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第2课时 与坡度.方位角有关的应用问题要点感知1 山坡的坡面与地平面的夹角叫作坡角，如图所示，角α为斜面的坡角.如图所示，通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度，通常用字母i 表示，即i =l h (坡度通常写成1∶m 的形式).坡度i 与坡角α的关系是i =lh =tanα.坡度越大，山坡越陡.预习练习1－1 如图，修建抽水站时，沿着坡度为i =1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是( )A.sinα=61B.cosα=61C.tanα=61D.以上都不对要点感知2 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫作方位角.如图中点A 的方向角为北偏东60°.预习练习2－1 如图，C .D 是两个村庄，分别位于一个湖的南.北两端A 和B 的正东方向上，且D 位于C 的北偏东30°方向上，且CD =6 km ，则AB =_____km .知识点1 与坡度.坡角有关的应用问题1.某堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是( )A.1∶3B.1∶2.6C.1∶2.4D.1∶22.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶3，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是( )A.15 mB.203mC.103mD.20 m知识点2 与方位角有关的应用问题3.如图，某海监船和一渔船同时从点A出发，海监船沿正北方向MN 航行，渔船往北偏东60°方向以40海里/小时的速度航行，渔船半小时后到达B处，此时渔船恰好在海监船的正东方向，则此时渔船与海监船的距离为( )A.20海里B.103海里C.202海里D.30海里4.(昭通中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)5.钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处的距离.(结果保留根号)6.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C 处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)7.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.挑战自我8.如图，在东西方向的海岸线MN上有A.B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57) (1)求船P到海岸线MN的距离(精确到0.1海里)；(2)若船A.船B分别以20海里/小时.15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.参考答案预习练习1－1 C要点感知2 331.C2.D3.B4.过P作PC⊥AB于C.在Rt△APC中，AP=200 m，∠ACP=90°，∠PAC=60°，∴PC=200×sin60°=200×3/2=1003.∵在Rt△PBC中，sin37°=PC/PB，∴PB=PC/sin37°=100×1.73/0.6≈288(m).答：小亮与妈妈相距约288米.5.AB=30×0.5=15(海里)，由题意知CB⊥AB，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，tan∠BAC=BC/AB，所以BC=ABtan∠BAC=ABtan30°=15×33=53(海里).答：钓鱼岛C到B处的距离为53海里.6.过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=1/2AC=40海里.在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°－37°=53°，∴BC=CD/sin∠CBD≈400.8=50(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40=54(小时).答：海警船到达事故船C处所需时间约为54小时.7.在Rt△ADC中，∵AD∶DC=1∶2.4，AC=13，由AD2+DC2=AC2，得AD2+(2.4AD)2=132.∴AD=±5(负值不合题意，舍去).∴DC=12.在Rt△ABD中，∵AD∶BD=1∶1.8，∴BD=5×1.8=9.∴BC=DC－BD=12－9=3.答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米.8.(1)过点P作PD⊥AB于点D.由题意，得∠PAB=90°－58°=32°，∠PBD=90°－35°=55°，AP=30，在Rt△ADP中，sin∠PAD=PD/AP，得PD=AP·sin∠PAD，即PD=30·sin32°≈15.9.答：船P到海岸线MN的距离约为15.9海里.(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD=PD/BP，∴BP=PD/sin∠PBD=15.9/sin55°≈19.4，A船需要时间为30/20=1.5(小时)，B船需要时间为19.4/15≈1.3(小时)，∵1.5＞1.3，∴B船先到达P处.答：B船先到达P处.。
课题：与方位角、坡度有关的应用问题 【学习目标】 1．了解坡度、坡角、方位角的概念，学会解决相关问题． 2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题． 3．渗透数学来源于实践又服务于实践的观点，培养应用数学的意识，渗透数形结合的思想方法． 【学习重点】与坡度、方位角有关的解直角三角形的实际应用．【学习难点】建立直角三角形的模型．一、情景导入 生成问题情景导入：1．如图，从山坡脚下点P 上坡走到点N 时，升高的高度是h(即线段MN 的长)，水平前进的距离是l(即线段PM 的长度)．2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在我船的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位．若可疑船的位置不停移动，同学们能否描述缉私艇的航线，探求其规律呢？二、自学互研 生成能力知识模块一 坡度、坡角的概念及应用阅读教材P 127，完成下面的内容：在情景导入的图中，从山坡脚下点P 上坡走到点N 时，升高的高度h(即线段MN 的长)与水平前进的距离l(即线段PM 的长)的比叫作坡度，用字母i 表示，即i ＝h l． 其中∠MPN 叫作坡角(即PM 与PN 的夹角)，记作α．【例1】同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m )．解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5， ∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m )．FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m )．∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m )．因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.3333，所以α≈18°26′. ∵BE AB ＝sin α，∴AB ＝BE sin α＝230.3162≈72.7(m )． 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5米，斜坡AB 的长度约为72.7米。
第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题1．[2018·苏州]如图4415，某海监船以20海里/h 的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1 h 到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2 h 到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离(即PC 的长)为( )A ．40海里B ．60海里C ．203海里D ．403海里图44152．[2017·德阳]如图4416所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB ＝6 2 m ，背水坡CD 的坡度i ＝1∶3，则背水坡的坡长为________m.图44163．某地一人行天桥如图4417所示，天桥高6 m ，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α.(2)原天桥底部正前方8 m 处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．图44174．[2018·泰州]日照间距系数反映了房屋日照情况，如图4418(1)，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L ∶()H －H 1，其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图4418(2)，山坡EF朝北，EF长15 m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到E点的距离为4 m.(1)求山坡EF的水平宽度FH.(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？(1)(2)图4418参考答案1．D 2.123．(1)∠α＝30°(2)文化墙PM不需要拆除，理由略．4．(1)9 m (2)29 m。
4.4解直角三角形的应用(2)第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.即tanA1＞tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运用新知，深化理解1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．在Rt△ABC中，cosA=AC/AB,∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，所以α≈18°26′.∵BE/AB=sinα，∴AB=BE/sinα=23/0.3162≈72.7（m）.答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）解：过点A作AD⊥BC于点D，答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：(1) ∠D的度数；(2)线段AE的长．解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°，∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米，∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=2/3，∴BFAB=2/3，∵BF=3米，∴AB=92米，.5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.在Rt△APC中，∵tanA=PCAC，∴AC=PC/tan67.5°=5x/12在Rt△PCB中，∵tanB=PC/BC，∴BC=x/tan36.9°=4x/3∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,∴AC+BC=AB=21×5，∴5x/12+4x/3=21×5，解得x=60.∵sin∠B=PC/PB，∴PB=PC/sinB=60sin36.9°=60×5/3=100（海里）∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.1”中第1、6、7 题.教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.。
