第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍
一、 函数变化率——边际函数
1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y
∆∆
2．()x f 在0x
点的变化率()00lim x f x y x '
=∆∆=→∆
3. ()x f '——边际函数
4
()()0111000x f dx x f dy y dx x
x dx x x x x x '='=≈∆=====∆=
注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。
例 1 函数2x y =求在100=x 处的
边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。 注：
①
()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本
③经济学家的解释：当产量达到0Q
时，生产0Q 前最后一个单位产品所
增添的成本。
二、 成本
1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。
2．①总成本
()()Q C C Q C C 21+==
②平均成本
()()
()
Q Q C Q C Q Q C Q C C 21
+===
③边际成本
()Q C C '=' ④边际成本
()()10C dt t C Q C Q +'=
⎰
3．几个关系
例 1 设某商品的成本函数为()41002
Q Q C C +==
求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。
②当Q 为多少时，平均成本最小？
三、 收益
1．总收益：生产出售一定数量的产
品所得到的全部收入。2．
①需求函数
()Q
P
P=
②总收益
()Q
R
R=
③平均收益
()Q
R
R=
④边际收益
()Q
R
R'
=
'
3．几个关系需求函数
①
()=
=Q
R
R()Q
P
Q⋅
②
()Q
R
R=()Q
P
=
③
()Q
R
R'
=
'()()Q
P
Q
P
Q+
'
=
④
()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0
例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510Q
P -=
求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。
问题：如何理解()230-='R ？ 最大值()12525=R
()8.12129=R ()12030=R
()3028.1130
0R R x x '=-≈-=∆=∆=
4．最大利润原则
设总利润为L ，则
()()()Q C Q R Q L L -== ① 最大利润的必要条件： =边际成本 ②最大利润的充分条件： ()()Q C Q R ''<''
边际收益的变化率<边际成本的变化率
例2 设某产品的需求函数为 510Q
P -=，成本函数为
Q C 250+=
求产量为多少时，总利润最大？并验证是否符合最大利润原则。 注：一般步骤
（1） 总利润最大问题
①列出利润函数
()()()Q C Q R Q L -=
②求出()0='Q L 的点0Q
③验证0Q 为极大值点
求出()Q L ''，()00<''Q L
（2） 验证是否符合最大利润原则问题 ①求出()()Q R Q R ''',，()()Q C Q C ''',
②验证
()()00Q C Q R '=' ③验证()()00Q C Q R ''<''
例3 设某工厂生产某种产品，固定成本20，000元，每生产一台产品，成本增加1000元，已知R 总收益是年产量Q 的函数
()⎪⎩⎪⎨⎧
>≤≤-==400
000,80400
02
14002
Q Q Q Q Q R R 求每年生产多少产品时，总利润最大？此时，总利润是多少？
四、 函数的相对变化率——函数的
弹性
1．（两点间的弹性）()x f 在()x x x ∆+00,两点间的相对平均变化率
()00
,//00x x y y x x x ∆∆=∆+η
2．（0x 点的弹性）()x f 在0x 点的相对变化率
()()000000//lim
0x f x x f x x y y x x x '=∆∆=→∆=η记作：(),,00x f Ex E
Ex Ey x x =
即()()0000x f x x f Ex Ey
x x '==
注：弹性应该是正值，故要由()x f 的增减性决定弹性中的+、-号。 ① ()x f
