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⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。
本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。
【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。
在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。
⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。
它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。
⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。
（1）边际成本。
在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。
（2）边际收益。
是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。
（3）边际利润。
对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。
（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。
微积分在经济学中的应用微积分是数学中的重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。
它的特点是能够对连续变化的量进行研究，因此在经济学中的应用非常广泛。
本文将从宏观经济学和微观经济学两个层面，探讨微积分在经济学中的重要性和应用。
一、宏观经济学中的微积分应用宏观经济学是对整个经济系统进行研究的学科，它关注的是经济的总体运行规律和宏观经济变量之间的关系。
微积分在宏观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 经济增长模型经济增长是宏观经济学中的核心问题之一。
微积分可以帮助我们建立经济增长模型，探讨经济增长率和各种因素之间的关系。
例如，通过对经济生产函数进行微积分运算，可以得到边际产出、边际投入和边际技术效率等重要经济指标，进而研究经济增长的规律和影响因素。
2. 国民收入计算国民收入是衡量一个国家经济发展水平的重要指标。
微积分在国民收入计算中发挥了重要作用。
它可以帮助我们对经济数据进行求和、积分等运算，从而准确计算出国民收入和国内生产总值等宏观经济指标。
3. 经济周期分析经济周期是宏观经济波动的一种表现形式，对其进行研究有助于把握经济的发展趋势和规律。
微积分可以帮助我们对经济数据进行趋势分析、峰值检测等，从而辅助预测经济周期的起伏和变化。
二、微观经济学中的微积分应用微观经济学是研究个体经济单位之间的行为和相互关系的学科，微积分在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析边际分析是微观经济学的基础理论之一，而微积分是边际分析的重要工具。
通过微积分的求导和积分运算，我们可以准确计算出边际成本、边际效用和边际收益等经济指标，从而帮助决策者做出最优决策。
2. 弹性分析弹性是衡量市场供求关系敏感度的指标，对于分析市场需求和供给的变化尤为重要。
微积分可以帮助我们计算和分析价格弹性、收入弹性和交叉弹性等，从而更好地理解市场的运行机制和市场参与者的行为。
3. 市场均衡分析市场均衡是微观经济学中的重要概念，用于描述市场上供给和需求的平衡状态。
微积分在经济学中的若干应用[摘要]：微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似与极限求精确的基本思想是学习高等数学的基础.随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者科学决策的制定提供依据。
对企业的经营和决策者来说，在经济分析中应用微积分定量的方法进行精确、严谨的决策，可以为决策者和经营者提供严谨的分析方法和新思路，积分模型在经济应用中有较大的发展空间，尤其是当前计算机应用的不断推广。
通过建立数学微积分模型，是实现高效决策和科学决策的重要路径，也是企业提升自身竞争力的必由之路。
[abstract:The calculus is one of the achievements of the greatest mankind’s intelligence, part’s begging to look like to beg the basic thought of precision with extreme limit is the foundation that studies Gao Deng’s mathem atics.Continuously develop and make use of a mathematics knowledge solution economic problem to seem to be more and more important along with the market economy, the usage calculus can carry on quantity to turn analysis to the actual problem in the economic activities, the establishment thus making policy for the business enterprise executive science provides basis.To the management and decision maker of business enterprise, the method of applied calculus fixed amount carries on precision, careful decision in the economic analysis, can be decision maker and executive to provide careful of analyze method and new way of thinking, the integral calculus model has bigger development space in the economic application, particularly is the current calculator applies of continuously expand.Passing to build up mathematics calculus model is efficiently a realization the important path of decision and science decision, is also the business enterprise promotes an oneself competition ability of necessarily from of road[关键词]：微积分边际分析弹性函数[Keyword]:The calculus limit analyzes flexible function1微积分的基本思想微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。
浅析微积分在经济学中的应用黄尹艺（四川大学锦城学院，会计2班，130410236）［摘 要］经济学中的很多经济现象、经济理论都能够用数学知识去解释。
本文本着“数学为体，经济为用”的原则，对于微积分在经济学领域中的连续复利、边际分析、弹性分析、最优化问题作一些初步分析。
［关键词］ 微积分；导数；极限；边际分析；弹性分析随着数学理论的不断完善和经济的飞速发展，数学与经济学的联系越来越紧密。
数学是经济学理论研究的理想工具，借助数学模型研究经济学，具有清晰、深入、严密三大优势。
微积分学作为数学的一个基础分支学科，在经济学中有着极为广泛的应用。
经济量化分析已成为经济学研究的主要手段。
现主要从微积分与经济的相关联系出发，简要讨论微积分在经济学中的应用及其存在的经济学意义。
一、 微积分的基本思想微积分学是数学的一个基础分支学科，源于代数和几何。
内容主要包括函数、极限、导数、微分学、积分学及其应用。
微积分有两个基本想法：其一是微分学，包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数,速度,加速度和曲线的斜率等均可在一个通用的符号化基础上进行讨论；其二是积分学，包括积分的运算，为计算被一个函数图像所包的面积提供一套通用的方法，引入诸如体积的相关概念。
微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中。
二、 微分在经济学中的应用在经济学领域中，微积分被运用十分基础和广泛，是学好经济学、剖析现实经济现象的基本工具。
1、 极限在经济学中的应用极限概念是微积分中最基本的概念，在极限的概念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展，很多经济学的知识也得到有效的解决。
比如利用极限解决连续复利问题。
例 设银行存款现值P 和将来值B ，年利率为r ，则t 年后的本利和即将来值为t r)(1B +=若一年分n 次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为 n nr P B )1(+= 而t 年后的本利和即将来值为 tn nrp B )1(+= 当∞→n 时，则t 年后的本利和即将来值为 t tn n pe nr p B =+=∞→)1(lim 从而现值p 和将来值B 之间的关系为t pe =B或者 t Be p -=现值P 为1，利息r 为100%，1t =，则得 e B =例子中的极限应用体现了在经济学中当一个数值含有极限的意义即趋向无穷大或0时，利用微积分中的极限的思想去解题可以步骤简化，思路清晰的解决很多经济学的这些问题。
一、经济分析中常用的函数【2（一）需求函数和供给函数】1.需求函数。
需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。
我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q（p）（Q表示某种商品的需求量，P表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。
一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数（如图一）。
右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。
当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。
2.供给函数。
一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S（p），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg。
一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。
（如图二）供给函数特征：横轴S 为供给量，纵轴P 为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。
当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。
（二）、市场均衡在市场中，当一种商品满足Q=S 即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S 时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。
（三）、价格函数、收入函数、利润函数1.价格函数。
一般来说，价格是销售量的函数。
在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多 就可以把价格讲得越低。
例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。
边际分析1:边际分析边际分析即边际分析法，是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点。
如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到。
边际分析法是经济学的基本研究方法之一,不仅在理论上,而且在实际工作中也起着相当大的作用，是打开经济决策王国的钥匙。
可以认为边际分析法与管理决策优化密切相关。
边际分析法(marginal analysis)的数学原理很简单。
对于离散(discrete)情形，边际值(marginal value)为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续(continuous)情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值。
所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量。
在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等。
2边际分析应用(1)无约束条件下最优投入量（业务量）的确定利润最大化是企业决策考虑的根本目标。
由微积分基本原理知道：利润最大化的点在边际利润等于０的点获得。
利润（或称净收益）为收入与成本之差，边际利润亦即边际收入与边际成本之差，即：MB=MR-MC。
由此可以获得结论：只要边际收入大于边际成本，这种经济活动就是可取的；在无约束条件下，边际利润值为0(即：边际收入=边际成本)时，资源的投入量最优(利润最大)。
(2)有约束条件下最优业务量分配的确定对于有约束情形可以获得如下最优化法则：在有约束条件下，各方向上每增加单位资源所带来的边际效益都相等，且同时满足约束条件，资源分配的总效益最优。
这一法则也称为等边际法则。
当所考虑的资源是资金时，有约束的最优化法则即为：在满足约束条件的同时，各方向上每增加一元钱所带来的边际效益都相等；如果资金是用来购买资源，而各方向的资源价格分别都是常数，有约束的最优化法则即为：在满足约束条件的同时，各方向上的边际效益与价格的比值都等于一个常数。
