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授课内容 导数和极值知识梳理【知识点梳理】 1.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 2.求极值的步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点； ④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
题型一、图像结合极值1、函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、函数()f x 的导函数图象如下图（1）所示，则函数()f x 在图示区间上（ ） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点O yx21Oyx（1） （2） 3、己知函数()32f x ax bx c=++，其导数()f x '的图象如图（2）所示，则函数()f x 的极小值是（ ）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c4、如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是（ ） A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数B ．在（1,3）上)(x f 是减函数C ．在（4,5）上)(x f 是增函数D ．当4=x 时，)(x f 取极大值5、如果函数()yf x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增；②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是__________．题型二、不含参函数的极值例1、函数331x x y -+=的极大值，极小值分别是（ ）A. 极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值C. 极小值-2，极大值2 D. 极小值-1，极大值练习1、函数x x x f ln 2)(2-=的极小值为例2、已知函数)(x f 的导数为x x x f 44)(3-='，且图象过点（0，-5），当函数)(x f 取得极大值-5时，x 的值应为 （ ）A. –1B. 0C. 1D. ±1练习1、三次函数当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A.x x x y 9623-+-= B.x x x y 9623+-= C.x x x y 9623--= D. x x x y 9623-+=题型三、含参函数的极值例1．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5练习1、函数223)(a bx ax x x f +--=,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为 （ ）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正确练习2、已知函数24362)(23-++=x ax x x f 在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ） A.(2,3) B.(3, +∞) C.(2, +∞) D. (－∞,3)练习3、若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =例2、若函数b bx x x f 33)(3+-=在（0，1）内有极小值，则 （ ）A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<21练习1、若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 没有极值，则a 的取值范围为 .练习2、已知函数1)6()(23++++=x m mx x x f 既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是 练习3、已知x ax x x f 4)(23+-=有两个极值点21,x x ，且)(x f 在区间)1,0(上有极大值无极小值，则a 的取值范围是例3、设R a ∈，函数R x x e y ax ∈+=,3有大于零的极值点，则（ ）A.3->aB.3-<aC.31->aD.31-<a练习1、已知函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点，则实数a 的取值范围是例4、设函数)0(3)(23>+++=a d cx bx x a x f ，且方程09)(=-'x x f 的两个根分别为1,4. (1)当3=a 且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．练习1、已知函数2)(23+++=x ax x x f ．（Ⅰ）若1-=a ,令函数)(2)(x f x x g -=,求函数)(x g 在)2,1(-上的极大值、极小值；（Ⅱ）若函数)(x f 在),31(+∞-上恒为单调递增函数,求实数的取值范围．专题精讲【知识点梳理】1.最值：在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
【高三】第十四章极限与导数(高中数学竞赛标准教材)第十四极限与导数一、基础知识1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈n时，恒有un-a<ε成立（a为常数），则称a为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=a表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为a，称右极限。
类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2.极限的四种运算：如果f（x）=a，G（x）=B，那么[f（x）±G（x）]=a±B，[f（x）G（x）]=AB，3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4.最大值和最小值定理：如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在[a，b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量δx时（δx充分小），因变量y也随之取得增量δy(δy=f(x0+δx)-f(x0)).若存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作(x0)或或，即。
由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条。
若f(x)在区间i上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处切线的斜率。
6.几个常用函数的导数：（1）=0（C是常数）；（2）（a是任何常数）；（3）(4);(5); (6); （7）；（8）7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则（1）（2）；（3）（C是常数）；（4）；（5）。
8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)]=.9.导数和函数的性质：（1）如果f（x）在区间I上是可微的，那么f（x）在区间I上是连续的；（2）如果所有x都有∈ （a，b），然后f（x）在（a，b）中单调增加；（3）如果所有x都有∈ （a，b），那么f（x）在（a，b）中单调递减。
第十二章 极限和导数一、数学归纳法：1、数学归纳法的步骤：“两步一结论”.2、数学归纳法的应用：主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式.3、重要的数学思想和方法：“归纳—猜想—证明”. 习题：① 用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L .②<*(N )n ∈ ③ 已知数列{}n a 满足2n n S n a =-，求n a .二、极限1、数列极限：（1）公式：lim n C C →∞=（C 为常数）；1lim 0p n n →∞=（p>0）；0 1lim 1 1 11n n q q q q q →∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或.（2）运算法则：若数列{}n a 和{}n b 的极限都存在，则{}n a 和{}n b 的和、差、积、商的极限等于{}n a 和{}n b 的极限的和、差、积、商.例题：① 将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞= .② 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→ ．习题：① 135(21)lim(21)n n n n →∞++++-=+L .② 设0<a <b ，则4lim nn nn b a b →∞-=_ ____.③ 若(1)1lim 2n a n n a∞++=+→，则a = ．④n 等于 ．⑤ 数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞＝________. ⑥ 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim nn na S →∞= .2、函数极限：（1）公式：lim x C C →∞= （C 为常数）；1lim0p x n →∞= （p>0）； 0 1lim 1 111x x a a a a a →+∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或；0 1lim 1 1 11x x a a a a a →-∞⎧>⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或. （2）运算法则：若函数()f x 和)(x g 的极限都存在，则函数)(x f 和)(x g 的和、差、积、商的极限等于)(x f 和)(x g 的极限的和、差、积、商.习题：① 211lim______34x x x x →-=+-；2241lim()42x x x→--=-+ . ② 已知22lim 7x ax cx bx c →∞+=+，lim 5x bx ccx a→∞+=+，且0bc ≠，则22lim x ax bx c cx ax b →∞++=++ . ③ 222sin lim(tan )cos x xx xπ→-= .3、函数的连续性：函数)(x f 在0x x =处连续的充要条件是00lim ()()x x f x f x →=.习题：① 已知函数2 3 ( 0 )() (0 )x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩在x =0处连续，则a = .② 已知2 3 , 1() 2 , 1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是 （ ）（A ）()f x 在1x =处连续 （B ）(1)5f = （C ） 1lim ()2x f x -→= （D ） 1lim ()2x f x →= ③ 若21lim()111x a bx x→-=--，则常数b a ,的值分别为 .三、导数1、导数的概念：（1）导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的导数/0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆.（2）导数的几何意义：曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的切线的斜率为/0()f x .因此曲线()y f x =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为/000()()()y f x f x x x -=-.（3）导数的物理意义：若质点运动的位移函数为S =s (t ),则0t t =时质点运动的瞬时速度是0'()s t . 例题：① 若000(2)()lim 13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 若曲线12y x-=在点12(,)a a-处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = .③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()y S t '=的图像大致为④ 已知曲线314()33f x x =+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2) 求曲线过点(2,4)P 的切线方程. ⑤ 求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值.习题：① 若000()()lim1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 运动曲线方程为2212t S t t-=+，则t=3时的速度是 .③ 已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是④ 曲线221xy x =+在点（1，1）处的切线方程是 . ⑤ 已知点P 在曲线y=41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .2、导数的运算：（1）常见函数的导数：'0C =；1()'n n x nx -=；(sin )'cos x x =；(cos )'sin x x =-.1(ln )'x x =；1(log )'log a a x e x=；()'x x e e =；()'ln x xa a a =. （2）导数的四则运算法则： '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()C u x C u x '⋅=⋅；'2()'()()()'()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦.（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y =f (μ)，μ=f (x )；然后将已知函数对中间变量求导(')y μ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求''x y μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数习题：① 若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-= .② 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()0f '= . ③ 求下列函数的导数：（1）11x y x -=+(1)x > （2）421y x =+3、导数的应用：（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求()f x '；()f x '>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；()f x '<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.例题：① 函数2()xf x x e -=的单调递增区间为 . ② 已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥，求f (x )的单调区间. ③ 若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.④已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.习题：① 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . ② 若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是 .③ 已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 .④ 求函数3211()(1)32f x x a x ax b =-+++（,R a b ∈）的单调性. ⑤ 是否存在这样的k 值，使函数243221()232f x k x x kx x =--++在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增（2）求函数的极值：求导数()f x '；求方程()f x '=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值.例题：① 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值，求f （x ）的极大值和极小值. ② 函数f （x ）=x 3－6bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围为 . ③ 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围.习题：① 已知函数()f x =x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则(2)f =______② 设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+，求()f x 的极值. ③ 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的极值.（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求()f x 在(,)a b 内的极值；将()f x 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数()f x 在[],a b 上的最值.例题：① 函数32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 .② 求抛物线212y x =上与点)0,6(A 距离最近的点. ③ 设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.习题：① 用总长148 m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.②设1()1xxa f x a +=-(a >0且1)a ≠，g (x )是f (x )的反函数.当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)a tg x x x >--成立，求t 的取值范围.（4）证明不等式： 例题：① 当0＜x ＜2π时，证明： 2πx ＜sin x ＜x . ② 设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R .求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+.习题：求证不等式：)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x .（5）讨论方程的根的情况：利用数形结合法，方程()0f x =的根就是函数()y f x =和x 轴的图象交点的横坐标.例题：① 函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间［1，2］上的根有 个. ② 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．习题：设函数329()62f x x x x a =-+-，且方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．第十三章 复 数一、复数的有关概念1、复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部. 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.2、复数的分类：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数.3、共轭复数：复数z =a +b i 和z =a －b i(a 、b ∈R )互为共轭复数.4、复数相等的充要条件：a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d .5、复数的几何意义：复数和复平面内的点一一对应.二、复数的运算1、复数的加法：(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的减法：(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3、复数的乘法：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . （类似两个多项式相乘.）4、复数的除法：()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++-2222ac bd bc ad i c d c d+-=+++.（分母实数化.） 5、运算性质：（1）i 幂的周期性：i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i,，i 4n =1.（2）22()()a bi a bi a b +-=+.（3）22(1)2; (1)2i i i i +=-=.习题：1、计算(2+i)+(3+i 3)+(4+i 5)+(5+i 7)(其中i 为虚数单位)的值是 .2、复数3223i i +=- ；41i ()1i+-= . 3、在复平面内，复数21i i -对应的点的坐标为 . 4、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z =_______.5、已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= .6、设x 、y ∈R ，且i 1-x －i 21-y =i315-，则x +y =________. 7、在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2-+-+=所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 .8、设a ∈R ，z ∈C ，且2222z a z a-+是纯虚数，则x 、y 应满足的关系是 . 9、设z 是虚数，ω=z +z1是实数，且－1＜ω＜2. （1）求z 的实部的取值范围；（2）设u =z z+-11，求证：u 为纯虚数；（3）求ω－u 2的最小值.。
高中数学极限与导数【讲义】极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|< ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)?g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ??→?0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
专题 极限、连续与导数【高考导航】了解函数极限的定义必须紧扣以下两点：一、明确自变量的变化条件，二、分析函数值的变化趋势。
求函数的极限，关键要通过变形将较复杂的极限转化为基本极限公式、两个重点的极限公式，并灵活应用极限的运算法则。
理解函数在x 0处的连续性，关键要把握函数在x 0处的极限与函数在x 0函数值的相等关系；理解函数在[a,b]上连续的性质(重点是最大(小)值的性质)，要重点结合初等函数的连续性来分析。
对函数的导数关键要用应用求导法判断函数的单调性、求函数的最大值（或最小值），并运用导数的知识解决有关实际问题。
【真题回访】1、若f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤++0,0,12x e x a x x 在(-∞,+∞)连续，则a= 。
【解】e2、8)2()3()1(502397lim =+++∞→x ax x x ，则a 的值为(C) A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 3、设f(x)=lncosx ，则f /(3π)= 。
【解】-34、下列命题错的是(A)A) 函数f(x)在点x 0连续,则)(x f 在点x 0可导 B) 函数f(x)在点x 0连续,则)(lim 0x f x x →存在C)有限个无穷小的代数和是无穷小D) 在自变量的同一变化过程中,若f(x)是无穷大,则)(1x f 是无穷小 5、若24)(lim e xk x xx =+∞→，则实数k= 。
【解】21 6、 设函数f(x)在点x 0可导,则f /(x 0)=0是f (x)在点x 0取得极值的(C) A) 充分不必要条件 B) 充分必要条件 C) 必要而不充分条件 D) 既不充分也不必要条件7、设函数f(x)=ax 2+b 与g(x)=31x 3+cx 的图像都经过点P(3,0)，且两曲线在点P 处有相同的切线。
1)求实数a,b,c 的值；2)设F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调递减区间。
【解】1) 根据题意有：f /(3)=g /(3) ∴2a ⨯3=31⨯3⨯32+c ∴6a-c-9=0 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==--033)3(09)3(096c g b a f c a ∴a=34,b=-12,c=-1,2) F(x)=31x 3+34x 2-x-12 ∴ F /(x)= x 2+38x-1<0 ∴-3<x<31 ∴F(x)的单调递减区间为[-3，31]。
极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)•g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3）;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x xa log 1=；（8）.1)'(ln xx =7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ⋅=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）)()()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。
8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ.9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<x f ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x 0处可导，且在x 0处取得极值，则.0)('0=x f11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x 0邻域(x 0-δ,x 0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x 0)时0)('≤x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若当x ∈(x 0-δ，x 0)时0)('≥x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x 0的某领域(x 0-δ,x 0+δ)内一阶可导，在x=x 0处二阶可导，且0)('',0)('00≠=x f x f 。
（1）若0)(''0>x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0<x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf[证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。
14．Lagrange 中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使.)()()('ab a f b f f --=ξ[证明] 令F(x)=f(x)-)()()(a x ab a f b f ---,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使)('ξF =0，即.)()()('ab a f b f f --=ξ 15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,0)(''>x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,0)(''<x f ,则y=f(x)在I 内是上凸的。
通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn ∈R +，α1+α2+…+αn =1。
（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x 1,x 2,…,x n ∈[a,b]有f(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )≤a 1f(x 1)+a 2f(x 2)+…+a n f(x n ). 二、方法与例题 1．极限的求法。
例1 求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n ；（2）)0(1lim >+∞→a a a n n n ； （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→ 例2 求下列极限：（1）∞→n lim (1+x)(1+x 2)(1+22x )…(1+nx 2)(|x|<1)；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31；（3）x x x x +---→131lim 21。
2．连续性的讨论。
例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x ∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。
[解] 当x ∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t ，则x=t-1，当x ∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t ∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，当x ∈[1,2)时，令x+1=t ，则当t ∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈--.3,2,)3)(2(4;2,1,)2)(1(222x x x x x x 所以 0)3)(2(4lim )(lim ,0)2)(1(2lim )(lim 222222=--==--=+→+→-→-→x x x f x x x f x x x x ，所以-→2lim x f(x)=+→2lim x f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
例4.求过（2,0）的函数1y=x的切线方程4．导数的计算。
例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）xx x x y -+=352；（3）y=e cos2x；（4）)1ln(2-+=x x y ；（5）y=(1-2x)x(x>0且21<x )。
5．用导数讨论函数的单调性。
例6 设a>0，求函数f(x)=x -ln(x+a)(x ∈(0,+∞))的单调区间。
6．利用导数证明不等式。
例7 设)2,0(π∈x ，求证：sinx+tanx>2x.7.利用导数讨论极值。
例8 设f(x)=alnx+bx 2+x 在x 1=1和x 2=2处都取得极值，试求a 与b 的值，并指出这时f(x)在x 1与x 2处是取得极大值还是极小值。
利用导数证明不等式一、用函数的单调性证明不等式：我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）．因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的．即把证明不等式转化为证明函数的单调性． 一般方法：构造辅助函数→判定单调性→得所证不等式． 基本依据：若()f x 在(,)a b 内单增⇒()()()f a f x f b <<； 若()f x 在(,)a b 内单减⇒()()()f b f x f a <<．具体有如下几种形式：1．由欲证形式直接构造构造“形似”函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立．【例1】当0x >时，求证；2ln(1)02x x x --+<．【针对练习1】求证：当(1,)x ∈+∞时，3221ln 032x x x -->．2．由欲证形式做恒等变形作差或作商，变成初等函数四则运算的形式，若变量没有x ，将其中一个常数改为x ），则另一端即为所求作的辅助函数()F x ，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等 式的目的．【例2】求证：当),0(+∞∈x 时，2ln(1)2(1)x x x x +<-+．点评：一般的，用导数证明不等式时要注意所构造的函数在区间端点处是否连续，即是否要补充函数在端点处的定义；另外要注意用到一个结论：设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，在区间(,)a +∞内可导，且()0f x '>，又()0f a ≥，则x a >时，()0f x >．【针对练习2】求证：当(0,)x π∈时，sin x x <．【例3】当)1,0(∈x 时，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．【针对练习3】求证：当),0(+∞∈x 时，2112xe x x ->+．【例4】求证：当0x π<<时，sin2x x π>．．【例5】求证：当b a e >>时，b a a b >．（常数不等式一般化为函数不等式证明）【针对练习4】证明：当1x>时，2ln (1)ln ln(2)x x x +>+．3．通过换元后作差构造函数证明不等式．【例6】（07山东）证明：对任意的正整数n ，不等式23111ln(1)n n n+>-都成立．【针对练习5】若(0,)x ∈+∞，求证：111ln 1x x x x+<<+．4．利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式． 【例7】求证：当n N *∈，3n ≥时，221n n >+．【针对练习6】当0x >，01a <<时，证明：1a x ax a -≤-．【例8】（07安徽）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >， 且2253ln 2b a a a =-，求证：()()f x g x ≥．【针对练习7】已知函数()ln(1)f x x x =+-，求证：当1x >-时，恒有11ln(1)1x x x -≤+≤+．【例9】已知31()3f x x x =-，1x ，2[1,1]x ∈-时，求证：12|()()|f x f x -43≤．【针对练习8】证明：若1p >，对于[0,1]中的任意x 都有11(1)12p pp x x -≤+-≤．二、用中值定理证明不等式：1．利用拉格朗日中值定理：若()f x 满足以下条件：（1）)(x f 在闭区间],[b a 内连续；（2）)(x f 在开区间),(b a 上可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．一般方法：构造辅助函数→据拉格朗日中值定理得等式→由ξ的范围确定()f ξ'范围得所证不等式．【例1】证明不等式：ln b a b b ab a a --<<(0)a b <<． 分析：把不等式可以改写成11()ln ln ()b a b a b a b a-<-<-，可见中项是函数ln x 在区间[,]a b 两端值之差，而()b a -是该区间的长度，于是可对ln x 在[,]a b 上使用拉格朗日中值定理．证明：设()ln f x x =，则1()f x x'=．在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在(,)a b 上存在ξ，使得()()1()f b f a f b a ξξ-'==-，即ln ln 1b a b a ξ-=-． 又因111b aξ<<，于是有1ln ln 1b a b b a a -<<-，即ln b a b b a b a a --<<．【针对练习1】设0a b <<，证明：22ln ln 2b a ab a a b ->-+．证明：设()ln f x x =，则1()f x x'=．在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在(,)a b 上存在ξ，使得()()1()f b f a f b a ξξ-'==-，即ln ln 1b a b a ξ-=-．∵222a b ab +≥，∴2212a b a b ≥+，又因11b ξ<，于是有22ln ln 2b a a b a a b ->-+． 【针对练习2】设2e a b e <<<，证明：2224ln ln ()b a b a e->-．证明：令2()ln f x x =，则2ln ()x f x x'=．在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在(,)a b 上存在ξ，使得()()2ln ()f b f a f b a ξξξ-'==-， 即22ln ln ln 2b a b a ξξ-=⋅-，2(,)(,)a b e e ξ∈⊂． 再令ln ()x g x x =2()e x e <<，1ln ()0xg x x-'=<， ∴()g x 单调递减，222()()g g e e ξ>=，从而2ln 42eξξ⋅>， ∴原不等式2224ln ln ()b a b a e->-成立.说明：也可令2224()ln ln ()f x x a x a e =---，2()e a x e <<<，证()0f x >．【例2】若0y x <<，1p >，则11()()p p p p py x y x y py x y ---<-<-．分析：∵0y x <<，则原不等式等价于11p pp p x y py px x y---<<-)1(>p ．令()pf t t =，则我们容易联想到Lagrange 中值定理()()()()f x f y f x y x yξ-'-=-．证明：设()p f t t =，则1()p f t pt -'=．在(,)y x 上满足Lagrange 中值定理的条件，故(,)y x ξ∃∈，使得()()()f x f y f x y ξ-'=-，即1p p p x y p x y ξ--=-．∵(,)y x ξ∈，y x ξ<<，∴111p p p py p px ξ---<<，∴11()()p p p p py x y x y py x y ---<-<-．【针对练习3】（13湖北理）设n N *∈，r 为正有理数．证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++．证明：1()r f x x +=，x N *∈，r 为正有理数，则()(1)rf x r x '=+．在区间[,1]n n +上满足拉格朗日中值定理的条件，故在(,1)n n +上存在ξ，使得(1)()()(1)1r f n f n f r n nξξ+-'==++-， 即11(1)(1)r r rn n r ξ+++-=+，∴11(1)1r r r n n r ξ+++-=+． 又∵(,1)n n ξ∈+，r 为正有理数，∴r rn ξ>，∴11(1)1r r r n n n r +++-<+．同理可证11(1)1r r r n n n r ++--<+，∴1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++．【例3】证明：当0x>时，ln(1)1xx x x <+<+． 分析：注意到ln10=，可构造函数的改变量ln(1)ln1x +-，则相应自变量的改变量为(1)1x x +-=，所证不等式等价于1ln(1)ln111x x x+-<<+，可考虑用拉格朗日中值定理，导数入手即可证明． 证明：令()ln f x x =，则1()f x x'=．在区间[1,1]x +上满足拉格朗日中值定理的条件．故在(1,1)x +上存在ξ，使得(1)(1)1()11f x f f x ξξ+-'==+-，即ln(1)ln11x x ξ+-=，∴ln(1)1x x ξ+=．由于1111x ξ<<+，∴1ln(1)11x x x +<<+，即ln(1)1x x x x <+<+． 【针对练习4】若01x <<，证明：2(1)1xx e x -<+．证明：将不等式变形为2(1)(1)0x x e x --+<，令2()(1)(1)x f x x e x =--+，则2()(12)1xf x x e '=--．在区间[0,] (01)x x <<上满足拉格朗日中值定理的条件．故在(0,)x 上存在ξ，使得()(0)() (0)0f x f f x x ξξ-'=<<-，即()(0)()f x f f x ξ'-=， ∴22(1)(1)[(12)1]x x e x e x ξξ--+=--．由于2()(12)1f e ξξξ'=--的范围不易判断，于是求2()40f e ξξξ''=-<．∴()f ξ'在(0,1)上单调递减，()(0)0f f ξ''<=，即()(0)()0f x f f x ξ'-=<，∴2(1)(1)0xx e x --+<．小结：拉格朗日中值定理本身是以等式的形式存在的，利用它证明不等式时，根据ξ在(,)a b 内的取值可以估计()f ξ'的取值范围，从而得到要证的不等式．在具体操作时，若要证的不等式不含函数改变量()()f b f a -和自变量b a -，通过对不等式变形，凑出()()f b f a -和b a -，关键是准确选择函 数()f x ，以及区间[,]a b ．同时在确定()f ξ'时，可利用导数有关知识，如求二阶导数．2．利用积分中值定理：若)(x f 在闭区间],[b a 内连续，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()ba f x dx fb a ξ'=-⎰．一般方法：构造辅助函数→据积分中值定理得等式→由ξ的范围确定()f ξ'范围得所证不等式．【例4】（13湖北理）设n N *∈，r 为正有理数．证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++．证明：()rf x x =，x N *∈，r 为正有理数，则在区间[,1]n n +上满足积分中值定理的条件，故在(,1)n n +上存在ξ，使得111111(1)()[(1)]|11r r n rr n n nn n f n n x dx x r r ξ++++++-+-===++⎰，即11(1)1r r rn n r ξ+++-=+．又∵(,1)n n ξ∈+，r 为正有理数，∴rrn ξ>，∴11(1)1r r rn n n r +++-<+．同理可证11(1)1r r r n n n r ++--<+，∴1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++．【针对练习5】积分中值定理证明不等式：ln b a b b ab a a--<<(0)a b <<．分析：1ln ln ln b a b b a dx a x =-=⎰，可见可用积分中值定理构造函数1()f x x=，[,]x a b ∈来处理． 证明：设1()f x x=，则在区间[,]a b 上满足积分中值定理的条件，故在(,)a b 上存在ξ，使得1()()ln |ln ln b b a a b a f dx x b a x ξ-===-⎰，即ln ln 1b a b a ξ-=-． 又因111b aξ<<，于是有1ln ln 1b a b b a a -<<-，即ln b a b b a b a a --<<． 三、用凹凸性证明不等式：我们知道，在(,)a b 内，若()0f x ''>，则函数()y f x =的图形下凸，即位于区间12[,]x x 中点 122x x +处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有：1212()()()22x x f x f x f ++≤，其中1x ，2(,)x a b ∈内任意两点．等号仅在12x x =时成立．在(,)a b 内，若()0f x ''<，则函数()y f x =的图形上凸，即位于区间12[,]x x 中点122x x +处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有：1212()()()22x x f x f x f ++≥，其中1x ，2(,)x a b ∈内任意两 点．等号仅在12x x =时成立．一般方法：构造辅助函数→判定凹凸性→得所证不等式．【例1】设0x>，0y >，证明不等式ln ln ()ln2x yx x y y x y ++≥+，且等号仅在x y =时成立． 分析：将不等式两边同时除以2，变形为为ln ln ()ln 222x x y y x y x y+++≥，便可看出，左边是函数()ln f t t t =在两点x ，y 处的值的平均值，而右边是它在中点2x y+处的函数值，这时只需()0f t ''≥即可得证．证明：设()ln f t t t =，即()1ln f t t '=+，1()0f t t''=>，故函数()y f x =在(0,)+∞是下凸的．由下凸函数性质x ，(0,)y ∈+∞，1[()()]()22x yf x f y f ++≥，得 ln ln ()ln 222x x y y x y x y +++≥，即ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++≥+，等号仅在x y =时成立．【针对练习1】证明：1()() (0, 0, , 1)22n nn x y x y x y x y n ++>>>≠>． 证明：令() (0, 1)n f t t t n =>>，则1()n f t nt -'=，2()(1)0n f t n n t -''=->，∴函数()nf t t =在(0,)+∞是凹的，据凹凸性的定义可知，对任意的x ，(0,)y ∈+∞，x y ≠有()()()22x y f x f y f ++<，即1()()22n n n x y x y ++>．。
