第专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题(DOC)

需求量，求边际收益函数以及0二20、50和70时的边际收益，并解释所得结果的经济意义.解由题设有P = -(100-e),于是，总收益函数为：/?(e)= e p = e.1(100-Q) =200-1Q22 1于是边际收益函数为：R\Q) = 20-二Q =二(100- 20)R'(20) = 12, R'(50)=0,尺'(70) = -8由所得结果可知，当销售疑(即需求量)为20个单位时，再增加销售可使总收益增加，多销售一个单位产品，总收益约增加12个单位：当销售呈:为50个单位时，总收益的变化率为零，这时总收益达到最大值，增加一个单位的销售量，总收益基本不变：当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收益约减少8个单位.3・学习新知问题4：经济活动中，一个重要的问题是商品价格变化对收益的影响. 如果某商品为适应市场需要欲适当降低价格，会不会降低其收益呢？一般情况下，需求量0是随价格P的上涨而减少的，即需求函数是价格的递减函数•如果厂商降低价格，则单份收益减少，但是销售量上升，从R = PQ并不能明确地判断对R的净影响•这里的关键因素不是P和。

变化的绝对量而是变化的比例或百分数.直观地，我们期望0增加的百分比大于P下降的百分比，从而厂商的收益增加•如果需求对价格的变化相对敏感，我们说需求是富有弹性的，相似地，如果需求对价格的变化相对不敏感，我们说需求是缺乏弹性的，此时，销售量变化的百分比小于价格变化的百分比.厂商可以通过提髙价格来增加收益，尽笛结果是需求下降，但价格上升可以弥补销售量的减少从而增加收益.当然，也可能价格变化和销售量变化的百分比相等，从而使得收益不变，我们用单位弹性来描述这种情况.当价格由P,下降到导致需求量由0增加到Q ,我们通过定义需求通过边际分析法，帮助学生初步认识边际效用递减规律,培养学生利用数学知识对英经济问题进行立量分析的思维。

一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

经济数学中的边际与弹性分析朱文涛（健雄职业技术学院 商贸系，江苏 太仓 215411）摘 要：边际与弹性是经济数学中的重要概念, 是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法。

本文从经济数学理论中的“边际”和“弹性”出发 ,对目前企业管理中常见的几个问题进行了数学化讨论和数学模型的建立 ,包括最低成本、最优利润和价格变动对销售收入的影响模型等。

关键词：边际；弹性；经济数学中图分类号：F224 文献标识码：A边际分析和弹性分析是经济数量分析的重要组成部分，是微分法的重要应用。

它密切了数学与经济问题的联系。

在分析经济量的关系时，不仅要知道因变量依赖于自变量变化的函数关系，还要进一步了解这个函数变化的速度，即函数的变化率，它的边际函数；不仅要了解某个函数的绝对变化率，还要进一步了解它的相对变化率，即它的弹性函数。

经过深层次的分析，就可以探求取得最佳经济效益的途径。

一、 边际及其经济意义边际作为一个数学概念, 是指函数y= f(x)中变量x 的某一值的“边缘”上y 的变化。

它是瞬时变化率, 也就是y 对x 的导数。

用数学语言表达为：设函数y= f(x)在(a, b)内可导, 则称导数)('x f 为f(x)在(a, b)内的边际函数；在0x 处的导数值)(0'x f 称为f(x)在0x 处的边际值。

根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际收益、边际利润、边际产值、边际消费、边际储蓄等。

本文主要分析前三个边际函数的应用。

1、边际成本。

在经济学中,把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本 ,边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC= C ′(q)。

2、边际收益。

是指销售量增加一个单位时所增加的总收益或增加这一个单位的销售产品的销售收入，是总收入函数在给定点的导数，记作MR= C ′(q)。

3、边际利润。

对于利润函数 L (q) = R(q) - C(q) ,定义边际利润为 L ′(q) =R ′(q) – C ′(q)=MR-MC ,表示指销售量增加一个单位时所增加的总利润或增加这一个单位销售量时利润的改变量。

典型例题第三章导数微分边际与弹性习题课典型例题1典型例题例1).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设 解0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x )100()2)(1(lim 0---=→x x x x !100=例1).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设 又解])100()2)(1[()100()2)(1()('---+---='x x x x x x x x f !100)0(='∴f典型例题2典型例题例2.,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设解,12x u +=设,11ln 41arctan 21-++=u u u y 则)1111(41)1(212--+++='u u u y u 411u -=,2142x x --=)1(2'+='x u x ,12xx +=.1)2(123x x x y x ++-='∴典型例题3典型例题.,)0,0()(22dxy d y x x y x f y y x 求所确定由方程设函数>>==例3解两边取对数,ln 1ln 1x yy x =,ln ln x x y y =即,1ln )ln 1(+='+∴x y y ,ln 11ln yx y ++='2)ln 1(1)1(ln )1(ln 1y y y x y x y +'⋅+-+=''322)1(ln )1(ln )1(ln ++-+=y xy x x y y典型例题4典型例题).(,)2()(x f x x x x f '-=求设例4解先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤-=x x x x x x x x x x f ,0时当=x ,0)0()0(='='+-f f ;0)0(='f ,20时当<<x ;43)(2x x x f -=',02时或当<>x x ;43)(2x x x f +-=',2时当=x 2)2()(lim )2(2--='-→-x f x f f x 2)2(lim 22---=-→x x x x .4-=2)2()(lim )2(2--='+→+x f x f f x 2)2(lim 22--=+→x x x x .4=),2()2(+-'≠'f f .2)(处不可导在=∴x x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=<>-=',20,43,0,00,2,43)(22x x x x x x x x x f 或典型例题5典型例题.,)(sin cos y x x y x '=求设例5解)(ln '='y y y )sin ln cos (ln '+=x x x y )sin cos sin ln sin 1()(sin 2cos x x x x x x x x +⋅-=典型例题6典型例题解dt dx dt dy dx dy =()()t f t f t ''''=t =)(22dx dy dx d dxy d =()t f t '''=().1t f ''=求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxy d ：⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x 设)(t f ''存在且不为零.例6典型例题7典型例题.,114)(22n y x x y 求设--=例7解134********-+-=--=x x x x y )1111(234+--+=x x ,)1(!)1()11(1)(+--=-n n n x n x ,)1(!)1()11(1)(++-=+n n n x n x ].)1(1)1(1[!)1(2311)(+++---=∴n n n n x x n y典型例题8典型例题例8 某厂生产某种产品，总成本C(Q)是产量Q 的函数: C = C(Q) = 200+4Q+0.052Q (单位：元)求：(1)指出固定成本，可变成本；(2)求边际成本函数及产量为Q =200时的边际成本，并说明其经济意义；(3)如果对该厂征收固定税收，问固定税收对产品的边际成本是否会有影响？为什么？试举例说明之． 解(1)固定成本为200，可变成本为205.04Q Q(2)边际成本函数为()40.1(200)40.120024C Q QC '=+'=+⨯=当产量Q =200时的边际成本为24，在经济上说明在产量为200单位的基础上，再增加一单位产品，总成本要增加24元。

第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍一、 函数变化率——边际函数1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y∆∆2．()x f 在0x点的变化率()00lim x f x y x '=∆∆=→∆3. ()x f '——边际函数4()()0111000x f dx x f dy y dx xx dx x x x x x '='=≈∆=====∆=注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。

例 1 函数2x y =求在100=x 处的边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。

注：①()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本③经济学家的解释：当产量达到0Q时，生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。

二、 成本1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。

2．①总成本()()Q C C Q C C 21+==②平均成本()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+===③边际成本()Q C C '=' ④边际成本()()10C dt t C Q C Q +'=⎰3．几个关系例 1 设某商品的成本函数为()41002Q Q C C +==求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。

②当Q 为多少时，平均成本最小？三、 收益1．总收益：生产出售一定数量的产品所得到的全部收入。

2．①需求函数()QPP=②总收益()QRR=③平均收益()QRR=④边际收益()QRR'='3．几个关系需求函数①()==QRR()QPQ⋅②()QRR=()QP=③()QRR'='()()QPQPQ+'=④()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510QP -=求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。