边际函数&弹性函数

边际函数考研真题边际函数是微积分中的重要概念，常常出现在考研数学真题中。

本文将通过解析一道边际函数的考研真题来深入探讨该概念，并帮助读者更好地理解和应用边际函数。

题目如下：设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，f(a) = f(b) = 0，且存在 c ∈ (a, b)，使得f'(c) ≠ 0。

定义边际函数 g(x) = f(x) / x，x ∈ (a, b)。

若 x ∈ (a, b) 是 g(x) 的极小值点，那么必有（）。

题目分析：首先，我们需要理解边际函数的定义。

根据给定条件，边际函数g(x) 定义为 f(x) 除以 x，其中 x ∈ (a, b)。

根据题目给出的条件，我们需要推导出边际函数 g(x) 在极小值点上的性质。

解题思路：根据题目所给条件，我们可以使用费马引理来求解，费马引理是极值问题中非常有用的定理。

首先，假设 x0 是 g(x) 的极小值点，则必有g'(x0) = 0。

我们需要推导出 g'(x0) = 0 的条件，即 f'(x0) - f(x0)/x0 = 0。

解题步骤：Step 1: 求解 f'(x)由题意可知 f(x) 在 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。

根据 Cauchy 中值定理，存在 c ∈ (a, b)，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0。

所以，我们可以得到 f'(x) = 0。

Step 2: 求解 f(x0)根据题目条件 g(x0) = 0，我们可以得到 f(x0) / x0 = 0。

由于x0 ≠ 0，所以得到 f(x0) = 0。

Step 3: 推导 g'(x0) = 0将 f'(x) - f(x)/x = 0 代入边际函数的定义，可以得到 f'(x) - f(x)/x = 0。

利润是厂商出售产品得到的总收入（即总收益）和生产这些产品的总成本之间的差额。

设R 表示总收益，总收益等于出售产品的数量x 和产品价格p 的乘积，故()R x px =是产品数量x 的函数，设C 表示总成本，则 ()C C x = 也是产品数量x 的函数。

因此，利润()()()P x R x C x =- (11..1)也是产品数量x 的函数。

在实际经济生活中。

利润是影响企业家行为的非常重要的因素，厂商决策的原则之一被假定是获取尽可能多的利润，也就是说，厂商的目的之一是最大化利润。

经济学家根据各种可选择的机会对厂商利润的作用来预测厂商的行为，他们首先研究各种机会对利润的作用，然后预测长撒好难过将选择可产生最大利润的那种可选择方案，以利润最大化假定为基础的理论，所得出的大量预测与观察到的现实基本上是一致的。

本课题将探讨微观经济学中的利润最大化基本法则的数学原理。

首先我们先引入边际收益和边际利润的概念。

收益函数()R x 的导数称为边际收益函数，它表示收益函数的变化率。

问题11.1 假设某种音响系统的单价 p (单位：元)与它的需求量x 之间的关系为0.24000p x =-+ ()020000x ≤≤（1） 求收益函数R 和边际收益函数R '；（2） 求()2000R '，并对结果加以解释。

利润函数()P x 的变化率（即导数）称为边际利润函数，它表示已经卖出x 个产品，再卖出第1x +个产品的实际利润（或亏损）的近似值。

问题11.2 在问题11.1的假设下，再设该种音响系统的成本函数为 ()10002000000C x x =+（1） 求利润函数P 和边际利润函数 P '；（2） 求()2000P '并对结果加以解释下面介绍微观经济学中利润最大化的两个基本法则：（1） 法则1. 利润最大化的第一个条件是产出量x 的边际收益等于其边际成本，即dR dC dx dx=； （2） 法则 2. 利润最大化的第二个条件是边际成本曲线穿过边际效益曲线。

边际函数考研真题及答案边际函数考研真题及答案在经济学中，边际函数是一个重要的概念。

它描述了某一变量随着另一变量的微小变动而引起的变化。

在考研经济学中，边际函数也是一个常见的考点。

下面我们将通过一些真题来探讨边际函数的应用和解答方法。

题目一：某企业的生产函数为Q=8K^0.5L^0.5，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。

求边际产量函数。

解答一：边际产量函数描述的是单位资本或单位劳动投入增加时，产量的变化情况。

根据生产函数，我们可以求得边际产量函数的表达式。

首先，对生产函数分别对K和L求一阶偏导数，得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 4K^-0.5L^0.5∂Q/∂L = 4K^0.5L^-0.5这就是边际产量函数的一般形式。

在具体计算时，可以将K和L的数值代入，得到具体的边际产量。

题目二：某企业的生产函数为Q=10K^0.3L^0.7，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。

求当资本投入为1时，边际产量函数的数值。

解答二：根据题目给出的生产函数，我们可以得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 3K^-0.7L^0.7∂Q/∂L = 7K^0.3L^-0.3要求当资本投入为1时，边际产量函数的数值，即∂Q/∂K的数值。

将K=1代入边际产量函数的一般表达式，得到：∂Q/∂K = 3(1)^-0.7L^0.7 = 3L^0.7所以，当资本投入为1时，边际产量函数的数值为3L^0.7。

通过这个例子，我们可以看到边际产量函数的数值与劳动投入L有关。

当L增加时，边际产量也会增加，但增加的速度会逐渐减缓。

题目三：某企业的生产函数为Q=20K^0.5L^0.5，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。

已知资本投入为10，劳动投入为16，求边际产量函数的数值。

解答三：根据题目给出的生产函数，我们可以得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 10K^-0.5L^0.5∂Q/∂L = 10K^0.5L^-0.5要求边际产量函数的数值，即∂Q/∂K和∂Q/∂L的数值。

一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。

常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。

固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。

在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。

实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数. 平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。

日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x==+≤≤==+<≤ 例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。

边际函数考研真题及答案边际函数是微积分中的一个重要概念，广泛应用于经济学、物理学等各个领域。

在考研数学中，边际函数也是一个考察的重点内容。

本文将结合考研真题，对边际函数的相关问题进行探讨，并提供详细的解答策略。

一、边际及边际函数的概念边际是指一定范围内变量变化的极小量。

在微积分中，我们可以通过导数的概念来理解边际。

对于一个函数f(x)，其边际函数f'(x)表示函数f(x)关于自变量x的变化率。

在经济学中，边际分析是指考察某一决策或行为对最终结果产生的影响。

边际函数的应用可以帮助我们理解各个决策点的效果，并做出合理的选择。

二、考研真题解析为了更好地理解和应用边际函数的概念，我们将结合考研数学真题进行解析。

【例题】（2020年考研数学一真题）设函数f(x)满足f'(x)>0，且当x<0时，f''(x)>0；当x>0时，f''(x) <0。

则函数y=f(x)的下列说法正确的是：A. 函数y=f(x)是减函数；B. 函数y=f(x)在x = 0处取得极小值；C. 函数y=f(x)在x = 0处取得最大值；D. 函数y=f(x)在x = 0处取得极大值；解析：根据题目给出的条件，我们可以知道函数f(x)在x<0时是递增的，即f'(x)>0，而在x>0时是递减的，即f'(x)<0。

因此，可以推断函数在x = 0的局部极小值点。

所以，选项B“函数y=f(x)在x = 0处取得极小值”是正确的。

由此可见，边际函数的理解和应用在解题过程中起到了关键的作用。

三、边际函数的应用1. 边际成本与边际收益在经济学中，边际成本和边际收益是常用的概念。

边际成本指的是生产单位产品时增加的总成本与增加的产量之间的比值，而边际收益是指增加一单位产品时带来的收益。

我们可以通过计算边际成本和边际收益的关系来判断是否继续生产或投资。

边际函数的名词解释边际函数是经济学中一个重要的概念，用于描述某一变量随另一变量的变化而发生的变动。

它核心的思想是，在某种限制条件下，改变一个变量会对另一个变量产生的额外效应。

边际函数通常用数学符号来表示，例如，对于一个变量X，它的边际函数可以表示为M(X)。

其中，M代表边际，X代表某一变量。

边际函数的值表示的是当变量X发生变动时，所产生的额外效应。

边际函数常用于经济学中的许多领域，包括微观经济学和宏观经济学。

在微观经济学中，边际函数经常用于分析个体行为和决策。

在宏观经济学中，边际函数则用于分析整体经济变动和政策效果。

边际函数的重要性在于它可以帮助我们理解经济中的一些关键概念和现象。

例如，边际效用就是一个常用的概念，用于解释消费者在满足一种需求后，对更多单位的此类产品的边际满足程度递减的现象。

边际效应可以帮助消费者在做出决策时权衡成本和效益，从而使他们能够更好地分配资源。

另一个例子是边际成本，它用于分析企业生产中的经济效益。

边际成本是指在产品数量增加时，为生产额外的一单位产品而增加的成本。

通过分析边际成本和边际收益之间的关系，企业可以确定最优的生产量，以最大化利润。

边际函数还在公共政策制定中起到重要作用。

通过对边际税收和边际福利的分析，政府可以评估税收或福利政策对经济体及其各组成部分的影响。

边际分析还可以帮助政府制定效率更高的税收方案和社会福利计划。

除了经济学，边际函数还在其他学科中有广泛的应用。

在数学中，边际函数和微分学有密切关系。

微分学通过对函数的边际变化率进行研究，可以帮助我们理解函数的变化趋势和特点。

除了数学和经济学，边际函数在生态学、工程学、医学等学科中也有一定的应用。

在生态学中，边际效应的研究可以帮助我们理解环境因素对生物群落和生态系统的影响。

在工程学中，边际函数可以用于优化设计和资源分配。

在医学中，边际分析可以用于评估治疗方案和药物剂量。

总之，边际函数是一种非常有用的工具，它帮助我们理解和分析经济和其他学科中的关键概念和现象。

大一高数边际函数知识点边际函数是微积分中一个重要的概念，涉及到函数的变化率和极限。

在大一高数中，学习边际函数是为了更好地了解函数的变化规律和优化问题。

本文将介绍边际函数的基本概念、性质以及应用。

一、边际函数的基本概念边际函数是函数关于自变量的变化率，表示函数在某一点的微小变化对应的因变量的微小变化。

用数学符号来表示，边际函数可以用导数表示。

以函数y=f(x)为例，如果f(x)在某一点x处存在导数，则该导数即为边际函数。

边际函数通常用dy/dx来表示。

二、边际函数的性质1. 边际函数的定义域：边际函数的定义域与原函数相同。

2. 边际函数的图像：边际函数是原函数的导数函数，其图像与原函数的图像有密切的联系。

3. 边际函数的符号：边际函数的符号与原函数相同，即当原函数增加时，边际函数为正；当原函数减小时，边际函数为负；当原函数达到极值时，边际函数为零。

4. 边际函数的应用：边际函数可以用于解决优化问题，如求函数的最大值、最小值等。

三、边际函数的应用举例1. 边际收益/成本在经济学中，边际收益/成本是指当产量（数量）每增加一个单位时，相应的收益/成本的变化。

边际收益/成本可以用边际函数表示，帮助决策者了解产品的生产优化问题。

例如，某企业生产某商品，销售价格为P，生产数量为x，总收益可以表示为R(x)=xP。

边际收益即为边际函数MR(x)=dR(x)/dx=P。

2. 边际利润在管理学中，边际利润是指当产量每增加一个单位时，相应的利润的变化。

边际利润可以用边际函数表示，帮助企业家进行生产决策和资源配置。

例如，某企业的生产成本可以表示为C(x)=a+bx，其中a为固定成本，b为单位产品成本。

总利润可以表示为π(x)=R(x)-C(x)。

边际利润即为边际函数m(x)=dπ(x)/dx=d(R(x)-C(x))/dx。

3. 边际效用在经济学和福利经济学中，边际效用是指当消费某种商品或服务每增加一个单位时，对总效用的增加量。

经济学中常见的边际函数第三章导数微分边际与弹性第6节边际与弹性一、边际成本经济学中常见的边际函数1、边际成本QQ C Q Q C Lim Q C Lim Q C Q C Q Q ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()()()(00的导数总成本函数1)边际成本2)边际平均成本：2()()()()()C Q C Q QC Q C Q C Q Q Q ''⎡⎤-'==⎢⎥⎣⎦平均成本的导数称为边际平均成本.)()()()(1010Q C C Q C Q C C Q C +=即：之和，与可变成本等于固定成本总成本而边际成本则为：)(])([)(110Q C Q C C Q C '='+='这样可以看出，边际成本与固定成本无关．例2 设某产品生产Q 单位的总成本为12001100)(2Q Q C +=，求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本；(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；(3)生产900个单位的边际成本，并解释其经济意义.解(1)生产900个单位时的总成本为177512009001100)(2900=+==Q Q C平均成本为99.19001775)(900===Q Q C （2）生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为58.1100177519939001000)900()1000()(=-=--=∆∆C C Q Q C 5.1)(900,60012002)()3(900='==='=Q Q C Q Q Q Q C 时的边际成本当边际成本函数二、边际收益经济学中常见的边际函数2、边际收益定义：.)()()()(00称为边际收益函数的导数总收益函数QQ R Q Q R Lim Q R Lim Q R Q R Q Q ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()()()()()(Q P Q Q P Q R Q P Q PQ Q R Q P P P '+='⋅===，，因此为价格，设例3 设某产品的需求函数为520Q P -=，其中P 为价格，Q 为销售量，求销售量为15个单位时的总收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解520)(2Q Q Q Q P R -==总收益为1715255)(1515=====Q Q Q Q R R 平均收益255)520(1515215=-===Q Q Q Q R 总收益个单位时销售1352553201520)15()20(2015=-=--=∆∆R R Q R 化率为个单位时收益的平均变个单位增加到当销售量从15152((20)145Q Q R Q Q =='=-=边界收益）解)60(10)(2≤≤==-Q Qe PQ Q R Q 收益函数)60()2(5)(2≤≤-='-Q e Q Q R Q 边际收益函数和边际函数．．求该商品的收益函数为为价格，且最大需求量为需求量，，其中的需求函数为商品商品投放市场，已知该当某厂家打算生产一批例610)( 4.2P Q e Q P P Q -==三、边际利润经济学中常见的边际函数3、边际利润定义：.)()()()(00称为边际利润的导数总利润函数QQ L Q Q L Lim Q L Lim Q L Q L Q Q ∆-∆+=∆∆='→∆→∆边际利润表示：若已经生产了Q 单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．⎪⎩⎪⎨⎧<=>'⎪⎩⎪⎨⎧'<'='>''-'='-=000)(,)()()()(,,)()()(),()()(Q L Q C Q C Q C Q R Q C Q R Q L Q C Q R Q L 时与边际成本决定边际利润可由边际收入显然则边际利润为之差．即与总成本函数等于总收益函数数一般情况下，总利润函)()()(Q C Q R Q L则边际利润为,10250)(Q Q L -='50)20()(20='='=L Q L Q 0)25()(25='='=L Q L Q 100)35()(35-='='=L Q L Q 上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高.例5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分析后，得出总利润)(Q L (元)与每月产量 Q (吨)的关系为25250)(Q Q Q L L -==，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润，并做出经济解释．解四、边际需求经济学中常见的边际函数4、边际需求定义[]'='-)(1)(1Q f P f 显然，()().Q f P Q PdQ f P dP='= 若是需求函数，则需求量对价格的导数称为边际需求函数解它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.例6 某商品的需求函数为275)(P P Q Q -==，求4=P时的边际需求，并说明经济意义． 4()2,4()8P dQ Q P P P dPQ P ='==-='=-当时的边际需求为谢谢THANK YOU。

边际函数山东 李燕在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，即函数()y f x =在00()x x x +∆，内的平均变化率为y x∆∆,如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：0000()()lim ()x f xx f x f x x ∆→+∆-'=∆．在经济学中,一个经济函数()f x 的导数()f x '称为该函数的边际函数．()f x 在点0x x =处的导数()f x '称为()f x 在点0x x =处的变化率，也称为()f x 在点0x x =处的边际函数值．它表示()f x 在点0x x =处的变化速度． 现设()y f x =是一个可导的经济函数，于是当x ∆很小时，()()()()()f x x f x f x x o x f x x ''+∆-=∆+∆≈∆．特别地，当1x ∆=或1x ∆=-时，分别给出0(1)()()f x f x f x '+-≈或()(1)()f x f x f x '--≈．因此边际函数值0()f x '的经济意义是:经济函数()f x 在点0x x =处，当自变量x 再增加1个单位时,因变量y 的改变量的近似值，或近似于经济函数值0()f x 与0(1)f x -之差．但在应用问题中解释边际函数的具体意义时，常略去“近似"两字．例 设函数2y x =,试求y 在5x =时的边际函数值． 解:因为2y x '=，所以510x y ='=|．该值表明:当5x =时，x 改变一个单位（增加或减少一个单位)，y 约改变10个单位（增加或减少10个单位）．下面介绍经济学中常用的几个边际概念．1．边际成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成．平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本．边际成本是总成本的变化率．在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数．设总成本函数()C C Q =,Q 为产量， 则平均成本函数为()()CQ C C Q Q ==，生产Q 个单位产品时的边际成本函数为()C C Q ''=．0()C Q '称为当产量为0Q 时的边际成本．西方经济学家对它的解释是:当生产0Q 个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产0Q 个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本．这两种理解均算正确．2．边际收益和边际利润总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入,即单位商品的售价．边际收益为总收益的变化率．总收益、平均收益、边际收益均为销售量的函数．设P 为价格,Q 为销售量，则总收益函数为:()R R Q Q P ==·，若需求函数为()P P Q =，则总收益函数为()()R R Q QP Q ==·， 故平均收益函数为()()()()RQ Q P Q R R Q P Q Q Q====·， 即价格()P Q 可视作从需求量（这里需求量即为销信量）Q 上获得的平均收益．边际收益为()(())()()R R Q QP Q Q P Q P Q ''''===+··． 0()R Q '的经济意义为:0()R Q '表示销售量为0Q 个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品时收益的改变量．由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为L ，则总利润函数为()()()L L Q R Q C Q ==-(其中Q 为商品量),那么边际利润函数为()()()L L Q R Q C Q ''''==-．它的经济意义是：0()L Q '表示销售量为0Q 单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量．。

高数边际函数复习题一、选择题1. 边际函数是指函数的导数，它表示函数值随自变量变化的快慢。

以下哪个选项正确描述了边际函数？A. 边际函数是一个常数B. 边际函数是函数的反函数C. 边际函数是函数的二阶导数D. 边际函数是函数的一阶导数2. 如果函数 \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，那么它的边际函数是什么？A. \( 2x + 3 \)B. \( x^2 + 3 \)C. \( x + 2 \)D. \( 3x + 2 \)3. 边际函数的几何意义是什么？A. 曲线在一点的切线斜率B. 曲线在一点的法线斜率C. 曲线在一点的截距D. 曲线在一点的面积二、填空题4. 函数 \( g(x) = sin(x) \) 的边际函数是 _________ 。

5. 如果 \( h(x) = e^x \)，那么 \( h'(x) \) 等于 _________ 。

6. 函数 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 的边际函数是 _________ 。

三、简答题7. 请解释边际函数在经济学中的应用。

8. 边际函数与函数的增减性有什么关系？四、计算题9. 计算函数 \( f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 5x - 3 \) 的边际函数，并求 \( f'(2) \) 的值。

10. 已知 \( p(t) = 3t^4 - 5t^3 + 7t^2 - t + 2 \)，求 \( p'(t) \) 并解释其在 \( t = 1 \) 时的经济意义。

五、应用题11. 假设一个公司生产某商品的总成本函数为 \( C(x) = 100 + 30x + 0.5x^2 \)，其中 \( x \) 表示生产数量。

求该商品的边际成本函数，并计算在 \( x = 10 \) 时的边际成本。

12. 某工厂生产产品的利润函数为 \( P(x) = -2x^3 + 150x^2 -600x + 2000 \)，求该利润函数的边际函数，并分析当 \( x = 5 \) 时的边际利润。