根轨迹和根轨迹方程
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第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹:系统中某个参数从零到无穷变化时,系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系,通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知:1)当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2)当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2,虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能:(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统,阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K,在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能:过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大,阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知:1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置;从而确定出可变参数的大小,便于对系统进行设计。
由以上分析知:根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解,用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
第四章根轨迹法(第一讲)根轨迹定义及根轨迹方程引言•分析和设计系统时确定闭环极点(即特征根)在复平面的位置是十分有意义的:1)闭环系统的极点在复平面的位置决定了系统的稳定性;2)系统的性能指标也主要由闭环极点的位置决定;•通过求解高阶代数方程确定闭环极点是困难的;•闭环系统的极点与系统的参数有关,如开环增益等;•希望找到一种不用求解代数方程,就能确定当某个参数变化时极点的位置的方法。
•1948年伊文思(Walter R.Evans)提出了根轨迹法;•根轨迹方法能够确定当某个参数变化时,闭环极点在特征方程2220s s K ++=特征根1,2112s K =−±−120 0 2K s s ===−120.5 1K s s ===−1,21 11K s j ==−±∞±−=∞→j s K 1 2,1K 1(0.51)s s +0-21-1j-1根轨迹K1(0.51)s s+根轨迹定义根轨迹是指当系统开环的某个参数(如开环增益)从零变化到无穷大时,闭环特征方程的根在复平面上移动的轨迹。
0 -21-1j-1根据所绘制的根轨迹图可知:K>0时,系统稳定;0<K<0.5时,过阻尼状态,阶跃响应为单调衰减过程;K=0.5时,临界阻尼状态,阶跃响应为单调衰减过程;K>0.5时,欠阻尼状态,K 1(0.51)s s +0-21-1j-1根轨迹方程)(s G ()H s )(s R )(s C 开环传递函数分别为开环零、极点;i p j z 0K *≤<∞n m ≥为开环根轨迹增益,并假设。
特征方程0)()(1=+s H s G 由于闭环极点就是特征方程的根,该方程又称为根轨迹方程。
11()()()()mj j ni i s z G s H s K s p =*=−=−∏∏j=11||1||mj n i i s z K s p *=−=−∏∏π)12()()(11+=−∠−−∠∑∑==k p s z s ni i m j j )(s G ()H s )(s R )(s C 根轨迹方程可分解为模值方程和相角方程:11()()()=1()mj j ni i s z G s H s K s p =*=−=−−∏∏(1)由于,所以任何复数s 均满足模值方程;(2)相角方程是确定复数s 是否为根轨迹上的点的充分必要条件;0K *≤<∞例4-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为2()(2)KG s s *=+试证明复平面上点是该系统的闭环极点。