导数与微分第六节 经济活动中的边际分析与弹性分析

导数在经济分析中的应用一、 边际分析与弹性分析1、边际分析例1 某小型机械厂主要生产某种机器配件，其最大生产能力为每日100件，假设日产品的成本C （元）是日产量x （件）的函数求：（1）日产量为75件时的成本和平均成本；（2）当日产量由75件提高到90件时，成本的平均增量；（3）当日产量为75件时的平均成本。

例 2 设某糕点厂生产某种糕点的成本函数和收入函数分别是2()10020.02C x x x =++和2()70.01.R x x x =+ 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。

2、弹性例3 某日用消费品的需求量Q （件）与单价p （元）的函数关系为求：（1）需求的价格弹性函数；（2）当单价为4元，5元时的需求弹性。

二、函数最值在经济中的应用1、平均成本最小例4 某工厂生产产量为x （件）时，生产成本函数（元）为问该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出最小平均成本和边际成本.2、最大利润例5 某商家销售某种商品的价格满足关系70.2(/)p x =-万元吨，且x 为销售量（单位：吨），该商品的成本函数为()31C x x =+（万元）。

（1） 若每销售1吨商品政府要征税t （万元），求该商家获得最大利润时的销售量；（2） t 为何值时，政府税收总额最大。

3、最佳批量和批数例6 某厂年需某种零件8000个，需分期分批外购，然后均匀投入使用（此时平均库存量为批量的一半）。

若每次订货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元。

试求最经济的订货批量和进货批数。

4、最佳时间决策例7 某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定0t =）就出售，售价为0R 元. 如果窖藏起来待将来按陈酒价格出售（假设不计储藏费），那未来收入就是时间t 的函数0R R =设资金的贴现率为r ，并以连续复利计息，为使收入的现值最大，应在何时出售这批酒？ 习题1、 设某产品的价格和销售量的关系为105Q p =-. （1） 求需求量为20和30时的收益R ，平均收益R 和边际收益R '；（2） 当Q 为多少时，收益最大？2、 设某商品的需求量Q 对价格p 的函数为250000p Q e-=。

一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。

而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。

1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。

用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。

不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。

平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。

而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。

例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。

类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。

天津外国语大学国际商学院本科生课程论文（设计）课程名称：宋体四号字居中论文题目：边际分析和弹性分析在经济中的应用姓名：宋体四号字居中学号：专业：年级：2012级班级：12707班任课教师：20 年月内容摘要数学在整个经济发展中起着重要的作用，从一般模型的建立到公式的推导、定理的验证，涉及到了大量的数学知识，尤其是导数的应用。

导数作为经济中常用的工具，在经济学领域有着丰富的实际背景和广泛的应用。

本文通过导数在经济领域中的成功应用，以边际分析、弹性分析问题为主，加深如何运用导数知识去分析、解决经济中的问题的理解，旨在拓宽人们分析问题的思路。

使我们可以从数学的角度得出结论，又可以在经济的理论上得到合理解释，从而达到为企业经营者科学决策提供依据的目的。

关键词：导数；经济学；边际分析；弹性分析目录一引言 (1)二边际分析 (1)（一）边际基本定义 (1)（二）边际理论的应用模型 (2)三弹性分析 (3)（一）弹性基本定义 (3)（二）需求弹性 (3)（三）弹性应用于经济学的实际意义 (4)四结论 (6)参考文献 (7)边际分析和弹性分析在经济中的应用一 引言导数是求解经济问题的最常用的工具，利用导数求解经济问题的关键在于深刻理解与掌握经济领域中的变化率问题，而其中最典型的是“边际”与“弹性”的概念。

以下我们将主要对边际分析和弹性分析以及其在经济学的应用探究。

二 边际分析（一）边际基本定义边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率。

利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法。

边际概念表示，当x 的改变量△x 趋于0时，y 的相应改变量△y 与△x 的比值△y/△x 的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化。

用数学语言表达为：设函数y= f(x)在(a ， b)内可导，则称导数)('x f 为f(x)在(a ，b)内的边际函数；在0x 处的导数值)(0'x f 称为f(x)在0x 处的边际值。

经济学中常见的弹性函数第三章 导数 微分 边际与弹性第6节边际与弹性一、需求弹性经济学中常见的弹性函数1、需求的价格弹性需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为.0QP dP dQ Q P P Q Lim E p P ⨯=⨯∆∆=→∆注因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。

另外，在实际应用中，也常用符号表示。

η例7解100-=dPdQ 100020==Q P 时，当.2100020100-=⨯-=P E 所以时的弹性．当，求某需求曲线为：203000100=+-=P P Q从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：(1)0().a 需求的价格弹性等于．也就是说，这种商品完全没有弹性，不管价格如何变化，其需求量都不发生变化．这种商品的需求曲线的图形是一条垂直的直线图(2).b 需求的价格弹性为无穷大．它表明商品在一定价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把价格稍微提高一点点，就可能一个也卖不掉．这种商品的需求曲线为一条水平的直线（图）(3)1()c 单元弹性即需求曲线上各点的弹性均为，也就是说，在任何价格水平下，价格变动一个百分比时，需求量均按同样的百分比变化．这种商品的需求曲线是一条双曲线图．(4)()()()0()111d A EP B EP M EP AM EP MB EP =∞==><需求曲线是一条倾斜的直线图．在其上端点，　；在其下端点，　；需求曲线的中点，　；需求曲线的部分，　称之为弹性需求；需求曲线的部分，　称之为非弹性需求．二、供给弹性经济学中常见的弹性函数2、供给弹性定义：，则供给弹性弹性．设价格曲线通常指的是供给的价格)(P f Q =供给的价格弹性．　，　式中：--⨯=P P E QP dP dQ E解：.323,3PP Q P dP dQ E dP dQ P +=⨯==故时，当3=P .11933233=⨯+⨯=P E 823,3.Q P P =+=例设某产品的供给函数求供给弹性函数及当时的供给弹性三、收益弹性经济学中常见的弹性函数.－－收益的销售弹性EQER 3、收益弹性R P dP dR EP ER ⨯=RQ dQ dR EQ ER ⨯=收益的价格弹性；式中：--EPER912.P Q R ER EP ER EQdR P Q dP dR dQηη例设、、分别为销售总收益、商品价格和销售量，（）试分别找出收益的价格弹性，收益的销售弹性与需求的价格弹性之间的关系；（）试分别解出关于价格的边际收益，关于价格的边际收益与需求的价格弹性之间的关系解故，设,)()1(PQ R P f Q ==)(1)()(dP dQ P Q Q dP PQ d PQ P EP PQ E EP ER +=⋅==η-=⋅--=⋅+=1)(11dPdQ Q P dP dQ Q P dQPQ d P dQ PQ d PQ Q EQ PQ E EQ ER )(1)()(⋅=⋅==η1111)(1-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=+=dP dQ Q P dQ dP Q P P，故知由η-=1)1()2(EP ER 得,1η-=⋅=⋅=dPdR PQ P dP dR R P EP ER (1)()(1)dR Q f P dP ηη=-=-，故又由η11)1(-=EQ ER 得η11-=⋅=⋅=dQ dR PQ Q dQ dR R Q EQ ER 1(1)dR P dQ η=-需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系 当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入； 当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销售收入此时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，边际收益小于0，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少； 当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，总收益不变．解22275275)2()1(P P P P P Q P dP dQ -=-⨯--=⨯-=η54.04==η时，P %54.0)(%1)(4增加，需求量减少下降价格上涨时，其经济意义是=P)1()1()1(ηηη-=-=-=PR P QP Q dP dR 由η-==1dPdR R P EP ER 即46.0)4(14=-==ηP EP ER 故%46.0%1时，总收益增加即当价格上涨（2）解法一（2）解法二)11()11()11(ηηη-=-=-=Q R Q PQ P dQ dR 由η11-==dQ dR R Q EQ ER 即)%54.011(4-==P EQ ER 故%46.0)%54.011(54.0,%1=-⨯总收益增加时则当价格上涨公式计算出来？再用收益的价格弹性的写出收益函数考虑：此题是不是可以)75(2P P PQ R -==THANK YOU。