第九章.圆模型（三十六）——四点共圆模型模型讲解四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆一、四点共圆的性质【结论1】如图，A、B、C、D四点共圆，①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等）∠ACB＝∠ADB，AB为底；∠BAC＝∠BDC，BC为底；∠CAD＝∠CBD，CD为底；∠ABD＝∠ACD，AD为底；②圆内接四边形的对角互补∠ABC＋∠ADC＝180º；∠BCD＋∠BAD＝180º③圆内接四边形的外角等于内对角二、四点共圆的判定①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆）【证明】【共斜边直角三角形】：取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半AO＝BO＝CO＝DO，A、B、C、D四点共圆.②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.若∠A＋∠C＝180º,则A、B、C、D四点共圆【证明】（反正法）以B、C、D三点作⊙O，现证明A在⊙O上，假设点A不在圆上③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆若∠BCD＝∠A，则A、B、C、D四点共圆【本质：对角互补】④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点四点共圆若∠BAC＝∠BDC，则A、B、C、D四点共圆典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，已知 OA＝OB＝OC＝2，且∠ACB＝45°，则 AB 的长为（）A.2B.C.2D.2【答案】C【解析】OA＝OB＝OC，根据四点共圆的判定知，A，B，C在以O为圆心，OA长为半径的圆上，∴∠ACB ＝∠AOB,∴∠AOB＝2∠ACB＝90°,∴AB ＝＝2.故选C.典例2 ☆☆☆☆☆如图所示，矩形 ABCD 的边 AB＝3，Rt△BEF的直角顶点E在对角线AC上，另一顶点F在边CD上，若△BEF的一个锐角为 30°,则 BC的长是（）.A. B.3D.6【答案】C【解析】∵∠BEF＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BCD＋∠BEF＝180°，∴根据四点共圆的判定知，B，C，F，E四点共圆，∴∠BFE＝∠ACB,①当∠BFE＝30°时，∠ACB＝30°，此时BC＝AB=3②当∠EBF＝30°时，∠ACB＝∠BFE＝60°，此时 BC＝＝＝综上所述，BC 的长为 .故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆如图，四边形 ABCD是正方形，M 是 BC 上一点，ME⊥AM交∠BCD 的外角平分线于E，求证∶AM＝EM.【解析】如图，连接 AC，AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°∵CE是∠BCD的外角平分线，∴∠DCE=45°，∠ACE＝90°，∵∠AME＝90°，∴A，M，C，E四点共圆，∴∠AEM＝∠ACB=45°，∴∠EAM＝45°，∴AM＝EM.1.（★★☆☆☆）如图所示，四边形 ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD 的长为（）A.2.（★★★☆☆）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，小试牛刀∠AOC＝40°,P在直径AB上，且∠OCP＝∠ODP＝10°，则∠BOD的度数为（）.A.20°B.30°C.25°D.15°2.（★★★☆☆）如图，正方形 ABCD的中心为 O，面积为1989 cm²，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA∶PB=5∶14，则PB的长为（）.A.42 cmB.40 cmC.35 cmD.50 cm直击中考1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点 D是BC 边上一动点，过点 B作 BE⊥AD交AD 的延长线于E.若AC＝6，BC＝8，则的最大值为( )A.B . C. D.2.如图，在菱形ABCD中，点P是 BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G,交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是（）.A.变大B.先变大后变小C.先变小后变大D.不变中考中经常会利用四点共圆来导角，如果知道某个角的大小，我们就可以说明边与边的大小关系，或者我们就可以利用导角来证明某些三角形是等腰三角形.这样不需繁杂的几何辅助线，也不需要证明全等，就能得到答案，让同学们真正能够做到高效解题第九章.圆模型（三十六）——四点共圆模型答案：小试牛刀1.答案 B解析由题意及四点共圆的判定知点 B，C，D共圆.如图，以 A为圆心，AB长为半径作圆，延长 BA交⊙A于F，连接 DF.∵DC∥AB,∴,∴DF=CB=1，∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB＝90°，又BF=2＋2=4，∴BD＝＝.故选 B.2.答案 A解析如图，连接 CD.∵∠OCP＝∠ODP，∴根据四点共圆的判定知C，D，P，O四点共圆，∴∠CDP＝∠AOC＝40°,∵∠ODP=10°,∴∠CDO=30°∵OC＝OD,∴∠OCD＝30°,∴∠COD＝120°,∴∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝180°－40°－120°＝20°．故选 A.3.答案 A解析如图，连接 OA，OB.∵四边形 ABCD是正方形，∴∠AOB=90°，∴∠OAB=45°又∠OPB＝45°，∴根据四点共圆的判定知 A，B，O，P四点共圆，∴∠APB＝90°．在 Rt△ABP中，PA²＋ PB²＝AB²．设 PA=5k，PB=14k，k＞0，则 25k²＋196k²=1989，解得 k²=9，∴k=3，∴PB＝42（cm）.故选 A.直击中考1.答案 B解析∵∠C=90°，AE⊥BE，∴根据四点共圆的判定知 A，B，E，C 四点共圆.设AB的中点为O，连接OE，交BC于F，当OE⊥BC时，EF有最大值，如图∵OE⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥EF，∴△ACD∽△EFD，∴∵AC＝6,BC＝8,∴AB＝10,∴OE＝5.∵OE⊥BC，∴BF＝CF，∴OF＝AC＝3,∴EF＝2,∴＝＝∴的最大值为，故选 B.2.答案 D解析如图，连接 AC交 BD 于O，连接 EO,AG.∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠AOB=90°∵ EG是 AP的垂直平分线，∴AG＝ PG，∠AEG＝∠AOB＝90°，∠APG＝∠PAG，∴根据四点共圆的判定知 A，E，G，O四点共圆，∴∠PAG = ∠EOB，∴∠EOB =∠APG.∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA= OC.∵AE=PE,∴OE∥BC,∴∠EOB=∠DBC＝∠ABC.∴∠APG= ABC,∴∠APG的度数不变.故选 D.。
