下册28.2.2第2课时方位角与坡度问题-2020秋人教版九年级数学全一册课件(共28张PPT)

坡度、方位角与解直角三角形(续表)(续表)(续表)【学习目标】1．知识技能知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题．2．解决问题(1)通过学习懂得坡比、坡角的意义，把实际问题转化为数学模型；(2)在研究有关坡比、坡角的问题的过程中，渗透数形结合的数学思想．3．数学思考(1)通过解决与坡比、坡角有关的实际问题为背景，发展应用意识；(2)经历解决实际问题的过程，掌握把实际问题转化为数学问题的能力．4．情感态度(1)经历由情境引出问题，经历先掌握数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；(2)体会数形结合的数学思想方法；(3)培养自主探索的精神，提高合作交流的能力．【学习重难点】1．重点：与坡度、坡角有关的实际问题．2.难点：把实际问题转化为数学问题．课前延伸【知识梳理】1．三角形中共有几个元素？2．在△ABC中，∠C＝90°a＝3，b＝3，解这个直角三角形．自主学习记录卡课内探究一、课堂探究1(问题探究，自主学习)如图28－2－88，水库的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高12 m，斜坡CD的坡度i′＝1∶1，斜坡AB坡度i∶3，求斜坡AB的长及坡角α和坝底宽AD(精确到0.1 m)．图28－2－88二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)1．如图28－2－89，一段路基的横断面是梯形，高CD，，路基的坡面与地面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽AB(精确到0.1米)．图28－2－89三、反馈训练1．某人在斜坡上走了8米，高度上升了1米，则坡比i＝2．如果斜坡的坡度i＝1∶2，坡面铅垂高度为4米，那么斜坡的长是米．3．如图28－2－90所示，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶AD宽10米，坝高AE 为160米，坝的迎水坡的坡度是i1＝1∶3，背水坡的坡度i2＝2∶3.求水坝横截面的面积。

锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方位角与解直角三角形置疑导入复习导入悬念激趣如图28－2－71，一架外国侦察机沿ED方向入侵我国领空，我空军战斗机沿AC方向与其平行飞行进行跟踪．我机在A处与外机在B处的距离为50 m，∠CAB＝30°，这时外机突然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继续沿AC方向以400 m/s的速度飞行，外机在C处故意撞击我机，问外机由B到C的速度是多少？图28－2－71[说明与建议] 说明：用学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：教师在新课导入的过程中，引导学生理解方位角的含义，帮助学生根据题意建立方位坐标，选择合适的边角关系．随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，2015年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图28－2－72，你能求出DC的长吗？图28－2－72分析：(1)在Rt△ADE中，你能利用解直角三角形的知识求出DE的长吗？(2)在Rt△BCF中，你能利用解直角三角形的知识求出FC的长吗？(3)DC可分为哪些线段长的和？[说明与建议] 说明：通过解直角三角形可以求出DE和FC的长，从而求出DC的长度．建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上．76页例5如图28－2－73，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?图28－2－73【模型建立】根据方位角的概念，南北方向线与东西方向线一定垂直，常可以过目标点或观察点作南北方向线或东西方向线的平行线或垂线，构造直角三角形来解决问题．【变式变形】1．临沂中考如图28－2－74，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)A．20海里B．10 3海里C．20 2海里D．30海里图28－2－74 图28－2－752．苏州中考如图28－2－75，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 k m，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°方向上，则该船航行的距离(即AB的长)为(C)A．4 k m B．2 3 k m C．2 2 k m D.()3＋1k m3．邵阳中考如图28－2－76，一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)图28－2－76 28－2－77解：如图28－2－77，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD ＝53°，AC ＝80海里，∴CD ＝40海里．在Rt △CBD 中，sin53°＝CD CB ，∴CB ＝CD sin53°≈400.8＝50(海里)．行驶时间为5040＝1.25(时)． 答：海警船到达C 处约需1.25小时．素材三 考情考向分析 [解决此类问题，一般是根据方位角的定义构造直角三角形．如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度2] 坡度问题求斜坡的长、滑梯的长、电梯的长等问题，是近年中考的一个热点．这类题目常需通过坡度和坡高，再应用勾股定理，求坡长．例1 巴中中考如图28－2－78，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)图28－2－78[答案：坝底AD 的长度约为90.6米]例2 广安中考如图28－2－79，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD )急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i ＝1∶2.(1)求加固后坝底增加的宽度AF 的长；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．图28－2－79[答案：(1)10米 (2)19200立方米]素材四 教材习题答案P 74 练习在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)c ＝30，b ＝20；(2)∠B ＝72°，c ＝14；(3)∠B ＝30°，a ＝7.解： (1)∵c ＝30，b ＝20，∴a ＝10 5.∴sin A ＝10530＝53，∴∠A ≈48.19°， ∴∠B ≈41.81°.(2)∵sin72°＝b 14，∴b ≈13.3148. ∵ cos72°＝a 14，∴a ≈4.3262.∵∠B ＝72°，∠C ＝90°，∴∠A ＝18°.(3)∵cos B ＝a c ＝7c ，∴c ＝2213. ∵tan B ＝b a ＝b 7，∴b ＝213. ∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.P 76 练习1．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距 40 m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．解： 在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，∴BC ＝DC ＝40 m.在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝40×tan50°≈47.7(m)．∴AB ＝AC －BC ≈47.7－40＝7.7(m)．答：旗杆AB 的高度约为7.7 m.2．如图，沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝520 m ，∠D ＝50°.那么另一边开挖点E 离D 多远正好能使A ，C ，E 三点在一直线上(结果保留小数点后一位)?解： ∵∠DBC ＝180°－40°＝40°. 当A ，C ，E 三点在一直线上时，∠BED ＝180°－40°－50°＝90°.在Rt △BED 中，DE ＝BD · cos50°≈334.2(m)．即另一边开挖点E 离点D 334.2 m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上．P 77 练习1．如图，海中有一个小岛A ，它周围8 n m ile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12 n m ile 到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解： 过点A 作AH ⊥BD 交BD 的延长线于H .易得∠ABD ＝30°，∠DAH ＝30°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝30°.∴AD ＝BD ＝12 n m ile .在Rt △ADH 中，AH ＝AD · cos30°＝12×32＝63≈10.4(n m ile )>8(n m ile )． 故如果渔船不改变航向继续向东航行，不会触礁．2．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比，斜面坡度i ＝1∶3是指DE 与CE 的比．根据图中的数据，求：(1)坡角α和β的度数；(2)斜坡AB 的长(结果保留小数点后一位)．解： (1)tan α＝11.5≈0.6667， ∴α≈33°41′，tan β＝13≈0.3333，β≈18°26′. (2)在Rt △AFB 中 ，sin α＝AF AB ， ∴AB ＝AF sin α＝6sin 33°41′≈10.8(m)． P 77 习题28.21．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝8，∠A ＝30°；(2)b ＝7，∠A ＝15°；(3)a ＝5，b ＝12.解：(1)a ＝4，b ＝43，∠B ＝60°.(2)a ≈1.9，c ≈7.2，∠B ＝75°.(3)c ＝13，∠A ≈22°37′，∠B ≈67°23′.2．如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC ＝10 m ，∠B ＝36°，求中柱AD (D 为底边中点)和上弦AB 的长(结果保留小数点后一位)．解： 在Rt △ADB 中，BD ＝12BC ＝12×10＝5(m)，AD ＝BD ·tan36°＝5×tan36°≈3.6(m)．AB ＝BD cos 36°＝5 cos 36°≈6.2(m)． 3．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝16°31′.求飞机A 与指挥台B 的距离(结果取整数)．解： 在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ， AB ＝1200sin 16°31′≈4221(m)． 答：飞机A 与指挥台B 的距离约为4221 m.4．从高出海平面55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，此时帆船距灯塔有多远(结果取整数)?解： 设帆船离灯塔x m.x ＝55tan 21°≈143 (m)． 答：帆船距灯塔约143 m.5．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m ．测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位)．解： 设斜坡上相邻两树之间的坡面距离为l m , cos24°＝5.5l ，l ＝ 5.5 cos 24°≈6.0. 答：斜坡上相邻两树间坡面距离为6.0 m.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知∠A ，c ，写出解Rt △ABC 的过程；(2)已知∠A ，a ，写出解Rt △ABC 的过程；(3)已知a ，c ，写出解Rt △ABC 的过程．解：(1)∠B ＝90°－∠A .∵sin A ＝a c，∴a ＝c sin A . ∵cos A ＝b c，∴b ＝c cos A . (2)∠B ＝90°－∠A .∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A. ∵tan A ＝a b ，∴b ＝a tan A. (3)b ＝c 2－a 2.∵sin A ＝a c， ∴∠A ＝sin －1(a c )． ∠B ＝90°－∠A .7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为130 m 的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这座金字塔原来有多高(结果取整数)?解： 设金字塔原来的高为h m ， ∵tan65°＝h 12×130，∴h ＝65·tan65°≈139(m)． 答：这个金字塔原来的高度约为139 m.8．如图，一枚运载火箭从地面L 处发射．当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6 km ，仰角为43°；1 s 后火箭到达B 点，此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A 到B 的平均速度是多少(结果取小数点后两位)?解： 在Rt △ALR 中，sin43°＝AL AR，AL ＝AR ·sin43°＝6×sin43°≈4.092(km)． cos43°＝RL AR，RL ＝6·cos43°， 在Rt △BLR 中，tan45.54°＝BL RL， BL ＝RL tan45.54°≈4.472(km)．BL －AL ≈4.472－4.092＝0.38(km)＝380(m)，∴火箭从A 到B 的平均速度为380÷1＝380(m/s )．答：这个火箭从A 到B 的平均速度是380 m/s .9．为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB 的长度(结果取整数)．解：∵tan α＝5BH ＝11.5，∴BH ＝7.5 m ， ∴AB ≈9 m.答：斜坡AB 的长度约为9 m.10．海中有一小岛P ，在以P 为圆心、半径为16 2 n m ile 的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A 处时测得小岛P 位于北偏东60°方向上，且A ，P 之间的距离为32 n m ile .若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A 处开始沿南偏东多少度的方向航行，才能安全通过这一海域？解：∵32×sin30°＝16(n m ile )<162(n m ile )，∴若轮船继续向东航行，轮船有触礁的危险． 16232＝22，sin45°＝22，45°－30°＝15°，90°－15°＝75°， ∴轮船自A 处开始至少沿南偏东75°的方向航行，才能安全通过这一海域．11．根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积(结果取整数)．(提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积．)解： 如图：用A ，B ，C 分别表示两个观测点和百慕大岛的位置．过点C 作水平线EF 分别交过点A ，B 的铅垂线于E ，F ，则四边形ABFE 为直角梯形．在Rt △BCF 中，FC ＝BC ·sin54°≈2720×0.8090＝2200．48(km)，FB ＝BC ·cos54°≈2720×0.5878＝1598．816(km)．在Rt △AEC 中，EC ＝AC ·sin62°≈1700×0.8829＝1500．93(km)，EA ＝AC ·cos62°≈1700×0.4695＝798．15(km)．∵S △ABC ＝S 梯形ABFE －S △AEC －S BFC ＝12(EA ＋FB )(EC ＋FC )－12EA ·EC －12FB ·FC ＝12(EA ·FC ＋FB ·EC ) ≈12(798.15×2200.48＋1598.816×1500.93) ≈2 078 012(km 2)．答：百慕大三角的面积约为2 078 012 km 2.P 84 复习题281．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，a ＝2，c ＝6，求sin A ，cos A 和tan A 的值．解： ∵a ＝2，c ＝6，∴b ＝42，∴sin A ＝26＝13，cos A ＝426＝223，tan A ＝242＝24. 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，AC ＝43，求BC 的长．解： ∵ cos A ＝AC AB ，∴AB ＝ACcos A ＝8.∴BC ＝AB 2－AC 2＝82－（43）2＝4.3．求下列各式的值：(1)2cos45°－tan45°； (2)3sin60°＋tan60°－2cos 230°.解： (1)原式＝2×22－1＝0.(2)原式＝3×32＋3－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32＋3－32＝ 3.4．用计算器求下列各式的值：(1)cos76°39′＋sin17°52′；(2)sin57°18′－tan22°30′；(3)tan83°6′－cos4°59′；(4)tan12°30′－sin15°.解： (1)0.5377；(2)0.4273；(3)7.2673；(4)－0.0371.5．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A 的度数：(1)cos A ＝0.7651；(2)sin A ＝0.9343；(3)tan A ＝35.26；(4)tan A ＝0.707.解： (1) 40.08°；(2) 69.12°；(3) 88.38°；(4) 35.26°.6．等腰三角形的底角是30°，腰长为2 3.求它的周长．解： 如图，设∠B ＝∠C ＝30°，作AD ⊥BC 于点D ，则AB ＝23，BD ＝AB · cos 30°＝23×32＝3, BC ＝6，故△ABC 的周长为6＋4 3.7．从一艘船上测得海岸上高为42 m 的灯塔顶部的仰角为33°时，船离海岸多远(结果取整数)?解： 设船离海岸的距离为x m ，则tan33°＝42x ，x ＝42tan 33°≈65(m)． 答：船离海岸的距离约为65 m.8．如图，两建筑物的水平距离BC 为32.6 m ，从A 点测得D 点的俯角α为35°12′，测得C 点的俯角β为43°24′，求这两座建筑物的高度(结果保留小数点后一位)．解： 因为β为43°24′，所以∠ACB ＝43°24′.又因为BC 为32.6 m ，根据tan ∠ACB ＝AB BC， 即可计算出AB ≈30.8 m.过点D 作DE ⊥AB 于点E ，所以DE ＝BC ＝32.6 m ，再根据α为35°12′，可知∠ADE ＝35°12′，利用tan ∠ADE ＝AE DE， 即可计算出AE ≈23.0 m.所以CD ＝AB －AE ≈7.8(m)．答：这两座建筑物的高度分别约为30.8 m ，7.8 m.9．某型号飞机的机翼形状如图所示．根据图中数据计算AC ，BD 和AB 的长度(结果保留小数点后两位)．解： 设过B 的CD 的垂线交CD 的延长线于G ，作AH ⊥CG 于H .在Rt △DGB 中，BG ＝5.00 m ，∠DBG ＝30°，∴BD ＝5 cos 30°≈5.77(m)， DG ＝5×tan30°≈2.887(m)．在Rt △AHC 中，AH ＝5.00 m ，∠CAH ＝45°，∴AC ＝5×2≈7.07(m)．∵CH ＝AH ＝5.00 m ，CD ＝3.40 m ，∴DH ＝1.60 m ．∴HG ＝2.887－1.60≈1.29(m)，即AB 长约为1.29 m. 即AC ，BD ，AB 的长度分别约为7.07 m ，5.77 m ，1.29 m.10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α ≤75°.现有一架长6 m 的梯子．(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)? (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，α等于多少度(结果取整数)？此时人是否能够安全使用这架梯子？解： (1)∵sin75°＝BC6，∴BC ≈5.8 m.∴使用这个梯子能安全攀到墙面的最大高度约为5.8 m. (2)∵ cos α＝2.46，∴α≈66°.∵50°≤α≤75°，∴可以安全使用．11．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝5 5 cm ，且tan ∠EFC ＝34.(1)△AFB 与△FEC 有什么关系？ (2)求矩形ABCD 的周长．解： (1)相似．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵AD 沿AE 折叠，点D 落在BC 边的点F 处， ∴∠AFE ＝∠D ＝90°，FE ＝DE . ∴∠AFB ＋∠CFE ＝90°. ∵∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∴∠CFE ＝∠BAF ，∴△AFB ∽△FEC . (2)在Rt △EFC 中， ∵tan ∠EFC ＝EC FC ＝34，∴设EC ＝3x cm ，则FC ＝4x cm ，DE ＝EF ＝EC 2＋FC 2＝5x (cm)，AB ＝CD ＝8x cm. ∵△AFB ∽△FEC ， ∴AF FE ＝AB FC ，即AF 5x ＝8x 4x，∴AF ＝10x cm.由折叠知AD ＝AF ， ∴AD ＝10x cm.在Rt △ADE 中，AD ＝10x cm ，DE ＝5x cm ，AE ＝5 5 cm ，由勾股定理得AD 2＋DE 2＝AE 2，即(10x )2＋(5x )2＝(55)2，解这个方程得x 1＝1，x 2＝－1(负数不合题意，舍去)． ∴AD ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，∴矩形ABCD 的周长为2(AB ＋AD )＝36 (cm)．12．▱ABCD 中，已知AB ，BC 及其夹角∠B (∠B 是锐角)，能求出▱ABCD 的面积S 吗？如果能，用AB ，BC 及其夹角∠B 表示S .解： 能．过A 作BC 边垂线，垂足为H ，在Rt △ABH 中，AH ＝AB ·sin B . ∴S ▱ABCD ＝BC ·AH ＝AB ·BC ·sin B . 13．已知圆的半径为R .(1)求这个圆的内接正n 边形的周长和面积； (2)利用(1)的结果填写下表：观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长(面积)有怎样的变化趋势？与圆的周长(面积)进行比较，你能得出什么结论？ 解： (1)如图，AB 为正n 边形的一边，OM 为边心距．在Rt △OAM 中，∵OA ＝R ，∠AOM ＝180°n ，∴AM ＝R sin 180°n ，OM ＝R cos 180°n.设正n 边形的边长为a n ，边心距为r n ，则a n ＝2AM ＝2R sin 180°n ，r n ＝R cos 180°n .∴正n 边形的周长为 na n ＝2nR sin 180°n ，正n 边形的面积为 n ·12a n r n ＝nR 2sin180°n cos 180°n或 nS △OAB ＝n ·12OA ·OB sin360°n＝ nR 22sin 360°n.(2)正六边形、正十二边形和正二十四边形的周长分别为6R ，24R sin 15°，48R sin 7.5°，面积分别是332R 2，3R 2，12R 2sin15°.随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长逐渐接近圆的周长2πR ，面积逐渐接近圆的面积πR 2.14．如图，在锐角△ABC 中，探究asin A ，b sin B ，c sin C 之间的关系．(提示：分别作AB 和BC 边上的高．)解： 如图，过点A 作BC 边的高线AD .∴sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝ c sin B ＝b sin C . 可得bsin B ＝c sin C .① 过点C 作CE ⊥AB 于E ， ∴sin A ＝CEb ，CE ＝b sin A ，sin B ＝CEa ，CE ＝a sin B ，可得b sin A ＝a sin B ， 即bsin B ＝a sin A.② 由①②得a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 素材五 图书增值练习 [当堂检测]1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤坝高BC =50 m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100 mB ．1003 mC ．150 mD ．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）A ．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，则小岛B 到公路l 的距离为 米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i =1:5，则AC 的长度是 cm ．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m 到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m 到达目的地C 点． （1）求A 、C 两点之间的距离；（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向？参考答案 1．A 2．A 3．2534．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ， 如图，∴∠DAB =∠ABE =60°. ∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB 3， 由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴22500(5003)1000(m)+AC .（2）在Rt△ABC中，∵BC=500 m，AC=1000 m，∴∠CAB=30°.∵∠DAB=60°，∴∠DAC=30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.[能力培优]专题一利用解直角三角形测河宽与山高1．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿河岸向前走30 m 选取点B,并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计算小河的宽度.2．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（3≈1.732，结果精确到1米）专题二利用解直角三角形测坝宽与坡面距离3．如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD．(i＝CE:ED，单位：m)专题三 利用解直角三角形解决太阳能问题4．某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28°，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB ＝12 m ，⊙O 的半径为1.5 m ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离．（结果精确到0.01 m ）（参考数据：cos28°≈0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7）【知识要点】１.解直角三角形的几种基本图形： 图形1：tan30°＝33=+a x x ， ∠ABD ＝∠A ，BD ＝AD ＝a ， tan60°＝xxa + ， x a x 333=+，2360sin =︒=a x ， x a x +=3，213+=x a ． a x 23= . a a x 21313+=-= . 图形2：tan30°＝33=-x a x ， tan60°＝3=-xa x ， a a x 21313-=+=． a a x 233133-=+= .图形3：AC ＝CD ＝a ＋x ， AC ＝BE ＝DE ＝x , ∠BAD ＝∠BDA ＝30°,tan30°＝33=+a x x ， tan60°＝3=+x x a , AB ＝BD ＝a ， a a x 21313+=-=. a a x 21313+=-= . x ＝21BD ＝21a .【温馨提示】１.解直角三角形的基本思想是“化斜为直”，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性.２.当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是30、45、60度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三角形”.【方法技巧】１.双直角三角形中，公共直角边是“桥梁”，通过它建立起两直角三角形的联系.２.如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的.参考答案1．解：示意图如下：连接AC ，B C ，过点C 作CE ⊥AD 于E .由题意得，∠ACB ＝∠CBE －∠CAD =60°－30°＝30°， ∴∠CAD ＝∠ACB ， ∴BC ＝AB ＝30.在Rt △BEC 中，CE ＝BC sin60°＝30×23＝153（m ）. 答:小河的宽度为153m.2．解：设太婆尖高h 1米，老君岭高h 2米，依题意，有1122100tan 30tan 45100.tan 45tan 60h h h h ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩o o o o，解得150(31)137h =+≈（米），2h 50(33)237=+≈(米). 答：太婆尖的高度约为137米，老君岭的高度约为237米 .3．解：如图所示，过点B 作BF ⊥AD 于F ，可得矩形BCEF ， ∴EF ＝BC ＝4，BF ＝CE ＝4．在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AB ＝5，BF ＝4， 由勾股定理可得22543AF =-=． ∵Rt △CED 中，12CE i ED ==， ∴ED ＝2CE ＝2×4＝8．∴AD ＝AF ＋FE ＋ED ＝3＋4＋8＝15(m)．4．解：过点O 作水平地面的垂线，垂足为E ．在Rt△AOB 中，cos∠OAB ＝OAAB， 即cos28°＝OA 12，∴OA ＝121213.333cos 280.9≈≈︒. ∵∠BAE ＝16°，∴∠OAE ＝28°＋16°＝44°. 在Rt△AOE 中，sin∠OAE ＝OAOE， 即sin44°333.13OE≈，∴OE 333.97.0333.13≈⨯≈， 9.333＋1.5≈10.83(m).∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83 m ． 素材六 数学素养提升太阳光测高是谁最先发现的？金字塔是古埃及国王为自己建造的巨大陵墓.塔基呈四方形，越往上去越狭窄，直到塔顶.从四面看，塔都像我国汉字的“金”字，因此，我国称为“金字塔”.两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的确实高度，于是，命令祭司们去丈量。

方位角、坡度、坡角掌握方位角的定义及表示方法教学目标：重点：理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义难点：与方位角有关的实际问题1.掌握方位角的定义及表示方法指或指方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫方位角,如图,目标方向线OA、OB、OC、OD的方位角分别表示, , , .2.理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义(1)坡度、坡比①如图,我们把坡面的高度h和宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母i表示,即i=.坡度一般写成1∶m的形式.②坡面与的夹角α叫做坡角,坡角与坡度之间的关系为i==tanα.(2)水平距离、垂直距离(铅直高度)、坡面距离如图, 代表水平距离, 代表铅直高度, 代表坡面距离.重点一:与方位角有关的实际问题解答与方位角有关的实际问题的方法(1)弄清航行中方位角的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定方向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.(2)船在海上航行,在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置,关键在于确定基准点.当船在航行时,基准点在转移,画图时要特别注意.1. (2013河北)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )(A)40海里(B)60海里 (C)70海里(D)80海里2.(2013荆门)A、B两市相距150千米,分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的高速公路.问连接AB的高速公路是否穿过风景区,请说明理由.3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留小数点后两位)?(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 47°≈1.07,tan 36°≈0.73,tan 11°≈0.19)重点二:与坡度、坡角有关的实际问题(1)坡度是坡角的正切值,坡度越大,坡角也越大.(2)与坡度有关的问题常与水坝有关,即梯形问题,常用的方法一般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直角三角形和矩形来求解.4.(2014丽水)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BC=3 m,则坡面AB的长度是( )(A)9 m (B)6 m (C)6 m (D)3 m5. (2013安徽)如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α=60°.汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)6.如图所示,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;(2)求共需多少立方米土石进行加固.1. 河堤横断面如图所示,迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则坡角α为( )(A)30° (B)45° (C)50° (D)60°2.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地,再从B地向正南方向走200 m到C地,此时王英同学离A地( )(A)150 m(B)50 m (C)100 m (D)100 m3.如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为( )(A)5cos α(B)(C)5sin α(D)4.如图,将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动,已知楔子斜面的倾斜角为20°,若楔子沿水平方向前移8 cm(如箭头所示),则木桩上升了( )(A)8tan 20° cm (B) cm(C)8sin 20° cm (D)8cos 20° cm5. (2013潍坊)如图,一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为( )(A)10海里/小时 (B)30海里/小时 (C)20海里/小时(D)30海里/小时6.在一次自助夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200 m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图),那么由此可知,B,C两地相距m.7. 如图所示,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18 cm,深为30 cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是cm.8. 如图所示,一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向,这艘船以28海里/时的速度向正东航行,半小时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°方向,此时灯塔与渔船的距离是海里.9. (2013湘西州)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动,如图,一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上,航行半小时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).10.(2013新疆)如图所示,一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点,A、B相距2 km,在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向,在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向,求景点C到观光大道l的距离(结果精确到0.1 km).11.(2013烟台)如图,一艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西60°方向的C地,有一艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°方向上,A地位于B地北偏西75°方向上,A、B两地之间的距离为12海里.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1).12.如图,马路的两边CF、DE互相平行,线段CD为人行横道,马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市.CD与AB所在直线互相平行,且都与马路两边垂直,马路宽20米,A,B相距62米,∠A=67°,∠B=37°(1)求CD与AB之间的距离;(2)某人从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan67°≈,si n 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈. 13.如图,公路AB为东西走向,在点A北偏东36.5°方向上,距离5千米处是村庄M;在点A北偏东53.5°方向上,距离10千米处是村庄N(参考数据:sin 36.5°=0.6,cos 36.5°=0.8, tan 36.5°=0.75).(1)求M,N两村之间的距离;(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.教学反思：。

最新⼈教版初中数学九年级下册28.2《⽅位⾓、坡度、坡⾓》教案⽅位⾓、坡度、坡⾓掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法教学⽬标：重点：理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义难点：与⽅位⾓有关的实际问题1.掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法指或指⽅向线与⽬标⽅向线所成的⼩于90°的⽔平⾓,叫⽅位⾓,如图,⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅位⾓分别表⽰, , , .2.理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义(1)坡度、坡⽐①如图,我们把坡⾯的⾼度h和宽度l的⽐叫做坡度(或叫做坡⽐),⽤字母i表⽰,即i=.坡度⼀般写成1∶m的形式.②坡⾯与的夹⾓α叫做坡⾓,坡⾓与坡度之间的关系为i==tanα.(2)⽔平距离、垂直距离(铅直⾼度)、坡⾯距离如图, 代表⽔平距离, 代表铅直⾼度, 代表坡⾯距离.重点⼀:与⽅位⾓有关的实际问题解答与⽅位⾓有关的实际问题的⽅法(1)弄清航⾏中⽅位⾓的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定⽅向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.(2)船在海上航⾏,在平⾯上标出船的位置、灯塔或岸上某⽬标的位置,关键在于确定基准点.当船在航⾏时,基准点在转移,画图时要特别注意.1. (2013河北)如图,⼀艘海轮位于灯塔P的南偏东70°⽅向的M处,它以每⼩时40海⾥的速度向正北⽅向航⾏,2⼩时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )(A)40海⾥(B)60海⾥ (C)70海⾥(D)80海⾥2.(2013荆门)A、B两市相距150千⽶,分别从A、B处测得国家级风景区中⼼C处的⽅位⾓如图所⽰,风景区区域是以C为圆⼼,45千⽶为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的⾼速公路.问连接AB的⾼速公路是否穿过风景区,请说明理由.3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°⽅向,点B在点A的南偏东79°⽅向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°⽅向.若⼀艘渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留⼩数点后两位)?(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 47°≈1.07,tan 36°≈0.73,tan 11°≈0.19)重点⼆:与坡度、坡⾓有关的实际问题(1)坡度是坡⾓的正切值,坡度越⼤,坡⾓也越⼤.(2)与坡度有关的问题常与⽔坝有关,即梯形问题,常⽤的⽅法⼀般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直⾓三⾓形和矩形来求解.4.(2014丽⽔)如图,河坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),坝⾼BC=3 m,则坡⾯AB的长度是( )(A)9 m (B)6 m (C)6 m (D)3 m5. (2013安徽)如图,防洪⼤堤的横断⾯是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡⾓α=60°.汛期来临前对其进⾏了加固,改造后的背⽔⾯坡⾓β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)6.如图所⽰,某防洪指挥部发现长江边⼀处长500⽶,⾼10⽶,背⽔坡的坡⾓为45°的防洪⼤堤(横断⾯为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固⽅案是:沿背⽔坡⾯⽤⼟⽯进⾏加固,并使上底加宽3⽶,加固后背⽔坡EF的坡⽐i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;(2)求共需多少⽴⽅⽶⼟⽯进⾏加固.1. 河堤横断⾯如图所⽰,迎⽔坡AB的坡⽐为1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),则坡⾓α为( )(A)30° (B)45° (C)50° (D)60°2.王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100 m 到B地,再从B地向正南⽅向⾛200 m到C地,此时王英同学离A地( )(A)150 m(B)50 m (C)100 m (D)100 m3.如图,先锋村准备在坡⾓为α的⼭坡上栽树,要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶,那么这两树在坡⾯上的距离AB为( )(A)5cos α(B)(C)5sin α(D)4.如图,将⼀个Rt△ABC形状的楔⼦从⽊桩的底端点P处沿⽔平⽅向打⼊⽊桩底下,使⽊桩向上运动,已知楔⼦斜⾯的倾斜⾓为20°,若楔⼦沿⽔平⽅向前移8 cm(如箭头所⽰),则⽊桩上升了( )(A)8tan 20° cm (B) cm(C)8sin 20° cm (D)8cos 20° cm5. (2013潍坊)如图,⼀渔船在海岛A南偏东20°⽅向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海⾥,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°⽅向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°⽅向匀速航⾏.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航⾏的速度为( )(A)10海⾥/⼩时 (B)30海⾥/⼩时 (C)20海⾥/⼩时(D)30海⾥/⼩时6.在⼀次⾃助夏令营活动中,⼩明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°⽅向的C处,他先沿正东⽅向⾛了200 m到达B地,再沿北偏东30°⽅向⾛,恰能到达⽬的地C(如图),那么由此可知,B,C两地相距m.7. 如图所⽰,某公园⼊⼝处原有三级台阶,每级台阶⾼为18 cm,深为30 cm,为⽅便残疾⼈⼠,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是cm.8. 如图所⽰,⼀渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°⽅向,这艘船以28海⾥/时的速度向正东航⾏,半⼩时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°⽅向,此时灯塔与渔船的距离是海⾥.9. (2013湘西州)钓鱼岛⾃古以来就是中国的神圣领⼟,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进⾏维权活动,如图,⼀艘海监船以30海⾥/⼩时的速度向正北⽅向航⾏,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°⽅向上,航⾏半⼩时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).10.(2013新疆)如图所⽰,⼀条⾃西向东的观光⼤道l上有A、B两个景点,A、B相距2 km,在A处测得另⼀景点C位于点A的北偏东60°⽅向,在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°⽅向,求景点C到观光⼤道l的距离(结果精确到0.1 km).11.(2013烟台)如图,⼀艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中⼼紧急通知:在指挥中⼼北偏西60°⽅向的C地,有⼀艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°⽅向上,A地位于B地北偏西75°⽅向上,A、B两地之间的距离为12海⾥.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1).12.如图,马路的两边CF、DE互相平⾏,线段CD为⼈⾏横道,马路两侧的A、B两点分别表⽰车站和超市.CD与AB所在直线互相平⾏,且都与马路两边垂直,马路宽20⽶,A,B相距62⽶,∠A=67°,∠B=37°(1)求CD与AB之间的距离;(2)某⼈从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他沿折线A→D→C→B到达超市⽐直接横穿马路多⾛多少⽶参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan67°≈,si n 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈. 13.如图,公路AB为东西⾛向,在点A北偏东36.5°⽅向上,距离5千⽶处是村庄M;在点A北偏东53.5°⽅向上,距离10千⽶处是村庄N(参考数据:sin 36.5°=0.6,cos 36.5°=0.8, tan 36.5°=0.75).(1)求M,N两村之间的距离;(2)要在公路AB旁修建⼀个⼟特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.教学反思：。

第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例课时3 方向角、坡度问题【知识与技能】1.了解方位角等有关概念,能准确把握所指的方位角是指哪一个角.2.了解坡度、坡角的有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.3.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决有关方位角、坡度、坡角的实际问题.【过程与方法】1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性.【情感态度与价值观】1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.2.在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的应用价值.3.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生良好的学习习惯.用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题.准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.多媒体课件.导入一:【复习提问】1.在练习本上画出方向图(表示东南西北四个方向的).2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.【师生活动】学生动手画图,小组内交流答案,教师巡视过程中发现学生易犯错误,作出点评.导入二:如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡角α,坝底宽AD和斜坡AB的长.【师生活动】教师课件展示实际问题,学生审题,面对学生对没学过的概念的疑惑,教师导出本节课课题.[过渡语]在这个实际问题中,什么是坡度、坡角?如何解决这个实际问题?这就是我们这节课要学习的内容.[设计意图]通过复习有关方位角的概念,为本节课探究例题做好铺垫.以有关斜坡问题的生活实例导入新课,让学生体会数学在生活中无处不在,同时激发学生的好奇心和求知欲.一、探究一如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?思路一教师引导分析:(1)要求BP的长,常作的辅助线是什么?(构造直角三角形)(2)在Rt△BPC中,要求BP的长,已知什么?需要求什么?(3)题目中的已知条件是什么?在哪个直角三角形中?(4)在Rt△APC中,根据已知条件可以求出什么?(5)结合(2),只要求出哪条线段的长即可?(线段PC的长)(6)根据以上分析,你能写出解答过程吗?【师生活动】学生根据教师提出的问题思考后,独立完成解答过程,教师巡视过程中及时辅导,鼓励学生用不同角度思考问题,最后展示学生的解答过程,学生点评与总结.解:在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80·cos25°≈72.505.在Rt△BPC中,∠B=34°,∵sin B=,∴PB=≈≈≈130(nmile).因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处时,它距离灯塔P大约130nmile.思路二【学生活动】(1)根据题意,自己画出示意图.(2)分析题意,写出解答过程.(3)小组内成员交流答案.【教师活动】(1)巡视过程中及时辅导,帮助有困难的学生,引导学生从不同角度思考问题.(2)展示学生的成果,让学生进行点评.(3)规范解题格式,强调解决实际问题的关键.【课件展示】同思路一[设计意图]通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题,让学生进一步体会数形结合思想和建模思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.二、探究二活动一:认识有关概念:【课件展示】坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示.即i=,常写成i=1∶m的形式.坡角:把坡面与水平面的夹角α叫做坡角.【思考】坡度i与坡角α之间具有什么关系?(i==tanα)【师生活动】学生小组合作交流,归纳结论,教师点评.活动二:解决课前导入问题:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡角α(精确到1'),坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).〔解析〕(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度的概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的值,从而求出AD的长.(4)在Rt△ABE中,由勾股定理或三角函数的定义可得AB的长.【师生活动】教师引导学生分析问题,然后学生独立完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师进行点评.【课件展示】解:在Rt△ABE和Rt△CDF中,=,=,∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).∵斜坡AB的坡度i=tanα=≈0.3333,∴α≈18°26'.在Rt△ABE中,AB==≈72.7(m).答:斜坡AB的坡角α约为18°26',坝底宽AD为132.5m,斜坡AB的长约为72.7m.[设计意图]通过利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题,培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐,通过严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,培养学生运算能力.三、共同归纳[过渡语]通过两节课的学习,你能归纳出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么吗?【师生活动】学生小组讨论,教师对学生的回答给予鼓励,师生共同归纳解题过程:【课件展示】(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.[设计意图]通过归纳总结用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程,培养学生归纳总结能力,提高学生的数学思维.[知识拓展](1)解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.(2)坡度也叫坡比,即i=,一般写成i=1∶m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).(3)坡度i与坡角α之间的关系为i=tanα.(4)坡角越大,坡度越大,坡面越陡.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.第3课时1.探究一2.探究二3.共同归纳一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,某商场自动扶梯的长l为10米,该自动扶梯到达的高度h为6米,自动扶梯与地面所成的角为θ,则tanθ等于()A. B. C. D.2.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是()A.250mB.250mC.mD.250m3.一段公路的坡度为1∶3,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是()A.30米B.10米C.30米D.10米4.一只船向正东方向航行,上午7时在灯塔A的正北方向的C处,上午9时到达灯塔A的北偏东60°方向的B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的长是()A.千米B.千米C.千米D.千米5.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为米.6.一只船向正东方向航行,上午9点到达一座灯塔的西南方向68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南方向,这只船航行的速度是海里/时.(答案可带根号)7.如图,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=4m,坝高AE=6m,斜坡AB的坡比i=1∶2,∠C=60°,求斜坡AB,CD的长.8.如图,一船在A处测得北偏东45°方向有一灯塔B,船向正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处时,又观测到灯塔B在北偏东15°方向上,求此时船与灯塔相距多少海里.【能力提升】9.如图,一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡行走600m,到达一个景点B,再由B 沿山坡BC行走200m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,则山高CD等于(结果用根号表示).10.如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,轮船有无触礁的危险?(≈1.732)11.如图,某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险,在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上.(1)求∠BAO与∠ABO的度数(直接写出答案)；(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考数据:tan75°≈3.73,tan15°≈0.27,≈1.41,≈2.45)【拓展探究】12.如图,某气象台测得“苹果1号”台风的中心在A地,A地在B城的正西方向300km处,台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动.距台风中心250km范围内的区域都会受到台风的影响.(1)B城是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)如果B城会受到台风的影响,那么受到影响的时间有多长?【答案与解析】1.A解析:由勾股定理可得另一直角边的长为=8,所以tanθ==.故选A.2.A解析:由已知得∠AOB=30°,OA=500m,则AB=OA=250m.故选A.3.D解析:如图,在Rt△ABC中,tan A=,AB=100米.设BC=x米,则AC=3x米.根据勾股定理,得x2+(3x)2=1002,解得x=±10(负值舍去).故选D.4.D解析:如图,由题意得BC=20×2=40(千米),∠A=60°,∴sin A=sin60°=,∴=,解得AB=千米.故选D.5.26解析:如图,由题意得斜坡AB的坡度为i=1∶2.4,AE=10米,AE⊥BD.∵i==,∴BE=24米.在Rt△ABE中,AB==26（米）.6.17解析:如图,由题意知∠M=45°,PM=68,则在Rt△PNM中,cos M=,即=,∴MN=34,∴这只船航行的速度为==17(海里/时).7.解:∵斜坡AB的坡比i=1∶2,∴AE∶BE=1∶2.又AE=6m,∴BE=12m,∴AB==6(m),作DF⊥BC于F(如图),则得矩形AEFD,有DF=AE=6m.∵∠C=60°,∴CD==4(m).答:斜坡AB,CD的长分别是6m,4m.8.解:如图,过C作CD⊥AB,垂足为D,过C作CE⊥AC,交AB于E.在Rt△ACD中, ∠DAC=45°,AC=20×1.5=30,∴CD=AC sin45°=30×=15.在Rt△BCD中,∠BCD=∠BCE+∠ECD=45°+15°=60°,∴BC==30(海里).答:此时船与灯塔相距30海里.9.(100+300)m解析:过B作BF⊥AD于F,BE⊥CD于E,如图.∵在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,∴△BEC为等腰直角三角形,而BC=200m,∴CE=BC=100（m）.∵∠A=30°,AB=600m,∴BF=AB=300m,∴CD=CE+ED=100+300（m）.10.解:该轮船不改变航向继续前行,无触礁的危险.理由如下:如图,作AD⊥BC于D,则有∠ABD=30°,∠ACD=60°,∴∠CAB=∠ABD,∴AC=BC=200海里.在Rt△ACD中,设CD=x海里,则AC=2x,AD===x,在Rt△ABD 中,AB=2AD=2x,BD===3x.又∵BD=BC+CD,∴3x=200+x,∴x=100.∴AD=x=100≈173.2.∵173.2海里>170海里,∴轮船不改变航向继续向前行驶,轮船无触礁的危险.11.解:(1)∠BAO=45°,∠ABO=15°. (2)能.过点O作OC⊥AB于点C,如图,则△AOC与△BOC都是直角三角形,由(1)得∠BAO=45°,∠ABO=15°,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC=OC.在Rt△AOC中,AC=OA cos45°=8×=4≈5.64,∴OC=AC≈5.64.在Rt△BOC中,BC=≈≈20.89.∴AB=AC+BC≈5.64+20.89=26.53(海里).∵中国渔政船的速度是每小时28海里,∴中国渔政船能在1小时内赶到.11.解:(1)如图,过点B作BD⊥AC于点D.∵台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动,∴∠CAB=30°.∵AB=300km,∴BD=AB=×300=150(km),150km<250km,∴B城会受到台风的影响.(2)过点B作BE=BF=250km.∵BD⊥AC,∴DE=DF=EF.在Rt△DEB中,∵BE=250km,BD=150km,∴DE===200(km),∴EF=2DE=400（km）.∵台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动,∴经过EF的时间t==8(h).答:受到影响的时间是8小时.以和本节课有关的坡度、坡角的实际问题导入新课,激发学生的好奇心和求知欲,探究一是解决和方位角有关的实际问题,因为学生对方位角比较熟悉,所以探究活动以学生为主,独立完成后小组合作交流,展示成果,让学生体会成功的快乐；探究二是解决导入中的生活实例,做到首尾呼应,教师引导学生熟悉坡度、坡角的概念后,学生在教师提出的问题的引导下自主学习,建立数学模型,将实际问题转化为数学问题解决,学生通过小组合作交流、共同探究等数学活动,明确解题思路,学生在展示成果后教师归纳总结,引导学生熟悉用解直角三角形知识解决实际问题的方法和思路,从而让学生的数学思维能力得到提升.本节课的重点是建立数学模型,用解直角三角形知识解决实际问题,教学设计的主要特点是突出学生活动,让学生真正成为课堂的主人,通过自主学习、合作交流、共同归纳解决与方位角、坡角有关的实际问题.教学中忽略了知识之间的联系,没有把一些零散的练习和例题用主线串联起来,其实这些应用就是在直角三角形中解决边角之间的关系,设计时可以将添加辅助线构造直角三角形的练习加在例题后边,让学生对这类习题有整体认识.。

第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用方向角解直角三角形1．(石家庄校级模拟)如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置( )A．50 3 B．40 C．30 D．202．(新疆内高班)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是( ) A．253海里B．252海里C．50海里D．25海里3．(珠海中考)如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)知识点2 利用坡度解直角三角形4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为( )A．12米B．43米C．53米D．63米5．四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(平直的)分别为300 m，250 m，200 m，200 m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法()A．A的最高B．B的最高C．C的最高D．D的最高6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)02 中档题7．(南京中考)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°.此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)8．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)03综合题9．(营口中考)如图，我国南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53°方向上．(1)求C 、D 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)参考答案1．A 2.D3．(1)过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°.∵AM＝180海里，∴MD＝AM cos45°＝902(海里)．答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是902海里．(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°.∵MD＝902海里，∴MB＝MDcos30°＝606(海里)．∴606÷20＝36≈3×2.45＝7.35≈7.4(小时)．答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．4．A 5.B6．作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BE＝20米，BEAE＝12.5，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝CFtan D＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(米)．答：坝底AD的长度约为90.6米．7．设B处距离码头O为x km.在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝CO AO， ∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝4.5＋x.在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵tan ∠DBO ＝DO BO， ∴DO ＝BO·tan ∠DBO ＝x·tan 58°.∵DC ＝DO －CO ，∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)．∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5. 因此，B 处距离码头O 大约13.5 km .8．过点E 作EF⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°. ∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米． ∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米． 在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米．∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米． 9．(1)过点C 作CG⊥AB 交AB 于点G ，过点D 作DF 垂直CG 于点F ，BC ＝30×12＝15(海里)， CG ＝BC sin 30°＝7.5海里，FG ＝AD ＝1.5海里，CF ＝7.5－1.5＝6(海里)，CD ＝6cos 53°＝10海里． (2)设t 小时后，两船在E 处会合，则ED ＝3t ，CE ＝30t. 过点E 作EH⊥CD 交CD 于点H.∵CG ∥AE ，∴∠GCD ＝∠CDE，HE ＝ED sin 53°＝12t 5，CE ＝30t.在Rt △CEH 中，sin ∠ECD ＝125t 30t ＝225.。