平面向量定义及线性运算练习题

训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理. 训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用. 解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB →＋BC →＝AC →，OM →－ON →＝NM →联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．下列各式计算正确的有________个． ①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .2．(·贵州遵义一模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.3．(·云南昆明质检)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m ＝________.4．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是________．5．(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 6．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________________________________. 7．(·青海西宁质检)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为________．8．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝________.9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 10.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 11．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.12．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，则点P 坐标为________．13．已知a ，b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b ) (t ∈R )这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为________． 14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案解析1．3 2.23 3.19 4.③ 5.(－7，－4) 6.07．P 是AC 边的一个三等分点 解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →， ∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →＝2AP →，∴P 是AC 边的一个三等分点． 8．2解析 因为M 、O 、N 三点共线， 所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)， 使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)， 所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC →＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →、AN →不共线，所以⎩⎨⎧x2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1， 即x ＋y ＝2.9．－74m ＋138n 10.611.12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.12．(8，－15) 解析 设P (x ，y )， 因为|AP →|＝32|PB →|，又P 在线段AB 的延长线上，故AP →＝－32PB →＝32BP →，所以(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎨⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.故P (8，－15)．13.12 解析如图所示，OA →＝t b ， OB →＝13(a ＋b )，OC →＝a .∴AC →＝OC →－OA →＝a －t b ， BC →＝OC →－OB →＝23a －13b ，∵A 、B 、C 三点共线，a ，b 不共线， ∴AC →与BC →共线， ∴231＝－13－t ，∴t ＝12. 14．2 解析以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴， OA →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则由OC →＝xOA →＋yOB →，得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y (－12，32)，得x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。

⃗ =0,|⃗|=|⃗|=|⃗ |=2,则△ABC 的面积等于(
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗

2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件

平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线． 三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】 若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】 由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】 由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】 由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②三、解答题9．【解】 如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)， 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。

5.1平面向量的概念及线性运算练习题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）∥b B.a⊥bC.{0,1,3} +b=a-b答案 B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．→＝0 ＋PA→＝0＋PB→＝0 ＋PB→＋PC→＝0＋PC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋PC→＝0.∴PA答案B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为() A．－3 B．2 C．4 D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案 D5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析 由已知AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD→∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 答案 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°. 答案：A 二、填空题8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则|AB ||BC |＝________.解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )，即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2. 答案：29．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析 ①中，∵向量AB→与BA →为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 310.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 解析答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM→＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14， ∴S △ABM S △ABC ＝14. 答案 1412．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM→，AN →.解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )， AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )． 14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上 解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ； (2)求证：B 、E 、F 三点共线． 解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 所以B 、E 、F 三点共线．16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， 即OP→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP→与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB→＝λ(OA →－OB →)． 即OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP→＝mOA →＋nOB →. 故mOA→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．由平面向量基本定理得⎩⎨⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。