边际函数&弹性函数

例2 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是C( x) 100 2x 0.02x2 和 R( x) 7 x 0.01x2 .
求边际利润函数和当日产量分别是200公斤, 250公斤 和300公斤时的边际利润. 并说明其经济意义.
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解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) 5x 100 0.01x2
§3.7 导数在经济中的应用
一. 边际分析与弹性分析 二.函数最值在经济中的应用
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§3.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或 微分)在经济中的一些简单的应用.
一. 边际分析与弹性分析
边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究 经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分 析.
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课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等
常用经济函数进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态
及商品的价格变动等. 16
二.函数最值在经济中的应用
在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结 为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值 在经济上的应用.
函数为 C( x) 1 x2 60x 2050 4
4
求: (1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;
(3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本
C(75) = 7956.25(元)
C(75)/75 = 106.08 (元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量
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例7 已知需求函数为Q = 75－P2 , 问价格 p 为何值时, 总 收益最大? 当总收益达到最大时, 需求价格弹性为多少?
解 总收益函数为 R(P) = P ·Q = 75P － P 3
R(P) 75 3P2 0 得驻点 p = 5 (p = －5舍去), 且 R"(5) 30 0
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而边际成本函数为
C( x) 40 0.002x 故 x 3000 时, 相应的边际成本为
C(3000) 46(元 / 件)
显然最小平均成本等于其相应的边际成本.
2.最大收益
在已知商品需求函数的条件下, 若企业的目标是获得最大 收益, 那么, 企业应以总收益函数
R(P) = P ·Q 为目标函数来决策产量水平或产品的价格.
( x) lim ( y x ) x f ( x) f ( x)
x0 x y
f (x) f (x)
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例3 当a、b、k为常数时, 求下列函数的弹性函数及在
点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义.
(1) f ( x) aebx， (2) f ( x) xk
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由此对例4而言: 当 p = 4时, p 0.92 1 (低弹性), 此时降价使收益减少; 提价使收益增加;
当 p = 4.35 时, p 1(单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响;
当 p = 5 时, p 1.15 1 (高弹性), 此时降价使收益 增加; 提价使收益减少.
f ( x0 )

f ( x0 )
( lim 0) x 0
当x 0 (即x很小)时, 有
f ( x0
x) x
f ( x0 )

f ( x0 )
3
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无 意义). 故有 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )
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在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(Δp > 0)
或降价(Δp < 0)对总收益的影响. 下面利用需求弹性的
概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.
Q
p

Q( p) p
Q( p)

p dQ Q( p) dp
价格p的微小变化(即 p 很小时)而引起的 需求量的改变程度
降价(Δp<0)将使收益增加; 提价(Δp > 0)将使收益减少;
(2)若 p 1 (称为低弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 同号. 此时,
降价(Δp < 0)将使收益减少; 提价(Δp > 0)将使收益增加;
(3)若 p 1 (称为单位弹性)时, 则 R 0 . 此时, 无论是
降价还是提价均对收益没有明显的影响.
实际问题中, 略去“近似”二字, 就得ƒ(x) 在 x0 处的
边际值 f ( x0 ).
经济意义: 即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单 位时, 函数 f(x) 的改变量.
例1 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每
日100件, 假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x (件)的
L( x) xx0 R( x0 ) C( x0 ) 0
L( x) xx0 R( x0 ) C( x0 ) 0
可见, 当产量水平 x = x0 使得边际收益等于边际成本 时, 可获得最大利润.
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例8 某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7– 0.2x (万元/吨), 且 x 为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为
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例5 某商品的需求量为2660单位, 需求价格弹性为–1.4.
若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变), 问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为Q, 在价格上涨时的改变量为
ΔQ = Q – 2660
且
p 8%, p
p －1.4
Q


p
p p
Q

1.4 8%
x
x
C ( x) 9000 0.001 x2
C
(
x)

1800 x3

0
令 C ( x) 0 得 x 3000, 且驻点唯一.
故 x 3000是(0, ) 唯一的极小值点.
若x 3000件时,平均成本达到最小，且最小平均成本为.
C (3000) 46(元 / 件)
解
(1)
由 (x)
x
f ( x) f (x)

x aebx
abebx
bx
故 (1) b
η (1)的经济意义是: 函数ƒ(x)在 x = 1处,
当b > 0时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少)b%;
当b < 0时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加)–b% .
C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家 获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大.
C C(90) C(75) 101.25(元 / 件)
x
90 75
5
(3) 当日产量为75件时的边际成本 Q C ( x) 1 x 60 2
C(75) C( x) x75 97.5(元)
注 当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 L( x)为销售量 为x时的边际利润, 它近似等于销售量为 x 时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润.
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1.边际函数
定义1 经济学中, 把函数ƒ(x)的导函数 f ( x) 称为ƒ(x)
的边际函数. 在点x0的值 f ( x0 )称为ƒ(x)在 x0 处的边际值 (或变化率、变化速度等).
Q
f ( x0 )
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )

f ( x0
x) x

1
a(
1
)
p 3
1 ln( )
32
2
由
p

p Q( p) Q( p)

p
a(
1
)
p 3

1
a( 1 )
p 3
ln(
1
)
32 2
0.23 p
2
(2) p p4 0.92, p p4.35 1, p p5 1.15.
注 任何需求函数对价格之弹性 p, 均满足 p 0.
Q dQ
dQ p

p dQ p Q
dp
Q dp p

p
p p
Q
需求量的相对改变量为
Q Q

p
p p
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销售量的收益为 R( p) pQ
R ( pQ) d( pQ) Qdp pdQ (1 p )Qdp 由 p 0知, R (1 p )Qp 从而有结论: (1)若 p 1 (称为高弹性)时, 则 ΔR与 Δp 异号. 此时,
1.平均成本最小
例6 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
C( x) 9000 40x 0.001x2
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出 其最小平均成本和相应的边际成本.
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解 平均成本函数是
C ( x) C( x) 9000 40 0.001x
边际利润函数为 L( x) 5 0.02x
(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的 边际利润分别是 L(200) L(x) x200 1
L(250) 0 L(300) 1
其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元. 当日产量为 250公斤时, 再增加1
从而 p = 5是总收益函数的极大值点, 极值唯一知, p =5 也是
总收益函数的最大值点, 故当价格为 p = 5时总收益达到最大.
需求价格弹性为
P dQ 2P 2
Ed

Q

dP

75 P 2
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当 p = 5, 需求价格弹性为
Ed |p5 1
在上例中, 当总收益达到最大时, 需求价格弹性为 单位弹 性. 这是因为当E d >1时, 需求是富于弹性的, 降价可使总收 益增加;
y lim
y0
存在,
x0 x x0
则称极限值为函数 f (x) 在 x0 点处的弹性, 记为( x0 ).
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由弹性定义可知(1)若 y = ƒ(x)在点 x0 处可导. 则它在
x0 处的弹性为
( x0 )

y lim ( x0 x

x0 y0
)
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
(2) 由 ( x) x f ( x) k 故 (1) k
f (x)
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例4 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的关系为
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Q(
p)

a(
1
)
p 3
2
(a是常数),
求：(1)需求弹性函数(通常记作
p );
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.
解
(1)
Q( p)
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定义2 若函数 y =ƒ(x)在点 x0 ≠0 的某邻域内有定义,
f ( x0 ) 0, 则称 Δ x 和 Δ y 分别是 x 和 y 在点x0 处的绝对
增量, 并称
x 与 y f ( x0 x) f ( x0 )
x0
y0
f ( x0 )
分别为自变量 x 与 ƒ(x) 在点 x0 处的相对增量. 定义3 设 y =ƒ(x)当 x 0 时, 极限
f ( x0 ) f ( x0 )
(2)( x0 ) 的经济意义是：在x0 处, 当 x 发生1％的改变, 则ƒ(x)就会产生( x0 )%的改变.
当( x0 ) 0( 0)时，x 与y 的变化方向相同(相反) . (3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.
(4)弹性函数为边际函数除以平均函数, 即
而当E d<1时, 需求是缺乏弹性的, 提价可使总收益增加. 因此, 当总收益达到最大时, 需求价格弹性一定为单位弹性.
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3.最大利润
设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中 x 为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为
L(x) = R(x) – C(x)
假设产量为 x0 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条 件和极值的第二充分条件, L(x0)必定满足:
公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时, 再增加 1公斤, 则反而亏损1元.
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结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时 (L( x) 0) ,反而使企业无利可图.
2.弹性
弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变 化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述一 个量对另一个量的相对变化率的一个量.