.6 mD ．1.0 m 至1.8 m解析：球落地时所用时间在t 1＝x 1v ＝0.4 s 至t 2＝x 2v ＝0.6 s 之间，所以反弹点的高度在h 1＝12gt 21＝0.8 m 至h 2＝12gt 22＝1.8 m 之间，故选A.5．如图所示，我某集团军在一次空地联合军事演习中，离地面H 高处的飞机以水平对地速度v 1发射一颗炸弹轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v 2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程看作竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为x ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足(C )A ．v 1＝Hx v 2 B ．v 1＝v 2x HC ．v 1＝xHv 2 D ．v 1＝v 2解析：由题知从发射到拦截成功水平方向应满足：x ＝v 1t ，同时竖直方向应满足：H ＝12gt2＋v 2t －12gt 2＝v 2t ，所以有x v 1＝H v 2，即v 1＝xHv 2，C 选项正确．二、不定项选择题6．如图所示，在同一竖直面内，小球a 、b 从高度不同的两点，分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经过时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点．若不计空气阻力，下列关系式正确的是(AC )A ．t a ＞t bB ．v a ＞v bC ．v a ＜v bD ．t a ＜t b解析：两小球做平抛运动，由题图可知h a ＞h b ，则t a ＞t b ；又水平位移相同，根据x ＝vt 可知v a ＜v b .7．如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L ，重力加速度取g ，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是(ABD )A ．球的速度v 等于Lg 2HB ．球从击出至落地所用时间为2H gC ．球从击球点至落地点的位移等于LD ．球从击球点至落地点的位移与球的质量无关解析：设球下落的时间为t ，球在竖直方向上自由下落有12gt 2，在水平方向上匀速有L＝vt ，解得t ＝2Hg、v ＝L g 2H，选项A 、B 正确；球从击出点至落地点的位移应为H 2＋L 2，且与物体的质量无关，选项C 错误，D 正确．8．以初速度v 0水平抛出一物体，当它的竖直分位移与水平分位移相等时，则(BCD ) A ．竖直分速度等于水平分速度B ．瞬时速度等于5v 0C ．运动的时间为2v 0gD ．位移大小是22v 2g解析：由平抛运动的两个分运动可知：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，依题意有v 0t ＝12gt 2，得：t ＝2v 0g ，C 正确．v y ＝gt ＝g 2v 0g ＝2v 0，A 错误．瞬时速度v ＝v 20＋v 2y ＝5v 0，B 正确．通过的位移s ＝2v 0t ＝22v 2g，D 正确．9．从距地面h 高处水平抛出两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，球的落地点到抛出点的水平距离分别是x 甲和x 乙，且x 甲＜x 乙，如图所示．则下列说法正确的是(BC )A ．甲球在空中运动的时间短B ．甲、乙两球在空中运动的时间相等C ．甲球平抛的初速度小D ．甲、乙两球落地时速度大小相等解析：球在竖直方向上做自由落体运动，有h ＝12gt 2，可见h 相同，t 就相同，选项B 正确；球在水平方向上做匀速运动，有x ＝v 0t ，可见t 相同时，x 大者v 0大，选项C 正确；球落地的速度v ＝v 20＋（gt ）2，因v 0不同则v 不同，选项D 错误．10．如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a 、b 、c ，开始均静止于同一高度处，其中b 小球在两斜面之间，a 、c 两小球在斜面顶端．若同时释放a 、b 、c 小球到达该水平面的时间分别为t 1、t 2、t 3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t 1′、t 2′、t 3′.下列关于时间的关系正确的是(AC )A ．t 1＞t 3＞t 2B ．t 1>t 1′、t 2>t 2′、t 3>t 3′C ．t 1′＞t 3′＞t 2′D ．t 1＜t 1′、t 2＜t 2′、t 3＜t 3′ 解析：由静止释放三小球时，对a ：h sin 30°＝12gsin 30°·t 21，则t 21＝8h g.对b ：h ＝12gt 22，则t 22＝2h g .对c ：h sin 45°＝12gsin 45°·t 23，则t 23＝4h g.所以t 1＞t 3＞t 2.当平抛三小球时：小球b 做平抛运动，竖直方向运动情况同第一种情况，小球a 、c 在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一种情况，所以t 1＝t 1′，t 2＝t 2′，t 3＝t 3′.故选A 、C.三、非选择题11．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H 处以速度v 0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标．求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)解析：炸弹脱离飞机后做平抛运动． 在水平方向上：x ＝v 0t ，在竖直方向上：H ＝12gt 2，v y ＝gt ，联立可解得：x ＝v 02H g. v ＝v 20＋v 2y ＝v 20＋2gH. 答案：v 02H gv 20＋2gH12．在交通事故中，测定碰撞瞬间汽车的速度对于事故责任的认定具有重要的作用．《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个计算碰撞瞬间的车辆速度的公式v ＝ 4.9·ΔLh 1－h 2，式中ΔL 是被水平抛出的散落在事故现场路面上的两物体沿公路方向上的水平距离，如图所示．h 1和h 2分别是散落物在车上时的离地高度．通过用尺测量出事故现场的ΔL 、h 1和h 2三个量，根据上述公式就能够计算出碰撞瞬间车辆的速度．请根据所学的平抛运动知识对给出的公式加以证明．解析：车上A 、B 两物体均做平抛运动，则h 1＝12gt 21，h 2＝12gt 22，ΔL ＝v·(t 1－t 2)．解以上三式可以得到：v ＝ 4.9·ΔL h 1－h 2.答案：见解析 13．如右图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经3.0 s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s 2)．求：(1)A 点与O 点的距离L ；(2)运动员离开O 点时的速度大小．解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝12gt 2，所以A 点与O 点的距离L ＝gt22sin 37°＝75 m.(2)设运动员离开O 点的速度为v 0， 运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos 37°＝v 0t ，解得：v 0＝Lcos 37°t＝20 m/s.答案：(1)75 m (2)20 m/s 37986 9462 鑢!37624 92F8 鋸28778 706A 灪22974 59BE 妾/35838 8BFE 课33605 8345 荅 ILy"32266 7E0A 縊。

第2讲抛体运动一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4．基本规律如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．图1(1)位移关系(2)速度关系自测1人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是()答案 C解析小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的方向竖直向下，C 正确．自测2一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计空气阻力)()A.v －v 0gB.v ＋v 0gC.v 2－v 02gD.v 2＋v 02g答案 C 二、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)图2(1)水平方向：v 0x ＝v 0cos θ，F 合x ＝0； (2)竖直方向：v 0y ＝v 0sin θ，F 合y ＝mg .自测3 有A 、B 两小球，B 的质量为A 的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，①为A 的运动轨迹，则B 的运动轨迹是( )图3A ．①B ．②C ．③D ．④答案 A解析 物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A 、B 两小球的运动轨迹相同，故A 项正确．命题点一 平抛运动基本规律的应用1．飞行时间 由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关． 2．水平射程 x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． 3．落地速度v ＝v x 2＋v 2y ＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2gh v 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关． 4．速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．图45．两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即x B ＝x A2.图5推导：⎭⎬⎫tan θ＝y A x A －x Btan θ＝v yv 0＝2yAxA→x B＝x A2 (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.推导：⎭⎬⎫tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v→tan θ＝2tan α类型1 单个物体的平抛运动例1 (2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( ) A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 答案 C解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h ＝12gt 2及v y 2＝2gh 可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A 、B 、D 均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C 正确．变式1 (2018·安徽省滁州市上学期期末)在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s 时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的23，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( ) A.13s B.23s C.23s D.223s答案 C解析 设原来的速度大小为v ，高度为h ，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有：h ＝12gt 2，解得：t ＝2hg，在水平方向：s ＝v t ＝v 2h g ，现战斗机高度减半，速度大小减为原来的23，要仍能命中目标，则有s ′＝23v t ′，12h ＝12gt ′2，联立解得：s ′＝23s ，故C 正确，A 、B 、D 错误．例2 (2017·全国卷Ⅱ·17)如图6，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( )图6A.v 216g B.v 28g C.v 24g D.v 22g答案 B解析 设小物块滑到轨道上端的速度大小为v 1，小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得12m v 2＝2mgr ＋12m v 12小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x ＝v 1t ， t ＝2rg，联立解得：x ＝2v 2gr －4r 2， 由数学知识可知，当r ＝v 28g时，x 最大，故选项B 正确．变式2 (多选)(2018·福建省三明市上学期期末)如图7所示，将一小球从空中A 点以水平速度v 0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v 0的速度经过B 点，不计空气阻力，则小球从A 到B (重力加速度为g )( )图7A ．下落高度为3v 022gB ．经过的时间为3v 0gC ．速度增量为v 0，方向竖直向下D ．运动方向改变的角度为60° 答案 AD解析 小球经过B 点时竖直分速度v y ＝(2v 0)2－v 02＝3v 0，由v y ＝gt 得t ＝3v 0g ；根据h ＝12gt 2得h ＝3v 022g ，故A 正确，B 错误；速度增量为Δv ＝gt ＝3v 0，方向竖直向下，故C 错误；小球经过B点时速度与水平方向的夹角正切值tan α＝v yv 0＝3，α＝60°，即运动方向改变的角度为60°，故D 正确．类型2多个物体的平抛运动1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定．3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇．例3(2019·山东省临沂市期中)如图8所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h 和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，则下列说法正确的是()图8A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4B．A、B两球的初速度大小之比为2∶2C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(2－1)2h gD．若两球同时抛出，则落地的时间差为2h g答案 C变式3在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图9所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是()图9A．三个小球落地时间差与车速有关B．三个小球落地点的间隔距离L1＝L2C．三个小球落地点的间隔距离L1<L2D．三个小球落地点的间隔距离L1>L2答案 C解析落地时间只与下落的高度有关，故A项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t ＝2hg可得下落时间之比为t A ∶t B ∶t C ＝3∶2∶1，故水平位移之比x A ∶x B ∶x C ＝3∶2∶1，则L 1∶L 2＝(3－2)∶(2－1)，故L 1<L 2，故C 正确，B 、D 错误．命题点二 有约束条件的平抛运动模型模型1 对着竖直墙壁平抛如图10所示，水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移d 相同，t ＝dv 0.图10例4 (多选)从竖直墙的前方A 处，沿AO 方向水平发射三颗弹丸a 、b 、c ，在墙上留下的弹痕如图11所示，已知Oa ＝ab ＝bc ，则a 、b 、c 三颗弹丸(不计空气阻力)( )图11A ．初速度之比是6∶3∶ 2B ．初速度之比是1∶2∶ 3C ．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶ 3D ．从射出至打到墙上过程速度增量之比是6∶3∶ 2 答案 AC解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa ＝ab ＝bc ，即Oa ∶Ob ∶Oc ＝1∶2∶3，由h ＝12gt 2可知t a ∶t b ∶t c ＝1∶2∶3，由水平方向x ＝v 0t 可得v a ∶v b ∶v c ＝1∶12∶13＝6∶3∶2，故选项A 正确，B 错误；由Δv ＝gt ，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3，故选项C 正确，D 错误．模型2 斜面上的平抛问题 1．顺着斜面平抛(如图12)图12方法：分解位移． x ＝v 0t ， y ＝12gt 2， tan θ＝y x ，可求得t ＝2v 0tan θg.2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图13)图13方法：分解速度． v x ＝v 0， v y ＝gt ， tan θ＝v 0v y ＝v 0gt ，可求得t ＝v 0g tan θ.例5 (2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( ) A ．2倍 B ．4倍 C ．6倍 D ．8倍 答案 A解析 如图所示，可知：x ＝v t ，x ·tan θ＝12gt 2，v y ＝gt ＝2tan θ·v则落至斜面的速率v 落＝v 2＋v y 2＝v 1＋4tan 2θ，即v 落∝v ，甲、乙两球抛出速度为v 和v2，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.变式4 (2018·山西省晋城市二模)如图14所示，斜面体ABC 固定在水平地面上，斜面的高AB 为2 m ，倾角为θ＝37°，且D 是斜面的中点，在A 点和D 点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C 点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2，不计空气阻力)()图14A.34 mB.23 mC.22 mD.43 m 答案 D解析 设AB 的高度为h ，落地点到C 点的距离为x ，则h tan θ＋x 2h g ＝h2tan θ＋x hg ，求得：x ＝43 m ，故选D.变式5 (2018·福建省南平市5月第二次模拟)为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A 的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L ＝300 m 的斜坡的中点P ，如图15，若sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s 2，则无人机距A 点的高度h 和飞行的速度v 分别为( )图15A ．h ＝170 m v ＝30 m/sB ．h ＝135 m v ＝40 m/sC ．h ＝80 m v ＝30 m/sD ．h ＝45 m v ＝40 m/s答案 A解析 根据速度的分解有：tan θ＝v v y ＝v gt ，x ＝L2cos 37°＝v t ，联立解得t ＝4 s ，v ＝30 m/s ；则炸弹竖直位移为y ＝12gt 2＝80 m ，故无人机距A 点的高度h ＝y ＋L2sin θ＝170 m ，故选A.模型3 半圆内的平抛问题如图16所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t ：h ＝12gt 2，图16R ±R 2－h 2＝v 0t .联立两方程可求t .例6 (2018·江西省赣州市十四县市期中)如图17，从O 点以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v 1∶v 2为 ( )图17A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αtan α答案 C解析 设圆弧半径为R ，两小球运动时间分别为t 1、t 2.对球1：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 12，对球2：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 22，解四式可得：v 1v 2＝tan αtan α，C 正确．变式6 如图18所示，薄半球壳ACB 的水平直径为AB ，C 为最低点，半径为R .一个小球从A 点以速度v 0水平抛出，不计空气阻力．则下列判断正确的是( )图18A ．只要v 0足够大，小球可以击中B 点B ．v 0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同C ．v 0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上D ．无论v 0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上 答案 D解析 小球做平抛运动，竖直方向有位移，v 0再大也不可能击中B 点，A 错误；v 0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A 点的连线与AB 的夹角φ不同，由推论tan θ＝2tan φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB 的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B 、C 错误，D 正确．命题点三 平抛运动的临界和极值问题例7 如图19所示，排球场总长为18 m ，设球网高度为2 m ，运动员站在离网3 m 的线上，正对网向上跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2)图19(1)设击球点在3 m 线正上方高度为2.5 m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？(2)若击球点在3 m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度． 答案 见解析解析 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x 1＝3 m ，竖直位移y 1＝h 2－h 1＝(2.5－2) m ＝0.5 m ，根据位移关系x ＝v t ，y ＝12gt 2，可得v ＝xg2y，代入数据可得v 1＝310 m/s ，即所求击球速度的下限．设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x 2＝12 m ，竖直位移y 2＝h 2＝2.5 m ，代入速度公式v ＝xg 2y， 可求得v 2＝12 2 m/s ，即所求击球速度的上限．欲使球既不触网也不越界，则击球速度v 应满足 310 m/s<v ≤12 2 m/s.(2)设击球点高度为h 3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示设此时球的初速度为v 3，击球点到触网点的水平位移x 3＝3 m ，竖直位移y 3＝h 3－h 1＝h 3－2 m ，代入速度公式v ＝xg2y可得v 3＝35h 3－2； 同理对压线点有x 4＝12 m ，y 4＝h 3， 代入速度公式v ＝xg2y可得v 3＝125h 3. 联立解得h 3≈2.13 m ，即当击球高度小于2.13 m 时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界．变式7 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图20所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )图20A.L 12g6h ＜v ＜L 1g6h B.L 14gh ＜v ＜(4L 12＋L 22)g6hC.L 12g 6h ＜v ＜12(4L 12＋L 22)g6hD.L 14g h ＜v ＜12(4L 12＋L 22)g6h答案 D解析 当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 122①L 12＝v 1t 1② 联立①②两式，得v 1＝L 14g h当速度v 最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 (L 22)2＋L 21＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22④联立③④两式，得v 2＝12(4L 12＋L 22)g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14g h ＜v ＜12(4L 12＋L 22)g6h，选项D 正确．1．(2019·福建省泉州市调研)从距地面h 高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g ，下列结论中正确的是( ) A ．小球初速度为2gh tan θ B ．小球着地速度大小为2ghsin θC ．若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍D ．若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ 答案 B2．(2018·湖北省武汉市调研)如图1是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a 、b 、c 的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a 和b 从同一点抛出．不计空气阻力，则( )图1A ．a 和b 的飞行时间相同B ．b 的飞行时间比c 的短C ．a 的水平初速度比b 的小D ．c 的水平初速度比a 的大 答案 D 解析 根据t ＝2h g 可知，b 下落的高度比a 大，则b 飞行的时间较长，根据v 0＝xt，因水平位移相同，则a 的水平初速度比b 的大，选项A 、C 错误；b 的竖直高度比c 大，则b 飞行的时间比c 长，选项B 错误；a 的竖直高度比c 大，则a 飞行的时间比c 长，根据v 0＝xt ，因水平位移相同，则a 的水平初速度比c 的小，选项D 正确．3．(2018·山东省济南一中期中)如图2所示，位于同一高度的小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C 点，小球B 恰好垂直打到斜面上，则v 1、v 2之比为( )图2A ．1∶1B ．2∶1C ．3∶2D ．2∶3答案 C解析 小球A 、B 下落高度相同，则两小球从飞出到落在C 点用时相同，均设为t ，对A 球： x ＝v 1t ①y ＝12gt 2② 又tan 30°＝yx ③联立①②③得：v 1＝32gt ④ 小球B 恰好垂直打到斜面上，则有：tan 30°＝v 2v y ＝v 2gt ⑤则得：v 2＝33gt ⑥ 由④⑥得：v 1∶v 2＝3∶2，所以C 正确．4．(2018·河南省洛阳市尖子生第二次联考)利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图3所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P 点以速度v 水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是( )图3A ．在P 点将纸团以小于v 的速度水平抛出B ．在P 点将纸团以大于v 的速度水平抛出C ．在P 点正上方某位置将纸团以小于v 的速度水平抛出D ．在P 点正下方某位置将纸团以大于v 的速度水平抛出 答案 C解析 在P 点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A 错误．在P 点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B 错误．在P 点正上方某位置将纸团以小于v 的速度水平抛出，根据x ＝v 02hg知，水平位移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间，故C 正确．在P 点正下方某位置将纸团以大于v 的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能直接击中篓底正中间，故D 错误．5．(2018·天津市部分区上学期期末)如图4所示，在水平地面上M 点的正上方h 高度处，将S 1球以初速度v 1水平向右抛出，同时在地面上N 点处将S 2球以初速度v 2竖直向上抛出，在S 2球上升到最高点时恰与S 1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中( )图4A ．做的都是变加速运动B ．速度变化量的大小不相等C ．速度变化量的方向不相同D ．相遇点在N 点上方h2处答案 D解析 由于两个球都只受到重力的作用，做的都是匀变速运动，故A 错误；由Δv ＝at ＝gt ，知它们速度的变化量相同，速度变化量的方向都竖直向下，故B 、C 错误；S 1球做平抛运动，竖直方向有h 1＝12gt 2；S 2球竖直上抛，则有v 2＝gt ，h 2＝v 2t －12gt 2，由题意得h ＝h 1＋h 2，解得h 1＝h 2＝h2，所以相遇点在N 点上方h2处，故D 正确．6．(2018·江西省横峰中学、铅山一中等校联考)从离地面高为h 处以水平速度v 0抛出一个物体，不计空气阻力，要使物体落地速度与水平地面的夹角最大，则h 与v 0的取值应为下列的( ) A ．h ＝15 m ，v 0＝5 m/s B ．h ＝15 m ，v 0＝8 m/s C ．h ＝30 m ，v 0＝10 m/s D ．h ＝40 m ，v 0＝10 m/s答案 A解析 水平方向上做匀速直线运动：v ＝v 0，x ＝v 0t ，竖直方向上做自由落体运动：v y ＝gt ，h ＝12gt 2，落地时速度方向与水平地面的夹角为tan α＝v y v 0＝gt v 0＝2ghv 0，所以h 越大，初速度v 0越小，物体落地的速度方向与水平地面的夹角越大，故A 正确，B 、C 、D 错误．7．(2018·广东省肇庆市一模)如图5所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O 有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B 的时间是t 1.若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A 点，经过的时间是t 2；落到斜面底端B 点，经过的时间是t 3；落到水平面上的C 点，经过的时间是t 4，不计空气阻力，则( )图5A ．t 1＜t 2B ．t 4＜t 1C ．t 3＜t 4D ．t 3＜t 2 答案 B解析 小球做平抛运动时：h ＝12gt 2，因此下落高度大的时间长，所以有t 4＝t 3>t 2，故C 、D 错误；小球沿斜面下滑时：l ＝12at 2，由于a <g ，l >h ，所以沿斜面下滑时间是最长的，则t 4<t 1，故A 错误，B 正确．8．(2019·广东省韶关市调研)如图6所示，离地面高h 处有甲、乙两个小球，甲以初速度v 0水平射出，同时乙以大小相同的初速度v 0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，若甲、乙同时到达地面，重力加速度为g ，则初速度v 0的大小是( )图6A.gh2 B.gh C.2gh 2D.2gh答案 A解析 甲平抛运动的时间为：t ＝2h g ；乙在斜面下滑的加速度为：a ＝mg sin 45°m ＝g sin 45°＝22g .根据2h ＝v 0t ＋12at 2 ，代入数据得v 0＝gh2，故A 正确，B 、C 、D 错误．9．(多选)(2018·河北省石家庄市模拟)如图7所示，甲球从O 点以水平速度v 1飞出，落在水平地面上的A 点．乙球从O 点以水平速度v 2飞出，落在水平地面上的B 点反弹后恰好也落在A 点．已知乙球在B 点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变，竖直方向的分速度方向相反、大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是( )图7A ．由O 点到A 点，甲球运动时间与乙球运动时间相等B ．甲球由O 点到A 点的水平位移是乙球由O 点到B 点水平位移的3倍C ．v 1∶v 2 ＝3∶1D ．v 1∶v 2 ＝2∶1 答案 BC解析 设OA 间的竖直高度为h .由O 点到A 点，甲球运动时间为t 甲＝2hg.乙球运动时间是甲球的3倍，A 错误；乙球先做平抛运动，再做斜上抛运动，根据对称性可知，从B 到A 的水平位移等于从O 到B 的水平位移的2倍，所以甲球由O 点到A 点的水平位移是乙球由O 点到B 点水平位移的3倍，B 正确；设乙球由O 点到B 点水平位移为x ，时间为t .对甲球有3x ＝v 1t ，对乙球有x ＝v 2t ，则得v 1∶v 2＝3∶1，故C 正确，D 错误．10．(2018·广东省揭阳市二模)如图8所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿高出桌面H ，网到桌边的水平距离为L ，在某次乒乓球训练中，从左侧L2处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是( )图8A ．击球点的高度与网高度之比为2∶1B ．乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2∶1C ．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶2D ．乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2 答案 D解析 因为水平方向做匀速运动，乒乓球在网右侧的水平位移是左边水平位移的两倍，所以乒乓球在网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h ＝12gt 2可知，击球点的高度与网高之比为9∶8，故A 、B 错误；由平抛运动规律：98H ＝12gt 2，32L ＝v 0t ，解得：v 0＝LgH，由动能定理可知，乒乓球过网时mg 18H ＝12m v 12－12m v 02，解得：v 1＝gL 2H ＋gH4，同理落到桌边缘时速度v 2＝gL 2H ＋94gH ，所以v 1v 2＝4L 2＋H 24L 2＋9H 2，故C 错误；网右侧运动时间是左侧的两倍，Δv ＝gt ，所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2，故D 正确．11．(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图9所示，AB 是半圆弧的直径，处于水平，O 是圆弧的圆心，C 是圆弧上一点，∠OAC ＝37°，在A 、O 两点分别以一定的初速度同时水平抛出两个小球，结果都落在C 点，则两个球抛出的初速度v 1、v 2的大小之比为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g ＝10 m/s 2，不计空气阻力)( )图9A ．v 1∶v 2＝32∶7B ．v 1∶v 2＝16∶7C ．v 1∶v 2＝16∶3D ．v 1∶v 2＝16∶9答案 A解析 两球下落的高度相同，根据t ＝2hg知，下落的时间相同，设圆弧的半径为R ，则A 点抛出的球平抛运动的水平位移x 1＝2R cos 37°cos 37°＝1.28R ，从O 点抛出的球做平抛运动的水平位移为x 2＝x 1－R ＝0.28R ，根据v ＝xt知v 1∶v 2＝32∶7，A 正确．12．(2018·湖北省黄冈市质检)如图10所示，倾角θ＝37°、高h ＝1.8 m 的斜面位于水平地面上，小球从斜面顶端A 点以初速度v 0水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰好落到斜面底端B 点处．空气阻力忽略不计，取重力加速度g ＝10 m/s 2，tan 37°＝0.75.图10(1)求小球平抛的初速度v 0的大小；(2)若在小球水平抛出的同时，使斜面在水平面上由静止开始向右做匀加速直线运动，经t 2＝0.3 s 小球落至斜面上，求斜面运动的加速度大小． 答案 (1)4 m/s (2)13.3 m/s 2解析 (1)小球水平抛出后恰好落在斜面底端，设水平位移为x ，h ＝12gt 2，x ＝v 0t ，由几何知识可得tan θ＝h x联立并代入已知数据得v 0＝4 m/s(2)如图所示，设经过t 2＝0.3 s ，斜面运动的位移为x 1，加速度大小为a ，小球做平抛运动竖直位移为h 2，水平位移为x 2，x 1＝12at 22h 2＝12gt 22，x 2＝v 0t 2由几何知识可得tan θ＝h 2x 2－x 1联立并代入已知数据得a ＝403m/s 2≈13.3 m/s 2。

C 正确。
答案：AC
2．解析：因 tan θ＝vgt0＝vg0t，对应图像可得vg0＝1，v0＝10 m/s， D 正确，C 错误；第 1 s 内物体下落的高度 h＝12gt2＝12×10×12
m＝5 m，A 正确，B 错误。
答案：AD
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3．解析：水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体
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[针对训练]
1．解析：A 质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直
方向有 h＝12gt12。
B 质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合
力为 mgsin θ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以 B 质点
做类平抛运动。在沿斜面向下方向上sinh θ＝12gsin θ·t22。
由此得 t2＞t1，由于二者在水平方向(x 轴方向)相遇时，a 球运动 t 秒，b 球运动了 (t－1)秒，此时两球速度相互垂直，如 图所示，由图可得： tan α＝vgt0＝gtv－0 1 解得：t＝5 s(另一个解舍去)，故抛出 点 A、B 间的水平距离是 v0t＋v0(t－1)＝180 5 m，D 正确。 答案：D
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[针对训练] 1．解析：由 H＝12gta2,4H＝12gtb2 可得：tb＝2ta，A 错误；由 x
＝v0t 可知，xa∶xb＝1∶2，C 正确，D 错误；设落地时速 度与水平方向夹角为 θ，则由 tan θ＝vgt0可知，tan θa∶tan θb ＝1∶2，θa≠θb，B 错误。 答案：C
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代入数据解得 s1＝0.8 2 m＝1.1 m。 (2)设 2.0 s 后小球运动的加速度为 a2，F2 的作用时间为 t2 时小 球的速度变为与初速度相同。则 F2＝ma2 0＝v1－a2t2 代入数据解得 t2＝4.0 s。 答案：(1)0.8 m/s 1.1 m (2)4.0 s

第2讲 抛体运动的规律及应用1．(人教版必修2·P 9·例题1改编)以初速度v 0＝20 m/s ，从20 m 高台上水平抛出一个物体(g 取10 m/s 2)，则( )A ．2 s 后物体的水平速度为20 m/sB ．2 s 后物体的速度方向与水平方向成45°角C ．每1 s 内物体的速度变化量的大小为10 m/sD ．每1 s 内物体的速度大小的变化量为10 m/s C [物体从高台落至地面所用时间t ＝2hg＝2 s ，故2 s 后物体落至地面，速度为0，选项A 、B 错误；速度的变化表现为竖直方向速度的变化，所以Δt ＝1 s 内，速度的变化量Δv ＝g Δt ＝10 m/s ，所以选项C 正确；物体的运动速度大小为v 2x ＋v 2y ，每1 s 内，其变化量不同，选项D 错误。

]2．(2019·广西博白期末)物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t 的变化图象中，正确的是( )B [tan θ＝v y v 0＝gt v 0＝g v 0t ，gv 0为定值，tan θ与t 成正比，故B 正确。

] 3．(2020·广东惠州调研)如图所示，A 、B 两个平台水平距离为7.5 m ，某同学先用一个小球从A 平台边缘以v 0＝5 m/s 的速度水平抛出，结果小球落在了B 平台左侧边缘下方6.25 m 处。

重力加速度g 取10 m/s 2，忽略空气阻力，要使小球从A 平台边缘水平抛出能落到B 平台上，则从A 平台边缘水平抛出小球的速度至少为( )A ．6 m/s B.7.5 m/s C ．9 m/sD.11.25 m/sB [本题考查平抛运动的临界问题。

由平抛运动的规律可知，第一次抛出小球时满足x ＝v 0t 1，h ＋6.25 m ＝12gt 21；当小球恰能落到平台B 上时，有x ＝v 0′t 2，h ＝12gt 22，联立解得v 0′＝7.5 m/s ，故选B 。