九年级数学上册-解直角三角形及其应用第3课时方位角与方向角坡度与坡角2坡度与斜率问题教案沪科版

（五）总结归纳
1.学生总结：邀请学生分享本节课的收获，总结方位角和坡角的概念及计算方法。
-让学生用自己的语言表述所学知识，提高他们的表达能力和逻辑思维。
2.教师点评：针对学生的总结，给予肯定和鼓励，并对本节课的重点内容进行梳理和强调。
-指出学生在学习过程中存在的问题，为后续学习提出建议。
五、作业布置
-视频内容要贴近生活，富有教育意义，能引发学生对本节课主题的思考。
（二）讲授新知
1.理论知识讲解：介绍方位角和坡角的概念，以及它们在直角三角形中的表示方法。
-结合教材，详细讲解方位角的定义，以及如何通过直角三角形来计算实际中的方位角和坡角。
2.图形演示：利用几何画板或幻灯片，动态演示方位角和坡角的变化，帮助学生形象地理解概念。
九年级数学上册《用直角三角形解实际中的方位角坡角问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解方位角和坡角的概念，掌握它们在实际问题中的应用。
-了解方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度，坡角是指地面与水平线的夹角。
-学会使用直角三角形来计算方位角和坡角。
2.能够运用三角函数（正弦、余弦、正切）解决实际问题中的方位角和坡角问题。
-例如，要求学生测量学校附近一座小山的坡角，或根据地图上的方位角描述行走路线。
3.探究性作业：鼓励学生自主选择一个实际情境，如规划一次徒步旅行路线，使用直角三角形和三角函数解决相关问题。
-此类作业旨在培养学生的探究精神和独立解决问题的能力，同时加强数学知识与实践的联系。
4.小组合作作业：布置需要小组合作完成的作业，要求学生在小组内部分工协作，共同解决一个综合性的问题。
-预习作业要难度适中，旨在培养学生自主学习的能力和良好的学习习惯。

h 的比叫作坡度，通常用字母 i 表示，即 i＝ l (坡度通常写成 1∶m 的形式)．
3．坡度 i 与坡角 α 的关系 关 系：i＝hl ＝tan α.坡度越大，山坡越陡．
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第五页，共二十七页。
归类探究
类型之一 与方位角有关的应用问题 [2018·贺州]如图 4-4-11，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45°的方向上有
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图 4-4-16
第十七页，共二十七页。
3．某地一人行天桥如图 4-4-17 所示，天桥高 6 m，坡面 BC 的坡度为 1∶1， 为了方便行人过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1∶ 3.
(1)求新坡面的坡角 α. (2)原天桥底部正前方 8 m 处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由．
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第 4 题答图
第二十三页，共二十七页。
则 KG＝PC＝0.9 m，AG＝EH＝43FH＝12 m. ∴BK＝BA＋AG－KG＝22.5＋12－0.9＝33.6(m)． ∵BPKK≥1.25， ∴PK≥1.25BK＝1.25×33.6＝42(m)． ∴CG≥42 m. ∵FH＝9 m，HG＝EA＝4 m， ∴CF≥29 m. 答：底部 C 距 F 处至少 29 m.
要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时，测得该岛位于正北方
向 10(1＋ 3)海里的 C 处，为了防止某国海巡警干扰，请求我 A 处的渔监船前往 C
处护航．已知 C 位于 A 处的东北方向上，A 位于 B 的北偏西 30°方向上，则 A 和
C 之间的距离为( A )
A．10 2海里
B．20 2海里
例 2 答图

在 A 港北偏东 20°方向，则 A，C 两港之间的距离为( B )
A．(30＋30 3) km B．(30＋10 3) km C．(10＋30 3) km D．30 3 km
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12．如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈 道 AB，栈道 AB 与景区道路 CD 平行．在 C 处测得栈道一端 A 位于 北偏西 42°方向，在 D 处测得栈道另一端 B 位于北偏西 32°方向．已 知 CD＝120 m，BD＝80 m，求木栈道 AB 的长度(结果保留整数，参 考数据：sin32°≈1372，cos32°≈1270，tan32°≈58，sin42°≈2470，cos42 °≈34，tan42°≈190)．
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∴MN＝EN－EM＝BF－EM＝BC－CF－EM ＝20－16－2x－2x＝4(米)．
即平台 MN 的长度为 4 米．
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(1)若新坡面坡角为 α，求坡角 α 的度数；
解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为
1∶
3，∴t a n α＝
1＝ 3
33.
∴α＝30°.
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(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米 时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆 除？请说明理由．
形，坝内一斜坡的坡度 i＝1∶ 3，则这个斜坡坡角
为( A ) A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

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解：如图，过 B 作 BD⊥AC 于点 D， 则∠BDC＝90°， ∠CBD＝90°－45°＝45°. 在 Rt△ABD 中，∠BAD＝60°， AB＝4 千米， ∴BD＝AB·sin∠BAD＝4×23＝2 3(千米)．
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分析：
解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C.由题意可知∠A＝30°， ∠B＝64°. 在 Rt△APC 中，∵∠ACP＝90°， ∠A＝30°，AP＝80 海里，
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∴PC＝AP·sin30°＝80×12＝40(海里)． 在 Rt△PBC 中， ∵∠BCP＝90°，∠B＝64°， ∴PB＝siPn6C4°≈04.09≈44.4(海里)． 答：海轮所在的 B 处与灯塔 P 的距离约为 44.4 海里．
在 Rt△BCD 中，∠CBD＝45°， BD＝2 3千米，
∴BC＝cos∠BDCBD＝2
3 2 ＝2
6(千米)．
2
答：B，C 两地的距离是 2 6千米．
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5．(教材 P77 练习 T2 变式) 如图，某公园内有座桥，桥 的高度是 5 米，CB⊥DB，坡 面 AC 的倾斜角为 45°.为方便老人过桥，市政部门 决定降低坡度，使新坡面 DC 的坡度为 i＝ 3∶3. 若新坡角外需留下 2 米宽的人行道，问离原坡角(A 点 处 )6 米 的 一 棵 树 是 否 需 要 移 栽 ( 参 考 数 据 ：
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（2）拦水坝横断面面积（结果保留根号）
β
α
2、如图，小岛A在港口P的南偏西45°
方向，距离港口81海里处，甲船从小岛
A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶
向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东
60°方向，以18海里/时的速度驶离港
口。两船同时出发。 (1)出发后几小时两船与 港口P的距离相等？
北 P东
解直角三角形 ----方位角和坡度
知识回忆
1、仰角和俯角
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
一、方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
如：北偏东30°
北
A
30°
南偏西45° 西
O
东
45°
B
南
例1 海中有一个小岛A，它的周围8海
里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航
(2)出发后几小时乙船在
甲船的正东方向？
A
i h tan 的形式。
l
坡度越大
h
坡角越大
坡面越陡
l
稳固练习
1、一段坡面的坡角为60°，那么坡度
i0°
lE
例题尝试
例2 如图，某一拦水坝的横断面为梯形ABCD，
AD∥BC，斜坡AB的长10 2米，坝顶宽16米，
坝高10米，斜面CD的坡比i=1：3
求：（1）坡角α和β；
行。在B点测得小岛A在北偏东60°方向
上，航行12海里到达点D，这时测得小
岛A在北偏东30°方向
上，如果鱼船不改变
A
航线继续向东航行，
有没有触礁的危险？
B D
二、坡度

4.4解直角三角形的应用(2)第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.即tanA1＞tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运用新知，深化理解1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．在Rt△ABC中，cosA=AC/AB,∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，所以α≈18°26′.∵BE/AB=sinα，∴AB=BE/sinα=23/0.3162≈72.7（m）.答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）解：过点A作AD⊥BC于点D，答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：(1) ∠D的度数；(2)线段AE的长．解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°，∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米，∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=2/3，∴BFAB=2/3，∵BF=3米，∴AB=92米，.5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.在Rt△APC中，∵tanA=PCAC，∴AC=PC/tan67.5°=5x/12在Rt△PCB中，∵tanB=PC/BC，∴BC=x/tan36.9°=4x/3∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,∴AC+BC=AB=21×5，∴5x/12+4x/3=21×5，解得x=60.∵sin∠B=PC/PB，∴PB=PC/sinB=60sin36.9°=60×5/3=100（海里）∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.1”中第1、6、7 题.教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.。

23.2 解直角三角形及其应用第3课时方位角与方向角、坡度与坡角1.方位角问题【知识与技能】使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识.【教学重点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决.【教学难点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决.一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题的过程中的应用.二、思考探究，获取新知如图，一艘船以20nmile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h达到B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上，已知灯塔C四周10nmile 内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到航线AB的距离是否大于10nmile.解：过点C作CD⊥AB于点D,设CD=xnmile答：这船继续向东航行是安全的.【教学说明】利用实际问题，提高学生学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?解:如图,在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°.因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里.°°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？°≈3/°≈3/°≈12/°≈12/5)【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答.解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里，∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，∴AC+BC=AB=21×5，，∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里.3.某型号飞机机翼形状如图所示，根据图中数据计算AC、BD和CD的长度（精确到0.1米）.作AF垂直直线CD于F，在直角三角形AFC中，∠ACF＝∠CAF＝45°，所以有CF＝AF＝BE＝5，则有CD＝（CF＋FE）－ED＝（CF＋AB）－ED≈≈BD＝2ED＝2×≈5.8；所以CD，AC，BD的长分别约为3.4米，7.1米和5.8米.【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；会根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，清楚本题已知什么，求什么.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“”中第7题.本节课，主要是学习在方位角问题中利用三角函数解决相关问题，对于学生来说，把实际问题转化成数学问题有一定的难度.所有应该对此方面的问题多加练习.。

•2．(5分)如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的 正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6 km，则AB＝ __________km.
•3．(5分)如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北 偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向 上，则灯塔P到环海路的距离PC＝___________米．(用根号表示)
பைடு நூலகம்B
•A
初三数学上册第23章解直角 三角形解直角三角形及其运 用（第3课时）方位角在解 直角三角形中的运用课件（
新版）沪科版
• 1．方位角的概念：方位是指在地理坐标中，目标方向与_•_正__南__或__ __•_正__北__方__向__的夹角，一般叙述为“南偏东×度或南偏西×度或北偏东× 度或北偏西×度”，可借助十字坐标帮助理解． • 2．方位角中的十字坐标的方向口诀是上_•_北__下_•_南__，左_•西___右 _•_东__．

9．(2014·临沂)如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏
西 15°方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75°方向以 40 海里/小时的速度航
行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60°方向
上，则 B，C 之间的距离为( C )
A．20 海里
B．10 3海里
的斜坡向上走了 1 千米达到点 C.问小明从 A 点到点 C 上升的高度 CD 是 多少千米？(结果保留根号)
解：过点 B 作 BF⊥AD 于点 F，过点 B 作 BE⊥CD 于点 E.由题意得：
AB＝0.65 千米，BC＝1 千米，∴sin α＝153＝ABFB，∴BF＝0.65×153＝ 0.25(km)．∵斜坡 BC 的坡度为：1∶4.∴CE∶BE＝1∶4，设 CE＝x，则
解：(1)由题意可得，AH∶BH＝1∶2.设 AH＝x，则 BH＝2x，故 x2＋(2x)2 ＝(6 5)2，解得：x＝6.故车库的高度 AH 为 6 m；
(2)∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12.在 Rt△ AHC 中，∠AHC＝90°，故 tan∠ACB＝ACHH.又∵∠ACB＝14°，∴ tan14°＝BC＋6 12，∴0.25＝BC＋6 12，解得：BC＝12，故点 B 与点 C 之间的距离是 12 m.
A．4 3米 B．6 5米 C．12 5米
D．24 米
3．(4 分)如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB，CD 分别表示水库
上、下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC 的长是 50 m，则水库大坝的
高度 h 是( A )
A．25 3 m B．25 m
C．25 2 m
50 3 D. 3 m

塔距离最近的位置所需的时间是
()
B
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
第二十二页，共二十四页。
当堂小练
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 90° ．
第二十三页，共二十四页。
拓展与延伸
4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方
BE AE
1， AE 3
3BE
3 23
69 m .
第十页，共二十四页。
新课讲解
在Rt△DCF中，同理可得
i CF 1 ， FD 2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m ，
AD AE EF FD=69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB AE2 BE2 692 232 72.7m .
向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北
方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南
偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为
33.5海里．
(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，
cos43°=0.73，tan43°=0.93)
北
C
43°
A
B
第二十四页，共二十四页。
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
6
B
C
i=1:3 A
E
i=1:2.5 23 α FD
第十一页，共二十四页。
新课讲解
练一练
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为

越_大___，坡面就越_陡___．
1．(4分)小明沿坡度为1∶3的斜坡向上行走了10 m，则他上升的
竖直高度是( B )
10 A. 3 m
B. 10 m
C．10 m
D．30 m
2．(4分)如图，已知一坡面的坡度i＝1∶ 3，则坡角α为( C )
A．15° B．20° C．30° D．45°
3．(4分)(2014·凉山州)拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比
【综合运用】 14．(14分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内 一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处 测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶 AC的坡度为1∶ 3(即AB∶BC＝1∶ 3)，且B，C，E三点在同一条 直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测倾器的高度忽略不 计)
直滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)间的关系为s＝10t＋2t2.若滑到坡底
的时间为4 s，则此人下降的高度为( C )
A．72 m B．36 3 m
C．36 m D．18 3 m
9．如图，河堤横断面为梯形，上底为4 m，堤高为 6 m，斜坡AD的坡比为1∶3，斜坡CB的坡角为45°， 则河堤横断面的面积为( B )
(x－2)＝2 3＋ 33x，解得x＝6，答：树DE的高度为6米
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022

28.2.5 用解直角三角形解方位角,坡角地应用一,新课导入1.课题导入情景:如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有多远？问题:怎样由方向角确定三角形地内角？2.学习目地（1）能根据方向角画出相应地图形,会用解直角三角形地知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角地意义,能利用解直角三角形地知识解决与坡度有关地实际问题.3.学习重,难点重点:会用解直角三角形地知识解决方向角,坡度地有关问题.难点:将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.二,分层学习1.自学指导（1）自学内容:P76例5.（2）自学时间:10分钟.（3）自学方法:独立探索解题思路,然后同桌之间讨论,写出规范地解题过程.（4）自学参考提纲:①如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔80海里地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有多远？(结果取整数,参考数据:cos25°≈0.91,sin25°≈0.42,tan25°≈0.47,sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67）a.根据已知在图中标出方向角:如图所示.b.根据方向角得到三角形地内角:在△PAB中,∵海轮沿正南方向航行,∴∠A= 65° ,∠B= 34° ,PA= 80 .c.作高构造直角三角形:如图所示.d.写出解答过程:在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.在Rt△BPC中,∠B=34°,PB=72505sin sin34.PCB=︒≈130（n mile）.②如图,海中有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°地方向上,又继续航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°地方向上,如果渔船不改变航向继续向东航行,有没有触礁地危险？解:过A作AE⊥BD于E.由题意知:∠ABE=30°,∠ADE=60°.∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.∴AE=AD·sin60°=12×32=63(海里)＞8海里.∴无触礁地危险.2.自学:结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:观察学生自学提纲地答题情况.②差异指导:根据学情对学习有困难地学生进行个别或分类指导.（2）生助生:小组内互相交流,研讨.4.强化:利用解直角三角形地知识解方向角问题地一般思路.1.自学指导（1）自学内容:P77.（2）自学时间:5分钟.（3）自学方法:先独立归纳利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路,然后对照课本P77地内容归纳,进行反思总结.（4）自学参考提纲:①利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路:a.将实际问题抽象为数学问题;b.根据问题中地条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;c.得到数学问题地答案;d.得到实际问题地答案.②练习:如图,拦水坝地横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1∶1.5是指坡面地铅直高度AF与水平宽度BF地比,斜面坡度i=1∶3是指DE与CE地比,根据图中数据,求:a.坡角α与β地度数;b.斜坡AB地长(结果保留小数点后一位).2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:明了学生解答问题地情况.②差异指导:根据学情进行相应指导.（2）生助生:小组内互相交流,研讨.4.强化（1）坡度,坡角地意义及其关系,梯形问题地解题方法.（2）在自学参考提纲第②题中,若补充条件“坝顶宽AD=4 m”,妳能求出坝底BC地长吗？（3）利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路:三,评价1.学生自我评价:在这节课地学习中妳有哪些收获？掌握了哪些解题技巧与方法？2.教师对学生地评价:（1）表现性评价:点评学生学习地主动性,小组交流协作情况,解题方法地掌握情况等.（2）纸笔评价:课堂评价检测.3.教师地自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表地实际意义,添作适当地辅助线,构建直角三角形.然后结合解直角三角形地有关知识加以解答,层层展开,步步深入.一,基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家地正东方,学校在外婆家地北偏西40°,外婆家到学校与小明家到学校地距离相等,则学校在小明家地（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图,某村准备在坡度为i=1∶1.5地斜坡上栽树,要求相邻两棵树之间地水平距离为 5 m,则这两棵树在坡面上地距离AB为5133m．（结果保留根号）3.（10分）在菱形ABCD中,AB=13,锐角B地正弦值sinB=5 13,则这个菱形地面积为65 .4.(20分)为方便行人横过马路,打算修建一座高5 m地过街天桥.已知天桥地斜面坡度为1∶1.5,计算斜坡AB地长度(结果取整数).解:∵i=115.ACBC=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.∴AB=228125.AC BC+=≈9(m).5.(20分)一轮船原在A处,它地北偏东45°方向上有一灯塔P,轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处,这时灯塔P正好在轮船地正东方向上.已知轮船地航速为25 n mile/h,求轮船在B处时与灯塔地距离（结果可保留根号）.解:过点A作AC⊥BP于点C.由题意知:∠BAC=30°,∠CAP=45°, AB=25×4=100.在Rt△ABC中,BC=12AB=50,AC=32AB=503.在Rt△ACP中,CP=AC=503.∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).二,综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机地机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD与AB 地长度（结果保留小数点后两位）.解:如图所示,在Rt△BDE中,BE=5.00,∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=533,BD=103cos303BE=︒≈5.77(m).在Rt△ACF中,CF=BE=5.00,∠FCA=45°,∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=533+3.40-5.00≈1.29(m).三,拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P,在以P为圆心,半径为162 n mile地圆形海域内有暗礁,一艘船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A,P 之间地距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度地方向航行,才能安全通过这一海域?解:如图,∠PAB=30°,AP=32.∴PB=12AP=16(n mile).∴PB＜162n mile.∴轮船有触礁危险.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过,此时航线AC与⊙P相切,即PC⊥AC. 又∵AP=32,PC=162,∴∠PAC=45°,∴α=15°.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.。

坡角α= 30°.
B
sin 3 1
23 2
i tan 3 1
33
30
A
23
α 3
3 C
知识点 1 坡度的应用
例 1
如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中， BC∥AD，
∠A＝∠D，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角(结果精
确到1′).
数学模型
实际问题
B
10 m
C
B
10 m
与测量有关的术语
在筑坝、开渠、挖河和修路等图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面
与测量有关的术语
在筑坝、开渠、挖河和修路等图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面
与测量有关的术语
在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面
与测量有关的术语
坡度（或坡比）： 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比.
即路基下底的宽为20 m，坡角约为38°39′.
B
10 m
A E
C
4m
F
D
1. 坡度是两条线段的比值，不是度数. 2. 表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数. 3. 物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，
坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.
练1 小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则
AB 3 ∴∠EAB＝30°.
23 3
30°3
知识点 2 坡角的应用
感悟新知
例 2
一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB
＝3 m，已知木箱高BE＝ 3 m，斜面坡角为30°，求木箱端点E
距地面AC的高度EF.

请根据题中所提供的信息计算、分析一下， 工程继续进行下去，是否会穿过学校？
巩固拓展
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，
FC⊥CA于点C， 由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°
∴ ∠CAB=30°， ∴ ∠DCB=60°，∴ ∠DBC=30°， ∴ ∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴ ∠CAB=∠CBA，∴ AC=CB=200m，
方向的射线. 南
合作探究
探究点一
方位角问题
合作探究
例5
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65度方向， 距离灯塔80海里的A处， 它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34 度方向上的B处.
这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
合作探究
解：如图 ，在Rt△APC 中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
巩固拓展
1.如下图，在一次数学课外活动中，
测得电线杆底部B与钢缆固定点O 的距离为4米，
钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，
则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是多少米．
（结果保留根号）．
巩固拓展 3. 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，
在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处， 又测得海岛A位于北偏东30°，
合作探究
但是，当我们要测量如图所示的山高h 时，问题就不那么简单了， 这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l.
合作探究
与测坝高相比，测山高的困难在于：
坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的， 怎样解决这样的问题呢？
合作探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地 划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一

用解直角三角形解方位角的应用一、教学目标(一)知识与技能巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角的问题．(二)过程与方法逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)情感态度与价值观培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、重、难点重点：能熟练运用有关三角函数知识．难点：解决实际问题．三、教学过程(一)明确目标讲评上课节课后作业(二)重点、难点的学习与目标完成过程出示例题．例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E 在一条直线上。

学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，提到角度问题，初一教材曾提到过方位角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方位角的实际应用问题．补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．学生虽然在初一接触过方位角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此在学生独自尝试之后应加以引导：(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．解：由图6-31可知，∠AOB=60°，∠OAB=90°．∴AB=OA•tan60°从点A行到B点所需时间为17.3210≈17.32(海里).答：船到达点B的时间为1小时44分．此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？如果时间允许，可组织学生探讨此题，以加深对方位角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．(三)小结与扩展请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．四、布置作业--------------------- 赠予---------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世--------------------- 谢谢喜欢--------------------。

5．(5 分)如图，小红从 A 地向北偏东 30°方向走 100 m 到 B 地，再 从 B 地向西走 200 m 到 C 地，这时小红距 A 地( B )
A．150 m B．100 3 m C．100 m D．50 3 m
6．(5 分)如图，某渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60°方 向，这艘渔船以 28 海里/小时的速度向正东航行半小时到 B 处，在 B 处看 见灯塔 M 在北偏东 15°方向，此时灯塔 M 与渔船的距离是( A )
解：如图，过点 B 作 BD⊥CA，交 CA 的延长线于点 D.由题意，得
∠ACB＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－60°＝15°，∴∠DAB＝
∠DBA＝445°，∴BD＝
AD＝AB·cos45°＝12× 22＝6 2(海里)．在 Rt△BCD 中，CD＝tanB3D0° ＝6 2＝6 6(海里)．∴AC＝6 6－6 2≈6.2(海里)．答：A，C 两地之间
3．(5分)如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北 偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方 向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝_____2_5_0__3__米．(用根号表示)
4．(5 分)A 港在 B 地的正南方 10 3 千米处，一艘轮船由 A 港开出 向西航行，某人第一次在 B 处望见该船在南偏西 30°，半小时后，又望 见该船在南偏西 60°，则该船速度为___4_0_千__米__/_小__时___．
A．7 2 海里 B．14 2 海里 C．7 海里 D．14 海里
7．(10 分)如图，一艘海上巡逻船在 A 地巡航，这时接到 B 地海上指挥 中心紧急通知：在指挥中心北偏西 60°方向的 C 地，有一艘渔船遇险，要 求马上前去救援，此时 C 地位于 A 地北偏西 30°方向上，A 地位于 B 地北 偏西 75°方向上，A，B 两地之间的距离为 12 海里．求 A，C 两地之间的距 离．(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45，结果精确到 0.1)